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UNESP – FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA – DMAT
2a Lista de Exerc´ıcios – Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear – Engenharia Civil
Para todos os exerc´ıcios abaixo considere uma base ortonormal E = {~i,~j,~k} fixada.
01. Calcule a medida angular entre ~u e ~v
a) ~u = (1, 0, 1), ~v = (−2, 10, 2)
b) ~u = (
√
3
2 ,
1
2 , 0), ~v = (
√
3
2 ,
1
2 ,
√
3)
02. Determine x de modo que ~u e ~v sejam ortogonais
a) ~u = (x, x, 4), ~v = (4, x, 1)
b) ~u = (x+ 1, 1, 2), ~v = (x− 1,−1,−2) c) ~u = (x,−1, 4), ~v = (x,−3, 1)
03. Obtenha um vetor ~u ortogonal a ~v = (4,−1, 5) e ~w = (1,−2, 3) tal que ~u · (1, 1, 1) = −1.
04. Obtenha um vetor ~u ortogonal a (1, 1, 0) tal que ‖ ~u ‖= √2 e a medida angular em graus entre ~u e
(1,−1, 0) seja 45◦.
05. Calcule ‖ 2~u+ 4~v ‖2, sabendo que ~u e´ unita´rio, ‖ ~v ‖= 2, e a medida angular entre ~u e ~v e´ 2pi
3
.
06. Em cada item abaixo, calcule a projec¸a˜o ortogonal de ~v sobre ~u
a) ~v = (1,−1, 2), ~u = (3,−1, 1)
b) ~v = (−1, 1, 1), ~u = (−2, 1, 2)
c) ~v = (1, 3, 5), ~u = (−3, 1, 0)
d) ~v = (1, 2, 4), ~u = (−2,−4,−8)
07. Calcule ~u ∧ ~v e ~v ∧ ~u nos seguintes casos:
a) ~u = (6,−2,−4), ~v = (−1,−2, 1) b) ~u = (1,−3, 1), ~v = (1, 1, 4)
08. Calcule (2~k −~i+ 5~j) ∧ (3~i− 2~k +~j).
09. Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD, sendo
−−→
AB = (1, 1,−1) e −−→AD = (2, 1, 4).
10. O lado do quadrado ABCD mede 2, AC e´ diagonal eM e´ o ponto me´dio de BC. Calcule ‖ −−→DM ∧−−→DB ‖.
11. Sejam ~u =
(
1,−32 , 12
)
B
, ~v = (6,−2,−4)B e ~w =
(
1
7 ,
2
7 ,
3
7
)
B
. Calcule (~u ∧ ~v) ∧ ~w e ~u ∧ (~v ∧ ~w).
12. Calcule o produto misto [~u,~v, ~w] para os vetores ~u, ~v e ~w dados no exerc´ıcio 11.
13. Calcule o volume do paralelep´ıpedo cujas arestas sa˜o os vetores ~u = (−4, 3, 0), ~v = (1, 3, 0) e ~w =
(−2, 0,−1).
Para todos os exerc´ıcios abaixo considere fixado um sistema de coordenadas.
14. Sejam B = (−5, 2, 3) e C = (4,−7,−6). Escreva equac¸o˜es nas formas vetorial, parame´trica e sime´trica
para a reta BC. Verifique se D = (3, 1, 4) pertence a essa reta.
15. Dados A = (1, 2, 3) e ~u = (3, 2, 1), escreva equac¸o˜es da reta que conte´m A e e´ paralela a ~u, nas formas
vetorial, parame´trica e sime´trica.
16. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equac¸o˜es parame´tricas
x = 1 + λ
y = λ
z = 4 + 2λ
(λ ∈ R)
Verifique se os pontos P = (1, 3,−3) e Q = (−3, 4, 12) pertencem a` reta.
17. Obtenha equac¸o˜es parame´tricas da reta que conte´m o ponto (1, 4,−7) e e´ paralela a` reta de equac¸o˜es
parame´tricas 
x = 200− λ
y =
√
3− 3λ
z = 0
(λ ∈ R)
18. Sejam B = (1, 1, 0) e C = (−1, 0, 1). Escreva equac¸o˜es parame´tricas da reta que conte´m o ponto (3, 3, 3)
e e´ paralela a` reta BC.
19. Escreva equac¸o˜es na forma sime´trica da reta determinada pelo ponto (−1,−4,−2) e pelo ponto me´dio
do segmento de extremidades (1, 3, 5) e (3,−3, 1).
Nos exerc´ıcios de 20 a 22, o sistema de coordenadas e´ ortogonal.
20. Sejam A = (1, 2, 3) e B = (−2, 3, 0). Escreva equac¸o˜es da reta AB nas formas vetorial e parame´trica e
obtenha os pontos da reta que distam 2
√
19 de A.
21. Sejam A = (0, 2, 1) e r : X = (0, 2,−2) + λ(1,−1, 2), λ ∈ R. Obtenha os pontos de r que distam √3 de
A.
22. Sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1), λ ∈ R. Determine os pontos de r
equidistantes de A e B.
23. Escreva uma equac¸a˜o vetorial e uma equac¸a˜o geral do plano pi utilizando as informac¸o˜es dadas em cada
caso:
(a) pi conte´m o ponto A = (1, 2, 0) e e´ paralelo aos vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (2, 3,−1).
(b) pi conte´m os pontos A = (1, 1, 0) e B = (1,−1,−1) e e´ paralelo ao vetor ~v = (2, 1, 0).
(c) pi conte´m os pontos A = (1, 0, 1) e B = (0, 1,−1) e e´ paralelo ao segmento de extremidades C = (1, 2, 1)
e D = (0, 1, 0).
(d) pi conte´m os pontos A = (1, 0, 1) e B = (2, 1,−1) e C = (1,−1, 0).
24. Obtenha equac¸o˜es parame´tricas do plano que conte´m o ponto A = (1, 1, 2) e e´ paralela ao plano de
equac¸o˜es parame´tricas
pi :

