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Introdução às Funções Matemáticas

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CÁLCULO I
Tecnólogo em Processos Indústriais - FURB
PROF: ANDRESA PESCADOR
2
 FUNÇÕES
CAPÍTULO 1
DEFINIÇÃO Sejam A e B subconjuntos de IR. Uma função de f: A→B é uma lei ou regra que
a cada elementos de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A
é chamado Domínio de “f” e é denotado por D(f). E o conjunto B é chamado
Contra Domínio de f.
Escrevemos: f: A→B
x→f(x)
Ex:. A={1, 2, 3, 4}
B={2, 3, 4, 5}
1) f: A→B
x→x+1
2) f: A→B
1
2
3
4
2
3
4
5
É função
Não é função pois 4∈A
tem dois correspondentes
em B
DEFINIÇÃO Seja: f: A→B
1) Dado x∈A, o elemento f(x)∈B é chamado imagem de x por f.
2) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto
imagem de f e é denotado por Im (f).
EX: 1) A= {1,2,3,4,5}
B= Z
f: A→B tal que cada elemento de A faz corresponder o seu dobro,
ou seja x→2x
Im (f)= {2,4,6,8,10}
EX: 2) f= R→R
x →x²
Im (f)= [ 0, + )
DOMÍNIOS
1) F(x)= 1 D(f)= R - { 0 }
 x Im(f)= R - { 0 }
2) F(x)= x deve-se ter x ≥ 0
D(f)= [ 0, + )
Im(f)= [ 0, + )
3) F(x)= - x-1 x-1 ≥ 0 → x ≥ 1
D(f)= [ 1, + )
Im(f)= ( - ,0 ]
4) F(x)= x D(f)= R
Im(f)= [0, + )
1
2
3
4
2
3
4
5
3
FUNÇÕES
GRÁFICOS
Seja f uam função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um
plano coordenado, onde x ∈ D(f).
Até agora só sabemos determinar o gráfico de uma função escolhendo uma
série de pontos e fazendo uma tabela.
Ex:
1) f(x) = x²
x y=x²
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
2) f(x) = x
3) f(x) = 
 -2, se x ≤ -2
 2, se -2< x ≤ 2
 4, se x > 2
Parábola
4
-1 1-2 2
4
2
21
1
-1
-1
-2
-2
-2
2 2
2
4
�
4
FUNÇÕES
4) f(x) = x
x, se x > 0
-x, se x < 0
5) f(x)= 1 D(f)= R - { 0 }
 x
OBS!
Nem toda curva representa o gráfico de uma função.
Uma curva só representa o gráfico de uma função quando qualquer reta vertical
cortar a curva no máximo em um ponto.
Ex:
Sim Não é função
1 1 2
2
2
1
1/2
�
5
FUNÇÕES
Sejam duas funções “f” e “g”, a função composta de “g” com “f”, denotada por
“gof” é definido por (gof) (x) = g (f(x)).
Ex:
1) f(x)= x
g(x)= x-1
(gof) (x) = g (f(x)) = g ( x ) = x -1.
D(gof) = [0, + )
Exercício:
Sejam f(x) = 2x-3
g(x) = x
h(x) = 1x
Encontrar:
a) fog
b) goh
c) hof
d) hogof e seus domínios
Função constante:
f(x) = K
D(f) = R
Im(f) = {K}
Ex: f(x) = 2
Função identidade:
f(x) = x
D(f) = R
Im(f) = R
Função de 1o grau ou linear:
f: R → R
f(x) = ax + b, a ≠ 0, a,b, ∈ R
D(f) = R
Im (f) = R
Quando a>0 a função é crescente, isto é, se “x” aumenta então f(x) também
aumenta.
Quando a<0 a função é decrescente.
CONPOSIÇÃO
DE FUNÇÕES
FUNÇÕES ESPECIAIS
Coeficiente angular
Coeficiente linear
2
21
1
2
6
FUNÇÕES
Ex:
1) f(x) = 2x+3
2)No MRU o espaço percorrido é uma função do tempo, S = S0 + vt, onde S0 e
v são constantes, v≠0. É uma função linear.
Função Modular
y = |x| = x, se x > 0
 -x, se x < 0
D(f) = R
Im(f) = [0, + )
Função Quadrática
f: R → R
f(x): ax² + bx + c, a ≠ 0
Gráfico: uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.
a>0 → concavidade para cima
a<0 → concavidade para baixo
Vértice da parábola:
-b , -∆ ∆ = b² - 4ac
2a 4a
raízes (ou zero) da função: x = -b ± ∆
 2a
POSSIBILIDADES:
∆ > 0
dois pontos
distintos
∆ = 0
um único ponto
∆ < 0
não intercepta o
eixo x
3
-1
-2
1 2-1-2
1
2
�
φ
φ = tan-1 a
x
y
7
Função polinominal
f:R → R
f(x) = a0 xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x + an
Onde a0, a1,..., an ∈ R, a0 ≠ 0 e n é o grau da função.
FUNÇÕES
Coeficientes
O gráfico é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos.
Exs: a) f(x) = K → grau zero
b) f(x) = ax + b → 1O.grau
c) f(x) = ax� + bx + c → 2O. grau
d) f(x) = x3 → função cúbica
Função Exponencial
Chamamos de função exponencial de base a, a função f:R→R que
associa a cada real x o no real ax sendo a um no real, 0<a ≠ 1.
f: R → R
 x→ax
D(f) = IR
Im(f) = (0,00) =
LEMBRTE:
am . an = am+n
am 
=
 am-n
an
Gráfico:
→acima eixo das abcissas
→ponto (0,1)
→f(x) = ax crescente se a>1
decrescente se a<1
R*+
(0,1)
y = ax
a >1
0 < a < 1
y = ax
(0,1)
8
FUNÇÕES
Função Logarítmica
Dado a ∈ IR (0 < a ≠ 1)
Chamamos função logarítmica de base a a função f: → R que associa a cada
x o número log
a
x
f: → R D(f) =
x → log
a
x Im (f) = R
 as funções f(x) = log
a
x
 e g(x) = ax são inversas uma da outra
LEMBRETE:
→Log am = m Log a
→Log (x.y) = Log x + Log y
→Log (x/y) = Log x - Log y
→Log
a 
b = Log
c
 b/Log
c
 a
Gráfico:→ está a direita do eixo y
→ ponto (1,0)
→ f(x) = log
a
x crescente se a>1
decrescente se 0<a<1
R*+
R*+ R*+
Função Seno
f: R → R
x → sen x
D(f) = R
Im (f) = [-1,1]
P
P2o
P1
(é a ordenada oP1)
y = log
a
x
0 < a < 1
y = log
a
x
a > 1
(1,0)
(1,0)
-1
1
π/2
π
3π/2
2π
sen x
9
Função Cosseno
f: R → R
x → cos x
D(f) = R
Im (f) = [-1,1]
FUNÇÕES
LEMBRETE:
tg x = sen x sec x = 1 cosec x = 1 1 = cotg x = cos x
 cos x cos x sen x tgx senx
sen2x + cos2x = 1
P
P2o
P1
(é a abscissa oP2)
-1
1
π/2
π
3π/2
2π
cos x

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