Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática Álgebra Matricial – Profa. Daniela Rodrigues Ribas www.pucrs.br/famat/daniela daniela@pucrs.br v v y z x y x (v1, v2) (v1, v2, v3) Tópico 3 – Combinação Linear, Vetores Linearmente Independentes (LI) e Vetores Linearmente Dependentes (LD) Vetores em Sistemas de Coordenadas Os problemas envolvendo vetores são, freqüentemente, melhores resolvidos introduzindo o sistema de coordenadas retangulares. Se um vetor v está posicionado com seu ponto inicial na origem do sistema de coordenadas retangulares, então seu ponto terminal terá as coordenadas da forma (v1, v2) ou (v1, v2, v3), dependendo se estiver no IR2 ou no IR3. Chamamos estas coordenadas de componentes de v e escrevemos v = (v1, v2), no IR2, ou v = (v1, v2, v3), no IR3. Em particular, o vetor zero é 0 = (0, 0) ou 0 = (0, 0, 0), dependendo se estiver no IR2 ou no IR3, respectivamente. Os componentes fornecem uma maneira simples de identificar vetores equivalentes. Por exemplo, consideremos o vetor v = (v1, v2) e w = (v1, v2), no espaço IR2. Se os vetores v e w são equivalentes, então eles possuem mesmo comprimento, direção e sentido, e isso significa que seus pontos terminais coincidem quando seus pontos iniciais são colocados na origem. • Igualdade de Vetores Dois vetores v = (v1, v2) e w = (w1, w2) são iguais se, e somente se, v1 = w1 e v2 = w2. • Operações Aritméticas sobre Vetores Se v = (v1, v2) e w = (w1, w2) são vetores no IR2 e k é qualquer escalar, então: a) v + w = (v1 + w1, v2 + w2) b) v – w = (v1 – w1, v2 – w2) c) k.v = (k.v1, k.v2) A igualdade de vetores bem como as operações em outras dimensões são análogas ao que temos no IR2. Exemplos: a) u = ( 2 , 3) e v = (4 , 7 ) u + v = ( 2 + 4, 3 + 7 ) = ( 6 , 10 ) e 5u = ( 5*2, 5*3) = ( 10 , 15) b) u = ( 2 , 5, 0 ) e v = ( 1 , 0 , 3 ) u – v = ( 2 – 1, 5 – 0 , 0 – 3 ) = ( 1 , 5 , – 3) c) u = ( 2 , 5 ) e v = ( x+ 1, y + 7) Se u = v , então: x + 1 = 2 e y + 7 = 5 , logo x = 1 e y = – 2. www.pucrs.br/famat/daniela daniela@pucrs.br Combinação Linear de Vetores Dado um conjunto de n vetores, {u1 , u2, ..., un} , dizemos que um vetor v é combinação linear dos vetores dados se existem números reais a1, a2, ..,an tais que v = a1u1 + a2u2 + ... + anun Exemplos: a) Dados {( 1, 0) , (0,1 )} e v = ( 3,4) então v é combinação linear dos vetores dados, pois ( 3,4 ) = 3(1,0) + 4(0,1) , Isto é , se u1 = (1,0) e u2 = (0,1) , então v = 3u1 + 4u2 . b) Dados {(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)} e v = ( 2,7,–4) , então v = 2u1+ 7u2–4u3, onde u1=(1,0,0) , u2 = (0,1,0) e u3 = (0,0,1). c) O vetor v = ( 8,–2 ) é combinação linear dos vetores u1 = (1,1 ) e u2= ( 1,–1) ? ( 8, –2) = a(1,1) + b(1,–1) = ( a + b , a – b ) Ou seja, � � � �=� =+ 2 8 ba ba Solução: a = 3 e b = 5 . Conclusão: O vetor ( 8,–2) é combinação linear dos vetores u1 = (1,1) e u2=(1,–1), pois (8, –2) = 3(1,1) + 