apostila calculo diferencial 4

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Cálculo Diferencial 
e Integral IV
Sandra Regina Leme Forster
Revisada por Sandra Regina Leme Forster (janeiro/2013)
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Cálculo Diferencial e 
Integral IV, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmi-
co e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) 
alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 5
1 FUNÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ............................................................................... 7
1.1 Definições ...........................................................................................................................................................................7
1.2 Aplicações ..........................................................................................................................................................................9
1.3 Domínio e Imagem ......................................................................................................................................................10
1.4 Gráficos e Equações de uma Superfície ...............................................................................................................13
1.5 Curvas de Nível ..............................................................................................................................................................23
1.6 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................24
1.7 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................25
2 LIMITE .......................................................................................................................................................... 27
2.1 Uma Aplicação Física de Limite ...............................................................................................................................27
2.2 Definição de Limite ......................................................................................................................................................28
2.3 Propriedades de Limite ..............................................................................................................................................28
2.4 Limite de um Polinômio .............................................................................................................................................29
2.5 Limite de uma Função Racional ..............................................................................................................................30
2.6 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................31
2.7 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................31
3 DERIVADAS PARCIAIS ...................................................................................................................... 33
3.1 Derivadas Parciais de Primeira Ordem .................................................................................................................33
3.2 Interpretação Gráfica das Derivadas Parciais .....................................................................................................35
3.3 Derivadas Parciais de Segunda Ordem ................................................................................................................36
3.4 Extremos de Funções de Duas Variáveis ..............................................................................................................39
3.5 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................40
3.6 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................41
4 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ................................................................................................................... 43
4.1 Integrais Duplas ............................................................................................................................................................43
4.2 Revisando o Cálculo de uma Área por Integrais Simples ..............................................................................47
4.3 Cálculo de uma Área com uma Integral Dupla .................................................................................................51
4.4 Volumes de uma Região Sólida ...............................................................................................................................54
4.5 Integrais Triplas ..............................................................................................................................................................57
4.6 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................59
4.7 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................59
5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................................................................ 61
5.1 O que é uma Equação Diferencial? ........................................................................................................................61
5.2 Solução Geral de uma Equação Diferencial ........................................................................................................64
5.3 Solução Particulares e Condições Iniciais ............................................................................................................65
5.4 Separação de Variáveis ...............................................................................................................................................67
5.5 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................68
5.6 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................68
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 69
REFERÊNCIAS .............................................................................................................................................79
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5
Caro(a) aluno(a),
A apostila Cálculo Diferencial e Integral IV trata-se de um texto elaborado para universitários(as) do 
curso de engenharia, modalidade a distância, e tem por objetivo apresentar algumas técnicas e aplica-
ções de limites, derivadas e integrais de funções de duas ou mais variáveis e, ainda, das equações dife-
renciais.
Em algumas ocasiões, detalharemos a resolução de exercícios e, em outras, serão propostos mais 
alguns, o que o(a) fará recorrer aos conceitos assimilados, ou seja, passar por um processo da construção 
do conhecimento. Embora a resolução de alguns exemplos seja bem detalhada e você possa contar com 
a apresentação de respostas comentadas às atividades propostas, é importante que você não falte às 
aulas satélites, durante as quais vamos “conversar” sobre teorias, resolução de exercícios e esclarecimento 
das dúvidas mais frequentes. Os “raros” exercícios que não apresentam respostas serão “explicados” nas 
aulas Satélite e Web ou as resoluções comentadas serão postadas em material de apoio, quando não fo-
rem solicitados em atividade avaliativa.
É muito importante que você “visite” frequentemente o nosso ambiente virtual de ensino, pois é 
nele que estaremos disponibilizando todas as atividades, calendários para a entrega das atividades, dicas 
de pesquisa, notas etc. Por meio dele, você poderá fazer seus questionamentos e obter as respostas. Lem-
bre-se que só tem dúvida o(a) aluno(a) que participa das aulas, lê a apostila e “tenta” resolver os exercícios 
propostos. Encaminhe suas dúvidas para o fórum de debates, pois tanto o seu questionamento quanto a 
resposta serão disponibilizados para todos(as) os(as) alunos(as) do curso e, dessa forma, estaremos socia-
lizando o conhecimento. É muito interessante ler as questões e respostas dadas aos colegas, pois nesse 
momento também aprendemos.
Esta apostila está dividida em cinco capítulos. O capítulo 1 está composto por uma introdução à 
função de duas ou mais variáveis. No capítulo 2, resolveremos alguns exemplos sobre limites. Já no capí-
tulo 3, estudaremos a derivada de funções de duas variáveis e algumas de suas aplicações e, no capítulo 
4, dedicaremo-nos a algumas técnicas de integração e aplicações para funções de duas variáveis. Para 
finalizar, no capítulo 5, apresentaremos as equações diferenciais.
Esperamos que você aproveite este material e faça sugestões para que possamos melhorá-lo. Sua 
contribuição será de fundamental importância.
Sandra Regina Leme Forster
INTRODUÇÃO
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Prezado(a) aluno(a),
Até o presente momento do curso, estuda-
mos funções de uma única variável independente. 
Muitas grandezas na Ciência, Administração, Enge-
nharia etc., entretanto, são funções não apenas de 
uma, mas de duas ou mais variáveis independen-
tes.
O conceito de função de duas ou várias va-
riáveis reais é análogo ao de função de uma variá-
vel real. Por exemplo, as equações z = 3 – x – y e 
22 yx4z −−= exprimem z como uma função 
de x e y. Nos dois casos, o z é uma variável depen-
dente e x e y são variáveis independentes. Observe 
que, no primeiro exemplo, para qualquer x e y real, 
obtém-se z real. Já no segundo exemplo, tem-se 
que, para z existir no campo dos números reais, é 
necessário que 4 – x² - y² seja um número positivo 
ou nulo, ou seja, 0yx4 22 ≥−− . Em outras pala-
vras, ao se trabalhar com uma função de duas ou 
mais variáveis, é importante descrever o domínio 
“D” de cada uma delas.
FUNÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS1
1.1 Definições
AtençãoAtenção
Função de duas variáveis
Se a cada par ordenado (x,y) de um conjunto do-
mínio D corresponde um único número real z = 
f(x,y), então dizemos que f é uma função de x e y. 
O conjunto de valores de z é a imagem de f.
Uma das formas de representar o domínio D 
dessa definição é por meio de pontos no plano xy 
e o contradomínio por pontos de uma reta real, o 
qual será representado pelo eixo z, conforme a Fi-
gura 1.1, em que setas associam pares ordenados 
em D aos números correspondentes no contrado-
mínio.
Figura 1.1 – Uma representação gráfica para a função de duas variáveis.
 
f(x0,y0) 
 
 
f(x1,y1) 
 
Z 
 (x0,y0) 
 
 (x1,y1) 
 
 (x2,y2) 
D 
y 
x 
Sandra Regina Leme Forster
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Outra forma de representar uma função de 
duas variáveis independentes é esboçar o gráfico 
no sistema tridimensional de coordenadas, confor-
me ilustra a Figura 1.2. Para tanto, o eixo z é per-
pendicular aos eixos x e y. Essa forma de represen-
tação é a que utilizaremos nesta disciplina.
Figura 1.2 – Representação no sistema tridimensional de coordenadas 
para a função de duas variáveis.
Função de Várias Variáveis
Para ampliar o conceito de função a funções 
de um número qualquer de variável, é necessário 
considerar pontos em um espaço numérico n-di-
mensional. Da mesma forma que denotamos um 
ponto em R por um número real x, um ponto em R² 
por um par ordenado de números reais (x,y), con-
forme pode ser visto por definição, e um ponto em 
R³ por uma tripla ordenada de números reais (x, y, 
z), um ponto no espaço numérico n-dimensional, 
Rn, é representado por uma n-upla de números 
reais, sendo comumente denotado por P = (x1,x2, 
x3,..., xn). Em particular, se n = 1, P = x; se n = 2, P = (x, 
y); se n = 3, P = (x, y, z); se n = 5, P = (x1,x2, x3, x4, x5).
 
f(x0,y0) 
 
 
f(x1,y1) 
 
f(x2,y2) 
 
 0 
 
Z 
 (x0,y0) 
 
 (x1,y1) 
 
D 
y 
x 
f(x0,y0, z0) 
 
 
 
f(x1,y1, z1) 
 
 
 f(x2,y2, z2) 
 
 
 
