Álgebra Linear Matrizes Determinantes Sistemas Lineares 2016(1)

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Álgebra Linear 
 
 
MATRIZES 
DETERMINANTES 
SISTEMAS LINEARES 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2016 
 
 
 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 2 
 
Conteúdo 
1. Matrizes .................................................................................................................................... 5 
1.1. Definições ............................................................................................................................................ 5 
1.2. Operações com Matrizes................................................................................................................. 5 
1.2.1. Adição de matrizes ................................................................................................................................ 5 
 Exemplos ....................................................................................................................................................... 5 
1.2.2. Multiplicação de uma matriz por uma constante não nula .............................................................. 6 
 Exemplos ....................................................................................................................................................... 6 
1.2.3. Multiplicação de Matrizes .................................................................................................................... 7 
 Exemplos ....................................................................................................................................................... 7 
1.3. Igualdade entre matrizes ............................................................................................................... 8 
1.3.1. Exemplos ................................................................................................................................................... 8 
1.4. Matrizes especiais........................................................................................................................... 10 
1.4.1. Matriz Nula ............................................................................................................................................ 10 
1.4.2. Matriz Quadrada .................................................................................................................................. 10 
 Exemplos ..................................................................................................................................................... 10 
1.4.3. Matriz Identidade ................................................................................................................................ 10 
 Exemplos ..................................................................................................................................................... 10 
1.4.4. Matriz Diagonal ...................................................................................................................................... 11 
 Exemplos ...................................................................................................................................................... 11 
1.4.5. Matriz Escalar ........................................................................................................................................ 11 
 Exemplos ...................................................................................................................................................... 11 
1.4.6. Matriz Triangular Superior ................................................................................................................ 12 
1.4.7. Matriz Triangular Inferior ................................................................................................................. 12 
 Exemplos ..................................................................................................................................................... 12 
1.4.8. Matriz Transposta................................................................................................................................ 12 
 Exemplos ..................................................................................................................................................... 13 
1.4.9. Matriz Simétrica .................................................................................................................................. 13 
 Exemplos ..................................................................................................................................................... 13 
1.5. Propriedades ..................................................................................................................................... 13 
2. Determinantes ........................................................................................................................ 17 
2.1. Definição ............................................................................................................................................ 17 
2.2. Determinante de uma matriz de ordem 1 ................................................................................. 17 
2.2.1. Exemplos ................................................................................................................................................. 17 
2.3. Determinante de uma matriz de ordem 2 ................................................................................ 17 
2.3.1. Exemplos ................................................................................................................................................. 17 
2.4. Determinante de uma matriz de ordem 3 pela regra de Sarrus ....................................... 18 
2.4.1. Exemplos ................................................................................................................................................. 18 
2.5. Determinante de uma matriz de ordem n por Laplace ......................................................... 19 
2.5.1. Cofator .................................................................................................................................................... 19 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 3 
 
2.5.2. Matriz cofator ................................................................................................................................. 19 
 Exemplos .................................................................................................................................................... 20 
2.5.3. Teorema de Laplace ....................................................................................................................... 20 
2.5.4. Exemplos ............................................................................................................................................ 21 
2.6. Propriedades de Determinantes ................................................................................................ 22 
3. Matriz inversa ........................................................................................................................ 25 
3.1. Definição ........................................................................................................................................... 25 
3.2. Propriedades da inversão de Matrizes..................................................................................... 25 
3.2.1. Exemplos ................................................................................................................................................ 25 
3.3. Matriz singular................................................................................................................................ 28 
3.4. Matriz não singular ........................................................................................................................ 28 
3.5. Operações elementares em Matrizes....................................................................................... 28 
3.6. Matrizes equivalentes ................................................................................................................... 28 
3.7. Transformação de uma Matriz em Triangular superior ...................................................... 29 
 Exemplos .................................................................................................................................................... 30 
3.8. Cálculo da matriz inversa por meio de operações elementares ........................................ 32 
 Exemplos .................................................................................................................................................... 33 
3.9. Cálculo da matriz inversa usando a Matriz Cofator ............................................................. 35 
 Exemplos .................................................................................................................................................... 35 
4. Sistemas de equações lineares .......................................................................................... 38 
4.1. Definição ........................................................................................................................................... 38 
4.2. Classificação ..................................................................................................................................... 38 
4.2.1. Solução Possível e Determinada ....................................................................................................... 38 
4.2.2. Solução Possível e Indeterminada ............................................................................................... 39 
4.2.3. Solução Impossível ......................................................................................................................... 39 
 Exemplos .................................................................................................................................................... 39 
4.3. Sistemas Triangulares .................................................................................................................. 40 
4.3.1. Superior ................................................................................................................................................. 40 
 Exemplos .................................................................................................................................................... 40 
4.3.2. Inferior .............................................................................................................................................. 41 
 Exemplos ..................................................................................................................................................... 41 
4.4. Solução de Sistemas Lineares pela Inversa ........................................................................... 42 
4.4.1. Definição ............................................................................................................................................... 42 
 Exemplos .................................................................................................................................................... 42 
4.5. Solução de Sistemas Lineares pelo Método de Gauss ......................................................... 44 
4.5.1. Definição ............................................................................................................................................... 44 
 Exemplos .................................................................................................................................................... 45 
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José Fernando Santiago Prates 4 
 
4.6. Solução de um Sistema Linear pelo teorema de Cramer .................................................... 47 
4.6.1. Definição ............................................................................................................................................... 47 
 Exemplos .................................................................................................................................................... 48 
5. Formulação de Sistemas Lineares ..................................................................................... 49 
5.1. Um exemplo em física (Espaço-velocidade). ........................................................................... 49 
5.2. Um exemplo em física (Força). ................................................................................................... 49 
5.3. Uma Fábrica ..................................................................................................................................... 50 
5.4. Um Circuito ........................................................................................................................................ 51 
5.5. Um Concurso ..................................................................................................................................... 53 
5.6. Problema da Dieta .......................................................................................................................... 54 
5.7. Problema da Ração .......................................................................................................................... 55 
6. Bibliografia ............................................................................................................................. 56 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 5 
 
1. Matrizes 
 
1.1. Definições 
 
Designa-se por matriz do tipo m por n, ou simplesmente m x n, sobre um corpo, a qualquer 
conjunto ordenado de elementos em m linhas e n colunas. 
 
 Notação: 
A = (aij) =
nmmnmj3m2m1m
inij3i2i1i
n3j3333231
n2j2232221
n1j1131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa






























 
 
Onde i = 1, 2, 3,..., m j = 1, 2, 3,... n 
 
1.2. Operações com Matrizes. 
 
1.2.1. Adição de matrizes 
 
Sejam duas matrizes A = (aij) e B = (bij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... n. A adição A + B é 
uma matriz S = (sij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... n, onde cada elemento é resulta da soma 
dos elementos correspondentes das duas matrizes. 
 
