Aula 2: Curvas de nível. Funções de três variáveis: definição, domínio, imagem e superfícies de nível

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Funções de duas variáveis
Curvas de nível
Seja f uma função de duas variáveis. Chamamos o conjunto de pontos do plano nos quais
f atinge um certo valor fixo k ∈ R de curva de nível de f . Isto é, as curvas de nível de f são
as curvas cuja equação é dada por f(x, y) = k para cada k ∈ R fixado.
Podemos enxergar as curvas de nível como sendo a projeção no eixo xy dos cortes em uma
certa altura z fixa do gráfico de f .
Observe que uma curva de nível pode ser
• um conjunto vazio (se o valor k não pertencer à imagem de f).
• um único ponto do plano (se o valor k fixado possui um único ponto do domínio que é
levado nele).
• um conjunto de pontos do plano.
Às vezes podemos obter informações importantes sobre o comportamento de uma função
analizando suas curvas de nível ao invés de seus gráficos. Por exemplo, para um cartógrafo, as
curvas de nível das montanhas nas quais ele está interessado são fundamentais e inclusive mais
úteis do que o contorno da montanha em si.
Exemplo 1. Esboce as curvas de nível f(x, y) = k da função f(x, y) =
√
9− x2 − y2 para
k = 0, 1, 2, 3.
Lembramos inicialmente que o domínio desta função é o disco de raio 3. Temos que se
• k = 0 temos a curva de nível f(x, y) =√9− x2 − y2 = 0. Mas a raiz de um número real
é zero se, e somente se, este número é zero. Logo, elevando os dois lados da fórmula da
curva de nível ao quadrado, temos que√
9− x2 − y2 = 0 ⇒ 9− x2 − y2 = 0 ⇒ x2 + y2 = 9
Ou seja, a curva de nível é dada pelos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação
x2 + y2 = 9. Logo, a curva de nível para k = 0 é uma circunferência de raio 3.
• k = 1 temos a curva de nível f(x, y) =√9− x2 − y2 = 1. Logo, temos que√
9− x2 − y2 = 1 ⇒ 9− x2 − y2 = 1 ⇒ x2 + y2 = 8
Ou seja, a curva de nível é dada pelos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação
x2 + y2 = 8. Logo, a curva de nível para k = 1 é uma circunferência de raio
√
8.
• k = 2 temos a curva de nível f(x, y) =√9− x2 − y2 = 2. Logo, temos que√
9− x2 − y2 = 2 ⇒ 9− x2 − y2 = 4 ⇒ x2 + y2 = 5
Ou seja, a curva de nível é dada pelos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação
x2 + y2 = 5. Logo, a curva de nível para k = 2 é uma circunferência de raio
√
5.
• k = 3 temos a curva de nível f(x, y) =√9− x2 − y2 = 3. Logo, temos que√
9− x2 − y2 = 3 ⇒ 9− x2 − y2 = 9 ⇒ x2 + y2 = 0
Ou seja, a curva de nível são dada pelos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação
x2 + y2 = 0. Mas sabemos que a soma de dois quadrados dá zero se, e somente se, os
dois números que estão sendo elevados ao quadrado são zero. Logo, x = y = 0 e a curva
de nível para k = 3 é constituída de um único ponto, que é a origem.
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Exemplo 2. Esboce as curvas de nível g(x, y) = k da função g(x, y) = 4x2+y2 para k = 0, 1, 4.
Observamos que Dom(f) = R2. Temos que se
• k = 0 temos a curva de nível g(x, y) = 4x2 + y2 = 0. Logo, x = y = 0 e a curva de nível
para k = 0 é constituída de um único ponto, que é a origem.
• k = 1 temos a curva de nível g(x, y) = 4x2+y2 = 1 que é a equação de uma elipse centrada
na origem cuja interseção com os eixo x e y são (0, 1), (0,−1),
(
1
2
, 0
)
e
(
−1
2
, 0
)
.
• k = 4 temos a curva de nível g(x, y) = 4x2 + y2 = 4 que é a equação de uma elipse
centrada na origem cuja interseção com os eixo x e y são (0, 2), (0,−2), (1, 0) e (−1, 0).
Exemplo 3. Esboce as curvas de nível f(x, y) = k da função f(x, y) =
y
lnx
para k = 0, 1, 2, 3.
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Observamos inicialmente que
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 | x > 0 e x 6= 1}
(uma vez que a função logarítmica só está definida para valores estritamente positivos e que
ln 1 = 0). Se
• k = 0 temos a curva de nível f(x, y) = y
lnx
= 0. Ou seja, devemos ter y = 0. Assim, tal
curva de nível é o conjunto dos pontos
{(x, y) ∈ Dom(f) | y = 0}
e, portanto, é a semi-reta aberta começando em 0 furada em x = 1.
• k = 1 temos a curva de nível f(x, y) = y
lnx
= 1. Logo, temos que y = lnx e a curva de
nível é o gráfico da função logarítmica furada em x = 1.
• k = 2 temos a curva de nível f(x, y) = y
lnx
= 2 e a curva de nível é o gráfico da função
y = 2 ln x furada em x = 1.
• k = 3 temos a curva de nível f(x, y) = y
lnx
= 3 e a curva de nível é o gráfico da função
y = 3 ln x furada em x = 1.
