Primeira_lista

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UNESP – FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA – DMAT
1a Lista de Exerc´ıcios – Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear – Engenharia Civil
01. Considere as matrizes
A =

3 0
−1 2
1 1
 , B =

2 1
−3 1
4 0
 , C =
[
1 0
3 −1
]
, D =
[
1 1
−3 1
]
, E =
[
1 4 2
3 1 5
]
,
F =

1 5 2
5 3 −1
0 2 1
 , G =

6 1 3
5 3 −1
4 1 3
 .
Calcule quando poss´ıvel: A+ 2B; A−BT ; 4D − 3CT ; D −DT ; G+ (2F )T ; AE; EA; CE; EC; FG e GF .
02. Determine o valor de k ∈ R que satisfac¸a a equac¸a˜o
[
k 1 1
]
1 1 0
1 0 2
0 2 −3


k
1
1
 = 0.
03. Calcule o determinante das matrizes abaixo:
A =

2 1 6
5 3 −1
7 2 1
 , B =

−2 5 1 −1
0 −1 2 0
1 −1 1 −2
5 −3 0 1
 , C =

−2 3 1 −1
0 1 2 3
1 −1 1 −2
4 −3 5 1
 .
04. Encontre a inversa das matrizes:
A =
[
1 2
2 2
]
, B =

1 0 1
1 1 0
0 2 1
 , C =

2 1 0
5 3 −1
7 2 1
 , D =

−2 5 1 −1
0 −1 2 0
1 −1 1 −2
5 −3 0 1
 .
05. Determinar os valores de a ∈ R para os quais a matriz A =

a 1 1
2 1 2
1 2 a
 na˜o seja invers´ıvel e os valores
de a ∈ R para os quais a matriz A seja invers´ıvel.
06. Dizemos que duas matrizes A e B sa˜o semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P−1AP . Mostre
que se A e B sa˜o semelhantes enta˜o detA = detB.
07 Dada a matriz A =

2 1 −3
0 2 1
5 1 3
, calcule a matriz adjunta adjA e detA. Encontre A−1 usando a
matriz adjunta.
08. Em cada item abaixo, diga se o sistema e´ compat´ıvel (determinado ou indeterminado) ou incompat´ıvel
e determine suas soluc¸o˜es:
a)

3x+ 2y − 5z = 10
2x− 4y − 2z = −4
2x− 4y − 6z = −8
c)

3x− y + 2z − t = 0
3x+ y + 3z + t = 0
x− y − z − 5t = 0
b)

x− y + z + t = 0
x+ y − z + t = 1
−x+ y + z − t = 0
2x− y − z + 3t = 1
d)

3x+ 2y − 12z = 0
x− y + z = 0
2x− 3y + 5z = 1
09. Que condic¸a˜o deve–se impor aos nu´meros a, b e c para que o sistema

x+ y + 2z = a
x+ z = b
2x+ y + 3z = c
tenha
soluc¸a˜o?
10. Determine o valor de k ∈ R para que o sistema

x+ y − az = 0
ax+ y − z = 2− a
x+ ay − z = −a
seja: a) compat´ıvel deter-
minado; b) compat´ıvel indeterminado; c) incompat´ıvel.
11. Quais sa˜o a origem e a extremidade de um representante do vetor
−−→
BC +
−−→
GH −−→FA−−−→GC +−−→FB ?
12. Dado o vetor na˜o–nulo ~u, obtenha um vetor ~v de norma 6 tal que ~u e ~v sejam paralelos e de mesmo
sentido.
13. Seja α 6= 0 e suponha que α~u = α~v. Prove que, ~u = ~v.
14. Resolva, na inco´gnita ~x, a equac¸a˜o vetorial 2~x− 3~u = 10(~x+ ~v).
15. Resolva os seguintes sistemas nas inco´gnitas ~x e ~y
a)
 ~x+ 2~y = ~u3~x− ~y = 2~u+ ~v b)
 ~x+ ~y = ~u− 2~v~x− ~y = 3~u
16. Prove que, se ~u e ~v sa˜o vetores na˜o–nulos e paralelos, enta˜o ||~u+ ~v||2 6= ||~u||2 + ||~v||2.
17. Sejam A e B dois pontos distintos. Mostre que o ponto X pertence a` reta AB ⇔ existe λ ∈ R tal que
−−→
AX = λ
−−→
AB.
18. Prove que A = P − ~u⇔ ~u = −→AP .
19. Prove que, se P = A− ~u, enta˜o −−→AB + ~u = −−→PB, qualquer que seja o ponto B.
20. Prove que, se A+ ~u = B + ~v, enta˜o ~u =
−−→
AB + ~v.
21. Dados os pontos A, B e C, determine X, sabendo que (A+
−−→
AB) +
−−→
CX = C +
−−→
CB.
22. Prove que
a) {~u,~v, ~w} e´ LI ⇔ {~u+ ~v, ~u+ ~w,~v + ~w} e´ LI.
b) {~u,~v, ~w} e´ LI ⇔ {~u+ ~v + ~w, ~u− ~v, 3~v} e´ LI.
23. Determine a e b, sabendo que {~u,~v} e´ LI e que (a− 1)~u+ b~v = b~u− (a+ b)~v.
24. Se ~u = (1,−1, 3), ~v = (2, 1, 3), ~w = (−1,−1, 4), determine a tripla de coordenadas de:
a) ~u+ ~v b) ~u− 2~v c) ~u+ 2~v − 3~w
2
25. Determine se {~u,~v} e´ LI ou LD nos seguintes casos:
a) ~u = (0, 1, 0), ~v = (1, 0, 1) b) ~u = (1,−3, 14), ~v =
(
1
14
,− 3
14
, 1
)
26. Sendo ~u = (1,m, n+ 1) e ~v = (m,n, 10), determine m e n tais que {~u,~v} seja LD.
27. Verifique se {~u,~v, ~w} e´ LI ou LD nos seguintes casos:
a) ~u = (1, 0, 0), ~v = (200, 2, 1), ~w = (300, 1, 2)
b) ~u = (1, 2, 1), ~v = (1,−1,−7), ~w = (4, 5,−4)
28. Em cada caso, calcule m para que os vetores sejam LD.
a) ~u = (m, 1,m+ 1), ~v = (0, 1,m), ~w = (0,m, 2m)
b) ~u = (m, 1,m+ 1), ~v = (1, 2,m), ~w = (1, 1, 1)
29. Verifique se {~f1, ~f2, ~f3} e´ base, sabendo que ~f1 = ~e1 + ~e2 + ~e3, ~f2 = ~e1 + ~e2, ~f3 = ~e3, e que {~e1, ~e2, ~e3}
e´ base.
30. Sejam E = {~e1, ~e2, ~e3} uma base, ~f1 = ~e1 + ~e2 + ~e3, ~f2 = m~e1 + 2m~e2 − ~e3, ~f3 = 4~e2 + 3~e3. Para que
valores de m a tripla F = {~f1, ~f2, ~f3} e´ base.
31. Calcule ‖ ~u ‖ nos seguintes casos:
a) ~u = (1, 1, 1)E
b) ~u = −~e1 + ~e2
c) ~u = 3~e1 + 4~e3
d) ~u = −4~e1 + 2~e2 − ~e3
3