x = 1 + λ+ 2µ
y = 2λ+ µ
z = −λ
(λ, µ ∈ R)
25. Sejam ax+ by + cz + d = 0 uma equac¸a˜o geral de um plano pi e ~u = (m,n, p) um vetor. Prove que: ~u e´
paralelo a pi se, e somente se, am+ bn+ cp = 0.
26. Dados os vetores ~u = (−1,−2, 3), ~v = (0, 1, 6) e ~w = (−3, 2, 24), verifique se eles sa˜o paralelos ou na˜o
ao plano pi : 4x− 6y + z − 3 = 0.
27. Dadas as equac¸o˜es parame´tricas, obtenha uma equac¸a˜o geral do plano:
a)

x = 1 + λ− µ
y = 2λ+ µ
z = 3− µ
(λ, µ ∈ R) b)

x = −2 + λ− µ
y = 2λ+ 2µ
z = λ+ µ
(λ, µ ∈ R)
28. Obtenha equac¸o˜es parame´tricas do plano pi : 4x+ 2y − z + 5 = 0.
29. Obtenha um vetor normal ao plano pi que passa pelos pontos A = (−1, 1, 2), B = (1, 0,−3) e C =
(1,−2, 3).
30. Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa pelo ponto P = (1,−1, 0) e e´ paralelo a pi1 :
x− y + 2z + 1 = 0.
31. Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa pela origem (0, 0, 0) e e´ perpendicular a reta que
passa pelos pontos A = (1,−1, 2) e B = (−2, 1,−3).
32. Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa pelo ponto (−1,−1, 0) e que conte´m a reta r : X =
(0, 2, 2) + λ(1, 1,−1).
33. Escreva uma equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto A = (1, 2, 3) e e´ perpendicular ao plano
pi : 2x+ y − 3z − 1 = 0
34. Em cada item abaixo, estude a posic¸a˜o relativa das retas. Quando a intersec¸a˜o das retas r e s for na˜o
vazia, obtenha os pontos de intersec¸a˜o:
a) r : X = (1, 1, 0) + λ(1, 2, 3) s : X = (2, 3, 3) + µ(3, 2, 1)
b) r :

x = 1 + 2λ
y = λ
z = 1 + 3λ
s :

x = −1 + 4µ
y = −1 + 2µ
z = −2 + 6µ
c) r :

x = 2− 4λ
y = 4 + 5λ
z = 11
s :
x
2
=
y − 1
−2 = z
d) r :
x− 2
3
=
y + 2
4
= z s :
x
4
=
y
2
=
z − 3
2
35. Em cada item abaixo, estude a posic¸a˜o relativa. Quando a intersec¸a˜o da reta r com o plano pi for na˜o
vazia, obtenha a intersec¸a˜o:
a) r : X = (−1,−1, 0) + λ(1,−1,−1) pi : x+ y + z + 1 = 0
b) r : X = (−1,−1, 1) + λ(1,−1, 0) pi : x+ y + z + 1 = 0
c) r : X = (−1,−1, 0) + λ(1,−1, 0) pi : 2x+ 2y + z + 1 = 0
d) r :

x = 2λ
y = λ
z = 1− 3λ
(λ ∈ R) pi :

x = 1 + α
y = −3 + β
z = 1 + α+ β
(α, β ∈ R)
36. Em cada item abaixo, estude a posic¸a˜o relativa. Quando a intersec¸a˜o dos planos pi1 e pi2 for na˜o vazia,
obtenha a intersec¸a˜o:
a) pi1 : x+ 2y − z − 1 = 0 pi2 : 2x+ y − z − 1 = 0
b) pi1 : x− y = 1− 3z pi2 : 6z − 2y = 2− 2x
c) pi1 : 3x− 4y + 2z = 4 pi2 : −15x+ 20y − 10z − 9 = 0