AtençãoAtenção
Definição – Função de n-variáveis
Seja A um conjunto do espaço n-dimensional (A ⊆ Rn), isto é, os elementos de A são n-uplas ordenadas 
(x1,x2, x3,..., xn) de números reais, se a cada ponto P do conjunto A associamos um único elemento z ∈ R, 
temos uma função f : A ⊆ Rn → R). Essa é chamada função de n-variáveis e denota-se por:
Z = f(p) ou z = f(x1,x2, x3,..., xn). O conjunto A é o domínio da função z = f(p).
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Observe que, se n = 3, o domínio da função 
será formado por triplas ordenadas e, dessa forma, 
cada uma dessas triplas será representada no sis-
tema tridimensional de coordenadas, ou seja, cada 
elemento do domínio está no espaço. Então se per-
gunta: onde é que a imagem será representada?
Embora, neste capítulo, exista a apresenta-
ção da definição de funções de mais de duas variá-
veis, este não será o nosso objeto de estudos. Caso 
você tenha a intenção de aprofundar seus estudos 
no assunto “funções”, dê preferência, inicialmente, 
às funções de uma e duas variáveis. 
Mas por que será que esse assunto será trata-
do neste curso?
Vamos ver isso a seguir.
1.2 Aplicações
Querido(a) aluno(a),
São inúmeras as aplicações de funções de duas ou mais variáveis reais. A seguir, estão listados al-
guns dos exemplos e, mais adiante, alguns deles serão resolvidos detalhadamente. 
Exemplos
a) O volume de um cilindro circular reto depende de seu raio e altura e é dado por V = pr²h;
b) O volume de uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo depende do comprimento x, 
altura y e largura z, ou seja, V = xyz;
c) De acordo com a lei do gás ideal, o volume ocupado por um gás confinado é diretamente pro-
porcional à sua temperatura e inversamente proporcional à sua pressão (V = nRT / P); 
d) O custo C de um produto pode depender do custo do trabalho Ct, preço de materiais Pm e 
despesas gerais Dg (C = Ct + Pm + Dg);
e) A quantidade de poluente emitida por uma chaminé de h metros de altura, a x quilômetros da 
origem da emissão e y metros do chão, terá aconcentração aproximada de poluente represen-
tada pela fórmula: 
( ) .)hy(
x
b)y,x(ke)hy(
x
b)y,x(honde,ee
x
a)y,x(P 22
2
2
)y,x(k)y,x(h
2 +−=−−=+=
Onde a e b são constantes que dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão do 
poluente.
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De forma análoga ao Cálculo de uma variável, os conjuntos Domínio e Imagem de uma função são 
relevantes para o estudo das funções de várias variáveis.
Definição do Domínio e da Imagem de uma Função de duas Variáveis Independentes
Seja f : A ⊆ R² → R uma função.
a) O conjunto de todas as variáveis independentes u ⊆ R² tais que f(u) existe é chamado domínio 
de f e é denotado por Dom(f);
b) O conjunto dos z ∈ R tais que f(u) = z e u ∈ Dom(f) é chamado imagem de f e é denotado por 
Im(f ).
Na prática, o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema.
Exemplos
Determine o domínio e a imagem das funções:
a) z = 3 – x – y
Solução:
Como não há restrições (por não se tratar de alguma aplicação específica, como, por exemplo, em 
Administração ou Engenharia), supõe-se que o domínio seja o conjunto de todos os pontos para os quais 
a equação definidora tenha sentido. Note que, para qualquer valor real de x e y, o z também é um valor 
real. Logo, o domínio dessa função é o conjunto de pontos (x,y) tal que (x,y) pertença a R². Isso poderá 
ser respondido, resumidamente:
D(f ) = ∀(x,y) ∈ R², ou seja D(f ) = R².
A imagem da função z = 3 – x – y é formada por todos os valores possíveis de z. Nesse exemplo, z 
pode assumir qualquer valor real, logo:
1.3 Domínio e Imagem
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b) 22 yx4z −−=
Solução:
Como não há restrições (por não se tratar de alguma aplicação específica), supõe-se que o domínio 
seja o conjunto de todos os pontos para os quais a equação definidora tenha sentido. Note que 4 – x² - y² 
está sobre um radical de índice par e, por isso, essa expressão deverá ser não negativa:
4yx4yx0yx4 222222 ≤+⇒−≥−−⇒≥−−
Então: 
D(f ) = {(x,y) ∈ R² / 4yx 22 ≤+ }
Assim, o domínio dessa função é todos os pontos pertencentes à circunferência x² + y² = 4 ou ao 
seu interior, ou seja, do círculo de raio 2 e centro na origem.
A imagem da função 22 yx4z −−= é formada por todos os valores possíveis de z, com .2z0 ≤≤
��
b. O conjunto dos z  R tais que f(u) = z e u  Dom(f) é chamado imagem de f e é 
denotado por Im(f). 
 
Na prática, o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema. 
 
Exemplos 
 
Determine o domínio e a imagem das funções: 
 
a. z = 3 – x – y 
 
Solução: 
Como não há restrições (por não se tratar de alguma aplicação específica, como, por 
exemplo, em Administração ou Engenharia), supõe-se que o domínio seja o conjunto de todos 
os pontos para os quais a equação definidora tenha sentido. Note que, para qualquer valor real 
de x e y, o z também é um valor real. Logo, o domínio dessa função é o conjunto de pontos (x,y) 
tal que (x,y) pertença a R². Isso poderá ser respondido, resumidamente: 
D(f) = �(x,y)  R², ou seja D(f) = R². 
A imagem da função z = 3 – x – y é formada por todos os valores possíveis de z. Nesse 
exemplo, z pode assumir qualquer valor real, logo: 
 
Im(f) = R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ \]������� ��������������Domínio R² [\ ]� I ma g e
m 
��Não faremos esse tipo de representação, mas trata-se de uma forma para facilitar o entendimento. Em cinza está o plano representado pelos pontos (x,y,z), ou seja, a imagem da função. O domínio é todos os pontos (x,y) do plano xy. ��
b. �� \[�] �� 
 
Solução: 
Como não há restrições (por não se tratar de alguma aplicação específica), supõe-se 
que o domínio seja o conjunto de todos os pontos para os quais a equação definidora tenha 
sentido. Note que 4 – x² - y² está sobre um radical de índice par e, por isso, essa expressão deverá 
ser não negativa: �\[�\[�\[� ������ d�Ÿ�t��Ÿt�� 
Então: 
D(f) = {(x,y)  R² / �\[ �� d� } 
Assim, o domínio dessa função é todos os pontos pertencentes à circunferência x² + 
y² = 4 ou ao seu interior, ou seja, do círculo de raio 2 e centro na origem. 
A imagem da função �� \[�] �� é formada por todos os valores possíveis de z, 
com ��]� dd 
Im(f) = { z  R / �]� dd } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Um modelo que representa o tempo médio gasto em filas por um cliente é dado pela função \[ ��\�[�Z � , onde y é a taxa média de chegada e x, a taxa média de atendimento (x e y são 'RPtQLR�5ð�
]�
I 
m
a 
g 
e
m 
��[\ ����� ����� �� Em cinza, está a superfície que representa todos os pontos (x,y,z). [ \] �������� � �
��
b. �� \[�] �� 
 
Solução: 
Como não há restrições (por não se tratar de alguma aplicação específica), supõe-se 
que o domínio seja o conjunto de todos os pontos para os quais a equação definidora tenha 
sentido. Note que 4 – x² - y² está sobre um radical de índice par e, por isso, essa expressão deverá 
ser não negativa: �\[�\[�\[� ������ d�Ÿ�t��Ÿt�� 
Então: 
D(f) = {(x,y)  R² / �\[ �� d� } 
Assim, o domínio dessa função é todos os pontos pertencentes à circunferência x² + 
y² = 4 ou ao seu interior, ou seja, do círculo de raio 2 e centro na origem. 
A imagem da função �� \[�] �� é formada por todos os valores possíveis de z, 
com ��]� dd 
Im(f) = { z  R / �]� dd } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Um modelo que representa o tempo médio gasto em filas por um cliente é dado pela função \[ ��\�[�Z � , onde y é a taxa média de chegada e x, a taxa média de atendimento (x e y são 'RPtQLR�5ð�
]�
I 
m
a 
g 
e
m 
��[\ ����� ����� �� Em cinza, está a superfície que representa todos os pontos (x,y,z). [ \] �������� � �
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c) Um modelo que representa o tempo médio gasto em filas por um cliente é dado pela função 
yx
1)y,x(w
−
= , onde y é a taxa média de chegada e x, a taxa média de atendimento (x e y são 
dados em números de clientes por hora). Quais valores de x e y são aceitos para que o modelo 
exista?
Solução:
Como se trata de um problema de aplicação, note que existem restrições. O x e o y são taxas e a 
soma dessas taxas é um valor positivo. Com isso, temos que o denominador dessa função será um núme-
ro positivo, ou seja, x – y > 0, portanto x > y.
D(f ) = {(x,y) ∈ R / x > y}
Definição do Domínio e da Imagem de uma Função de várias Variáveis Independentes
Seja f : A ⊆ Rn → R uma função.
1. O conjunto de todas as variáveis independentes u ∈ Rn tais que f(u) existe é chamado domínio 
de f e é denotado por Dom(f);
2. O conjunto dos z ∈ R tais que f(u) = z e u ∈ Dom(f) é chamado imagem de f e é denotado por 
Im(f ).
Na prática, o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema, conforme pode 
ser visto no exemplo (c) apresentado anteriormente.
Exemplos 
Determine o domínio das funções:
a) f(x, y,z) = 222 zyx4 −−−
Solução:
Para que 222 zyx4 −−− seja um número real, devemos 
ter: 
⇒−≥−−−⇒≥−−− 4zyx0zyx4 222222 4xyx 222 ≤++ . Assim,
D(f ) = {(x,y) ∈ R² / 4zyx 222 ≤++ }.
Esse domínio representa uma região esférica no R3.
��
dados em números de clientes por hora). Quais valores de x e y são aceitos para que o modelo 
exista? 
 
Solução: 
Como se trata de um problema de aplicação, note que existem restrições. O x e o y são 
taxas e a soma dessas taxas é um valor positivo. Com isso, temos que o denominador dessa 
função será um número positivo, ou seja, x – y > 0, portanto x > y. 
D(f) = {(x,y)  R / x > y} 
 
Definição do Domínio e da Imagem de uma Função de várias Variáveis Independentes 
 
Seja f : A Ž Rn ĺ R umafunção. 
1.�O conjunto de todas as variáveis independentes u  Rn tais que f(u) existe é 
chamado domínio de f e é denotado por Dom(f); 
2.�O conjunto dos z  R tais que f(u) = z e u  Dom(f) é chamado imagem de f e é 
denotado por Im(f). 
 
