Retas no espaço exercicios com gabarito

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Lista 4 – Retas no Espaço 
 
1) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos: 
a) determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor vr =(3,1,4); 
b) determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ; 
c) possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor vr =(2,–2,3); 
d) possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos A(5,–2,3) e B(–1,–4,3); 
e) possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação 
2
1z
3
4y
5
2x
:r
−
=
+
=
−
+
; 
f) possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor vr = (–2,0,–2); 
g) possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor vr =(8,3,0); 
h) possui o ponto A (2, –2,1) e é paralela ao eixo OX; 
i) possui o ponto A (8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ. 
RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4), 





+=
+−=
+=
m41z
m2y
m31x
, 
4
1z
1
2y
3
1x −
=
+
=
−
, 



+=
+=
9y4z
7y3x
 
b) P = (2,–1,3)+m(1,2,–5), 





−=
+−=
+=
m53z
m1y
m2x
, 
5
2zy3x
−
+
==− , 



+−=
−=
13x5z
3xy
; 
c) P = (1,–2,3) +m (2,–2,3), 





+=
−−=
+=
mz
my
mx
33
22
21
, 
3
3x
2
2y
2
1x −
=
−
+
=
−
, 




=
−−=
y
2
3
z
1yx
 ; 
d) P = (1,5,–2) +m (3,1,0), 





−=
+=
+=
2z
m5y
m31x
, 2z ; 5y
3
1x
−=−=
−
 ; 
e) P = (2,1,0) = m (–5,3,2),





=
+=
−=
m2z
m31y
m52x
, 
2
z
3
1y
5
2x
=
−
=
−
−
, 






+
=
+−
=
2
2z3y
2
4z5
x
; 
f) P=(–6,7,9) =m (1,0,1),





+=
=
+−=
m9z
7y
m6x
, 7 y; 9z6x =−=+ ; 
g) P=(0,0,4) +m (8,3,0), 





=
=
=
4z
m3y
m8x
, 4z ; 
3
y
8
x
== ; 
h) P=(2,–2,1) = m (1,0,0), 



=
−=
1z
2y
; 
 i ) P = (8,0,–11) = m (0,0,1), 



=
=
0y
8x
. 
2) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de vértices A (3,4,–1), B (1,1,0) e C 
(2,4,4) e é paralela à reta suporte do lado AB do triângulo. RESP: 
1
1z
3
3y
2
2x
−
−
=
−
=
−
. 
3) Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do 
ângulo AOˆ B e determine sua interseção com o lado AB. RESP: 






=
=
zy
zx
5
11
5
7
e 





4
5
,
4
11
,
4
7P . 
4) Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(–2,–3,3) são M e N. Unindo-os ao ponto P(0,–1,0), obtêm-se as retas 
PM e PN . Calcule o ângulo formado pelas mesmas. 
 RESP: θ = arc cos
3
1
,θ ≅ 700 31'43,6'' 
5) A reta 
3
z
5
4
4
2x
:r =
+
=
−
, forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos pontos A(0,−5,−2) e B(1,n−5,0). 
Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou 1 
6) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= 21 rr ∩ , com 





+=
+=
=
−
−
=
−
=
−
m2z
m21y
m3x
:r e 
2
1z
4
3y
2
1x
:r 21 . RESP: 



+=
+−=
2xz
1xy
 
7) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas: 
a) 
2
8z
10
44y2
x:r e 3z
4
y2
2
3x
:s
−
+
=
−
=+=
−
=
−
, e que passa pelo ponto P(2,3,5); 
b) 
3
z
2-
y-24 x:r e 3z3
4
y2
2
2x
:s
−
==++=
−
=
−
, e que passa pelo ponto P(2,–3,1); 
c) 



+=
−−=
18x10z
3x2y
:r e 






+−
=
−
=
2
27y6
z
2
1y2
x
:s , e que passa pelo ponto P(3,−3,4). 
RESP: a)t: 





+=
+=
−=
mz
my
mx
125
53
12
 





+=
+−=
+=
mz
my
mx
tb
61
73
42
:)
 c) 





+=
+−=
−=
m34z
m133y
m43x
:t
 
 
8) Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de r: P = (−6,1,0) + m (1,–1,1), com a reta 



+=
−=
5zy
2z3x
:s , e que forma ângulos agudos congruentes com os eixos coordenados. RESP: 



+=
+=
6xz
11xy
:t
 
 
 
 
 
9) Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas: 
������ �)	�:	 
 � = −3�� = 3 + �� = 4 � 										�										�:	 � + 56 = � − 1� ; 				� = 6											����:	� = −2] ")	�:	 
� = 2 − 3�� = 3� = �� � 										�										�:	 � − 46 = � − 15 ; 	� = 7						����:� =	−52] 
10) Determine o menor ângulo entre as retas: 
�)		�: $ −2� − 1� = � + 2� 						�:	 �3 = � + 1−3 ; 	� = 2					����: % = 30°] 
 
")	�:	 ' � = 1� + 14 = � − 23 � 										�										�:	
� − 42 = �−1 = � + 1−2 					����: arccos	 -23.]
 
11) Calcule o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas: 
�)	�:	 $� = 2� + 3	� = 3� − 1 � 									�										�:	 � − 12 = �−1 = �� 						����:� = 	4]
 
 
")	�:	 /� = −1� = 3 � 										�										�:	 $� = 4� − �� = � � 						����:� = 	−7]
 
 
12) Calcule os pontos de interseção das retas: �)	�:	 $� = 3� − 1� = 2� + 1� 										�										�:	 $� = 4� − 2� = 3� � 						����: (1,2,3)]
 
 
")	�:	 $� = 2� − 3	� = 4� − 10� 									�										�:	� = � − 7−3 = � − 12−7 						����: (2,1, −2)] 
13) Estude a posição relativa das retas abaixo: 
 
�)	�:	 
 � = 2 − 4�� = 2�� = −2� + 1� 										�										�:	 �2 = � − 1−1 = �									����: 2345246�5���			 
 
")	�:	 
 � = 5 + �� = 2 − �� = 7 − 2�� 										�										�:	 � − 22 = �3 = � − 54 									����: 23523���5���		 
 2)	�:	 $� = 3	� = 2�� 									�										�:	� = � = �					����: ��7�����]