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CÁLCULO I Tecnólogo em Processos Indústriais - FURB PROF: ANDRESA PESCADOR 2 FUNÇÕES CAPÍTULO 1 DEFINIÇÃO Sejam A e B subconjuntos de IR. Uma função de f: A→B é uma lei ou regra que a cada elementos de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamado Domínio de “f” e é denotado por D(f). E o conjunto B é chamado Contra Domínio de f. Escrevemos: f: A→B x→f(x) Ex:. A={1, 2, 3, 4} B={2, 3, 4, 5} 1) f: A→B x→x+1 2) f: A→B 1 2 3 4 2 3 4 5 É função Não é função pois 4∈A tem dois correspondentes em B DEFINIÇÃO Seja: f: A→B 1) Dado x∈A, o elemento f(x)∈B é chamado imagem de x por f. 2) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é denotado por Im (f). EX: 1) A= {1,2,3,4,5} B= Z f: A→B tal que cada elemento de A faz corresponder o seu dobro, ou seja x→2x Im (f)= {2,4,6,8,10} EX: 2) f= R→R x →x² Im (f)= [ 0, + ) DOMÍNIOS 1) F(x)= 1 D(f)= R - { 0 } x Im(f)= R - { 0 } 2) F(x)= x deve-se ter x ≥ 0 D(f)= [ 0, + ) Im(f)= [ 0, + ) 3) F(x)= - x-1 x-1 ≥ 0 → x ≥ 1 D(f)= [ 1, + ) Im(f)= ( - ,0 ] 4) F(x)= x D(f)= R Im(f)= [0, + ) 1 2 3 4 2 3 4 5 3 FUNÇÕES GRÁFICOS Seja f uam função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, onde x ∈ D(f). Até agora só sabemos determinar o gráfico de uma função escolhendo uma série de pontos e fazendo uma tabela. Ex: 1) f(x) = x² x y=x² -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 2) f(x) = x 3) f(x) = -2, se x ≤ -2 2, se -2< x ≤ 2 4, se x > 2 Parábola 4 -1 1-2 2 4 2 21 1 -1 -1 -2 -2 -2 2 2 2 4 � 4 FUNÇÕES 4) f(x) = x x, se x > 0 -x, se x < 0 5) f(x)= 1 D(f)= R - { 0 } x OBS! Nem toda curva representa o gráfico de uma função. Uma curva só representa o gráfico de uma função quando qualquer reta vertical cortar a curva no máximo em um ponto. Ex: Sim Não é função 1 1 2 2 2 1 1/2 � 5 FUNÇÕES Sejam duas funções “f” e “g”, a função composta de “g” com “f”, denotada por “gof” é definido por (gof) (x) = g (f(x)). Ex: 1) f(x)= x g(x)= x-1 (gof) (x) = g (f(x)) = g ( x ) = x -1. D(gof) = [0, + ) Exercício: Sejam f(x) = 2x-3 g(x) = x h(x) = 1x Encontrar: a) fog b) goh c) hof d) hogof e seus domínios Função constante: f(x) = K D(f) = R Im(f) = {K} Ex: f(x) = 2 Função identidade: f(x) = x D(f) = R Im(f) = R Função de 1o grau ou linear: f: R → R f(x) = ax + b, a ≠ 0, a,b, ∈ R D(f) = R Im (f) = R Quando a>0 a função é crescente, isto é, se “x” aumenta então f(x) também aumenta. Quando a<0 a função é decrescente. CONPOSIÇÃO DE FUNÇÕES FUNÇÕES ESPECIAIS Coeficiente angular Coeficiente linear 2 21 1 2 6 FUNÇÕES Ex: 1) f(x) = 2x+3 2)No MRU o espaço percorrido é uma função do tempo, S = S0 + vt, onde S0 e v são constantes, v≠0. É uma função linear. Função Modular y = |x| = x, se x > 0 -x, se x < 0 D(f) = R Im(f) = [0, + ) Função Quadrática f: R → R f(x): ax² + bx + c, a ≠ 0 Gráfico: uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y. a>0 → concavidade para cima a<0 → concavidade para baixo Vértice da parábola: -b , -∆ ∆ = b² - 4ac 2a 4a raízes (ou zero) da função: x = -b ± ∆ 2a POSSIBILIDADES: ∆ > 0 dois pontos distintos ∆ = 0 um único ponto ∆ < 0 não intercepta o eixo x 3 -1 -2 1 2-1-2 1 2 � φ φ = tan-1 a x y 7 Função polinominal f:R → R f(x) = a0 xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x + an Onde a0, a1,..., an ∈ R, a0 ≠ 0 e n é o grau da função. FUNÇÕES Coeficientes O gráfico é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos. Exs: a) f(x) = K → grau zero b) f(x) = ax + b → 1O.grau c) f(x) = ax� + bx + c → 2O. grau d) f(x) = x3 → função cúbica Função Exponencial Chamamos de função exponencial de base a, a função f:R→R que associa a cada real x o no real ax sendo a um no real, 0<a ≠ 1. f: R → R x→ax D(f) = IR Im(f) = (0,00) = LEMBRTE: am . an = am+n am = am-n an Gráfico: →acima eixo das abcissas →ponto (0,1) →f(x) = ax crescente se a>1 decrescente se a<1 R*+ (0,1) y = ax a >1 0 < a < 1 y = ax (0,1) 8 FUNÇÕES Função Logarítmica Dado a ∈ IR (0 < a ≠ 1) Chamamos função logarítmica de base a a função f: → R que associa a cada x o número log a x f: → R D(f) = x → log a x Im (f) = R as funções f(x) = log a x e g(x) = ax são inversas uma da outra LEMBRETE: →Log am = m Log a →Log (x.y) = Log x + Log y →Log (x/y) = Log x - Log y →Log a b = Log c b/Log c a Gráfico:→ está a direita do eixo y → ponto (1,0) → f(x) = log a x crescente se a>1 decrescente se 0<a<1 R*+ R*+ R*+ Função Seno f: R → R x → sen x D(f) = R Im (f) = [-1,1] P P2o P1 (é a ordenada oP1) y = log a x 0 < a < 1 y = log a x a > 1 (1,0) (1,0) -1 1 π/2 π 3π/2 2π sen x 9 Função Cosseno f: R → R x → cos x D(f) = R Im (f) = [-1,1] FUNÇÕES LEMBRETE: tg x = sen x sec x = 1 cosec x = 1 1 = cotg x = cos x cos x cos x sen x tgx senx sen2x + cos2x = 1 P P2o P1 (é a abscissa oP2) -1 1 π/2 π 3π/2 2π cos x
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