4 ExercíciosComplementaresQuatro Eletromagnetismo

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1. 
Um laço retangular formado por um condutor ideal, no espaço livre, junta os 
pontos 𝐴(1, 0, 1); 𝐵(3, 0, 1); 𝐶(3, 0,4) 𝑒 𝐷(1, 0, 4). Neste condutor existe uma 
corrente de 6 𝑚𝐴, correndo na direção de 𝒂𝑧 de 𝐵 para 𝐶. Além disso, existe uma 
corrente filamentar de 15 𝐴 ao longo de todo eixo 𝑧 na direção 𝒂𝑍. Encontre as 
forças que agem sobre os segmentos 𝐵𝐶 e 𝐴𝐵. 
Solução: 
Antes de qualquer coisa precisamos calcular a densidade de fluxo magnético 𝐵 
devido ao filamento infinito de corrente sobre o eixo 𝑧. Como vimos, o campo 
magnético em torno de um filamento infinito de corrente será dado por: 
𝑯 =
𝐼
2𝜋𝜌
 
Podemos relacionar este campo magnético com a densidade de fluxo magnético 
no espaço livre por: 
𝑩 = 𝜇0𝑯 
Logo: 
𝐻 = 𝜇0 (
𝐼
2𝜋𝜌
) = 
𝐼𝜇0
2𝜋𝜌
 
Note que este campo varia com a distância 𝜌 e que 𝜌 é a distância 
entre o filamento e o ponto onde vamos perceber a existência deste 
campo neste caso, precisaremos calcular o campo em 𝒂𝑦 sobre os 
dois segmentos de interesse: 𝐵𝐶 e 𝐴𝐵 
Sendo assim, para o primeiro lado da espira 𝐵𝐶 que está a 3 unidades de 
distância do eixo 𝑧, temos: 
𝑯𝐵𝐶 = 
𝐼𝜇0
2𝜋𝜌
=
15(4𝜋 × 10−7)
2𝜋(3)
𝒂𝑦 
 
𝑯𝐵𝐶 = 
15(4𝜋 × 10−7)
2𝜋(3)
𝒂𝑦 = 
15(2 × 10−7)
 (3)
𝒂𝑦 
𝑯𝐵𝐶 = (10 × 10
−7)𝒂𝑦 
Para calcular a força que age sobre esta espira no segmento 𝐵𝐶 
teremos: 
𝑭 = ∫ 𝐼𝑑𝑳 × 𝑩
𝑏
𝑎
 
Substituindo: 
𝑭 = ∫ (6 × 10−3) 𝑑𝑧 𝒂𝑧 × (10 × 10−7)𝒂𝑦
4
1
 
Resolvendo este produto vetorial teremos: 
 
 
𝑭 = |
𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧
0 0 6 × 10−3
0 (10 × 10−7) 0
| 
 
𝑭 = |
0 6 × 10−3
(10 × 10−7) 0
| 𝒂𝑥 − |
0 6 × 10−3
0 0
| 𝒂𝑦 + |
0 0
0 (10 × 10−7)|
𝒂𝑧 
𝑭 = − 6 × 10−3(10 × 10−7)𝒂𝑥 = −6 × 10
−9𝒂𝑥 
Agora podemos fazer a integral: 
𝑭 = ∫ −6 × 10−9𝒂𝑥 𝑑𝑧
4
1
 
𝑭 = −6 × 10−9𝒂𝑥 ∫ 𝑑𝑧
4
1
 
𝑭 = −6 × 10−9𝒂𝑥(4 − 1) = −18𝒂𝑥 𝑛𝑁 
Precisamos agora, repetir os mesmos cálculos para o segundo segmento 𝐴𝐵 desta 
vez, o campo continua na mesma direção mas varia de acordo com a distância 
𝑥. Ou seja: 
 
𝑯𝐴𝐵 = 
𝐼𝜇0
2𝜋𝑥
𝒂𝑦 
𝑯𝐴𝐵 = 
15(4𝜋 × 10−7)
2𝜋𝑥
𝒂𝑦 
𝑯𝐴𝐵 = 
15(2 × 10−7)
𝑥
𝒂𝑦 =
(30 × 10−7)
𝑥
𝒂𝑦 
Sendo assim, a força será dada por: 
 
