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1 Tópico 2. Integral Definida 2.1 MOTIVAÇÃO Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em aproximar a área da figura por meio de outras cujas áreas são conhecidas. Vejamos por exemplo o círculo. Para definir sua área consideramos um polígono regular de n lados inscrito. Área do polígono = Área do círculo = Para calcularmos a área de uma figura plana qualquer procedemos de forma análoga. Aproximamos a figura por polígonos cujas áreas possam ser obtidas pelos métodos da geometria elementar. PUCRS - Faculdade de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II Professor: Pedro Sica Carneiro 2 2.2 ÁREA SOB UMA CURVA Seja S a região plana delimitada pelo gráfico de uma função contínua e não negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas x = a e x = b. Para calcularmos a área dessa região vamos: (1º) dividir este intervalo [a, b] em n subintervalos iguais, sendo a = a0 < a1 < ... < an = b, os extremos dos intervalos. (2º) escolher em cada subintervalo um ponto xi. (3º) construir, em cada subintervalo, um retângulo altura f(xi) e base 1 ii aax , para i = 1, 2, 3, 4, ..., n. A soma das áreas dos n retângulos construídos é dada por: n i in xxfxxfxxfxxfxxf 1 321 )(...)()()( Esta soma é chamada de Soma de Riemann da função f, para a partição do intervalo [a, b]. 3 Intuitivamente é possível admitir que à medida que n cresce, x diminui, e consequentemente o somatório anterior converge para a área A da região limitada pelo gráfico de f e pelas retas y = 0, x = a e x = b. (4º) A área dessa região é obtida pelo limite da soma de Riemann para 𝑛 → +∞ A = n i i n xxf 1 lim . 2.3 A INTEGRAL DEFINIDA A integral definida está associada ao limite da soma de Riemann visto na secção anterior. Ela nasceu com a formalização matemática dos problemas de área e problemas físicos. Definição: sendo f uma função contínua em [a, b], a integral definida de f de a até b é dada por: = lim n Observação: na definição de integral definida consideramos uma função contínua qualquer, podendo assumir valores negativos. Nesse caso, o produto xxf i representa o oposto da área do retângulo. Portanto, se f(x) < 0 para x [a, b], então a área da região limitada pelo gráfico de f, o eixo-x e pelas retas x = a e x = b é dada por b a dxxfA . b a dx)x(f n 1i ii x)f(x 4 2.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Se y = f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e F(x) é uma de primitiva (ou antiderivada) de f(x), então b a b a aFbFxFdxxf )()()()( Exemplos: 1) Calcule a área sob a curva nos seguintes casos: a) b) c) 2) Calcule a integral definida abaixo fazendo uma substituição. 2 0 32 )1( dxxx 5 Exercícios: 1) Calcule o valor das seguintes integrais definidas: a) 1 0 )32( dxx b) 0 1 67 dxx c) 4 1 dxx d) 1 0 2 dxxx e) 2 1 2 1 dxx f) 2 0 14 dxx g) 5 2 2 1 dxxx h) 2 1 3dx)2x4( 2) Calcule a área sob a curva em cada caso: a) y = x, entre 1 e 2. b) f(x) = x2, entre 1 e 1,5. c) y = sen x, entre 0 e π. Respostas: 1) a) 4 b) 1 c) 14/3 d) 1/6 e) 9 f) 13/3 g) 3 7 h) 89 2) a) 3/2 b) 7/3 c) 2 6 2.5 ÁREA DA REGIÃO ENTRE CURVAS Suponha que f e g sejam definidas e contínuas em [a, b] e tais que f (x) ≥ g(x), .,bax Vejamos como obter a área da região R, limitada superiormente pela função f e inferiormente pela função g, no intervalo [a, b]. Exemplos: 1) Esboce a região R limitada pelas funções y = 2x – 1 e y = x2 – 4, determine as coordenadas de todos os pontos de intersecção das mesmas e calcule a área de R. 2) Escreva uma integral (ou soma de integrais) que fornece a área da região limitada pelos gráficos de 212)( xxf , xxg 4)( e xxh )( , no 1º quadrante. A = 7 Às vezes é possível evitar a divisão da região em partes integrando em relação a y em vez de x. Vamos mostrar como isso pode ser feito. Suponha que f e g sejam definidas e contínuas em [c, d] e tais que f (y) ≥ g(y), .,dcy Vejamos como obter a área da região R, limitada pela direita pela função f e pela esquerda pela função g, no intervalo [c, d]. Exemplo: seja R a região do 1º quadrante limitada pelos gráficos de x xf 2 )( , 1)( xxg e y = 4. Nestas condições, escreva (não calcule) a integral (ou soma de integrais) que dá a área da região R: a) integrando em relação a x. b) integrando em relação a y. A = 8 Exercícios: 1) Calcule a área entre as curvas nos seguintes casos: 2) Calcule a área da região limitada pelas curvas cujas equações são dadas abaixo: a) y = x2, y = 4 b) y = 3 – x2, y = x + 1 c) y = x2, y = 2 – x d) y = 3x – x2, x = 4, y = 0 e) y = x2 + 2x + 1, x = -1, x = 1, y = 0 3) Seja R a região limitada pelos gráficos de 1 1 x y , 2 x y e y = 2. Nessas condições, escreva (não calcule) a integral (ou soma de integrais) que dá a área da região R: a) integrando em relação a x. b) integrando em relação a y. 4) Calcule a área da região R, representada abaixo, limitada pelas curvas cujas equações são dadas por y = x3 – 3x e y = x. Respostas: 1) a) 128/3 u.a. b) 32/3 u.a. c) 32/3 u.a. 2) a) 32/3 b) 9/2 c) 9/2 d) 19/3 e) 8/3 3) a) 4 1 1 2 1 2 2 1 1 2 dx x dx x b) 2 2 1 1 1 2 dy y y 4) A = 8 9 2.6 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Volume por discos perpendiculares ao eixo x: Como calcular o volume do sólido S obtido pela rotação da região R limitada pelo gráfico de uma função f(x), eixo x e retas x = a e x = b? O volume total de S será aproximadamente a soma dos volumes dos n discos cilíndricos: A aproximação torna-se mais precisa à medida que n cresce. Assim, temos: Volume de S = n 1i 2 i n x)]x(f[lim = b a 2dx)]x(f[ 10 Exemplo 1. Seja R a região limitada por xy , y = 0 e x = 4. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x. Exemplo 2. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região R, limitada pelos gráficos de y = x e y = x2, ao redor do eixo x. Volume por discos perpendiculares ao eixo y: o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo y tem volume dado por d c dyygV 2 )( Exemplo 3. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da R, limitada pelos gráficos de xy , y = 2 e x = 0, ao redor do eixo y. 11 Exercícios: 1) Em cada um dos itens abaixo representados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x: a) y = 2x – x2 e y = 0 b) y = x2 + 3 e y = 4 c) y = 3 x , x = 8 e y = 0 d) y = 2/x, y = 0, x = 1 e x = 4 2) Em cada um dos itens abaixo representados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y: a) y = 2x, x = 0 e y = 4 b) y = 2x2, y = 0 e x = 1 c) y2 = x e y – x + 2 = 0 Respostas: 1) a) V = 16π/15 u.v. b) V = 48π/5 u.v. c) V = 96π/5 u.v. d) V = 3π u.v. 2) a) V = 16π/3 u.v. b) V = π u.v. c) V = 72π/5 u.v.
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