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Tópico 2 Integral Definida

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1 
 
Tópico 2. Integral Definida 
 
 
2.1 MOTIVAÇÃO 
 
Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema 
de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da 
exaustão, que consiste em aproximar a área da figura por meio de outras cujas áreas 
são conhecidas. 
 Vejamos por exemplo o círculo. Para definir sua área consideramos um polígono 
regular de n lados inscrito. 
 
 
 
Área do polígono = 
 
 
Área do círculo = 
 
 
Para calcularmos a área de uma figura plana qualquer procedemos de forma 
análoga. Aproximamos a figura por polígonos cujas áreas possam ser obtidas pelos 
métodos da geometria elementar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PUCRS - Faculdade de Matemática 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Professor: Pedro Sica Carneiro 
 
 
 
2 
2.2 ÁREA SOB UMA CURVA 
 
Seja S a região plana delimitada pelo gráfico de uma função contínua e não 
negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas x = a e x = b. 
 
Para calcularmos a área dessa região vamos: 
(1º) dividir este intervalo [a, b] em n subintervalos iguais, sendo a = a0 < a1 < ... < an = b, 
os extremos dos intervalos. 
(2º) escolher em cada subintervalo um ponto xi. 
(3º) construir, em cada subintervalo, um retângulo altura f(xi) e base 
1 ii aax
, para 
i = 1, 2, 3, 4, ..., n. 
 
A soma das áreas dos n retângulos construídos é dada por: 
 
 
 
 


n
i
in xxfxxfxxfxxfxxf
1
321 )(...)()()(
 
 
Esta soma é chamada de Soma de Riemann da função f, para a partição do 
intervalo [a, b]. 
 
3 
Intuitivamente é possível admitir que à medida que n cresce, 
x
 diminui, e 
consequentemente o somatório anterior converge para a área A da região limitada pelo 
gráfico de f e pelas retas y = 0, x = a e x = b. 
 
(4º) A área dessa região é obtida pelo limite da soma de Riemann para 𝑛 → +∞ 
 
A = 
 



n
i
i
n
xxf
1
lim
. 
 
 
2.3 A INTEGRAL DEFINIDA 
 
A integral definida está associada ao limite da soma de Riemann visto na secção 
anterior. Ela nasceu com a formalização matemática dos problemas de área e 
problemas físicos. 
 
Definição: sendo f uma função contínua em [a, b], a integral definida de f de a 
até b é dada por: 
 = 
lim
n 
 
 
 
Observação: na definição de integral definida consideramos uma função 
contínua qualquer, podendo assumir valores negativos. Nesse caso, o produto 
  xxf i 
 
representa o oposto da área do retângulo. Portanto, se f(x) < 0 para x

[a, b], então a 
área da região limitada pelo gráfico de f, o eixo-x e pelas retas x = a e x = b é dada por
 
b
a
dxxfA
. 
 
 

b
a
dx)x(f 


n
1i
ii x)f(x 
 
4 
2.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
 
 
 Se y = f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e F(x) é uma de primitiva (ou 
antiderivada) de f(x), então 
 
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(
 
 
Exemplos: 
1) Calcule a área sob a curva nos seguintes casos: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
2) Calcule a integral definida abaixo fazendo uma substituição. 
 
2
0
32 )1( dxxx
 
 
 
5 
Exercícios: 
1) Calcule o valor das seguintes integrais definidas: 
a)
 
1
0
)32( dxx
 b) 


0
1
67 dxx
 
 
 
c) 

4
1
dxx
 d) 
  
1
0
2 dxxx
 
 
 
e) 
 


2
1
2
1 dxx
 f) 
 
2
0
14 dxx
 
 
 
g) 
 
5
2
2 1 dxxx
 h) 
 
2
1
3dx)2x4(
 
 
 
2) Calcule a área sob a curva em cada caso: 
a) y = x, entre 1 e 2. b) f(x) = x2, entre 1 e 1,5. c) y = sen x, entre 0 e π. 
 
 
 
Respostas: 
1) a) 4 b) 1 c) 14/3 d) 1/6 
e) 9 f) 13/3 g) 
3
7
 h) 89 
 
2) a) 3/2 b) 7/3 c) 2 
 
6 
2.5 ÁREA DA REGIÃO ENTRE CURVAS 
 
Suponha que f e g sejam definidas e contínuas em [a, b] e tais que f (x) ≥ g(x), 
 .,bax
 
Vejamos como obter a área da região R, limitada superiormente pela função f e 
inferiormente pela função g, no intervalo [a, b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Esboce a região R limitada pelas funções y = 2x – 1 e y = x2 – 4, determine as 
coordenadas de todos os pontos de intersecção das mesmas e calcule a área de R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Escreva uma integral (ou soma de integrais) que fornece a área da região limitada 
pelos gráficos de 
212)( xxf 
, 
xxg 4)( 
 e 
xxh )(
, no 1º quadrante. 
 