Na prática, o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema, 
conforme pode ser visto no exemplo (c) apresentado anteriormente. 
Exemplos 
 
Determine o domínio das funções: 
a. f(x, y,z) = ��� ]\[� ��� 
 
Solução: 
 Para que ��� ]\[� ��� seja um número 
real, devemos ter: Ÿ�t���Ÿt��� �]\[�]\[� ������
 �[\[ ��� d�� . Assim, 
D(f) = {(x,y)  R² / �]\[ ��� d�� }. [ \
] �
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13
b) 
4321 xxxx
2T
+++
=
Solução:
Trata-se de uma função de 4 variáveis independentes. As variáveis independentes apresentam uma 
soma pertencente ao denominador da função. Por esse motivo, essa soma deve ser diferente de zero. 
Logo, temos T ∈ R, se x1 + x2 + x3 + x4 ≠ 0. 
Portanto:
D(T) = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R
4 / x1 + x2 + x3 + x4 ≠ 0}.
Esse domínio não tem uma representação gráfica, pois é um subconjunto do espaço R4.
c) Imagine um circuito com 4 resistores. A corrente desse circuito é função das resistências Ri (i = 
1, ..., 4). Essa corrente pode ser determinada por meio do modelo 
4321 RRRR
EI
+++
= . Qual 
é o valor de Ri (i = 1, ..., 4) para que essa corrente exista?
Solução:
Trata-se de uma aplicação e devemos ficar atentos às restrições. As resistências não assumem valo-
res negativos, dessa forma Ri ≥ 0 (i = 1, ..., 4). Como o denominador tem de ser diferente de zero e, nesse 
caso, a soma das resistências é um valor positivo, ou seja:
D(T) = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R
4
+
* / x1 + x2 + x3 + x4 > 0}.
1.4 Gráficos e Equações de uma Superfície
Você deve se lembrar de que todas as fun-
ções de uma variável que estudamos na disciplina 
Cálculo I podiam ser representadas por meio de 
um gráfico. Isso também ocorre com as funções de 
duas variáveis.
O gráfico de uma função de duas variáveis z 
= f(x,y), como pode ser observado nos exemplos 
anteriores sobre funções de duas variáveis, é o 
conjunto de todos os pontos (x,y,z) ∈ R3, tais que 
(x,y) ∈ D(f ) e z = f(x,y). Esse conjunto de pontos for-
ma uma superfície no espaço.
Nem toda superfície no espaço representa o 
gráfico de uma função z = f(x,y). Se f é uma função, 
cada ponto de seu domínio pode ter somente uma 
imagem, por esse motivo a superfície S represen-
tará o gráfico de uma função z = f(x,y) se qualquer 
reta perpendicular ao plano xy cortar S no máximo 
em um ponto, conforme ilustra a Figura 1.3.
Embora a Figura 1.3b não represente o gráfi-
co de uma função, ela apresenta o gráfico de uma 
equação e isso evidencia que nem toda equação é 
uma função, mas que uma função é uma equação 
e que essa, desde que tenha no máximo 3 variá-
veis, poderá ser representada em um sistema tridi-
mensional de coordenadas.
Neste tópico, ou seja, em “Gráficos e equa-
ções de uma superfície”, estudaremos os gráficos e 
equações da esfera, do plano, das superfícies quá-
dricas e os traços de uma superfície. 
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14
Figura 1.3 – Identificando o gráfico de uma função.
��
O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y), como pode ser observado nos 
exemplos anteriores sobre funções de duas variáveis, é o conjunto de todos os pontos (x,y,z)  
R3, tais que (x,y)  D(f) e z = f(x,y). Esse conjunto de pontos forma uma superfície no espaço. 
Nem toda superfície no espaço representa o gráfico de uma função z = f(x,y). Se f é uma 
função, cada ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem, por esse motivo a superfície 
S representará o gráfico de uma função z = f(x,y) se qualquer reta perpendicular ao plano xy 
cortar S no máximo em um ponto, conforme ilustra a Figura 1.3. 
Embora a Figura 1.3b não represente o gráfico de uma função, ela apresenta o 
gráfico de uma equação e isso evidencia que nem toda equação é uma função, mas que uma 
função é uma equação e que essa, desde que tenha no máximo 3 variáveis, poderá ser 
representada em um sistema tridimensional de coordenadas. 
Neste tópico, ou seja, em “Gráficos e equações de uma superfície”, estudaremos os 
gráficos e equações da esfera, do plano, das superfícies quádricas e os traços de uma superfície. 
 
 
Figura 1.3 – Identificando o gráfico de uma função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No decorrer das leituras e ilustrações, você notará que a maioria dessas equações não 
representa uma função. 
 
A Esfera 
 
Você sabe responder o que é uma esfera? 
=� \�[� D��)XQomR� =� \�[� E��1mR�p�)XQomR�
No decorrer das leituras e ilustrações, você notará que a maioria dessas equações não representa 
uma função.
A Esfera
Você sabe responder o que é uma esfera?
Se sua resposta foi “uma esfera de centro (xc, yc, zc) e raio r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z), tais 
que a distância entre (x, y, z) e (xc, yc, zc) é constante e igual a r”, então você acertou!
AtençãoAtenção
A equação padrão de uma esfera de centro (xc, yc, zc) e raio r é:
 
Se a esfera tiver centro na origem, ou seja, se (xc, yc, zc) = (0, 0, 0), a equação será dada por:
 
2 2 2 2( ) ( ) ( ) .c c cx x y y z z r− + − + − =
2 2 2 2.x y z r+ + =
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15
Exemplo
Determine a equação padrão da esfera de centro (3, 3, 4) e raio 4. Essa esfera intercepta o plano xy?
Solução:
Como vimos, 22c
2
c
2
c r)zz()yy()xx( =−+−+− é a equação padrão da esfera. O problema apre-
senta o centro e o raio da esfera e esses valores devem ser substituídos na fórmula. Dessa forma, a equa-
ção será:
2222 4)4z()3y()3x( =−+−+−
A coordenada z do centro da esfera está a 4 unidades e o raio 
também é de 4 unidades. Como o raio tem 4 unidades, sabemos que 
a distância do centro a qualquer ponto da superfície da esfera é de 
4 unidades. A distância do centro ao plano xy também é de 4 unida-
des, uma vez que a coordenada z do centro é de 4 unidades. Como a 
distância do centro ao plano xy é igual ao raio, podemos afirmar que 
essa esfera toca o plano xy no ponto (3, 3, 0).
Traços de Superfície
Caro(a) aluno(a),
Você sabe o que é ou como se determina o traço de uma superfície?
Traço é a determinação da interseção de uma superfície com um dos três planos coordenados ou 
com o plano paralelo a um deles. 
Mas qual é a importância de se determinar o traço de uma superfície?
Um dos objetivos para desenharmos o traço de uma superfície é que este auxilia na visualização do 
gráfico e, em alguns casos, nos orienta em como esboçá-los.
O traço xy de uma superfície é formado por todos os pontos comuns à superfície estudada e ao 
plano xy. Analogamente, o traço xz de uma superfície consiste em todos os pontos comuns à superfície 
e ao plano xz.
��
Se sua resposta foi “uma esfera de centro (xc, yc, zc) e raio r é o conjunto de todos os pontos (x, 
y, z), tais que a distância entre (x, y, z) e (xc, yc, zc) é constante e igual a r”, então você acertou! 
 
Atenção 
 
Exemplo 
 
Determine a equação padrão da esfera de centro (3, 3, 4) e raio 4. Essa esfera intercepta o 
plano xy? 
 
Solução: 
Como vimos, ��F�F�F U�]]��\\��[[� ����� é a equação padrão da esfera. O 
problema apresenta o centro e o raio da esfera e esses valores devem ser substituídos na 
fórmula. Dessa forma, a equação será: ���� ���]���\���[� ����� 
A coordenada z do centro da esfera está a 4 
unidades e o raio também é de 4 unidades. Como o raio 
tem 4 unidades, sabemos que a distância do centro a 
qualquer ponto da superfície da esfera é de 4 unidades. 
A distância docentro ao plano xy também é de 4 
unidades, uma vez que a coordenada z do centro é de 4 
unidades. Como a distância do centro ao plano xy é 
igual ao raio, podemos afirmar que essa esfera toca o 
plano xy no ponto (3, 3, 0). 
 
=� \�[� �������������������� U� ��
$�HTXDomR�SDGUmR�GH�XPD�HVIHUD�GH�FHQWUR��[F��\F��]F��H�UDLR�U�p���U�]]��\\��[[� ��F�F�F ����� �6H� D� HVIHUD� WLYHU� FHQWUR� QD� RULJHP�� RX� VHMD�� VH� �[F�� \F�� ]F�� � ���� ��� ���� D�HTXDomR�VHUi�GDGD�SRU�� ����� U]\[ ��
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16
Exemplo
Determine a equação do traço da esfera 2222 4)4z()3y()3x( =−+−+− com o plano xz.
Solução:
Para determinar o traço xz dessa superfície, lembre-se de que todo ponto do plano xz tem coor-
denada y = 0. Assim, fazendo y = 0 na equação dada, a equação resultante representará a interseção da 
superfície com o plano xz.
2 2 2 2( 3) ( 3) ( 4) 4x y z− + − + − = Equação da esfera.
2 2 2 2( 3) (0 3) ( 4) 4x z− + − + − = Fazer y = 0 para determinar o traço xz.
2 2 2( 3) 3 ( 4) 16x z− + + − =
2 2( 3) ( 4) 16 9x z− + − = −
2 2 2( 3) ( 4) ( 7)x z− + − =
Equação da circunferência (essa equação 
representa o traço).
O Plano
Bom, agora que já estudamos, mesmo que de forma resumida, a esfera e os traços de uma superfí-
cie, que tal trabalharmos um pouquinho o plano?
Vamos a ele?
Os traços das interseções do plano represen-
tado por essa equação com cada um dos três planos 
coordenados são linhas retas. Os pontos em que o 
plano intercepta os três eixos coordenados x, y e z são 
os interceptos x, y e z do plano. Com a união desses 
três pontos, formamos uma região triangular que fa-
cilita a visualização desse plano no espaço, conforme 
pode ser observado na Figura 1.4.
��
Traços de Superfície 
 
Caro(a) aluno(a), 
Você sabe o que é ou como se determina o traço de uma superfície? 
Traço é a determinação da interseção de uma superfície com um dos três planos 
coordenados ou com o plano paralelo a um deles. 
Mas qual é a importância de se determinar o traço de uma superfície? 
Um dos objetivos para desenharmos o traço de uma superfície é que este auxilia na 
visualização do gráfico e, em alguns casos, nos orienta em como esboçá-los. 
O traço xy de uma superfície é formado por todos os pontos comuns à superfície 
estudada e ao plano xy. Analogamente, o traço xz de uma superfície consiste em todos os 
pontos comuns à superfície e ao plano xz. 
 