S = A + B 
 
sij = aij + bij 
i = 1, 2, 3,..., m j = 1, 2, 3,... n 
 
 Exemplos 
1) Sejam as matrizes A=






 04
21 e B=






 31
52 calcule A + B. 
Solução: 
A + B = 






 04
21 + 






 31
52 =








30)1(4
5221 =






 35
73 
 
 
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2) Sejam as matrizes A=











301
231
113
 e B=










 111
202
021
 calcule A + B. 
Solução: 
A + B = 











301
231
113
+ 










 111
202
021
=










410
431
134
 
 
3) Obter uma matriz de ordem 4x4 onde aij = (-1)
i+j(2i - 3j). 
 
Solução: 
a11 = (-1)
1+1(21 – 31) = -1 
a12 = (-1)
1+2(21 – 32) = 7 
 
a32 = (-1)
3+2(23 – 32) = 1 
 
a43 = (-1)
4+3(24 – 33) = 11 
 
 
1.2.2. Multiplicação de uma matriz por uma constante não nula 
 
Seja A = (aij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... n e K  R. A multiplicação KA é uma matriz C 
= (cij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... n onde cada elemento é resulta da multiplicação dos 
elementos da matriz pela constante K. 
C = KA 
cij = Kaijj 
i = 1, 2, 3,..., m j = 1, 2, 3,... n 
 Exemplos 
 1) Sejam as matrizes A=






 04
21 e K = 2 calcule kA. 
Solução: 
kA = 2






 04
21 =






 )0.(2)4.(2
)2.(2)1.(2 = 






 08
42 
 
2) Sejam as matrizes A=











301
231
113
 e K = 3 calcule kA. 
Solução: 
kA = 3











301
231
113
 = 











)3.(3)0.(3)1.(3
)2.(3)3.(3)1.(3
)1.(3)1.(3)3.(3
= 











903
699
339
 

















6511713
731915
772351
792571
A 
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1.2.3. Multiplicação de Matrizes 
 
Sejam duas matrizes A = (aik) i = 1, 2, 3,..., m, k = 1, 2, 3,... , p e B = (bkj) k = 1, 2, 3,..., q, 
j = 1, 2, 3,... n. A multiplicação das matrizes AB é uma matriz C = (cij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 
1, 2, 3,... , n, se, e somente se p = q. 



p
k
ikijij aBAcC
1
kjb )()(
 
i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... ,n 






















mnmj3m2m1m
inij3i2i1i
n3j3333231
n2j2232221
n1j1131211
ccccc
ccccc
ccccc
ccccc
ccccc







=






















mpmk3m2m1m
ipik3i2i1i
p3k3333231
p2k2232221
p1k1131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa































pnpj3p2p1p
knkj3k2k1k
n3j3333231
n2j2232221
n1j1131211
bbbbb
bbbbb
bbbbb
bbbbb
bbbbb







 
 
Obs.: O número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. 
 
 Exemplos 
 Sendo A=










 111
202
021
, B=






 31
52 , C=










41
02
13
 D=





 
311
212 , calcule: 
1) AC 
Solução 
AC = 










 111
202
021










41
02
13
= 










30
108
17
 
2) BD 
Solução 
BD =






 31
52





 
311
212 = 






741
1939 
 
3) CB 
Solução 
CB =










41
02
13






 31
52 = 










 172
104
185
 
4) DC 
Solução 
DC =





 
311
212










41
02
13
 = 






138
196 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 8 
 
5) CD 
Solução 
CD =










41
02
13





 
311
212 = 












1436
424
927
 
6) AB 
Solução 
IMPOSSÍVEL. O número de colunas da primeira é diferente do número de 
linhas da segunda. 
 
7) BC 
Solução 
IMPOSSÍVEL. O número de colunas da primeira é diferente do número de 
linhas da segunda. 
 
8) CA 
Solução 
IMPOSSÍVEL. O número de colunas da primeira é diferente do número de 
linhas da segunda. 
 
1.3. Igualdade entre matrizes 
 
Sejam duas matrizes A = (aij) e B = (bij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... n. Dizemos que elas 
são iguais se, e somente se aij = bij i = 1, 2, 3,..., m j = 1, 2, 3,... n 
 
1.3.1. Exemplos 
 
1) Sejam as matrizes A=








zxy
5yx e B=






 31
52 Determinar, se possível, os 
valores de x, y, z para a que exista igualdade entre as matrizes A e B. 
 
Solução: 








zxy
5yx = 






 31
52 
y = -1 
x + y = 2  x = 3 
x + z = 3  z = 0 Portanto, x = 3, y = -1 e z = 0 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 9 
 
2) Sejam as matrizes A=












xz64
zx23
zxxyx
 e B=










 564
423
531
 Determinar, se 
possível, os valores de x, y, z para a que exista igualdade entre as matrizes A e B. 
Solução 












xz64
zx23
zxxyx
 = 










 564
423
531
 
x = 1 
y + x = 3  y = -2 
x + z = 5  z = 4 
2x = 2  x = 1 
z = 4 
z + x = 5 Portanto, x = 1, y = -2 e z = 4 
 
3) Sejam as matrizes A=












z64
4y3
5xyx
 e B=










 564
423
551
 Determinar, se possível, os 
valores de x, y, z para a que exista igualdade entre as matrizes A e B. 
Solução 












z64
4y3
5xyx
 = 










 564
423
551
 x = 1, y = 2, z = 5 
y + x = 5 Absurdo, pois os valores iniciais x + y = 3 
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José Fernando Santiago Prates 10 
 
1.4. Matrizes especiais 
 
1.4.1. Matriz Nula 
Matriz em que todos os elementos são nulos. 
















0.....000
0.....000
0.....000
0.....000

 
1.4.2. Matriz Quadrada 
Matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas (neste caso diz-se que 
a matriz é de ordem n). 
















nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a.....aaa
........................
a.....aaa
a.....aaa
a.....aaa
 
 Exemplos 
1) A=










 111
202
021
 
2) B =












3202
5123
4512
8441
 
3) C =






 31
52 
 
1.4.3. Matriz Identidade 
Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal é igual a 1, e todos os 
outros são nulos. 
















1.....000
........................
0.....100
0.....010
0.....001
 
 Exemplos 
1) I =






10
01
 
I = 










100
010
001
 
I= 












1000
0100
0010
0001
 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 11 
 
1.4.4.Matriz Diagonal 
Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são diferentes de zero, e 
todos os outros são nulos. 
Principal: 
















nn
33
22
11
a.....000
........................
0.....a00
0.....0a0
0.....00a
 
Secundária: 
















0.....00a
........................
0.....a00
0.....000
a.....000
1n
33
n1
 
 Exemplos 
1) A=










 200
030
001
, 2) B =












3000
0800
0010
0004
, 3) C =






30
02 
4) A=










002
030
700
, 5) B =













0005
0010
0400
3000
, 6) C =






05
10 
1.4.5. Matriz Escalar 
 
Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais, e todos os 
outros são nulos. 
















k.....000
........................
0.....k00
0.....0k0
0.....00k
 onde k  R. 
 Exemplos 
1) A=










500
050
005
, 
2) B =












4000
0400
0040
0004
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 12 
 
1.4.6. Matriz Triangular Superior 
 
Matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, e 
os elementos da diagonal e acima são não nulos. 
nxnnn
n333
n22322
n1131211
a.....000
........................
a.....a00
a.....aa0
a.....aaa
