𝑭 = ∫ 𝐼𝑑𝑳 × 𝑩
𝑏
𝑎
 
Substituindo: 
𝑭𝐴𝐵 = ∫ (6 × 10
−3) 𝑑𝑥 𝒂𝑥 ×
(30 × 10−7)
𝑥
𝒂𝑦
3
1
 
𝑭𝐴𝐵 = ∫ (6 × 10
−3) 𝑑𝑥 𝒂𝑥 ×
(30 × 10−7)
𝑥
𝒂𝑦
3
1
 
𝑭 = ∫
(18 × 10−9)
𝑥
 𝒂𝑧 𝑑𝑥
3
1
 
 
 
𝑭𝐴𝐵 = (18 × 10
−9)(ln 3 − ln 1) = 19,7 𝑛𝑁 
 
2. 
Um motor utiliza uma bobina retangular de 20 𝑚𝑚 por 20 𝑚𝑚 pivotado no centro 
do lado menor. Se ele for montado em um campo magnético radial constante de 
densidade de fluxo dada por 0,4 𝑊𝑏/𝑚2 que está sempre atuando em um ângulo 
de 30° em relação ao plano da bobina e se a bobina tiver 500 voltas e for 
atravessada por uma corrente de 5 mA, encontre o torque exercido sobre a 
bobina. 
Solução: 
Sabemos que o torque exercido sobre uma espira será dado por: 
𝑇 = 𝐵𝐼𝑆 𝑠𝑒𝑛𝛼 
Enquanto o torque sobre 𝑁 espiras será dado por: 
𝑇 = 𝑁𝐵𝐼𝑆 𝑠𝑒𝑛𝛼 
𝑇 = (500)(0,4)(5 × 10−3)(20 × 10−3)(20 × 10−3)𝑠𝑒𝑛30° 
𝑇 = 200 𝜇𝑁𝑚 
 
3. 
Em um material ferromagnético isotrópico linear e homogêneo de 𝜇𝑟 = 2,5, sujeito a uma 
densidade de fluxo magnético dada por 𝑩 = 4𝑦𝒂𝑧 𝑚𝑊𝑏/𝑚
2, determine o valor da 
magnetização 𝑴. 
Solução: 
Sabemos que a magnetização em meios isotrópicos pode ser encontrada por: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 
Mas, não temos nenhuma destas grandezas no enunciado então devemos começar 
observando que existe uma relação entre a permeabilidade relativa e a susceptibilidade 
por: 
𝜇𝑟 = Χ𝑚 + 1 
Logo: 
𝜇𝑟 − 1 = Χ𝑚 
Χ𝑚 = 2,5 − 1 = 1.5 
Também podemos relacionar o campo magnético 𝑯 com a densidade de fluxo 
magnético 𝑩 por: 
𝑩 = 𝜇𝑯 
Logo: 
𝑩 = 𝜇𝑯 ∴ 𝑯 =
𝑩
𝜇
=
𝑩
𝜇0𝜇𝑟
 
𝑯 =
𝑩
𝜇0𝜇𝑟
=
4𝑦 × 10−3𝒂𝑧
(4𝜋 × 10−7)(2,5)
= 1,273 𝑦𝒂𝑧 𝑘𝐴/𝑚 
Agora podemos chegar a magnetização: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 = 1,5(1,273 ) = 1,910𝒂𝑧 𝑘𝐴/𝑚 
 
4. 
Em um certo material isotrópico linear e homogêneo de 𝜇𝑟 = 1,5, sujeito a uma 
densidade de fluxo magnético dada por 𝑯 = 10𝒂𝑧 + 20𝒂𝑦 − 40𝒂𝑧 𝐴/𝑚, determine a 
magnetização 𝑴. 
Solução: 
Sabemos que a magnetização em meios isotrópicos pode ser encontrada por: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 
Mas, não temos nenhuma destas grandezas no enunciado então devemos começar 
observando que existe uma relação entre a permeabilidade relativa e a susceptibilidade 
por: 
𝜇𝑟 = Χ𝑚 + 1 
Logo: 
𝜇𝑟 − 1 = Χ𝑚 
Χ𝑚 = 1,5 − 1 = 0.5 
Sabemos também que a magnetização pode ser determinada por: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 
Logo: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 = 0,5(10𝒂𝑧 + 20𝒂𝑦 − 40𝒂𝑧 ) = 5𝒂𝑧 + 10𝒂𝑦 − 20𝒂𝑧 𝐴/𝑚 
 