Exemplo 
 
Determine a equação do traço da esfera ���� ���]���\���[� ����� com o plano xz. 
 
Solução: 
Para determinar o traço xz dessa superfície, lembre-se de que todo ponto do plano xz 
tem coordenada y = 0. Assim, fazendo y = 0 na equação dada, a equação resultante representará 
a interseção da superfície com o plano xz. 
 ���� ���]���\���[� ����� Equação da esfera.���� ���]�������[� ����� Fazer y = 0 para determinar o 
traço xz. ����]����[� ��� ���� �����]���[� �� � ��� ��� ��������� ��� ][ Equação da circunferência
(essa equação representa o 
traço). 
 
=� \�[� �������������������� U� ��
AtençãoAtenção
A equação geral de um plano no espaço é dada 
por:
ax + by + cz = d.
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17
Figura 1.4 – Determinação de uma região plana por seus traços.
��
O Plano 
 
 Bom, agora que já estudamos, mesmo que de forma resumida, a esfera e os traços de 
uma superfície, que tal trabalharmos um pouquinho o plano? 
 Vamos a ele? 
Atenção 
 
 
 
 
Os traços das interseções do plano representado por essa equação com cada um dos três 
planos coordenados são linhas retas. Os pontos em que o plano intercepta os três eixos 
coordenados x, y e z são os interceptos x, y e z do plano. Com a união desses três pontos, 
formamos uma região triangular que facilita a visualização desse plano no espaço, conforme 
pode ser observado na Figura 1.4. 
 
Figura 1.4 – Determinação de uma região plana por seus traços. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nem sempre o plano no espaço tem os três interceptos. Isso ocorre quando ao menos um 
dos coeficientes da equação ax + by + cz = d é igual a zero. Observe, na Figura 1.5, duas 
situações em que isso ocorre. 
 
 
 
 
 
=� \� 7UDoR�[\��D[���E\� �G�7UDoR�\]��E\���F]� �G�7UDoR�[]��D[���F]� �G� [�
$�HTXDomR�JHUDO�GH�XP�SODQR�QR�HVSDoR�p�GDGD�SRU��D[���E\���F]� �G��
Nem sempre o plano no espaço tem os três interceptos. Isso ocorre quando ao menos um dos coe-
ficientes da equação ax + by + cz = d é igual a zero. Observe, na Figura 1.5, duas situações em que isso 
ocorre. 
Figura 1.5 – Região plana com menos de três interceptos.
��
Figura 1.5 – Região plana com menos de três interceptos. 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Esboce o gráfico da região plana dada por 4x + 2y + 6z = 12. 
 
Solução: 
 
Para esboçar o gráfico dessa região plana, primeiramente determinaremos os 
interceptos x, y e z, pois com eles desenharemos a região triangular que nos dará a possibilidade 
de facilmente traçarmos o plano desejado. 
Para determinarmos o intercepto x, façamos y = z = 0, daí teremos: 
4x + 2.0 + 6.0 = 12 Ÿ 4x = 12 Ÿ x = 3. 
Assim, o intercepto x é (3, 0, 0). 
Para determinarmos o intercepto y, façamos x = z = 0, daí teremos: 
4.0 + 2.y + 6.0 = 12 Ÿ 2y = 12 Ÿ y = 6. 
Assim, o intercepto y é (0, 6, 0). 
Para determinarmos o intercepto z, façamos x = y = 0, daí teremos: 
4.0 + 2.0 + 6.z = 12 Ÿ 6z = 12 Ÿ x = 2. 
Assim, o intercepto x é (0, 0, 2). 
 
 
3ODQR��E\���F]� �G�p�SDUDOHOR�[� 3ODQR��D[� �G�p�SDUDOHOR�DR�SODQR�\]� \�]� [ \]
Exemplo
Esboce o gráfico da região plana dada por 4x + 2y + 6z = 12.
Solução:
Para esboçar o gráfico dessa região plana, primeiramente determinaremos os interceptos x, y e z, 
pois com eles desenharemos a região triangular que nos dará a possibilidade de facilmente traçarmos o 
plano desejado.
Para determinarmos o intercepto x, façamos y = z = 0, daí teremos:
4x + 2.0 + 6.0 = 12 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3.
Assim, o intercepto x é (3, 0, 0). 
Sandra Regina Leme Forster
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18
Para determinarmos o intercepto y, façamos x = z = 0, daí teremos:
4.0 + 2.y + 6.0 = 12 ⇒ 2y = 12 ⇒ y = 6.
Assim, o intercepto y é (0, 6, 0). 
Para determinarmos o intercepto z, façamos x = y = 0, daí teremos:
4.0 + 2.0 + 6.z = 12 ⇒ 6z = 12 ⇒ z = 2.
Assim, o intercepto x é (0, 0, 2). ��
Querido(a) aluno(a), 
Sugiro que faça uma pesquisa para estudar e observar como são os gráficos dos planos
que não apresentam os três interceptos. Ao término, tente descrever esses resultados e suas 
conclusões no fórum de discussões. 
Superfícies Quádricas
As superfícies quádricas que estudaremos a seguir são: cone elíptico, paraboloide 
elíptico, paraboloide hiperbólico, elipsoide, hiperboloide de uma folha e hiperboloide de duas 
folhas. 
Atenção 
A seguir, vamos ver resumidamente os seis tipos básicos de superfícies quádricas. 
Cone elíptico 
=� \�[� ������ =� \�[� ������ 3DUDOHOR�DR�WUDoR�\]�3DUDOHOR�DR�WUDoR�[]� 3DUDOHOR�DR�WUDoR�[]�3ODQR���[����\����]� ����
3DUDOHOR�DR�WUDoR�\]�
7RGD� VXSHUItFLH� TXiGULFD� �HP�XP� VLVWHPD� GH� HL[RV� UHWDQJXODUHV�� WHP� XPD�HTXDomR�GD�IRUPD�$[ð���%\ð���&]ð��'[���(\���)]���*� ����
Querido(a) aluno(a),
Sugiro que faça uma pesquisa para estudar e observar como são os gráficos dos planos que não 
apresentam os três interceptos. Ao término, tente descrever esses resultados e suas conclusões no fórum 
de discussões.
Superfícies Quádricas
As superfícies quádricas que estudaremos a seguir são: cone elíptico, paraboloide elíptico, parabo-
loide hiperbólico,elipsoide, hiperboloide de uma folha e hiperboloide de duas folhas.
A seguir, vamos ver resumidamente os seis tipos 
básicos de superfícies quádricas.
AtençãoAtenção
Toda superfície quádrica (em um sistema de ei-
xos retangulares) tem uma equação da forma 
Ax² + By² + Cz² +Dx + Ey + Fz + G = 0.
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19
Cone elíptico
A equação do cone elíptico tem a forma: 
2 2 2
2 2 2 0.
x y z
a b c
+ − =
Figura 1.6 – Cone elíptico.
��
A equação do cone elíptico tem a forma: �F]E\D[ ������ �� . 
 
Figura 1.6 – Cone elíptico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O eixo do cone corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Os traços nos planos 
coordenados paralelos a esse eixo são retas que se interceptam. 
 
Paraboloide elíptico 
A equação do paraboloide elíptico tem a forma: ���� E\D[] � . 
 
 O eixo do paraboloide elíptico corresponde à variável elevada à primeira potência. 
Observe a Figura 1.7. 
Figura 1.7 – Paraboloide elíptico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7UDoR��+LSpUEROHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�\]� [ \][ \] 7UDoR��(OLSVHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�[\�7UDoR��+LSpUEROHV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[] (L[R�GR�FRQH7UDoR �\]7UDoR � [] 7UDoR���[\��XP SRQWR�
7UDoR��3DUiERODV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[][ \] [ \]7UDoR��3DUiERODV�SDUDOHODV�DR�SODQR�\]7UDoR�(OLSVHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�[\�
(L[R�GD�3DUDERORLGH7UDoR �\]7UDoR �[] 7UDoR�±[\��XP SRQWR�
O eixo do cone corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Os traços nos planos coordena-
dos paralelos a esse eixo são retas que se interceptam.
Paraboloide elíptico
A equação do paraboloide elíptico tem a forma: 
2 2
2 2 .
x yz
a b
= +
O eixo do paraboloide elíptico corresponde à variável elevada à primeira potência. 
Observe a Figura 1.7.
Figura 1.7 – Paraboloide elíptico.
��
A equação do cone elíptico tem a forma: �F]E\D[ ������ �� . 
 
Figura 1.6 – Cone elíptico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O eixo do cone corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Os traços nos planos 
coordenados paralelos a esse eixo são retas que se interceptam. 
 
Paraboloide elíptico 
A equação do paraboloide elíptico tem a forma: ���� E\D[] � . 
 
 O eixo do paraboloide elíptico corresponde à variável elevada à primeira potência. 
Observe a Figura 1.7. 
Figura 1.7 – Paraboloide elíptico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7UDoR��+LSpUEROHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�\]� [ \][ \] 7UDoR��(OLSVHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�[\�7UDoR��+LSpUEROHV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[] (L[R�GR�FRQH7UDoR �\]7UDoR � [] 7UDoR���[\��XP SRQWR�
7UDoR��3DUiERODV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[][ \] [ \]7UDoR��3DUiERODV�SDUDOHODV�DR�SODQR�\]7UDoR�(OLSVHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�[\�
(L[R�GD�3DUDERORLGH7UDoR �\]7UDoR �[] 7UDoR�±[\��XP SRQWR�
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20
Paraboloide hiperbólico
A equação do paraboloide hiperbólico tem a forma: 
2 2
2 2 .
y xz
b a
= −
Figura 1.8 – Paraboloide hiperbólico.
��
 
 
Paraboloide hiperbólico 
A equação do paraboloide hiperbólico tem a forma: ���� D[E\] � . 
Figura 1.8 – Paraboloide hiperbólico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O eixo desse paraboloide corresponde à variável elevada à primeira potência. 
 