 
Exemplos 1) A=










100
270
523
, 2) B =












3000
5100
4510
8441
, 3) C =






60
92 
 
1.4.7. Matriz Triangular Inferior 
 
Matriz quadrada em que todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, e 
os elementos da diagonal e abaixo são não nulos. 
nxnnn3n2n1n
333231
2221
11
a.....aaa
........................
0.....aaa
0.....0aa
0.....00a
















 
 Exemplos 
1) A=










 813
042
003
, 2) B =












7502
0123
0042
0005
, 
 
1.4.8. Matriz Transposta 
 
Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... p. A matriz transposta de A, 
representada por AT é a matriz obtida a partir da troca das linhas pelas colunas, ou seja 
AT = (aji) i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... p 
 
A=
mxpmp3m2m1m
p3333231
p2232221
p1131211
a.....aaa
........................
a.....aaa
a.....aaa
a.....aaa
















 AT =
pxm
mpp3p2p1
3m332313
2m322212
1m312111
a.....aaa
........................
a.....aaa
a.....aaa
a.....aaa
















 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 13 
 
 Exemplos 
1) A=
33
987
654
321











  AT = 
33
963
852
741











 
2) B=
22
31
52








  BT = 
22
35
12






  
3) C=
23
41
02
13











  CT = 
32
401
123






 
4) D=
32
311
212






   D
T
 = 
23
32
11
12












 
 
1.4.9. Matriz Simétrica 
 
Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n. Dizemos que A é uma matriz 
simétrica, representada por A’, se, e somente se (aji) = (aij). 
 
 Exemplos 
1) A=












813
142
323
, 2) B =












7502
5123
0242
2325
, 3) C=








61
12
 
 
 
1.5. Propriedades 
Sejam A, B, C  Rmxn e ,   R. São válidas as seguintes propriedades para as operações 
matriciais; 
1. A + B = B + A 
Demonstração 
(A + B)ij = aij + bij i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n 
= bij + aij 
= (B + A)ij; 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 14 
 
2. A + (B + C) = (A + B) + C 
Demonstração 
 [A + (B + C)]ij = aij + (B + C)ij i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n 
= aij + (bij + cij) 
= (aij + bij) + cij 
= (A + B)ij + cij 
= [(A + B) + C]ij; 
 
3.  O  Rmxn, tq  A Rmxn, A + O = A, onde Omxn é chamada matriz nula. 
Demonstração 1 
Seja uma matriz Um x n tal que A + U = A,  A R
mxn 
 
Comparando os elementos correspondentes, temos que 
 
aij + uij = aij 
 
ou seja, uij = 0, para i = 1..., m e j = 1..., n. 
Portanto, a única matriz que satisfaz à equação acima é a matriz em que todos os seus 
elementos são iguais a zero. Denotamos esta matriz por Omxn. 
 
Demonstração 2 
(A + 0)ij = aij + 0ij i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n 
= aij 
= (A)ij; 
 
 
4.  A Rmxn,  B  Rmxn tq A + B = O, onde Bmxn é chamada matriz oposta. 
Demonstração 1 
Para cada matriz Am x n, existe uma única matriz Bm x n, tal que A + B = 0. 
Representamos Bm x n por -Am x n. 
Dada uma matriz Am x n, seja B uma matriz m x n, tal que 
A + B = O 
 
Comparando os elementos correspondentes, temos que 
aij + bij = 0 , 
 
ou seja, bij = - aij, para i = 1..., m e j = 1..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz a 
equação acima é a matriz em que todos os seus elementos são iguais aos simétricos 
dos elementos de A. Denotamos esta matriz por - A. 
 
Demonstração 2 
(A + (-A))ij = aij + (-a)ij i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n 
= 0ij 
= (0)ij; 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 15 
 
5. (A) = ()A 
Demonstração 
[ (A)]ij =  (aij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n 
= ()aij = [()A]ij 
6. ( + )A = A + A 
Demonstração 
[( + )A]ij = ( + )aij i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n 
= (aij) + (aij) 
= [A]ij + [A]ij = [A + A]ij 
7. (A + B) = A + B 
Demonstração 
[ (A + B)]ij =  (aij + bij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n 
= aij + bij 
= [A]ij + [B]ij = [A + B]ij 
8. A(BC) = (AB)C 
Demonstração 
A demonstração deste item é a mais trabalhosa. Sejam as matrizes Am x p, Bp x q e Cq x n. A 
notação de somatório aqui pode ser muito útil, pelo fato de ser compacta. 



p
1k
kjikij b a)BA(
=






















mpmk3m2m1m
ipik3i2i1i
p3k3333231
p2k2232221
p1k1131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa





























pqpj3p2p1p
kqkj3k2k1k
q3j3333231
q2j2232221
q1j1131211
bbbbb
bbbbb
bbbbb
bbbbb
bbbbb







 
i = 1, 2, 3,..., m, j = 1, 2, 3,... q 



q
1l
ljklkj c b)CB(
=






















pqpj3p2p1pkqkj3k2k1k
q3j3333231
q2j2232221
q1j1131211
bbbbb
bbbbb
bbbbb
bbbbb
bbbbb





























pnpl3p2p1p
lnll3l2l1l
n3j3333231
n2l2232221
n1l1131211
ccccc
ccccc
ccccc
ccccc
ccccc







 
k = 1, 2, 3,..., p, j = 1, 2, 3,... n 
[A(BC)]ij = 


p
1k
kjik )BC(a
 = 
 
 
p
1k
q
1l
ljklik )cb(a
 = 


q
1l
ljklik
p
1k
)cb(a
 
 = 


q
1l
ljklik
p
1k
c)ba(
 
= 


p
1k
ljklik
q
1l
c)ba(
 =


p
1k
ljklik
q
1l
c)ba(
 
= 
lj
q
1l
ilc)AB(

 = [(AB)C]ij . 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 16 
 
9. A(B + C) = AB + AC 
Demonstração 
Usando a notação do Somatório, 
[A(B+C)]ij = 



p
1k
kjik )CB(a
 = 



p
1k
kjkjik )cb(a
 
= 



p
1k
kjikkjik )caba(
 = 



p
1k
kjik
p
1k
kjik )ca()ba(
 
= [AB]ij + [AC]ij = [AB + AC]ij 
 
10. (AB) = (A)B = A(B) 
Demonstração 
 [(AB)]ij = 


p
1k
kjikba
= 



p
1k
kjik )ba(
= 



p
1k
kjik b)a(
 = [(A)B]ij 
e 
[(AB)]ij = 


p
1k
kjikba
= 



p
1k
kjik )ba(
= 



p
1k
kjik )b(a
 = [A(B)]ij 
 
11. (AT)T = A 
Demonstração 
 [(AT)T]ij = (aij
T)T = (aji)
T = aij = [A]ij 
 
12. (A + B)T = AT + BT 
Demonstração 
[(A + B)T]ij = [A + B]ji = aji + bji = [A
T]ij + [B
T]ij. 
 
