Aula 8: Derivadas direcionais e o vetor gradiente para funções de duas variáveis

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Derivadas direcionais de funções de duas variáveis
Seja f(x, y) uma função de duas variáveis. Suponha que (a, b) ∈ Dom(f) e que −→u = (u1, u2)
seja um vetor unitário do plano.
A reta que passa pelo ponto (a, b) e possui vetor diretor −→u possui equação paramétrica{
x = a+ su1, s ∈ R
y = b+ su2
Definimos a derivada direcional de f em P = (a, b) na direção do vetor unitário −→u como
sendo o número (
df
ds
)
−→u ,P
= lim
s→0
f(a+ su1, b+ su2)− f(a, b)
s
caso o limite exista. Também podemos denotar a derivada direcional como (D−→u f)P .
A derivada direcional representa a taxa de variação da função f no sentido do vetor −→u .
Observe que, em particular, se tomarmos
−→u = −→i = (1, 0), então a derivada direcional de f
em P = (a, b) na direção do vetor unitário
−→
i é(
df
ds
)
−→
i ,P
= lim
s→0
f(a+ s, b)− f(a, b)
s
⇒
(
df
ds
)
−→
i ,P
= fx(a, b)
Analogamente, se tomarmos
−→u = −→j = (0, 1), então a derivada direcional de f em P = (a, b)
na direção do vetor unitário
−→
j é(
df
ds
)
−→
j ,P
= lim
s→0
f(a, b+ s)− f(a, b)
s
⇒
(
df
ds
)
−→
j ,P
= fy(a, b)
Logo, as derivadas parciais da função f são casos particulares de derivadas direcionais: são
as derivadas direcionais na direção dos vetores canônicos.
Considere o plano vertical (isto é, o plano perpendicular ao plano xy) que passa pelo ponto
Q = (a, b, f(a, b)) e que é paralelo ao vetor −→u . A interseção entre esse plano e a superfície
z = f(x, y) é uma curva C que passa pelo ponto Q = (a, b, f(a, b)). A derivada direcional de f
em P = (a, b) na direção do vetor unitário −→u é o coeficiente angular da reta tangente à curva
C no ponto Q.
1
Exemplo 1. Determine a derivada da função f(x, y) = xy no ponto P = (1, 2) na direção do
vetor unitário
−→u = 1√
2
−→
i +
1√
2
−→
j =
(
1√
2
,
1√
2
)
.
Temos que (
df
ds
)
−→u ,P
= lim
s→0
f(a+ su1, b+ su2)− f(a, b)
s
= lim
s→0
f
(
1 + s√
2
, 2 + s√
2
)
− f(1, 2)
s
= lim
s→0
(
1 + s√
2
)(
2 + s√
2
)
− 2
s
= lim
s→0
2 + s√
2
+ 2s√
2
+ s
2
2
− 2
s
= lim
s→0
s√
2
+ 2s√
2
+ s
2
2
s
= lim
s→0
1√
2
+
2√
2
+
s
2
=
3√
2
Vetor gradiente
Seja f(x, y) uma função de duas variáveis e suponha que (a, b) ∈ Dom(f). Definimos o
vetor gradiente de f no ponto P = (a, b) como sendo o vetor
∇f(a, b) = fx(a, b)−→i + fy(a, b)−→j = (fx(a, b), fy(a, b))
Ou seja, o vetor gradiente de f em P é o vetor do plano cujas entradas são as derivadas
parciais de f calculadas em P .
Exemplo 2. Calcule o vetor gradiente da função f(x, y) = x2 + xy no ponto P = (1, 2).
Temos que
fx(x, y) = 2x+ y e fy(x, y) = x
Portanto,
fx(1, 2) = 3 e fy(1, 2) = 1
e o vetor gradiante é ∇f(1, 2) = (3, 1).
Cálculo da derivada direcional usando o vetor gradiente
Observe que as funções x(s) = a + su1 e y(s) = b + su2 são deriváveis com relação à s.
Logo, se a função f(x, y) possuir derivadas parciais contínuas, então podemos utilizar a regra
da cadeia para obter: (
df
ds
)
−→u ,P
= fx(a, b)x
′(s) + fy(a, b)y′(s)
Como x′(s) = u1 e y′(s) = u2, então(
df
ds
)
−→u ,P
= fx(a, b)u1 + fy(a, b)u2 = (fx(a, b), fy(a, b)) • (u1, u2) = ∇f(a, b) • −→u
2
onde o símbolo • representa o produto interno de R2.