5(1,–1) . d) O vetor v = ( 1, 4 , 10 ) é combinação linear dos vetores u1 = (1,2,3 ) e u2= ( 4,5,6) e u3=(7,8,9) ? (1,4,10) = a (1,2,3) + b(4,5,6) + c(7,8,9) Ou seja, � � � � � =++ =++ =++ 10963 4852 174 cba cba cba Solução: o sistema acima não tem solução. Conclusão: o vetor v = (1, 4 , 10) não é combinação linear dos vetores u1 = (1,2,3 ) e u2= (4,5,6) e u3=(7,8,9). Vetores Linearmente Dependentes ( LD ) e Linearmente Independente ( LI ) Um conjunto de vetores dados { u1 , u2, ..., un } é Linearmente Dependente, ou simplesmente LD, se existir um deles que é combinação linear dos demais. Caso isto não ocorra, o conjunto de vetores é chamado de Linearmente Independente ( LI ). Exemplos a) O conjunto {(1,2 ) , (2,4)} é LD, pois (2,4) = 2*(1,2) . b) O conjunto {(1,0) , (0,1)} é LI, pois (1,0) k*(0,1) , para qualquer valor de k. c) O conjunto {(0,0) , ( 3,4)} é LD, pois (0,0) = 0*(3,4). d) O conjunto {(1,0,0) , (0,1,0), (3,4,0)} é LD, pois (3,4,0) = 3*(1,0,0) + 4*(0,1,0). Observação: a multiplicação 3*(1,0,0) será escrita daqui por diante como 3(1,0,0), por simplicidade. www.pucrs.br/famat/daniela daniela@pucrs.br Critério prático: para determinar se um conjunto de n vetores {u1,u2,...,un} do Rn é LI ou LD, usamos o determinante D = det(u1,u2,...,un). Se D 0 , então o conjunto é LI; do contrário, é LD, isto é, um deles é combinação linear dos demais. No caso particular de dois vetores, um conjunto {u1, u2} é LD se e somente se existe uma constante k tal que u1 = ku2. Exemplos a) {( 1,1), (–1,1)} é LI ou LD ? Solução: 11 11 � = 2 , logo, o conjunto {(1,1), (–1,1)} é LI. Nenhum dos dois vetores é múltiplo do outro. b) {(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)} é LI ou LD ? Solução: 963 852 741 = 0 , logo, o conjunto {(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)} é LD. Existe um vetor que é combinação linear dos demais: (7,8,9) = 2(4,5,6) – (1,2,3). Exercícios 1) Em cada item, verifica se o vetor v é combinação linear dos vetores u1, u2 e u3. a) v = (11, 9, 7) u1 = (1, 2, 3) u2 = (4, 3, 2) u3 = (6, 4, 2) b) v = (16, -5, 11) u1 = (2, 1, 3) u2 = (1, 3, 4) u3 = (7, 2, 9) c) v = (48, 57, 66) u1 = (1, 4, 7) u2 = (2, 5, 8) u3 = (3, 6, 9) 2) Verifica se os conjuntos são LI ou LD. Caso o conjunto seja LD, tente identificar uma combinação linear entre os vetores, como no exemplo (b). a) { ( 1, 1 ) , ( 5,5 ) } b) { ( 2, 3 ) , (–1, 4) } c) { ( 1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,0) } d) { (1,1,4,6) , (5,6,8,9) , (–1,3,7,9) , (18,8,15,21)} Respostas dos exercícios 1) Sim para todos os itens. 2) a) { ( 1, 1 ) , ( 5,5 ) } é LD, pois (5,5) = 5(1,1). b) { ( 2, 3 ) , (–1, 4) } é LI, pois 43 12 � =11. c) { ( 1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,0) } é LI, pois 001 011 111 = – 1. d) { (1,1,4,6) , (5,6,8,9) , (–1,3,7,9) , (18,8,15,21)} é LD, pois (18,8,15,21) = 5(1,1,4,6) + 2(5,6,8,9) – 3(–1,3,7,9)
Compartilhar