13. (AB)T = BTAT 
Demonstração 
 [(AB)T]ij = [AB]ji = 


p
1k
kijkba
 
= 


p
1k
T
ik
T
kj )b()a(
 
= 
T
kj
p
1k
T
ik )a()b(

 = [BTAT]ij 
 
14. (A)T = AT 
Demonstração 
 [(A)T]ij = [A]ji 
= aji = [A
T]ij 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 17 
 
2. Determinantes 
 
2.1. Definição 
 
A qualquer a matriz A = (aij) de ordem n, podemos associar um único número real chamado 
de determinante da matriz; 
 
Notações: Det(A), 
|A| 
 
 
2.2. Determinante de uma matriz de ordem 1 
 
O determinante de uma matriz A = [
11a
] de ordem 1 é dado por: Det(A) = a11 
 
2.2.1. Exemplos 
 
1) A =
 5
 
Solução: 
Det(A) = 5 
 
2) A =
 7
 
Solução: 
Det(A) = -7 
 
2.3. Determinante de uma matriz de ordem 2 
 
Seja a matriz A = 






2221
1211
aa
aa de ordem 2. O determinante de A é dado por: 
 
Det(A) = a11 . a22 - a21 . a12 
 
2.3.1. Exemplos 
Encontre o determinante das seguintes matrizes. 
1) A =






43
21 
Solução: 
Det(A) = (1).(4) – (3).(2) = -2 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 18 
 
2) A =






 23
11 
Solução: 
Det(A) = (1).(2) – (-3).(1) = 5 
 
3) A =






 21
42 
Solução: 
Det(A) = (2).(2) – (-1).(4) = 8 
 
2.4. Determinante de uma matriz de ordem 3 pela regra de Sarrus 
 
Seja a matriz A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 de ordem 3. O determinante de A é dado pela seguinte 
Regra: 
1º) Repetir as duas primeiras colunas à direita da terceira coluna. 










3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
 
2º) Fazer o produto da diagonal principal e das paralelas. 
3º) Fazer o produto da diagonal secundária e das paralelas invertendo o sinal. 
4º) Somar os resultados. 
 
Det(A) = Det 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
= 










3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
 
 
 
 
Det(A) = a11 .a22 . a33 + a12 .a23 . a32 + a13 .a21 . a32 – a31 .a22 . a13 - a32 .a23 . a11 - a33 .a21 . a12 
 
2.4.1. Exemplos 
 
Encontre o determinante das seguintes matrizes. 
1) A =










1641
931
421
 Solução: Det(A) = 2 
 
Inverte o sinal das 
multiplicações 
 
Mantém o sinal das 
multiplicações 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 19 
 
2) A =













111
250
321
 Solução: Det(A) = 16 
 
3) A =













311
211
112
 Solução: Det(A) = 9 
 
2.5. Determinante de uma matriz de ordem n por Laplace 
 
Seja a matriz A = (aij) de ordem n. 
A = (aij) =
nnnnnj3n2n1n
inij3i2i1i
n3j3333231
n2j2232221
n1j1131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa






























 
 
2.5.1. Cofator 
 
Cof(aij) = (-1)
i + j . Det(Aij) 
 
Onde Det(A)ij é o determinante da matriz A suprindo a linha i e a coluna j. 
(Aij) =



























nn1nj1nj2n1n
n1i1j1i1j1i12i11i
n1i1j1i1j1i12i11i
n21j21j22221
n11j11j11211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa







 
 
2.5.2. Matriz cofator 
 
No caso de uma matriz de ordem 3 temos: 
A matriz que se obtém ao substituir cada elemento aij de A, por seu cofator Aij 
chamamos Matriz dos Cofatores de A e representamos por Cof(A). 
 
Matriz cofator = 
A
 = 










)a(Cof)a(Cof)a(Cof
)a(Cof)a(Cof)a(Cof
)a(Cof)a(Cof)a(Cof
333231
232221
131211
 para n=3.
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 20 
 
A transposta da Matriz dos Cofatores de A é a Matriz Adjunta de A e a 
representamos por Adj(A). 
 
 Exemplos 
Seja a seguinte matriz A =










987
654
321
. Encontre os seguintes cofatores Cof(a12), Cof(a22) 
e Cof(a13). 
1) Cof(a12) = (-1)
1+2 Det






97
64 = 6 
 
2) Cof(a22) = (-1)
2+2 Det






97
31 = –12 
 
3) Cof(a13) = (-1)
1+3 Det






87
54 = –3 
 
 
 
2.5.3. Teorema de Laplace 
 
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é dado pela soma dos produtos dos 
elementos de uma das linhas pelos correspondentes cofatores. 
 
 
Det(A) = (-1)i+1.ai1 .Det
]A[ 1i
 + (-1)i+2.ai2 .Det
]A[ 2i
 +....+(-1)i+n.ain .Det
]A[ in
 
 



n
1j
iji j
ji )Det(Aa)1()A(Det
, 
Onde Aij é matriz inicial sem a linha i e sem a coluna j e i é uma das linhas escolhida. 
 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 21 
 
2.5.4. Exemplos 
 
Encontre o determinante das seguintes matrizes. 
1) A =










1641
931
421
 
Solução: Escolhendo a primeira linha temos: 
 
Det(A) = (-1)2.a11 .Det
]A[ 11
 + (-1)3.a12 .Det
]A[ 12
 +(-1)2.a13 .Det
]A[ 13
 
 
Det(A) = a11 .Det






3332
2322
aa
aa - a12 .Det






3331
2321aa
aa + a13 .Det






3231
2221
aa
aa 
Det(A) = 1.Det






164
93 – 2 .Det






161
91 + 4 .Det






41
31 
= 1.(12) – 2.(7) + 4.(1) = 2 
 
2) A =










987
654
321
 
Solução: Escolhendo a primeira linha temos: 
 
Det(A) = 1.Det






98
65 – 2 .Det






97
64 + 3 .Det






87
54 
= 1.(-3) – 2.(-6) + 3.(-3) = 0 
 
3) A =
















1420
4531
0312
3121
 
Solução: Escolhendo a primeira linha temos: 
 
Det(A) = (-1)1+1.a11 .Det
]A[ 11
 + (-1)1+2.a12.Det
]A[ 12
 + (-1)1+3.a13.Det
]A[ 13
 
+ 
(-1)1+4.a13.Det
]A[ 13
 
Det(A) = 1.Det












142
453
031
 
– (–2).Det













140
451
032
 
+ 1.Det













120
431
012
 
– (3).Det












420
531
312
 
= 1.(44) – (–2).( –19) + 1.(23) – 3.( –54) = 191 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 22 
 
4) A =












3412
1301
0312
2131
 
Solução: Escolhendo a primeira linha temos: 
Det(A)=(1).Det










341
130
031
–(3).Det










342
131
032
+(1).Det










312
101
012
–(2).Det










412
301
312
 
= (1).(8) – (3).(7) + (1).(–3) –(2).(–1) = – 14 
 
5) A =












3223
1312
2121
6573
 
Solução: Escolhendo a primeira linha temos: 
Det(A)=(3).Det










322
131
212
–(7).Det










323
132
211
+(5).Det










323
112
221
–(6).Det










223
312
121
 
= (3).(5) – (7).(–6) + (5).(–3) –(6).(7) = 0 
 
2.6. Propriedades de Determinantes 
As propriedades dos determinantes, que discutiremos a seguir são válidas quaisquer que seja a 
ordem dos determinantes. No entanto, utilizaremos determinantes de ordem 2 e 3 para facilitar 
a compreensão. 
I) Det (A) = Det (AT) 
Seja a matriz A = 