Elipsoide 
A equação da elipsoide tem a forma: �F]E\D[ ������ �� . 
 
Figura 1.9 – Elipsoide. 
 
 
 
 
 
 
[ \][ \]7UDoR��3DUiERODV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[] 7UDoR��3DUiERODV��SDUDOHODV�DR�SODQR \]
7UDoR��+LSpUEROHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�[\�
7UDoR��+LSpUEROHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�[\�
(L[R GD 3DUDERORLGH7UDoR � [\ 7UDoR � \]7UDoR ��[]
[ \] [ \]7UDoR��(OLSVHVSDUDOHODV DR SODQR \] 7UDoR��(OLSVHVSDUDOHODV DR SODQR []
7UDoR��(OLSVHVSDUDOHODV DR SODQR [\7UDoR ±[\ 7UDoR ±\]7UDoR ±[]
O eixo desse paraboloide corresponde à variável elevada à primeira potência.
Elipsoide
A equação da elipsoide tem a forma: 
2 2 2
2 2 2 1.
x y z
a b c
+ + =
Figura 1.9 – Elipsoide.
��
 
 
Paraboloide hiperbólico 
A equação do paraboloide hiperbólico tem a forma: ���� D[E\] � . 
Figura 1.8 – Paraboloide hiperbólico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O eixo desse paraboloide corresponde à variável elevada à primeira potência. 
 
Elipsoide 
A equação da elipsoide tem a forma: �F]E\D[ ������ �� . 
 
Figura 1.9 – Elipsoide. 
 
 
 
 
 
 
[ \][ \]7UDoR��3DUiERODV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[] 7UDoR��3DUiERODV��SDUDOHODV�DR�SODQR \]
7UDoR��+LSpUEROHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�[\�
7UDoR��+LSpUEROHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�[\�
(L[R GD 3DUDERORLGH7UDoR � [\ 7UDoR � \]7UDoR ��[]
[ \] [ \]7UDoR��(OLSVHVSDUDOHODV DR SODQR \] 7UDoR��(OLSVHVSDUDOHODV DR SODQR []
7UDoR��(OLSVHVSDUDOHODV DR SODQR [\7UDoR ±[\ 7UDoR ±\]7UDoR ±[]
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21
A superfície de uma elipsoide será uma esfera, se os coeficientes a, b, e c forem iguais e diferentes 
de zero.
Hiperboloide de uma folha
A equação do hiperboloide de uma folha tem a forma: 
2 2 2
2 2 2 1.
x y z
a b c
+ − =
O eixo do hiperboloide corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Observe o gráfico dessa 
equação na Figura 1.10.
Figura 1.10 – Hiperboloide de uma folha.
��
 
A superfície de uma elipsoide será uma esfera, se os coeficientes a, b, e c forem iguais e 
diferentes de zero. 
 
Hiperboloide de uma folha 
A equação do hiperboloide de uma folha tem a forma: �F]E\D[ ������ �� . 
 
O eixo do hiperboloide corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Observe o 
gráfico dessa equação na Figura 1.10. 
 
Figura 1.10 – Hiperboloide de uma folha. 
 
 
 
 
 
 
Hiperboloide de duas folhas 
A equação do hiperboloide de duas folhas tem a forma: �E\D[F] ������ �� . 
 
Figura 1.11 – Hiperboloide de duas folhas. 
 
 
 
 
 
 
[ \] [ \]7UDoR��(OLSVHV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[\7UDoR��+LSpUEROHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�\]7UDoR��+LSpUEROHV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[] 7UDoR ±[] 7UDoR ±\]7UDoR ±[\
[ \] 7UDoR ±[]7UDoR��+LSpUEROHV��SDUDOHORV�DR�SODQR�[][ \] 7UDoR��(OLSVHV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[\7UDoR��+LSpUEROHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�\] 7UDoR��+LSpUEROHV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[] 7UDoR ±\]1mR�Ki�7UDoR ±[\
��
 
A superfície de uma elipsoide será uma esfera, se os coeficientes a, b, e c forem iguais e 
diferentes de zero. 
 
Hiperboloide de uma folha 
A equação do hiperboloide de uma folha tem a forma: �F]E\D[ ������ �� . 
 
O eixo do hiperboloide corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Observe o 
gráfico dessa equação na Figura 1.10. 
 
Figura 1.10 – Hiperboloide de uma folha. 
 
 
 
 
 
 
Hiperboloide de duas folhas 
A equação do hiperboloide de duas folhas tem a forma: �E\D[F] ������ �� . 
 
Figura 1.11 – Hiperboloide de duas folhas. 
 
 
 
 
 
 
[ \] [ \]7UDoR��(OLSVHV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[\7UDoR��+LSpUEROHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�\]7UDoR��+LSpUEROHV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[] 7UDoR ±[] 7UDoR ±\]7UDoR ±[\
[ \] 7UDoR ±[]7UDoR��+LSpUEROHV��SDUDOHORV�DR�SODQR�[][ \] 7UDoR��(OLSVHV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[\7UDoR��+LSpUEROHV�SDUDOHODV�DR�SODQR�\] 7UDoR��+LSpUEROHV��SDUDOHODV�DR�SODQR�[] 7UDoR ±\]1mR�Ki�7UDoR ±[\
Hiperboloide de duas folhas
A equação do hiperboloide de duas folhas tem a forma: 
2 2 2
2 2 2 1.
z x y
c a b
− − =
Figura 1.11 – Hiperboloide de duas folhas.
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22
O eixo do hiperboloide corresponde à variável cujo coeficiente é positivo. Não há traço no plano 
coordenado perpendicular a esse eixo.
Bom, para que você possa melhor entender o que são as curvas quádricas, convido-o(a) a fazer a 
leitura do “Saiba Mais” sobre as cônicas, já que os traços de cada quádrica apresentadaanteriormente são 
representados por uma cônica.
Saiba maisSaiba mais
Curvas cônicas
Foram os discípulos de Pitágoras (540 a.C.) que usaram pela primeira vez esses termos. Por causa deles, podemos descrever o 
desenho curvo que a luz projeta na parede, a parte espelhada da lâmpada de uma lanterna ou a superfície da água no copo, 
entre outras coisas. No século XVI, Kepler (1571-1630) demonstrou que a linha curva descrita por um planeta que gira ao redor 
do Sol é uma elipse e Galileu Galilei (1584-1642) concluiu que a trajetória de um projétil é uma parábola. 
Essas descobertas tornaram mais evidente a importância do estudo desses tipos de curvas. 
Apolônio, grego que viveu na Antiguidade (262 a.C.-190 a.C.) utilizou o termo cônica após observar que essas 
curvas eram obtidas a partir de seções da superfície de um cone de folha dupla.
Séculos depois, com a criação da Geometria Analítica pelo francês René Descartes (1596-1662), as cônicas 
passaram a ser reconhecidas a partir de suas equações. Um grande número de propriedades geométricas e 
óticas faz das curvas cônicas um instrumento adequado para diversas aplicações práticas.
Circunferência
Se cortarmos uma superfície cônica por um plano perpendicular ao eixo do cone (e), obteremos uma circun-
ferência. Assim, podemos entender que a circunferência é o lugar geométrico de todo o conjunto de pontos 
equidistantes de um ponto fixo interior a eles. Esse ponto fixo é o centro da circunferência e a distância desse 
centro à circunferência é denominada raio.
Elipse
É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a soma de suas distâncias até dois pontos fixos (chamados 
focos) é constante. A elipse também é definida como uma curva fechada plana que se produz quando um cone 
de revolução é cortado por um plano oblíquo a seu eixo.
Hipérbole
 É a curva de dois ramos que se origina do corte de um cone de revolução por um plano paralelo ao eixo do cone. 
É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a diferença de suas distâncias até dois pontos fixos (focos da 
hipérbole) é um valor constante.
Parábola
É uma curva plana resultante do corte de um cone de revolução por um plano paralelo à geratriz do cone.
A parábola corresponde ao lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo e de uma 
reta. O ponto fixo chama-se foco da parábola e a reta chama-se diretriz.
As equações reduzidas de cada uma das cônicas são:
Elipse 
Hipérbole 
 
Parábola (y - y0)
2 = 2p (x - x0) ou (y – y0)
2 = - 2p (x - x0)
 (x - x0)
2 = 2p (y - y0) ou (x – x0)
2 = - 2p (y - y0)
Circunferência (x - x0)
2 + (y - y0)
2 = r2
��
 
 
O eixo do hiperboloide corresponde à variável cujo coeficiente é positivo. Não há traço 
no plano coordenado perpendicular a esse eixo. 
 Bom, para que você possa melhor entender o que são as curvas quádricas, convido-o(a) a 
fazer a leitura do “Saiba Mais” sobre as cônicas, já que os traços de cada quádrica apresentada 
anteriormente são representados por uma cônica. 
Saiba Mais 
Curvas cônicas 
Foram os discípulos de Pitágoras (540 a.C.) que usaram pela primeira vez esses 
termos. Por causa deles, podemos descrever o desenho curvo que a luz projeta na parede, a 
parte espelhada da lâmpada de uma lanterna ou a superfície da água no copo, entre outras 
coisas. No século XVI, Kepler (1571-1630) demonstrou que a linha curva descrita por um planeta 
que gira ao redor do Sol é uma elipse e Galileu Galilei (1584-1642) concluiu que a trajetória de 
um projétil é uma parábola. Essas descobertas tornaram mais evidente a importância do estudo 
desses tipos de curvas. 
Apolônio, grego que viveu na Antiguidade (262 a.C.-190 a.C.) 
utilizou o termo cônica após observar que essas curvas eram obtidas a 
partir de seções da superfície de um cone de folha dupla. 
Séculos depois, com a criação da Geometria Analítica pelo 
francês René Descartes (1596-1662), as cônicas passaram a ser 
reconhecidas a partir de suas equações. 
Um grande número de propriedades geométricas e óticas faz das curvas cônicas um 
instrumento adequado para diversas aplicações práticas. 
 
