Tópico 8 – Autovalores e Autovetores

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática 
Álgebra Matricial 
 
 
 
Tópico 8 – Autovalores e Autovetores 
 
Definição de autovalor e autovetor 
Seja T: Rn Rn uma transformação linear. Se existe um vetor não-nulo v tal que 
T(v)= v, para algum escalar , então é dito um autovalor da transformação linear e cada 
vetor não-nulo v tal que T(v v é dito um autovetor da transformação linear, associado a . 
 
Como a cada Transformação Linear T: Rn Rn corresponde uma matriz Anxn que a 
representa, os valores de e v da definição acima são chamados também de autovalor (valor 
próprio) e autovetor (vetor próprio) da matriz A, respectivamente. 
 
Exemplo 1: verifica se o vetor v = (1, 1) é um autovetor da transformação T: R2 R2 dada 
por T(x,y) = (2x+2y, –x+5y), associado ao autovalor = 4. 
Solução: a matriz de T é A = 
51
22
. Multiplicando por v=
1
1
 , obtemos: 
1
1
4
4
4
51
22
1
1
51
22
. 
 
Resumindo: T(v) = 4v, onde v = (1, 1), ou equivalentemente, Av = 4v. 
 
Conclusão: v = (1, 1) é um autovetor da TL associado ao autovalor = 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. O gráfico da esquerda representa o 
vetor v = (1,1). 
Figura 2. O gráfico à direita representa a imagem 
do vetor v, isto é, T(v) = 4v. 
 
 
Exemplo 2: verifica se o vetor v = (4, 2) é um autovetor da transformação T: R2 R2 dada 
por T(x,y) = (2x+2y, –x+5y), associado ao autovalor =3. 
Solução: a matriz de T é A = 
51
22
. Multiplicando por v=
2
4
, obtemos: 
2
4
3
6
12
104
48
2
4
51
22
. 
 
Resumindo: T(v) = 3v, onde v = (4, 2), ou equivalentemente, Av = 3v. 
 
Conclusão: v = (4, 2) é um autovetor da TL associado ao autovalor = 3. 
 
 
 
Exemplo 3: a rotação de 45o no plano xy não tem nenhum autovetor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo dos autovalores e autovetores 
Para o cálculo dos autovalores e autovetores de uma transformação linear T: Rn Rn 
representada pela matriz A, devemos resolver a equação 
Av= v, 
ou seja, 
Av = Iv 
onde I é a matriz identidade nxn. Isto é, devemos procurar soluções não-triviais do sistema 
(A – ) v = 0 
Para que tal ocorra, a matriz (A – ) deve ser singular, ou seja 
| (A – ) | = 0 
Assim, os autovalores da matriz A são as raízes da equação | (A – ) | = 0, chamada de 
equação característica de A. Os autovetores associados ao autovalor formam o espaço-
solução ao auto-espaço de A associado a 
 
Resumindo: para calcular os autovalores de uma Transformação Linear T: Rn Rn 
representada pela matriz A, calculamos as raízes da equação característica | (A – ) | = 0, que 
é uma equação de grau n. Depois, para cada autovalor calculado, o autovetor é dado pela 
solução não-trivial do sistema (A – ) v = 0 
 
 
Exemplo 4: Calcula os autovalores da transformação linear T: R2 R2 dada por 
T(x,y) = (2x+2y, – x+5y). Determina os autoespaços associados. 
Solução: Matriz de transformação: A = 
51
22
. Neste caso n = 2, logo I = 
10
01
. 
 Equação característica: | (A – ) | = 0, ou seja, 
51
22
 = 0. 
Solução da equação: (2 – )(5 – )+ 2 = 0, ou seja, – + 12 = 0, donde, os autovalores 
são = 3 ou = 4. 
 
No Matlab: para obter o polinômio característico da transformação, basta definir a matriz de T e 
usar o comando poly(T). Os autovalores são obtidos pelo comando roots(poly(T)). 
 
Resultados do Matlab para o exemplo acima: T = 
51
22
 
 
 poly(T) = – 7 12 
 roots(poly(T)) = 4 3 
 
Traduzindo: o polinômio característico de T é p( ) = – + 12 e a equação característica de 
T é – + 12 = 0 ; os autovalores de T são = 4 e = 3. Para obter os autovetores, 
devemos calcular para cada autovalor diferente. 
 