2221
1211
aa
aa e sua transposta A
T  R2x2 
Det(A) = 
2221
1211
aa
aa = a11 . a22 - a21 . a12 
Det(AT) = 
2212
2111
aa
aa = a11 . a22 - a12 . a21 
 
Portanto, Det (A) = Det (AT) 
 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 23 
 
II) Det (kA) = knDet (A), onde n é a ordem da matriz. 
Seja a matriz A = 










ihg
fed
cba
  R3x3 e k  R. 
Det(A) = 










ihg
fed
cba
 = aei + bfg + dhc – ceg – bdi - fha 
Det(kA) = 










kikhkg
kfkekd
kckbka
 = kakeki + kbkfkg + kdkhkc – kckekg – kbkdki – kfkhka 
= k3aei + k3bfg + k3dhc – k3ceg – k3bdi - k3fha 
= k3(aei + bfg + dhc – ceg – bdi – fha) 
= k3Det(A) 
 
Portanto, Det (kA) = knDet (A) 
 
III) Det(A.B) = Det(A)Det(B) 
 
Seja a matriz A = 






wz
yx e B = 






dc
ba  R
2x2 
Det(A) = 






wz
yx = xw - zy 
Det(B) = 






dc
ba = ad - cb 
Det(A)Det(B) = (xw - zy)(ad - cb) 
= xw(ad - cb) - zy(ad - cb) = 
= xwad - xwcb - zyad + zycb 
 
Det(A.B) = 








wdzbwcza
ydxbycxa 
= (xa + yc)(zb + wd) – (za + wc)(xb + yd) 
= xa(zb + wd) + yc(zb + wd) – za(xb + yd) – wc(xb + yd) 
= xazb + xawd + yczb + ycwd – zaxb - zayd – wcxb - wcyd 
= xawd + yczb - zayd – wcxb 
 
Portanto, Det(A.B) = Det(A)Det(B) 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 24 
 
IV) Se trocarmos duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, seu determinante troca 
somente de sinal. 
Seja a matriz A = 










zyx
fed
cba
  R3x3 
Det(A) = 










zyx
fed
cba
 = aez + bfx + dyc – cex – bdz – fya 
Det(A’) = 










cba
fed
zyx
 = xec + yfa + dbz – zea – ydc – fbx 
= -(aez + bfx + dyc – cex – bdz – fya) 
 
V) Se uma matriz quadrada tem todos os elementos de uma linha ou coluna nulos, seu 
determinante é zero. 
 
VI) Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas iguais seu determinante é zero. 
 
VII) Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas proporcionais seu determinante é 
zero. 
 
VIII) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada se descompõem em 
duas somas, então seu determinante é igual a soma dos determinantes que têm nessa linha ou 
coluna o primeiro e a segunda soma respectivamente, sendo os elementos restantes iguais 
aos determinantes iniciais. 
 
IX) Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada é combinação linear de duas ou mais das 
linhas ou colunas restantes, seu determinante é zero. 
 
X) Se a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada somamos outra paralela a ela, seu 
determinante não altera. 
 
XI) Se a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada somamos outra paralela a ela multiplicada 
por um número, seu determinante não altera. 
 
 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 25 
 
3. Matriz inversa 
 
3.1. Definição 
Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n. Seja uma outra matriz Seja a 
matriz B = (bij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n. satisfazer as condições AB = BA = 
I, dizemos que B é Inversa de A, e é representada por A-1 
 
3.2. Propriedades da inversão de Matrizes 
 
 A inversa de uma matriz, caso exista, é única. 
 (AB) -1 = B-1A-1 
 (A + B)-1 = A-1 + B-1 
 (A-1)-1 = A 
 (AT)-1 = (A-1)T 
Demonstração: 
Admitindo que (AT)-1 seja inversa de (A-1)T temos que provar que 
(AT)(A-1)T = I e (A-1)T (AT) = I, ou seja; 
 
AT(A-1)T = (A-1A)T = (I)T = I 
(A-1)TAT = (AA-1)T = (I)T = I 
Logo (AT)-1 = (A-1)T 
 
 É necessário e suficiente para que uma matriz seja invencível que o seu 
determinante seja diferente de zero; uma matriz nestas condições diz-se 
regular ou não regular. 
 
3.2.1. Exemplos 
 
1) Se A e B são duas matrizes que admitem inversas de ordem n, então: (A.B)-1=B-1.A-1. é 
verdadeira. 
Solução: 
 Usando a definição temos: 
(A.B) . (B-1.A-1) = A.B.B-1.A-1 
= A.I.A-1 = A.A-1 = I 
 
(B-1.A-1) . (A.B) = B-1.A-1.A.B 
= B-1.I.B = B-1.B = I 
 
Portanto a igualdade é verdadeira. 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 26 
 
 
2) Sendo dada a matriz A=






32
75 e sua inversa A
-1=






 52
yx calcular x e y usando 
propriedades da matriz inversa. 
 
Solução: De AA-1 = I temos 






32
75






 52
yx =








15y26x2
35y514x5 =






10
01 
5x – 14= 1  x = 3 
5y + 35 = 0  y = -7 
2x – 6 = 0  x = 3 
2y + 15 = 1  y = -7 
Portanto, x = 3, y = -7 A
-1
=








52
73 
 
3) Sendo dada a matriz A=













z42
6y3
32x
 e sua inversa A-1=













102
313
321
 calcular x, y 
e z usando propriedades da matriz inversa. 
 
Solução: De AA-1 = I temos 













z42
6y3
32x













102
313
321













6z010z2
15y36y15y3
3x32x2x
=










100
010
001
 
- x = 1  x = - 1 
- 2x – 2 = 0  x = - 1 
3x + 3 = 0  x = - 1  x = - 1 
 
3y + 15 = 0  y = - 5 
Y + 6 = 1  y = - 5 
- 3y – 15 = 0  y = - 5  y = - 5 
 
- 2z – 10 = 0  z = - 5 
z + 6 = 1  z = - 5  z = - 5 
3) Sendo dada a matriz A= 






y0
0x determine x e y de modo que A
2
=I. 
4) Sabendo que A= 






 x20
1x2 é igual a sua inversa. Determine x  R. 
5) Se P=(2, 4) é um ponto do plano cartesiano. Pede-se: 
 a) Represente P. 
 b) Represente P.A, onde A= 






 90 Cos90 Sen
90 Sen90 Cos 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 27 
 
 
6) Se M=










33
22
11
yx
yx
yx
 = T
452
362





 formam um triangulo ABC do plano cartesiano. Pede-se: 
 a) Represente M. 
 b) Represente M.A, onde A= 






 90 Cos90 Sen
90 Sen90 Cos 
7) Sendo a matriz A= 






dc
ba determine sua inversa por meio da propriedade. 
8) Se a inversa da matriz A = 






b3
2a é a matriz A
-1 = 










2
1
2
3
12 , determine a solução do 
sistema 





3byx3
1y2ax . 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 28 
 
3.3. Matriz singular 
 
Uma matriz é dita singular quando o seu determinante é nulo. 
 