Concluímos assim, que a derivada direcional de f em P = (a, b) na direção do vetor unitário−→u pode ser calculada por (
df
ds
)
−→u ,P
= ∇f(a, b) • −→u
Exemplo 3. Determine a derivada direcional da função f(x, y) = x2+ xy no ponto P = (1, 2)
na direção do vetor unitário
−→u = 1√
2
−→
i +
1√
2
−→
j =
(
1√
2
,
1√
2
)
.
Já sabemos que ∇f(1, 2) = (3, 1). Logo,(
df
ds
)
−→u ,P
= ∇f(1, 2) •
(
1√
2
,
1√
2
)
=
3√
2
+
1√
2
=
4√
2
Observação 1. A derivada direcional depende do sentido do vetor unitário tomado. Por exem-
plo, se P = (a, b), então (
df
ds
)
−→
i ,P
= fx(a, b)(
df
ds
)
−−→i ,P
= ∇f(a, b) • (−1, 0) = −fx(a, b)
Entretanto, como(
df
ds
)
−−→u ,P
= ∇f(a, b) • (−−→u ) = −(∇f(a, b) • −→u ) = −
(
df
ds
)
−→u ,P
então podemos concluir que a derivada direcional no sentido do vetor simétrico de
−→u (isto é, o
vetor que possui mesma direção, mesmo comprimento e sentido oposto ao de
−→u ) é o negativo
da derivada direcional no sentido do vetor
−→u .
Propriedades da derivada direcional
Observe que podemos reescrever a derivada direcional de f em P = (a, b) na direção do
vetor unitário
−→u como(
df
ds
)
−→u ,P
= ∇f(a, b) • −→u = ||∇f(a, b)|| ||−→u || cos θ = ||∇f(a, b)|| cos θ
onde θ é o ângulo entre o vetor gradiente e o vetor −→u (uma vez que −→u é um vetor unitário e,
portanto, ||−→u || = 1).
Como o valor máximo de cos θ é 1 e isso só ocorre quando θ = 0, então
Teorema 1. O valor máximo da derivada direcional (D−→u f)P de uma função (que possui de-
rivadas parciais contínuas) ocorre quando o vetor
−→u tem a mesma direção e o mesmo sentido
do vetor ∇f(a, b).
Isto quer dizer que, no ponto P = (a, b), a função f cresce mais rapidamente na direção e
no sentido do vetor ∇f(a, b).
Como o valor mínimo de cos θ é −1 e isso só ocorre quando θ = pi, então
3
Teorema 2. O valor mínimo da derivada direcional (D−→u f)P de uma função (que possui deri-
vadas parciais contínuas) ocorre quando o vetor
−→u tem a mesma direção, mas sentido oposto
ao do vetor ∇f(a, b).
Isto quer dizer que, no ponto P = (a, b), a função f decresce mais rapidamente na mesma
direção, mas no sentido oposto ao do vetor ∇f(a, b).
Exemplo 4. Encontre os vetores unitários nas direções e nos sentidos nos quais a função
f(x, y) = xey
• Cresce mais rapidamente no ponto (2, 0).
• Decresce mais rapidamente no ponto (2, 0).
Temos que fx(x, y) = e
y
e fy(x, y) = xe
y
. Logo, ∇f(2, 0) = (1, 2) e temos que
• A função f cresce mais rapidamente na direção e no sentido de ∇f(2, 0) = (1, 2) e,
portanto, na direção e no sentido do vetor unitário
−→u =
(
1√
5
,
2√
5
)
• A função f decresce mais rapidamente na mesma direção, mas no sentido oposto ao do
vetor ∇f(2, 0) = (1, 2) e, portanto, na direção e no sentido do vetor unitário
−→u =
(
− 1√
5
,− 2√
5
)
Veja na figura abaixo as curvas de nível da função f e como elas variam na direção do vetor
gradiente:
4
Veja na figura abaixo o gráfico da função f e como ele varia na direção do vetor gradiente:
Propriedades do vetor gradiente
Se f e g forem funções de duas variáveis com derivadas parciais contínuas, então as seguintes
propriedades são válidas:
• ∇(kf)(a, b) = k∇f(a, b) para qualquer número real k.
• ∇(f + g)(a, b) = ∇f(a, b) +∇g(a, b)
• ∇(f − g)(a, b) = ∇f(a, b)−∇g(a, b)
• ∇(fg)(a, b) = f(a, b)∇g(a, b) + g(a, b)∇f(a, b)
• ∇
(
f
g
)
(a, b) =
g∇f(a, b)− f(a, b)∇g(a, b)
g(a, b)2
se g(a, b) 6= 0.
É possível mostrar que, no ponto P = (a, b), o vetor gradiente ∇f(a, b) é perpendicular à
curva de nível f(x, y) = k passando pelo ponto P . Ou seja, o vetor gradiente é normal à curva
de nível f(x, y) = f(a, b).
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