5. 
Em um sistema de coordenadas cilíndricas, um fio condutor ideal de 2𝑚 de 
comprimento carregando uma corrente de 5 𝐴 na direção positiva do eixo 𝑧 está 
localizado em 𝜌 = 4 𝑐𝑚; −1 𝑚 < 𝑧 < 1 𝑚. Este condutor está sujeito a um campo 
magnético cuja densidade de fluxo é dada por: 𝑩 = 0,2 cos 𝜙 𝒂𝜌. Determine a 
coordenada 𝜙 onde a força será a maior possível. 
Solução: 
𝑭 = 𝐼𝑙 × 𝑩 
𝑭 = (5𝒂𝑧)2 × 2,0 cos 𝜙 𝒂𝜌 
𝑭 = 10𝒂𝑧 × 2,0 cos 𝜙 𝒂𝜌 
Resolvendo este produto vetorial teremos: 
𝑭 = |
𝒂𝜌 𝒂𝜙 𝒂𝑧
0 0 10 
0,2 cos 𝜙 0 0
| 
 
𝑭 = |
0 10
0 0
| 𝒂𝜌 − |
0 10
0,2 cos 𝜙 0 | 𝒂𝜙 + |
0 0
0,2 cos 𝜙 0| 𝒂𝑧 
𝑭 = 2 cos 𝜙 𝒂𝜙 
Ou seja, nossa força depende do cosseno de 𝜙. Como o cosseno varia entre 0 e 1 a 
força será a maior possível em 𝜙 = 0 
 
6. 
Dado um material no qual encontramos Χ𝑚 = 4 com um fluxo magnético interno 
𝑩 = 1,2𝑦 𝒂𝑧 𝑇 encontre a magnetização 𝑴 no interior deste material. 
Solução: 
Sabemos que a densidade de corrente pode ser relacionada com o campo 
magnético por: 
𝑱 = ∇ × 𝑯 
Então, antes de achar a densidade de corrente precisamos achar o campo 𝑯 no 
interior deste material para tal podemos relacionar o campo 𝑯 com 
susceptibilidade magnética Χ𝑚 por: 
𝑩 = 𝜇𝑜(𝑯 + Χ𝑚𝑯) 
Ou, acertando o algebrismo: 
𝑩 = 𝜇0(1 + Χ𝑚)𝑯 
Logo: 
𝑩
𝜇0(1 + Χ𝑚)
= 𝑯 
Neste caso: 
𝑯 =
𝑩
𝜇𝑜(1 + Χ𝑚)
=
1,2𝑦𝒂𝑧
𝜇0(1 + 3,1)
= 
1,2𝑦𝒂𝑧
( 4𝜋 × 10−7)(1 + 4)
 
 
𝑯 = 191 𝑦𝒂𝑧 𝑘𝐴/𝑚 
Sabemos também que podemos relacionar a magnetização com o campo 𝑯 por: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 
𝑴 = 4(191 𝑦𝒂𝑧) = 764 𝑘𝐴/𝑚 
 
7. 
Considere uma região do espaço para a qual temos Χ𝑚 = 3 e um campo 
magnético dado por 𝐻 = 5𝑥𝒂𝑥 + 2𝑦𝒂𝑦 − 3𝑧𝒂𝑧. Determine a energia total 
acumulada em −1 < 𝑥 < 2 ; 0 < 𝑦 < 2, 0 < 𝑧 < 1 . 
Solução: 
Sabemos que podemos relacionar susceptibilidade magnética com a 
permeabilidade magnética relativa por: 
𝜇𝑟 = Χ𝑚 + 1 
 