3.4. Matriz não singular 
 
Uma matriz é dita não singular quando o seu determinante é não nulo. 
 
3.5. Operações elementares em Matrizes 
 
Denominam-se operações elementares em matrizes as seguintes: 
 
 Trocar duas linhas de uma matriz. 
Exemplo: 
A=










987
654
321
3
2
1
L
L
L
  trocar L1 por L3  










321
654
987
 = B 
 
 Multiplicar todos os elementos de uma linha por uma constante não nula. 
Exemplo: 
A=










987
654
321
3
2
1
L
L
L
  
3
2
1
L
L2
L3









 
987
12108
963
= B 
 
 Substituir todos os elementos de uma linha pela soma (subtração) desta com os 
múltiplos de outra linha. 
Exemplo: 
A=










987
654
321
3
2
1
L
L
L
  
13
12
1
L7L
L4L
L














1260
630
321
= B 
 
Obs.: podemos efetuar as operações acima também em colunas. 
3.6. Matrizes equivalentes 
 
Duas matrizes A = (aij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n. e B = (bij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 
1, 2, 3,... n. são equivalentes se for possível obter uma através de operações 
elementares sobre a outra. 
 
Notação: A  B 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 29 
 
3.7. Transformação de uma Matriz em Triangular superior 
 
Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3, 4. Através das seguintes operações 
elementares temos uma matriz equivalente triangular superior. 
 
A=












44434141
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
 
1ª Etapa 
 
 
 
  1414
1313
1212
1
LmL
LmL
LmL
L















444341
343332
242322
14131211
bbb0
bbb0
bbb0
aaaa
 Onde 
11
21
21 a
a
m 
, 
11
31
31 a
a
m 
, 
11
41
41 a
a
m 
. 
 
2ª Etapa 
 
 
  2424
2323
2
1
LmL
LmL
L
L














4443
3433
242322
14131211
cc00
cc00
bbb0
aaaa
 Onde 
22
32
32 b
b
m 
, 
22
42
42 b
b
m 
. 
 
3ª Etapa 
 
  3434
3
2
1
LmL
L
L
L













44
3433
242322
14131211
d000
cc00
bbb0
aaaa
 Onde 
33
43
43 c
c
m 
. 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 30 
 
 Exemplos 
 
Obter a matriz triangular superior equivalente às seguintes matrizes 
1) A=






34
72 
Solução: 
1ª Etapa 
12
1
L(2) L
L
 




110
72 Onde 
11
21
21 a
a
m 
=
2
2
4

 
Portanto, a matriz triangular superior é 






110
72 . 
 
2) A=










1187
654
321
 
Solução: 
1ª Etapa 
13
12
1
L(7) L
L(4) L
L














1060
630
321
 

 Onde 
11
21
21 a
a
m 
=
4
1
4

, 
11
31
31 a
a
m 
=
7
1
7

 
 
2ª Etapa 
23
2
1
L(2) L
L
L
 










200
630
321

 Onde 
22
32
32 b
b
m 
=
2
3
6



 
Portanto, a matriz triangular superior é 











200
630
321
. 
3) A=













1128
614
132
 
Solução: 
1ª Etapa 
13
12
1
L(-4) L
L(2) L
L














500
850
131
 

 Onde 
11
21
21 a
a
m 
=
2
2
4

, 
11
31
31 a
a
m 
=
4
2
8


 
 
Portanto, a matriz triangular superior é 












500
850
131
. 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 31 
 
4) A=












 1006
5124
0242
2622
 
Solução: 
1ª Etapa 
 
14
13
12
1
L)3(L
L)2(L
L)1(L
L

















71860
11120
2420
2322
 

 Onde 
11
21
21 a
a
m 
=
1
2
2

, 
11
31
31 a
a
m 
=
2
2
4

, 
11
41
41 a
a
m 
=
3
2
6


. 
2ª Etapa 
 
24
23
2
1
L)3(L
L)1(L
L
L
















133000
11500
2420
2322

 Onde 
22
32
32 b
b
m 
= 
1
2
2


, 
22
42
42 b
b
m 
= 
3
2
6

. 
3ª Etapa 
 
34
3
2
1
L)2(L
L
L
L















11000
11500
2420
2322

 Onde 
33
43
43 cc
m 
= 
2
15
30


 
 
Portanto, a matriz triangular superior é 














11000
11500
2420
2322
. 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 32 
 
3.8. Cálculo da matriz inversa por meio de operações elementares 
 
Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3, .. n, j = 1, 2, 3,.. n. Assumindo que existe sua 
inversa, o processo para calcular sua inversa através das operações elementares é dado 
por: 
 
a) Coloca-se a matriz A e a identidade I de mesma dimensão. [A | I ] 
 
b) Usando as operações elementares sobre [A | I ] até que na posição de A tenhamos a matriz 
identidade I, e na posição de I encontraremos a matriz inversa A-1. [ I | A-1 ] 
 
 Ilustração para n = 3. 
Seja A = (aij) i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 
A=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 I = 










100
010
001
, [A | I ] = 




















100
010
001
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
 
1ª Etapa 
1313
1212
1
L)(m L
L)(m L
L






















363534
262524
3332
2322
131211
bbb
bbb
001
bb0
bb0
aaa
 

 Onde 
11
21
21 a
a
m 
, 
11
31
31 a
a
m 
 
 
2ª Etapa 
2323
2
1
L)(m L
L
L
 



















363534
262524
33
2322
131211
ccc
bbb
001
c00
bb0
aaa

 Onde 
22
32
32 b
b
m 
 
3ª Etapa 
)c(L
)b(L
)a(L
333
222
111























363534
262524
14
23
1312
ddd
ddd
00d
100
d10
dd1



 
4ª Etapa 
3
3232
3131
L
L)d(L
L)d(L






















363534
262524
16151412
ddd
eee
eee
100
010
0e1

 
5ª Etapa 
3
2
2131
L
L
L)e(L 




















363534
262524
161514
ddd
eee
fff
100
010
001

 
Portanto, a matriz inversa é A-1 = 










363534
262524
161514
ddd
eee
fff
. 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 33 
 
 Exemplos 
Obter a matriz inversa para as seguintes matrizes. 
 