Funções de três variáveis
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Uma função f de três variáveis é uma lei que associa, a cada trio ordenado de números reais
(x, y, z) de um conjunto D ⊂ R3, um único número real denotado por f(x, y, z). Chamamos
o conjunto D de domínio de f e o denotamos por Dom(f). O conjunto de todos os números
reais assumidos por f ao percorrermos todos os pontos de seu domínio é chamado de imagem
de f e é denotado por Im(f). Assim,
Im(f) = {f(x, y, z) : (x, y, z) ∈ Dom(f)}
Quando não explicitarmos o domínio de uma função, consideraremos o domínio da função
como sendo o maior conjunto possível de pares ordenados de números reais (x, y) para os quais
f está bem definida (isto é, para os quais a fórmula de f está bem definida).
Observe que o domínio de uma função de três variáveis é um subconjunto de R3, ou seja,
um subconjunto do espaço tridimensional e sua imagem é um subconjunto de R.
Exemplo 4. Determine o domínio da função f(x, y) =
√
x2 + y2 + z2 − 4.
Observe que a raiz
√
x2 + y2 + z2 − 4 só assume valores reais se x2 + y2 + z2 − 4 ≥ 0. Logo,
Dom(f) =
{
(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 − 4 ≥ 0}
Observe que o conjunto dos pontos (x, y, z) para os quais x2 + y2 + z2 − 4 = 0 pertencem à
esfera de raio 4 dada por x2 + y2 + z2 = 4 e que o conjunto dos pontos do espaço para os quais
x2 + y2 + z2 − 4 ≥ 0 são os pontos que pertencem ao exterior desta esfera ou à essa esfera.
Superfícies de nível
Definimos o gráfico de uma função de três variáveis f como sendo o conjunto dos pontos
(x, y, z, w) ∈ R4 para os quais (x, y, z) ∈ Dom(f) e w = f(x, y, z). Como o gráfico de f está
inserida no espaço de 4 dimensões R4, então não conseguimos nem visualizá-lo nem desenhá-lo.
Entretanto, conseguimos tirar conclusões à respeito de seu gráfico à partir de suas superfícies
de nível (que são o análogo das curvas de nível das funções de duas variáveis).
Seja f uma função de três variáveis. Chamamos o conjunto de pontos do espaço R3 nos quais
a função f atinge um certo valor fixo k ∈ R de superfície de nível de f . Isto é, as superfícies
de nível de f são as superfícies cuja equação é dada por f(x, y, z) = k para cada k ∈ R fixado.
Exemplo 5. Esboce as superfícies de nível f(x, y, z) = k da função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
para k = 0, 1, 4, 9.
Observamos inicialmente Dom(f) = R3. Temos que se
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• k = 0 temos a curva de nível f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 = 0. Mas sabemos que a soma
de três quadrados dá zero se, e somente se, os três números que estão sendo elevados ao
quadrado são zero. Logo, x = y = z = 0 e a curva de nível para k = 0 é constituída de
um único ponto, que é a origem.
• k = 1 temos a superfície de nível f(x, y, z) = x2+ y2+ z2 = 1 que é uma esfera de raio 1.
• k = 4 temos a superfície de nível f(x, y, z) = x2+ y2+ z2 = 4 que é uma esfera de raio 2.
• k = 9 temos a superfície de nível f(x, y, z) = x2+ y2+ z2 = 9 que é uma esfera de raio 3.
Funções de várias variáveis
Nós podemos na verdade generalizar os conceitos vistos e definir funções de n variáveis,
onde n ∈ N.
Uma função f de n variáveis é uma lei que associa, a cada n−upla ordenada de números reais
(x1, x2, x3, ..., xn) de um conjunto D ⊂ Rn, um único número real denotado por f(x1, x2, ..., xn).
Chamamos o conjunto D de domínio de f e o denotamos por Dom(f). O conjunto de todos os
números reais assumidos por f ao percorrermos todos os pontos de seu domínio é chamado de
imagem de f e é denotado por Im(f). Assim,
Im(f) = {f(x1, x2, ..., xn) : (x1, x2, ..., xn) ∈ Dom(f)}
Observe que, neste caso, o domínio da função é um subconjunto de Rn.
Exercício 1: Determine o domínio da função f(x, y, z) = ln (1− x2 − y2 − z2).
Exercício 2: Determineo domínio da função f(x, y, z) = ln (z − y) + xy cos z.
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Exercício 3: Determine o domínio da função f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2 e esboce suas
curvas de nível para k = 0 e para k = 1.
Exercício 4: Determine o domínio da função f(x, y, z, w) =
y lnw√
x− z .
Respostas:
Exercício 1: Dom(f) = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 < 1} (que é o interior da esfera de
raio 1 sem a casca).
Exercício 2: Dom(f) = {(x, y, z) ∈ R3 | z > y} (que é a parte do espaço superior ao
plano z = y).
Exercício 3: Dom(f) = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1} (que é o interior da esfera de
raio 1 com a casca). A superfície de nível para k = 0 é a esfera de raio 1 e a superfície de nível
para k = 1 é a origem.
Exercício 4: Dom(f) = {(x, y, z, w) ∈ R3 | w > 0 e x > z}.
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