Circunferência 
Se cortarmos uma superfície cônica por um plano perpendicular 
ao eixo do cone (e), obteremos uma circunferência. Assim, podemos 
entender que a circunferência é o lugar geométrico de todo o conjunto de 
pontos equidistantes de um ponto fixo interior a eles. 
 
Esse ponto fixo é o centro da circunferência e a distância desse centro à 
circunferência é denominada raio. 
��
 
 
O eixo do hiperboloide corresponde à variável cujo coeficiente é positivo. Não há traço 
no plano coordenado perpendicular a esse eixo. 
 Bom, para que você possa melhor entender o que são as curvas quádricas, convido-o(a) a 
fazer a leitura do “Saiba Mais” sobre as cônicas, já que os traços de cada quádrica apresentada 
anteriormente são representados por uma cônica. 
Saiba Mais 
Curvas cônicas 
Foram os discípulos de Pitágoras (540 a.C.) que usaram pela primeira vez esses 
termos. Por causa deles, podemos descrever o desenho curvo que a luz projeta na parede, a 
parte espelhada da lâmpada de uma lanterna ou a superfície da água no copo, entre outras 
coisas. No século XVI, Kepler (1571-1630) demonstrou que a linha curva descrita por um planeta 
que gira ao redor do Sol é uma elipse e Galileu Galilei (1584-1642) concluiu que a trajetória de 
um projétil é uma parábola. Essas descobertas tornaram mais evidente a importância do estudo 
desses tipos de curvas. 
Apolônio, grego que viveu na Antiguidade (262 a.C.-190 a.C.) 
utilizou o termo cônica após observar que essas curvas eram obtidas a 
partir de seções da superfície de um cone de folha dupla. 
Séculos depois, com a criação da Geometria Analítica pelo 
francês René Descartes (1596-1662), as cônicas passaram a ser 
reconhecidas a partir de suas equações. 
Um grande número de propriedades geométricas e óticas faz das curvas cônicas um 
instrumento adequado para diversas aplicações práticas. 
 
Circunferência 
Se cortarmos uma superfície cônica por um plano perpendicular 
ao eixo do cone (e), obteremos uma circunferência. Assim, podemos 
entender que a circunferência é o lugar geométrico de todo o conjunto de 
pontos equidistantes de um ponto fixo interior a eles. 
 
Esse ponto fixo é o centro da circunferência e a distância desse centro à 
circunferência é denominada raio. 
��
 
Elipse 
É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a soma de suas 
distâncias até dois pontos fixos (chamados focos) é constante. 
A elipse também é definida como uma curva fechada plana 
que se produz quando um cone de revolução é cortado por um plano 
oblíquo a seu eixo. 
 
Hipérbole 
 É a curva de dois ramos que se origina do corte de um cone de revolução por um 
plano paralelo ao eixo do cone. 
 É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a diferença de 
suas distâncias até dois pontos fixos (focos da hipérbole) é um valor constante. 
 
Parábola 
É uma curva plana resultante do corte de um cone de revolução 
por um plano paralelo à geratriz do cone. 
A parábola corresponde ao lugar geométrico dos pontos do plano 
que equidistam de um ponto fixo e de uma reta. O ponto fixo chama-se foco 
da parábola e a reta chama-se diretriz. 
 
 
As equações reduzidas de cada uma das cônicas são: 
 
 
Elipse �E �\��\D �[��[ � ��� �� � ou �D �\�\E �[�[ � ��� �� ��� 
 
Hipérbole �E �\��\D �[��[ � ��� �� � ou �E �[�[D �\�\ � ��� �� ��� 
 
Parábola (y – y0)2 = 2p (x – x0) ou (y – y0)2 = - 2p (x – x0) 
 (x – x0)2 = 2p (y – y0) ou (x – x0)2 = - 2p (y – y0) 
 
Circunferência ����� U�\��\�[��[ � 
��
 
Elipse 
É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a soma desuas 
distâncias até dois pontos fixos (chamados focos) é constante. 
A elipse também é definida como uma curva fechada plana 
que se produz quando um cone de revolução é cortado por um plano 
oblíquo a seu eixo. 
 
Hipérbole 
 É a curva de dois ramos que se origina do corte de um cone de revolução por um 
plano paralelo ao eixo do cone. 
 É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a diferença de 
suas distâncias até dois pontos fixos (focos da hipérbole) é um valor constante. 
 
Parábola 
É uma curva plana resultante do corte de um cone de revolução 
por um plano paralelo à geratriz do cone. 
A parábola corresponde ao lugar geométrico dos pontos do plano 
que equidistam de um ponto fixo e de uma reta. O ponto fixo chama-se foco 
da parábola e a reta chama-se diretriz. 
 
 
As equações reduzidas de cada uma das cônicas são: 
 
 
Elipse �E �\��\D �[��[ � ��� �� � ou �D �\�\E �[�[ � ��� �� ��� 
 
Hipérbole �E �\��\D �[��[ � ��� �� � ou �E �[�[D �\�\ � ��� �� ��� 
 
Parábola (y – y0)2 = 2p (x – x0) ou (y – y0)2 = - 2p (x – x0) 
 (x – x0)2 = 2p (y – y0) ou (x – x0)2 = - 2p (y – y0) 
 
Circunferência ����� U�\��\�[��[ � 
��
 
Elipse 
É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a soma de suas 
distâncias até dois pontos fixos (chamados focos) é constante. 
A elipse também é definida como uma curva fechada plana 
que se produz quando um cone de revolução é cortado por um plano 
oblíquo a seu eixo. 
 
Hipérbole 
 É a curva de dois ramos que se origina do corte de um cone de revolução por um 
plano paralelo ao eixo do cone. 
 É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a diferença de 
suas distâncias até dois pontos fixos (focos da hipérbole) é um valor constante. 
 
Parábola 
É uma curva plana resultante do corte de um cone de revolução 
por um plano paralelo à geratriz do cone. 
A parábola corresponde ao lugar geométrico dos pontos do plano 
que equidistam de um ponto fixo e de uma reta. O ponto fixo chama-se foco 
da parábola e a reta chama-se diretriz. 
 
 
As equações reduzidas de cada uma das cônicas são: 
 
 
Elipse �E �\��\D �[��[ � ��� �� � ou �D �\�\E �[�[ � ��� �� ��� 
 
Hipérbole �E �\��\D �[��[ � ��� �� � ou �E �[�[D �\�\ � ��� �� ��� 
 
Parábola (y – y0)2 = 2p (x – x0) ou (y – y0)2 = - 2p (x – x0) 
 (x – x0)2 = 2p (y – y0) ou (x – x0)2 = - 2p (y – y0) 
 
Circunferência ����� U�\��\�[��[ � 
− −
+ = + =
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
(x - x ) (y - y ) (x x ) (y y )1 ou 1
a b b a
− −
− = − =
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
(x - x ) (y - y ) (y y ) (x x )1 ou 1
a b a b
Cálculo Diferencial e Integral IV
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23
 As curvas de nível são subconjuntos do domínio da função z = f(x,y) e, portanto, são traçadas no 
plano xy. Cada curva de nível f(x,y) = k é a projeção, sobre o plano xy, da interseção do gráfico de f com o 
plano horizontal z = k.
Para obtermos uma visualização do gráfico, podemos traçar diversas curvas de nível e imaginarmos 
cada uma dessas curvas deslocadas para a altura z = k correspondente.
Exemplo
Determine as curvas de nível para z = k, esboce o gráfico e exiba os traços nos planos para k = 0, 1, 
2, 3 e 4, para z = 4 – x² - y².
Solução:
Primeiramente, deve-se determinar o domínio da função. O domínio D pode ser representado por 
todos os pontos da circunferência x² + y² = 4 e todos os pontos do seu interior, no plano xy. O gráfico de 
f é formado por todos os pontos z = f(x,y), para D = {(x,y) / }4yx 22 ≤+ .
Em um exercício desse tipo, podemos esboçar o gráfico da função, em seguida exibir os traços nos 
planos solicitados e projetá-los no plano xy para a obtenção das curvas de nível ou podemos determinar 
as curvas de nível e, a partir delas, o gráfico da função.
Para determinarmos as curvas de nível, faremos:
Curva 1 (c1) – para z = 0 ⇒ c1: 0 = 4 – x² - y² ⇒ c1: x² + y² = 4 c1: x² + y² = 2²
Logo, c1 é uma circunferência de centro (0,0) e r = 2.
Curva 2 (c2) – para z = 1 ⇒ c2: 1 = 4 – x² - y² ⇒ c2: x² + y² = 3 c2: x² + y² = ( )23
Logo, c2 é uma circunferência de centro (0,0) e r = 3 .
Curva 3 (c3) – para z = 2 ⇒ c3: 2 = 4 – x² - y² ⇒ c3: x² + y² = 2 c3: x² + y² = ( )22
Logo, c2 é uma circunferência de centro (0,0) e r = 2 .
Curva 4 (c4) – para z = 3 ⇒ c4: 3 = 4 – x² - y² ⇒ c4: x² + y² = 1 c4: x² + y² = 
21
Logo, c2 é uma circunferência de centro (0,0) e r = 1.
Curva 5 (c5) – para z = 4 ⇒ c5: 4 = 4 – x² - y² ⇒ c5: x² + y² = 0 
Logo, não existe uma curva para z = 0 e sim um ponto P(0,0).
1.5 Curvas de Nível
Sandra Regina Leme Forster
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24
Se f é uma função de duas variáveis e esboçamos as curvas de nível f (x,y) = k para valores equiespa-
çados de k, como k = 0, 1, 2, 3 e 4, então a proximidade de curvas sucessivas nos dá a informação sobre a 
aclividade do gráfico de f. Na figura anterior, as curvas de nível correspondentes a k = 0 e k = 1 estão mais 
próximas uma da outra do que as correspondentes a k = 1 e k = 3, o que indica que a aclividade dessa 
superfície é maior nas proximidades do plano xy.
��
Curva 5 (c5) – para z = 4 Ÿ c5: 4 = 4 – x² - y² Ÿ c5: x² + y² = 0 
Logo, não existe uma curva para z = 0 e sim um ponto P(0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se f é uma função de duas variáveis e esboçamos as curvas de nível f (x,y) = k para 
valores equiespaçados de k, como k = 0, 1, 2, 3 e 4, então a proximidade de curvas sucessivas nos 
dá a informação sobre a aclividade do gráfico de f. Na figura anterior, as curvas de nível 
correspondentes a k = 0 e k = 1 estão mais próximas uma da outra do que as correspondentes a 
k = 1 e k = 3, o que indica que a aclividade dessa superfície é maior nas proximidades do plano 
xy. 
 