 
A = 
 
7 
Às vezes é possível evitar a divisão da região em partes integrando em relação a y em 
vez de x. Vamos mostrar como isso pode ser feito. 
 
Suponha que f e g sejam definidas e contínuas em [c, d] e tais que f (y) ≥ g(y), 
 .,dcy
 
Vejamos como obter a área da região R, limitada pela direita pela função f e pela 
esquerda pela função g, no intervalo [c, d]. 
 
 
Exemplo: seja R a região do 1º quadrante limitada pelos gráficos de 
x
xf
2
)( 
, 
1)(  xxg
 e y = 4. Nestas condições, escreva (não calcule) a integral (ou soma de 
integrais) que dá a área da região R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) integrando em relação a x. 
 
 
b) integrando em relação a y. 
 
 
 
A = 
 
8 
Exercícios: 
1) Calcule a área entre as curvas nos seguintes casos: 
 
 
2) Calcule a área da região limitada pelas curvas cujas equações são dadas abaixo: 
a) y = x2, y = 4 b) y = 3 – x2, y = x + 1 
c) y = x2, y = 2 – x d) y = 3x – x2, x = 4, y = 0 
e) y = x2 + 2x + 1, x = -1, x = 1, y = 0 
 
3) Seja R a região limitada pelos gráficos de 
1
1


x
y
, 
2
x
y 
 e y = 2. Nessas condições, 
escreva (não calcule) a integral (ou soma de integrais) 
que dá a área da região R: 
a) integrando em relação a x. 
 
b) integrando em relação a y. 
 
4) Calcule a área da região R, representada abaixo, limitada pelas curvas cujas 
equações são dadas por y = x3 – 3x e y = x. 
 
 
Respostas: 
1) a) 128/3 u.a. b) 32/3 u.a. c) 32/3 u.a. 
2) a) 32/3 b) 9/2 c) 9/2 d) 19/3 e) 8/3 
3) a) 
 














4
1
1
2
1 2
2
1
1
2 dx
x
dx
x
 b) 
 












2
2
1
1
1
2 dy
y
y
 
4) A = 8 
 
9 
2.6 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 
 
Volume por discos perpendiculares ao eixo x: 
 
Como calcular o volume do sólido S obtido pela rotação da região R limitada pelo gráfico 
de uma função f(x), eixo x e retas x = a e x = b? 
 
O volume total de S será aproximadamente a soma dos volumes dos n discos cilíndricos: 
 
 
 
A aproximação torna-se mais precisa à medida que n cresce. Assim, temos: 
 
 Volume de S = 



n
1i
2
i
n
x)]x(f[lim
 = 

b
a
2dx)]x(f[
 
 
 
 
 
 
10 
Exemplo 1. Seja R a região limitada por 
xy 
, y = 0 e x = 4. Calcule o volume do 
sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região R, limitada pelos 
gráficos de y = x e y = x2, ao redor do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume por discos perpendiculares ao eixo y: o sólido de revolução gerado pela 
rotação da região R em torno do eixo y tem volume dado por 
d
c
dyygV
2
)( 
 
 
Exemplo 3. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da R, limitada pelos gráficos 
de 
xy 
, y = 2 e x = 0, ao redor do eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Exercícios: 
1) Em cada um dos itens abaixo representados, calcule o volume do sólido gerado pela 
rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x: 
a) y = 2x – x2 e y = 0 b) y = x2 + 3 e y = 4 
 
 
 
c) y = 
3 x
, x = 8 e y = 0 d) y = 2/x, y = 0, x = 1 e x = 4 
 
 
 
2) Em cada um dos itens abaixo representados, calcule o volume do sólido gerado pela 
rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y: 
a) y = 2x, x = 0 e y = 4 
 
b) y = 2x2, y = 0 e x = 1 
 
c) y2 = x e y – x + 2 = 0 
 
 
Respostas: 
1) a) V = 16π/15 u.v. b) V = 48π/5 u.v. c) V = 96π/5 u.v. d) V = 3π u.v. 
2) a) V = 16π/3 u.v. b) V = π u.v. c) V = 72π/5 u.v.

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