1) A=












411
410
121
 
 
Solução: 
 [A | I ] = 






















100
010
001
411
410
121
 
1ª Etapa 
13
12
1
L(-1) L
L(0) L
L
























101
010
001
310
410
121
 

 Onde 
11
21
21 a
a
m 
= 
0
1
0

, 
11
31
31 a
a
m 
=
1
1
1


 
2ª Etapa 
23
2
1
L(1) L
L
L
 




















111
010
001
100
410
121

 Onde 
22
32
32 b
b
m 
=
1
1
1

 
 
3ª Etapa 
)1(L
)1(L
)1(L
3
2
1
























111
010
001
100
410
121



 
 
4ª Etapa 
3
32
31
L
L)4(L
L)1(L

























111
434
110
100
010
021

 
 
5ª Etapa 
3
2
21
L
L
L)2(L 























111
434
978
100
010
001

 
 
Portanto, a matriz inversa é A-1 = 













111
434
978
. 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 34 
 
2) A=













542
653
321
 
Solução: 
 [A | I ] = 























100
010
001
542
653
321
 
1ª Etapa 
13
12
1
L(2) L
L(3) L
L























 
102
013
001
100
310
321
 

 Onde 
11
21
21 a
a
m 
= 
3
1
3



, 
11
31
31 a
a
m 
=
2
1
2



 
2ª Etapa 
23
2
1
L(0) L
L
L
 




















 
102
013
001
100
310
321

 Onde 
22
32
32 b
b
m 
=
0
1
0

 
 
3ª Etapa 
)1(L
)1(L
)1(L
3
2
1


























102
013
001
100
310
321



 
 
4ª Etapa 
3
32
31
L
L)3(L
L)3(L

























102
313
305
100
010
021

 
 
5ª Etapa 
3
2
21
L
L
L)2(L 























102
313
321
100
010
001

 
 
Portanto, a matriz inversa é A-1 = 













102
313
321
. 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 35 
 
3.9. Cálculo da matriz inversa usando a Matriz Cofator 
 
Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3, .. n, j = 1, 2, 3,.. n. 
Se A = (aij) é uma matriz tal que Det(A)≠0, então A é invertível e sua matriz inversa 
pode ser obtida através de: 
 T1 A
)A(Det
1
A 
 
Onde: 
 A =
















nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a........aaa
.....
a........aaa
a........aaa
a........aaa
 
 

















)a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof
.....
)a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof
)a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof
)a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof
A
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
 
 Cof(aij) = (-1)
i+j.Det(Aij) 
 Aij : Matriz inicial sem a linha i e coluna j 
 
 Exemplos 
Obter a matriz inversa para as seguintes matrizes usando a matriz cofator. 
1) A=






32
75 
Solução: 
Det(A) = 15-14 = 1 
Cof(a11) = (-1)
1+1.Det(3) = 3 
Cof(a12) = (-1)
1+2.Det(2) = -2 
Cof(a21) = (-1)
2+1.Det(7) = -7 
Cof(a22) = (-1)
2+2.Det(5) = 5 
 A
 = 








)a(Cof)a(Cof
)a(Cof)a(Cof
2221
1211
 = 








57
23 
 T1 A
)A(Det
1
A 
= 














52
73
1
1 = 








52
73 
 
Tirando a prova: 
A.A-1=






32
75 .







52
73 =








5.3)7.(2)2.(33.2
5.7)7.(5)2.(73.5 =






10
01 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 36 
 
3) A=












411
410
121
 
Solução: 
 
Det(A) = 1 
Cof(a11) = (-1)
1+1.Det








41
41 = -8 
Cof(a12) = (-1)
1+2.Det








41
40 = 4 
Cof(a13) = (-1)
1+3.Det






 11
10 = 1 
Cof(a21) = (-1)
2+1.Det






 41
12 = 7 
Cof(a22) = (-1)
2+2.Det






 41
11 = -3 
Cof(a23) = (-1)
2+3.Det






 11
21 = -1 
Cof(a31) = (-1)
3+1.Det






 41
12 = -9 
Cof(a32) = (-1)
3+2.Det






 40
11 = 4 
Cof(a33) = (-1)
3+3.Det






10
21 = 1 














149
137
148
A
 
 T1 A
)A(Det
1
A 
= 



















111
434
978
1
1 = 













111
434
978
 
Tirando a prova: 
A.A-1= 












411
410
121
.













111
434
978
=










100
010
001
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 37 
 
3) A=










230
200
121
 
Solução: 
 
Det(A) = -6 
Cof(a11) = (-1)
1+1.Det(A11)= - 6 
Cof(a12) = (-1)
1+2.Det(A12)= 0 
Cof(a13) = (-1)
1+3.Det(A13)= 0 
Cof(a21) = (-1)
2+1.Det(A21)= -1 
Cof(a22) = (-1)
2+2.Det(A22)= 2 
Cof(a23) = (-1)
2+3.Det(A23)= -3 
Cof(a31) = (-1)
3+1.Det(A31)= 4 
Cof(a32) = (-1)
3+2.Det(A32)= -2 
Cof(a33) = (-1)
3+3.Det(A33)= 0 
 














024
321
006
A
 
 T1 A
)A(Det
1
A 
= 




















030
220
416
6
1 = 


















0
2
1
0
3
1
3
1
0
3
2
6
1
1
 
 
 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 38 
 
4. Sistemas de equações lineares 
 
4.1. Definição 
 
 Seja um sistema linear do tipo A.x=b de n equações lineares e n incógnitas; 
 
n
3
2
1
nnn33n22n11n
nn3333232131
nn2323222121
nn1313212111
b
.
b
b
b
.
xa........xaxaxa
.....
xa........xaxaxa
xa........xaxaxa
xa........xaxaxa
















 
 
Ou na notação matricial 
    bxA 
, ou seja, 
 

















































n
3
2
1
n
3
2
1
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
b
.
b
b
b
x
.
x
x
x
a........aaa
.....
a........aaa
a........aaa
a........aaa
 
Onde A : Matriz dos coeficientes do sistema linear, 
x : Vetor das incógnitas do sistema linear, 
b : Vetor dos termos independentes do sistema linear, 
 
O objetivo de um sistema linear é encontrar os valores para as variáveis x1 , x2 , x3 , ........., 
xn que o resolva. 
 
4.2. Classificação 
 
Os sistemas de equações lineares são classificados de acordo com as soluções. 
 
4.2.1. Solução Possível e Determinada 
 
 Quando o sistema admite solução única. 





2yx2
4yx  x = 2 e y = -2 
Nestes casos, Det(A)  0 e o vetor b não nulo. 
Quando o vetor b nulo, temos um sistema homogêneo, que admite solução trivial. 





0yx2
0yx  x = 0 e y = 0 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 39 
 
4.2.2. Solução Possível e Indeterminada 
 
Quando o sistema admite infinitas soluções. 





8y2x2
4yx  
 4yx 
  x = 4 + y,  y  R. 
Nestes casos, Det(A) = 0 e o vetor b não nulo. 
 
4.2.3. Solução Impossível 
 
Quando não admite solução alguma. 





8yx
4yx 
Nestes casos, Det(A) = 0 e o vetor b não nulo. 
 
 Exemplos 
 
 Obter a solução para os seguintes sistemas Lineares abaixo. 
a). 





2x3x
2x3x3
:S
21
21
1
 
b). 





1x3x
2x2x
:S
21
21
1
 
c). 





1x4x2
2x2x3
:S
21
21
1
 
d). 





1x2x5
2x7x3
:S
21
21
1
 
e). 





4x4x2
2x2x
:S
21
21
1
 
f). 





0x4x6
0x2x3
:S
21
21
1
 
g). 





