Tópico 7 – Transformações Lineares Planas

Prévia do material em texto

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática 
Álgebra Matricial 
 
*Retirado da apostila da Profa. Cláudia Batistela 
 
Tópico 7 – Transformações Lineares Planas* 
 
 
1) Reflexão em relação ao eixo X: 
   




y,xy,xT
IRIRT 22: 
 
Aplicando-se a transformação linear, vem: 
 
Cálculo da imagem dos vetores da base canônica:    
   




1,01,0T
0,10,1T
 
Matriz de T: 








10
01
A
 
Numa TL qualquer tem-se: 
  






y
x
*Ayx,T
, sendo 






y
x o vetor das coordenadas de um ponto. 
 
Considere o triângulo delimitado pelos pontos 
   0,1,0,0
e 
 1,0
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando-se a transformação linear para cada um dos pontos delimitantes da figura temos: 
   
   
   






1,01,0
0,10,1
0,00,0
T
T
T
 
 
O gráfico abaixo destaca a figura original (vermelho) e a resultante após a reflexão em torno do eixo X 
(cinza). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Reflexão em relação ao eixo Y: 
   




y,xy,xT
IRIR:T 22
 
 
Aplicando-se a transformação linear, vem: 
 







10
01
A
 
 
Considerando-se novamente a figura do caso (1) temos: 
   
   
   






,101,0T
0,10,1T
0,00,0T
 
 
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a reflexão em torno do eixo Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Reflexão em relação à origem: 
   




y,xy,xT
IRIR:T 22
 
 
Aplicando-se a transformação linear, vem: 









10
01
A
 
 
 
 
Considere a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para cada um dos pontos delimitantes da figura temos: 
   
   
   






3,2-3,2T
1,3-1,3T
1,1-1,1T
 
 
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a reflexão em relação à origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Dilatação e contração de fator  : 
   




y ,xy,xT
IRIR:T 22
 
 
 Contração: 
10 
 e Dilatação: 
1
 
 
 
 
5) Dilatação e contração na direção do eixo X: 
   




y,xy,xT
IRIR:T 22

 
 
 
Aplicando-se a transformação linear, vem: 







10
0
A
 
Considere a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Considerando-se 
2
, temos: 
   
   
   
   










2,22,1T
2,62,3T
1,61,3T
1,21,1T
 
 
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a dilatação efetuada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Considerando-se 
2
1

, temos: 
   
   
   
   










2,0.52,1T
2,1.52,3T
1,5.11,3T
1,5.01,1T
 
 
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a contração efetuada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Dilatação e contração na direção do eixo Y: 
   




y,xy,xT
IRIR:T 22 
 
Aplicando-se a transformação linear, vem: 







0
01
A
 
 
 
 
7) Cisalhamento de fator  na direção do eixo X: 
   




yy,xy,xT
IRIR:T 22
 
 
Aplicando-se a transformação linear, vem: 







10
1
A
 
Considere a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 
3
, temos: 
   
   
   
   










1,31,0T
1,51,2T
0,20,2T
0,00,0T
 
 
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após o cisalhamento em X efetuado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Cisalhamento de fator  na direção do eixo Y: 
   




yxxy,xT
IRIR:T 22
,
 
 
Aplicando-se a transformação linear, vem: 







1
01
A

 
Considerando-se novamente a figura do caso (7) e 
2
, temos: 
   
   
   
   










1,01,0T
5,21,2T
4,20,2T
0,00,0T
 
 
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após o cisalhamento em Y efetuado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Rotação: 
22 IRIR 
 
 
A transformação que efetua uma rotação de um ângulo 
θ
 no 2IR é representada pela matriz 
   
    



 

θcosθsen
θsenθcos
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sentido anti-horário: ângulo 
θ
 
Sentido horário: ângulo 
θ-
 
 
 
Considere a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para cada um dos pontos delimitantes temos: 
   
   
   






1,22,1T
1.4142,1.41420,2T
0,00,0T
 
 
 
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a rotação de 
090
 efetuada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) A partir da representação gráfica abaixo, efetue as seguintes modificações através do Matlab: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) A duplicação em suas dimensões nas direções X e Y. 
b) Uma reflexão em torno do eixo X no mesmo gráfico que a figura original. 
 
2) A partir da representação gráfica abaixo, efetue as seguintes modificações através do Matlab: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma rotação de 45º, uma rotação de 90º e uma rotação de 180º. Apresente num mesmo gráfico 
a figura original e as resultantes das rotações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
 1) a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)