𝜇𝑟 = 3 + 1 = 4 
Também podemos relacionar o campo magnético com densidade de fluxo 
magnético por: 
𝑩 = 𝜇𝑜(1 + Χ𝑚)𝑯 
𝑩 = 𝜇𝑜(4)𝑯 
Por fim, a energia armazenada em um campo magnético é dada por: 
𝑊𝑚 =
1
2
𝑩 ⋅ 𝑯 
Antes de progredirmos precisamos resolver 𝑩 ⋅ 𝑯 
𝜇𝑜(4)𝑯 ⋅ 𝑯 
𝑯 ⋅ 𝑯 = (5𝑥𝒂𝑥 + 2𝑦𝒂𝑦 − 3𝑧𝒂𝑧) ⋅ (5𝑥𝒂𝑥 + 2𝑦𝒂𝑦 − 3𝑧𝒂𝑧) 
𝑯 ⋅ 𝑯 = (5𝑥 × 5𝑥) + (2𝑦 × 2𝑦) + (−3𝑧 × −3𝑧) 
𝑯 ⋅ 𝑯 = (25𝑥2) + (4𝑦2) + (9𝑧) 
Então a energia acumulada será dada por 
𝑊𝑚 =
1
2
𝜇𝑜(4)𝑯 ⋅ 𝑯 
𝑊𝑚 =
4𝜇0
2
𝑯 ⋅ 𝑯 
𝑊𝑚 = 2𝜇0𝑯 ⋅ 𝑯 
𝑊𝑚 = 2𝜇0(25𝑥
2 + 4𝑦2 + 9𝑧) 
Para encontrar a energia total precisamos integrar esta equação nos limites 
determinados peloenunciado em relação a um elemento de volume no espaço 
cartesiano dado por 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
𝑊𝑚 = 2𝜇0 ∫ ∫ ∫ 25𝑥
2 + 4𝑦2 + 9𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
2
−1
2
0
1
0
= 2𝜇0(209) 
𝑊𝑚 = 2𝜇0(256) = 2(4𝜋 × 10
−7)(209) = 525,3 𝜇𝐽 
8. 
O entendimento do campo magnético gerado por filamentos de corrente e 
fundamental para o entendimento de motores e solenoides. 
Um filamento infinito de corrente, no espaço livre, provoca no ponto 𝑃(2, 2, 7), 
um campo magnético 𝑩 = 100 𝑛𝑊/𝑚2 calcule a corrente necessária, na direção 
positiva de 𝒂𝑧 capaz de gerar este campo. 
Solução: 
Partimos do formulário para encontrar a fórmula do campo magnético 𝑩 em torno 
de uma distribuição linear e infinita de corrente. 
Sabemos de antemão que o campo magnético será dado pela regra da mão 
direita com o polegar apontado no sentido da corrente, na direção positiva de 𝒂𝑧 
então este campo se propaga na forma de círculos por todo o espaço. 
Como o filamento está no eixo 𝑧, este e este propaga a corrente o campo existirá 
em um plano 𝑥𝑦 em um determinado 𝑧, neste caso segundo o enunciado, 𝑧 = 7 
O campo 𝑩 irá variar apenas no sentido de 𝜙 lembre-se que em coordenadas 
cilíndricas a coordenada 𝜙 é a coordenada relacionada ao ângulo. Logo: 
𝑩 =
𝜇0𝐼
2𝜋𝜌
 𝒂𝜙 
Temos todas a variáveis exceto a corrente desejada e este 𝜌. Trata-se da 
distância entre o ponto desejado e o filamento. Sobre um plano 𝑥𝑦, o 𝜌, raio do 
círculo que passa pelo ponto desejado pode ser encontrado usando o teorema 
de Pitágoras onde cada coordenada é um lado e o raio, 𝜌, a hipotenusa. Sendo 
assim, a distância entre o filamento e o ponto desejado será: 
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 = √22 + 22 = √8 
 Ou seja, aplicando os valores dados no enunciado na fórmula e resolvendo 
teremos: 
100𝑥10−9𝒂𝜙 =
(4𝜋 × 10−7)(𝐼)
2𝜋(√8)
 𝒂𝜙 
100𝑥10−9 (2𝜋(√8))
4𝜋 × 10−7
= 𝑰 
100𝑥10−9 (2𝜋(2√2))
4𝜋 × 10−7
= 𝑰 
1𝑥10−7(√2)
10−7
= 𝑰 
𝑰 = √2 𝐴