1.6 Resumo do Capítulo 
 
 Neste capítulo, foi apresentada uma introdução ao assunto de funções de duas variáveis 
com o objetivo de darmos sequência à disciplina Cálculo Diferencial e Integral IV, em que, em 
partes, estudaremos os limites, derivadas e integrais das funções de duas variáveis. 
Bom, vamos, a seguir, avaliar a sua aprendizagem. 
 
 
\�[�
]��� �� � � [\ ]� ���]� ���]� ���]� ��� ]� ���N� ���N� ���
N� ���N� ��� N� ����—���—��
1.6 Resumo do Capítulo
Neste capítulo, foi apresentada uma introdução ao assunto de funções de duas variáveis com o ob-
jetivo de darmos sequência à disciplina Cálculo Diferencial e Integral IV, em que, em partes, estudaremos 
os limites, derivadas e integrais das funções de duas variáveis.
Bom, vamos, a seguir, avaliar a sua aprendizagem.
Cálculo Diferencial e Integral IV
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25
1.7 Atividades Propostas
Nos exercícios 1 e 2, descreva o domínio de f e determine os valores funcionais indicados.
1. f(x,y) = 2x – y²; f(-2, 5); f(5, -2); f(0, -2).
2. ( , ) ;
2
xyf x y
x y
=
−
 f(2, 3); f(-1, 4); f(0, 1). 
 
3. Determine o domínio e o conjunto imagem da função z = x² + y² - 2. 
4. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de reta que une A(-5, -2, 5) e B(6, 3, 
-7).
5. Escreva a equação da esfera a seguir em sua forma padrão.
6. Determine o centro e o raio da esfera de equação x² + y² + z² - 2x 
+ 6y + 8z + 1 = 0.
7. Esboce o traço da interseção dos planos x = 2, e y = 3 com a esfera 
x² + y² + z² - 4x - 6y + 9 = 0.
8. Determine os interceptos e faça um esboço do gráfico do plano 2y – 5z = 5.
9. Descreva o traço da superfície x² - y – z² = 0 no plano xy, y = 1 e no plano yz.
10. Identifique a superfície quádrica dada por z² = 9x² + y².
11. Descreva as curvas de nível da função f dada por f(x,y) = xye esboce-as para os valores de k = 
0, 1, 2, 3 e 4.
��
1.7 Atividades Propostas 
 
Nos exercícios 1 e 2, descreva o domínio de f e determine os valores funcionais indicados. 
1. f(x,y) = 2x – y²; f(-2, 5); f(5, -2); f(0, -2). 
 
2. �\�[ [\�\�[�I � f(2, 3); f(-1, 4); f(0, 1). 
 
3. Determine o domínio e o conjunto imagem da função z = x² + y² - 2. 
 
4. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de reta que une A(-5, -2, 5) e B(6, 3, -
7). 
 
5. Escreva a equação da esfera a seguir em sua forma 
padrão. 
 
6. Determine o centro e o raio da esfera de equação x² + y² 
+ z² - 2x + 6y + 8z + 1 = 0. 
 
7. Esboce o traço da interseção dos planos x = 2, e y = 3 com a esfera 
x² + y² + z² - 4x - 6y + 9 = 0. 
 
8. Determine os interceptos e faça um esboço do gráfico do plano 2y – 5z = 5. 
 
9. Descreva o traço da superfície x² - y – z² = 0 no plano xy, y = 1 e no plano yz. 
 
10. Identifique a superfície quádrica dada por z² = 9x² + y². 
 
11. Descreva as curvas de nível da função f dada por f(x,y) = xy e esboce-as para os valores de k = 
0, 1, 2, 3 e 4. 
 
���������� �����������[ \]
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27
Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, estudaremos os limites 
de algumas funções básicas. Você deve estar 
lembrado(a) que esse assunto já foi estudado em 
Cálculo Diferencial e Integral I. A diferença dos es-
tudos que fizemos anteriormente com esse é que, 
naquele, as aproximações por um ponto ocorriam 
apenas à direita e à esquerda, ou seja, por apenas 
dois lados desse ponto e, agora, iremos observar 
as aproximações por várias direções e sentidos, já 
que os pontos que queremos nos aproximar estão 
no espaço. 
Você entendeu o que está escrito?
Em caso negativo, não fique triste! 
Avance um pouquinho as folhas deste capí-
tulo e observe a ilustração do último exemplo aqui 
apresentado. Se ainda assim a dúvida permanecer, 
assista à aula web “Limite” e, então, escreva ao seu 
professor para conversarem um pouco mais sobre 
o assunto.
Agora, vamos falar um pouco sobre o que é o 
limite de uma função de duas variáveis?
AtençãoAtenção
O limite ou a ideia do limite é usado 
apenas na matemática?
Se f é uma função de duas variáveis, o es-
tudo da mudança de valores funcionais 
f(x,y), quando (x,y) varia no domínio D de 
f, é uma aplicação de limites e essa aplica-
ção também pode ser considerada, não 
apenas em matemática, mas em outras 
ciências.
Suponha que uma placa metálica plana te-
nha a forma da região D da Figura 1.1. Cada pon-
to (x,y) da placa corresponde a uma temperatura 
f(x,y), que é registrada por um termômetro repre-
sentado pelo eixo z. Quando o ponto (x,y) move-se 
na placa, a temperatura pode aumentar, diminuir 
ou se manter constante, portanto, o ponto do eixo 
z que corresponde a f(x,y) se moverá numa direção 
positiva, numa direção negativa ou se manterá fixo, 
respectivamente. Se a temperatura f(x,y) aproxima-
-se de um valor fixo L quando (x,y) aproxima-se de 
um ponto fixo (a,b), utilizamos a seguinte notação:
Leitura: o limite de f(x,y), quando (x,y) tende 
para (a,b), é L.
2.1 Uma Aplicação Física de Limite
 
),(),(),(),(lim
),(),(
bayxquandoLyxfouLyxf
bayx
→→=
→
LIMITE2
Sandra Regina Leme Forster
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28
Embora a definição de limite seja muito im-
portante nos estudos do Cálculo, ela é bastante 
formal e, em princípio, difícil de ser entendida. Ela 
é necessária nas situações em que se solicita a de-
monstração da existência do limite em um ponto 
ou em um conjunto de pontos. No momento, não 
faremos uso dessa situação formal e, por esse mo-
tivo, não será apresentado nesta apostila exemplos 
em que a definição será utilizada.
 
 
 
 
f(x,y) 
 
 
Z 
 (a,b) 
 
 (x,y) 
 
 
D 
y 
x 
Chapa Metálica 
Temperatura 
L 
 
 
 
f(x,y) 
 
Z 
 (a,b) 
 
 (x,y) 
 
 
D 
y 
x 
Chapa Metálica 
Temperatura 
L 
L + ε 
L - ε 
Raio δ 
Figura 2.1 – Uma ilustração para limite de uma função – Exemplo da placa metálica.
2.2 Definição de Limite
2.3 Propriedades de Limite
 
Seja f uma função de duas variáveis definida em todo o interior de um círculo de 
centro (a,b), exceto possivelmente no próprio (a,b). A afirmação 
L)y,x(flim
)b,a()y,x(
=
→
 
significa que, para ε > 0, existe δ > 0, tal que se 
0 < ε<−δ<−+− |L)y,x(f|,)by()ax( 22 
Se f e g são funções de duas variáveis, então 
f + g. f – g, f.g e f/g definem-se de maneira usual 
e a elas podem se aplicar às propriedades de limi-
tes de uma variável relativas ao limite de somas, 
produtos e quocientes, ou seja, se f e g têm limites 
quando (x,y) tende para (a,b), então:
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29
2.4 Limite de um Polinômio
Uma função f de duas variáveis é uma fun-
ção polinomial se f(x,y) pode ser expressa como 
uma soma de termos da forma cxmyn, em que c é 
um número real e m e n são números inteiros não 
negativos.
Exemplo
 Calcular o limite )2y3yx4x(lim 23
)2,1()y,x(
−+−
−→
Solução:
AtençãoAtenção
Para a resolução de um limite de funções 
polinomiais, é suficiente fazer a substitui-
ção em relação a x e y, conforme o exem-
plo anterior.
��
2.3 Propriedades de Limite 
 
Se f e g são funções de duas variáveis, então f + g. f – g, f.g e f/g definem-se de 
maneira usual e a elas podem se aplicar às propriedades de limites de uma variável relativas ao 
limite de somas, produtos e quocientes, ou seja, se f e g têm limites quando (x,y) tende para 
(a,b), então: 
 > @ ��\�[�JOLP�\�[�IOLP�\�[�J�\�[�IOLP �E�D��\�[��E�D��\�[��E�D��\�[� ooo r r 
 ��\�[�JOLPVH�\�[�JOLP �\�[�IOLP�\�[�J �\�[�IOLP �E�D��\�[��E�D��\�[� �E�D��\�[��E�D��\�[� z oooo 
 ��\�[�IOLPVH�\�[�IOLP�\�[�IOLP �E�D��\�[��E�D��\�[��E�D��\�[� ! ooo 
 �E�D��\�[� OLPo c.f(x,y) = c. �E�D��\�[� OLPo f(x,y), com c = constante 
 
 
2.4 Limite de um Polinômio 
 
Uma função f de duas variáveis é uma função polinomial se f(x,y) pode ser expressa 
como uma soma de termos da forma cxmyn, em que c é um número real e m e n são números 
inteiros não negativos. 
 