0x2x5
0x7x3
:S
21
21
1
 
 
 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 40 
 
4.3. Sistemas Triangulares 
 
4.3.1. Superior 
 
Seja um sistema linear do tipo A.x = b de n equações lineares e n incógnitas e, A uma 
matriz triangular superior, ou seja; 
 
n
3
2
1
nnn
nn3333
nn2323222
nn1313212111
b
.
b
b
b
.
xa
..
xa........xa
xa........xaxa
xa........xaxaxa
















 
As soluções: 













 1-n1,2,3,..,i para 
a
xab
x
a
b
x
ii
n
1ik
kiki
i
nn
n
n
 
 Exemplos 
Obter a solução dos seguintes sistemas lineares. 
 
1) 








2x2
3x3x2
2x4x3x2
3
32
321
 
(III)
(II)
(I)
 
Solução: 
De (III) temos x3 = 1 
De (II) temos x2 = 0 
De (I) temos x1 = -1 
 
2) 








12x6
6x5x4
3xx2x3
3
32
321
 
)III(
)II(
)I(
 
Solução: 
De (III) temos x3 = 1 
De (II) temos x2 = -1 
De (I) temos x1 = 1 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 41 
 
4.3.2. Inferior 
 
Seja um sistema linear do tipo A.x = b de n equações lineares e n incógnitas e, A uma 
matriz triangular superior, ou seja; 
 
nnnnnnn b
.
b
b
b
.
xa........xaxaxa
....
xaxaxa
xaxa
xa
3
2
1
332211
333232131
222121
111















 
 
As soluções: 







 nn1n1nn33n22n11nnn
11
1
1
a/)]xa.......xaxaxa(b[x
a
b
x 
 Exemplos 
Obter a solução dos seguintes sistemas lineares. 
 
1) 











1x4xxx
1x5x2x
6x5x2
8x4
4321
321
21
1
 
)IV(
)III(
)II(
)I(
 
Solução: 
De (I) temos x1 = 3 
De (II) temos x2 = 2 
De (III) temos x3 = -2 
De (IV) temos x4 = 5 
 
2) 











18x2x2xx2
12xx3x3
8x2x4
5x5
4321
321
21
1
 
)IV(
)III(
)II(
)I(
 
Solução: 
De (I) temos x1 = 1 
De (II) temos x2 = 2 
De (III) temos x3 = 3De (IV) temos x4 = 4 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 42 
 
4.4. Solução de Sistemas Lineares pela Inversa 
 
4.4.1. Definição 
 
Seja um sistema linear do tipo A.x = b de n equações lineares e n incógnitas. Se A-1 é sua 
matriz inversa então a solução é dada por: 
x = A-1.b 
 
 Exemplos 
Obter a solução dos seguintes sistemas lineares pela inversa. 
 
1) 








2x4xx
3x4x
2xx2x
321
32
321
 
Solução: 
A = 












411
410
121
, b = 










2
3
2
, x = 










3
2
1
x
x
x
, 
Aplicando o método da inversa em A temos A-1 = 













111
434
978
 
Aplicando a definição x = A-1.b temos x = 










3
2
1
x
x
x
= 










1
7
13
, 
2) 








2x5x4x2
3x6x5x3
1x3x2x
321
321
321
 
Solução: 
A = 













542
653
321
, b = 











2
3
1
, x = 










3
2
1
x
x
x
, 
Aplicando o método da inversa em A temos A-1 = 













102
313
321
 
 
Aplicando a definição x = A-1.b temos x = 










3
2
1
x
x
x
= 











0
6
11
, 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 43 
 
3) 








3321
221
1321
bxx6x2
bxx
bxx4x
 para b(1) = 










3
2
1
, b(2) = 










1
2
1
 
Solução: 
A = 













162
011
141
, b(1) = 










3
2
1
, b(2) = 










1
2
1
, x = 










3
2
1
x
x
x
, 
 
Aplicando o método da inversa em A temos A-1 = 










324
111
121
 
Aplicando a definição x = A-1.b para b(1) = 










3
2
1
 temos x = 










3
2
1
x
x
x
= 










17
6
8
 
 
Aplicando a definição x = A-1.b para b(2) = 










1
2
1
 temos x = 










3
2
1
x
x
x
= 










3
2
4
 
 
 
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 44 
 
4.5. Solução de Sistemas Lineares pelo Método de Gauss 
 
4.5.1. Definição 
 
Seja um sistema linear do tipo A.x = b de n equações lineares e n incógnitas e, A uma 
O método consiste em transformar o sistema inicial com Det(A)  0 em um sistema 
equivalente triangular superior, através de operações elementares. Estas operações, 
estendidas ao vetor dos termos independentes, permite que se resolva o sistema triangular, 
por substituições sucessivas, ou seja; 
 
Etapa de Triangularização 
 
Transformar o sistema em um sistema equivalente triangular superior na matriz 
aumentada A | b. 
 
Ilustração para n = 3. 
 








3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
 
 
A=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 [A | b ] = 




















3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa
 
 
1ª Etapa 
1313
1212
1
L)(m L
L)(m L
L






















3
2
1
3332
2322
131211
c
c
b
cc0
cc0
aaa
 

 Onde 
11
21
21 a
a
m 
, 
11
31
31 a
a
m 
 
 
2ª Etapa 
2323
2
1
L)(m L
L
L
 



















3
2
1
33
2322
131211
d
c
b
d00
cc0
aaa

 Onde 
22
32
32 c
c
m 
 
 
Etapa de Retro-substituição 
 
Resolver o sistema triangular superior equivalente. 
 








3333
2323222
1313212111
dxd
cxcxc
bxaxaxa
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 45 
 
A condição do Det(A)0 implica que a cada iteração no processo de triangularização do 
sistema, o elemento da diagonal principal (Pivô) seja aii  0 
 
 Exemplos 
 
 Obter a solução dos seguintes sistemas lineares pelo método de Gauss. 
 
1) 








2x4xx
3x4x
2xx2x
321
32
321
 
 
Solução: 
A = 












411
410
121
, b = 










2
3
2
, x = 










3
2
1
x
x
x
, [A | b ] = 






















2
3
2
411
410
121
 
 
Etapa de Triangularização 
 
1ª Etapa 
13
12
1
L(-1) L
L(0) L
L
























4
3
2
310
410
121
 

 Onde 
11
21
21 a
a
m 
= 
0
1
0

, 
11
31
31 a
a
m 
=
1
1
1


 
 
2ª Etapa 
23
2
1
L(1) L
L
L
 




















1
3
2
100
410
121

 Onde 
22
32
32 b
b
m 
=
1
1
1

 
 
Etapa de Retro-substituição 
 
 








1x
3x4x
2xx2x
3
32
321
 
Aplicando a resolução de sistemas triangulares temos x = 










3
2
1
x
x
x
= 










1
7
13
 
 
Álgebra Linear Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 46 
 
2) 








2x5x4x2
3x6x5x3
1x3x2x
321
321
321
 
Solução: 
A = 













542
653
321
, b = 











2
3
1
, x = 










3
2
1
x
x
x
, [A | b ] = 
























2
3
1
542
653
321
 
 
Etapa de Triangularização 
 
1ª Etapa 
13
12
1
L(2) L
L(3) L
L






















 
0
6
1
100
310
321
 

Onde 
11
21
21 a
a
m 
=
3
1
3



, 
11
31
31 a
a
m 
=
2
1
2



 
 
Etapa de Retro-substituição