Para = 4 , o autovetor v = (x, y) (0, 0) deve satisfazer T(x, y) = 4(x, y), ou seja 
(2x+2y, –x+5y) = ( 4x, 4y ) . Igualando as coordenadas correspondentes, resulta: 
 
4y5yx-
4x 2y 2x 
 
0yx-
02y 2x -
 Solução: 
yy
yx
 
 
Assim, todo vetor em que a primeira coordenada é igual a segunda é um autovetor 
associado a = 4 . 
Exemplo: se v = (2, 2), então T(v) = T(2, 2) = ( 2*2+ 2*2, – 2+ 5*2) = (8, 8) = 4(2, 2). 
Portanto, o autovetor associado ao autovalor = 4 é o autovetor v = x(1,1) , x 0, ou 
simplesmente, v = (1, 1). Se tomarmos o conjunto de todos os múltiplos do vetor (1, 1) , 
teremos a reta y = x, que passa pela origem do R2 e é um subespaço vetorial do R2, chamado 
de autoespaço associado ao autovetor v = (1,1). Um autovetor normalizado é vn =
2
1
,
2
1
 = 
(0.7071, 0.7071). 
 
Para = 3 , o autovetor v = (x, y) (0, 0) deve satisfazer T(x, y) = 3(x, y) , ou seja, 
(2x+2y, –x+5y) = ( 3x, 3y ). Igualando as coordenadas correspondentes, resulta: 
 
3y5yx-
3x 2y 2x 
 
0y2x-
02y x -
 Solução: 
yy
yx 2
 
 
Assim, todo vetor em que a primeira coordenada é o dobro da segunda é um autovetor 
associado ao autovalor = 3. 
Exemplo: se v = (4, 2) , então T(v) = T(4, 2) = (2*4 + 2*2, –4 + 5*2) = (12, 6) = 3( 4,2). O 
autoespaço associado é a reta que passa pela origem e tem a direção do vetor v = ( 4,2). 
 
 
Cálculo no Matlab 
No Matlab, os autovalores e autovetores de uma matriz T são obtidos com o comando 
[ P, D ] = eig( T ). Os autovetores são dados na forma normalizada. No exemplo acima, se 
T = [ 2 2; –1 5] , o comando [P,D] = eig(T) resulta: 
 
P = 
 –0.8944 –0.7071 
 –0.4472 –0.7071 
 
D = 
 3 0 
 0 4 
 
Interpretação: autovalor = 3 associado ao autovetor v1 = (– 0.8944 , – 0.4472 ) 
 autovalor = 4 associado ao autovetor v2 = (– 0.7071 , – 0.7071 ) 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Considera a TL T: R2 R2 dada por T(x,y) = (–14x + 12y, –20x + 17y) . Determina: 
a) o polinômio caracterítico de T; 
b) os autovalores e autovetores desta TL; 
c) os autovetores na forma normalizada, associados a cada autovalor. 
 
2) Considera a TL T : R2 R2 , dada por T(x,y) =(x, x+2y). 
a) Escreve o polinômio característico de T. 
b) Calcula os autovalores e autovetores de T. 
 
3) Verifica se 
0
1
0
1
 é autovetor da matriz 
1000
0210
0101
0200
 . Em caso afirmativo, identifica o 
autovalor correspondente. 
4) Calcula no Matlab os autovalores e autovetores da matriz 
102
012
104
. Escreve os 
autovetores na forma normalizada, associados a cada autovalor. 
 
5) Calcula o polinômio característico, os autovalores e autovetores da transformação linear 
representada pela matriz 
95200
97540
00531
01042
00001
. 
 
 
 
Respostas: ver os arquivos .m que estãono moodle!!! 
 
Exemplo de como elas devem ser interpretadas e registradas: 
 
1) a) – + 2 
 b) Autovalores: 1 = 1 e 2 = 2 
 Autovetores: 
Para 1 = 1: T(x, y) = 1(x, y) 
Sistema: 
y17y20x-
x12y14x-
 Solução: 
4
5x
y
xx Exemplo: v1 = (4, 5) 
 
Para 2 = 2: T(x, y) = 2(x, y) 
Sistema: 
y217y20x-
x212y14x-
 Solução: 
3
4x
y
xx Exemplo: v2 = (3, 4) 
c) Para 1 = 1, v1 = (-0.6247, -0.7809) 
 Para 2 = 2, v2 = (-0.6, -0.8)