Exemplo 
 Calcular o limite ��\�\[�[�OLP ��������\�[� ����o 
Solução: ���������������������\�\[�[�OLP ����������\�[� �� ����� ����o 
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30
Define-se função racional a que está escrita 
como um quociente de dois polinômios. Nem sem-
pre apenas a substituição dos valores em x e y re-
solve esse tipo de limite.
Exemplo
a) Calcular o limite 
Solução:
b) Calcular o limite 22
22
)0,0()y,x( yx
yxlim
+
−
→
Solução:
Note que se trata de uma função racional. 
Ao substituirmos x e y por zero, será obtido zero 
no denominador. Nesse caso, possivelmente você 
ficará motivado(a) a organizar essa função para 
tentar “sair” dessa indeterminação matemática, 
mas observe que o denominador não favorece a 
simplificação dessa expressão e nos leva, ainda, ao 
denominador zero. 
Então, faremos outro tipo de observação. 
Considere um ponto arbitrário (x,0) no eixo x; en-
tão, f(x,0) = ,1
0x
0x
2
2
=
+
+
 desde que x 0.
Para um ponto arbitrário (0,y) no eixo-y, te-
mos f(0,y) = ,1
y0
y0
2
2
−=
+
−
 desde que y 0. Isso 
significa que, ao aproximarmos (x,y) de (0,0) por 
esses dois caminhos, obtemos valores diferentes. 
Para que o limite exista, esses valores devem ser os 
mesmos.
Também podemos escolher outros cami-
nhos; por exemplo, vamos nos aproximar do (0,0) 
pela reta y = 3x; então, devemos substituir o y por 
3x. Veja:Nesse caso, o limite será .
5
4
−
Logo, podemos concluir que esse limite não 
existe.
Observação: Nesse exercício, não foi de-
monstrado a não existência do limite e sim, por 
meio de exemplos, foi apresentado que isso ocor-
re. Para “demonstrar” a não existência, é necessário 
usar a definição de limite.
2.5 Limite de uma Função Racional
 
P(x,y) 
P(x,y) 
P(x,y) 
(0,0) (0,0) (0,0) x x x 
y y y 
Cálculo Diferencial e Integral IV
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31
2.6 Resumo do Capítulo
2.7 Atividades Propostas
Prezado(a) aluno(a),
Você deve estar assustado(a) ou feliz com a 
quantidade de informação apresentada neste ca-
pítulo. Foi pouco, não é? Isso ocorrerá também nos 
próximos capítulos, pois dispomos de uma úni-
ca disciplina para apresentar, de forma resumida, 
tudo o que foi estudado nos Cálculos II e III.
Em relação ao cálculo de limites, muitas ou-
tras funções poderiam ser exploradas e uma delas 
você verá nas tarefas propostas.
Mas, se você for “daqueles(as)” do tipo “curio-
so”, faça suas pesquisas e entre em contato com 
seus professores de cálculo, para que suas curiosi-
dades sejam bem trabalhadas!
Neste capítulo, vimos de forma muito breve a definição de limites de funções de duas ou mais va-
riáveis, alguns exemplos de aplicações e a resolução do limite das funções polinomiais e racionais.
1. Determine 
( ) ( ) 2
44
0,0y,x yx
yxlim 2
+
−
→
 , se existir.
2. Dada , determine 
( ) ( )
( )y,xflim
0,0y,x →
 , se existir.
3. Dada ( ) 24
2
yx
yxy,xf
+
= , determine 
( ) ( )
( )y,xflim
0,0y,x →
 , se existir.
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Caro(a) aluno(a),
Talvez você, ao ler o título deste capítulo, te-
nha pensado: “Mais uma vez esse assunto...”.
Pensou?
Mas qual será a diferença dessa derivada 
para a derivada estudada anteriormente? Será que 
existe diferença?
É isso que estudaremos neste capítulo.
As derivadas de funções de mais de uma va-
riável são denominadas derivadas parciais. As re-
gras de derivação que você aprendeu no cálculo 
de uma variável continuam válidas. Temos apenas 
que acrescentar algumas novas regras.
Comecemos com a notação: para as deriva-
das de funções de uma variável, uma das notações 
possíveis é: .
Essa notação é denominada notação de Leib-
niz, sendo lida como “de f de x”. 
Nessa notação, estamos indicando que a de-
rivada da função f será calculada e que essa deriva-
da será calculada em relação à variável x.
Para as derivadas de mais de uma variável, 
utilizamos uma notação muito semelhante.
Suponha que f é uma função de duas variá-
veis x e y, ou seja, z = f(x,y), suas derivadas serão:
ƒƒ x
f
∂
∂
 (Leitura: “del f del x” - Significado: 
derivada parcial de f em relação a x);
ƒƒ y
f
∂
∂
(Leitura: “del f del y” - Significado: 
derivada parcial de f em relação a y).
Para o cálculo de várias variáveis, essas 
derivadas são diferentes, como veremos a seguir:
3.1 Derivadas Parciais de Primeira Ordem
Seja f(x,y) uma função de duas variáveis x e y, as derivadas parciais de f são dadas pelos seguintes 
limites
x
f
∂
∂
:
h
)y,x(f)y,hx(flim
x
f
hx
−+
=
∂
∂
→
h
)y,x(f)hy,x(flim
y
f
hy
−+
=
∂
∂
→
DERIVADAS PARCIAIS3
Sandra Regina Leme Forster
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A primeira derivada é calculada em relação à 
variável x e a segunda em relação à variável y.
Observação: Essas derivadas parciais são 
denominadas derivadas de primeira ordem (ou 
derivadas primeiras).
Exemplos
Determine as derivadas parciais de 
primeira ordem em cada um dos casos. 
a) f(x,y) = x² + y² + y
Resolução:
x200x2
x
f
=++=
∂
∂
 e 1y2
y
f
+=
∂
∂
b) f(x,y) = cos (2x +4y³) 
Resolução:
c) z = esen(x)+4y 
Resolução:
)xcos(.e
x
z y4)x(sen +=
∂
∂
 
e
 y4)x(seny4)x(sen e44.e
y
z ++ ==
∂
∂
d) z = ln(x³ y²)
Resolução:
222323 yx
3
yx
x3x3.
yx
1
x
z
===
∂
∂
e
yx
2
yx
y2y2.
yx
1
y
z
32323 ===∂
∂
e) f(x,y) = cos(x + y) 
Resolução:
)(1).( yxsenyxsen
x
f
+−=+−=
∂
∂
e 
)(1).( yxsenyxsen
x
f
+−=+−=
∂
∂
Note que as derivadas parciais em relação a 
x e y são diferentes, menos em casos particulares 
(como mostrado no exemplo “e”).
Em cada um dos exemplos anteriores, utili-
zamos as regras de derivação vistas no cálculo de 
funções de uma variável, considerando apenas 
que uma das variáveis era a variável em relação à 
qual deveríamos efetuar os cálculos; a outra era 
tratada como se fosse constante durante o cálculo 
da derivada.
AtençãoAtenção
Para calcular as derivadas parciais, deve-
mos lembrar que todas as regras ante-
riormente vistas para o cálculo das deri-
vadas de uma variável continuam válidas. 
A única mudança é que, como temos 
mais de uma variável, os cálculos devem 
ser realizados considerando-se que a ou-
tra variável é constante, durante o cálculo 
da derivada.
Assim sendo, se estivermos calculando 
uma derivada em relação à variável x, du-
rante o cálculo dessa derivada, devemos 
tratar y como constante.
Se estivermos calculando uma derivada 
em relação a y, durante o cálculo dessa 
derivada, x deve ser tratada como cons-
tante.
Cálculo Diferencial e Integral IV
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Na disciplina Cálculo II, estudamos detalha-
damente a interpretação gráfica da derivada de 
uma função de uma variável. Vimos que f ’ (x0) re-
presenta a inclinação da reta tangente ao gráfico 
de y = f(x), no ponto (x0, y0). As derivadas parciais 
das funções de duas variáveis também têm inter-
pretações úteis.
Seja a função z = f(x,y) uma função de duas 
variáveis. Já vimos na disciplina Cálculo III que o 
gráfico desse tipo de função é uma superfície no 
espaço.
Se a variável y é fixa, ou seja, y = y0 (constan-
te), vamos ter que z = f(x, y0) é uma função de uma 
variável. Um gráfico dessa função pode ser obser-
vado na Figura 2.1(a). O gráfico dessa função é a 
curva interseção do plano y = y0 com a superfície z 
= f(x,y). Sobre essa curva, a derivada parcial fx(x,y0) 
(coeficiente angular na direção x) representa a in-
clinação no plano y = y0, conforme ilustra a Figura 
2.1(a).
De maneira análoga, se a variável x é fixa, ou 
seja, x = x0, z = f(x0,y) é uma função de uma variá-
vel. O gráfico dessa função é a curva interseção do 
plano x = x0 com a superfície z = f(x,y). Sobre essa 
curva, a derivada parcial fy(x0,y) (coeficiente angu-
lar na direção y) representa a inclinação no plano x 
= x0, conforme ilustra a Figura 2.1(b).
AtençãoAtenção
3.2 Interpretação Gráfica das Derivadas Parciais
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xx2
2
f
x
f
x
f
x
=
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
Diferenciar duas vezes em relação a x.
 
yy2
2
f
y
f
y
f
y
=
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
Diferenciar duas vezes em relação a y.
Diferenciar primeiro em relação a x e depois 
em relação a y.
Diferenciar primeiro em relação a y e depois 
em relação a x.
Esses dois últimos casos são de derivadas 
parciais mistas.
Figura 3.1 – Coeficiente angular.
3.3 Derivadas Parciais de Segunda Ordem
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Exemplo
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y) = 2xy³ - 4y + 4x²y² e calcule o valor de 
cada uma delas no ponto (3,-1).
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Cálculo Diferencial e Integral IV
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Uma dada função f, de uma variável, pode