Aula 10: Máximos e mínimos de funções de duas variáveis

Prévia do material em texto

Máximos e mínimos de funções de duas variáveis.
Seja f uma função de duas variáveis e (a, b) ∈ Dom(f).
Dizemos que a função f(x, y) tem um máximo local em (a, b) se f(x, y) ≤ f(a, b) para todo
(x, y) ∈ Dom(f) que esteja contido em algum disco centrado no ponto (a, b) e chamamos o
valor f(a, b) de máximo local de f .
Dizemos que a função f(x, y) tem um mínimo local em (a, b) se f(x, y) ≥ f(a, b) para todo
(x, y) ∈ Dom(f) que esteja contido em algum disco centrado no ponto (a, b) e chamamos o
valor f(a, b) de mínimo local de f .
Dizemos que a função f(x, y) tem um máximo global em (a, b) se f(x, y) ≤ f(a, b) para
todo (x, y) ∈ Dom(f) e dizemos que a função f(x, y) tem um mínimo global em (a, b) se
f(x, y) ≥ f(a, b) para todo (x, y) ∈ Dom(f).
Pontos críticos
Suponha que f possui um máximo (ou mínimo local) em (a, b) e que f possui derivadas
parciais de primeira ordem em (a, b).
Observe que se a função f possui máximo (ou mínimo) local em (a, b), então a função
g(x) = f(x, b) possui máximo (ou mínimo) em a. Mas, como a derivada parcial fx(a, b) existe
e definimos fx(a, b) = g
′(a), então g é derivável. Consequentemente, a é um ponto crítico de g,
ou seja, g′(a) = 0 e, portanto, fx(a, b) = 0.
De forma análoga, se a função f possui máximo (ou mínimo) local em (a, b), então a função
h(y) = f(a, y) possui máximo (ou mínimo) em b. Mas, como a derivada parcial fy(a, b) existe
e definimos fy(a, b) = h
′(b), então h é derivável. Consequentemente, b é um ponto crítico de h,
ou seja, h′(b) = 0 e, portanto, fy(a, b) = 0. Concluímos assim o seguinte resultado:
Teorema 1. Se f possui um máximo (ou mínimo) local em (a, b) e f possui derivadas parciais
de primeira ordem em (a, b), então, necessariamente, fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0.
Observe que se fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0, então a equação do plano tangente ao gráfico
z = f(x, y) no ponto (a, b, f(a, b))
fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)− (z − f(a, b)) = 0
se torna simplesmente
z = k onde k = f(a, b)
1
ou seja, o plano tangente em um ponto (a, b) satisfazendo fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0 é paralelo
ao plano xy.
Chamamos um ponto (a, b) ∈ Dom(f) de ponto crítico se fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0 ou se
uma das derivada parciais não existir em (a, b).
Observação 1. Os pontos críticos são possíveis candidatos a pontos de máximo local ou mínimo
local. Mas tome cuidado: nem todo ponto crítico é ponto de máximo ou de mínimo!
Chamamos um ponto crítico (a, b) de ponto de sela de f se (a, b) não for ponto nem de
máximo local nem de mínimo local.
Exemplo 1. Determine os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de sela da função
f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 6y + 14.
Observamos inicialmente que Dom(f) = R2 e que as derivadas parciais de f
fx(x, y) = 2x− 2 fy(x, y) = 2y − 6
existem para todo (x, y) ∈ R2. Logo, os únicos pontos críticos de f são os pontos nos quais as
duas derivadas parciais de f se anulam simultaneamente. Temos que
fx(x, y) = 2x− 2 = 0 ⇒ x = 1 e fy(x, y) = 2y − 6 = 0 ⇒ y = 3
O ponto (1, 3) é, portanto, o único ponto crítico de f . Completando quadrados, temos que
f(x, y) = (x− 1)2 + (y − 3)2 + 4
Logo, f(x, y) ≥ 4. Como f(1, 3) = 4, então 4 é um mínimo global de f e o ponto (1, 3) é um
ponto de mínimo global.
Exemplo 2. Determine os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de sela da função
f(x, y) = y2 − x2.
Observamos inicialmente que Dom(f) = R2 e que as derivadas parciais de f
fx(x, y) = −2x fy(x, y) = 2y
2
existem para todo (x, y) ∈ R2. Logo, os únicos pontos críticos de f são os pontos nos quais as
duas derivadas parciais de f se anulam simultaneamente. Temos que
fx(x, y) = 2x = 0 ⇒ x = 0 e fy(x, y) = 2y = 0 ⇒ y = 0
O ponto (0, 0) é, portanto, o único ponto crítico de f . Temos que f(0, 0) = 0. Além disso,
sobre o eixo x temos
f(x, 0) = −x2 < 0 se x 6= 0
e sobre o eixo y temos
f(y, 0) = y2 > 0 se y 6= 0
Logo, (0, 0) é um ponto de sela e f não possui nenhum extremo local.
Exemplo 3. Determine os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de sela da função
f(x, y) =
√
xy.
Observe que Domf = {(x, y) ∈ R2 | xy ≥ 0}. A derivada parcial de f com relação à x
fx(x, y) =
y
2
√
xy
=
1
2
√
y
x
não está definida no eixo y e a derivada parcial de f com relação à y
fx(x, y) =
x
2
√
xy
=
1
2
√
x
y
não está definida no eixo x. Além disso, nos pontos onde as duas derivadas de f estão definidas,
elas nunca se anulam simultaneamente. Logo, todos os pontos sobre o eixo x e todos os pontos
sobre o eixo y são os únicos pontos críticos de f . Como
f(x, y) =
√
xy ≥ 0
e f(x, 0) = 0 e f(y, 0) = 0, então 0 é o mínimo global de f e ele é assumido no eixo x e no
eixo y.
Teste da derivada de segunda ordem
3
Suponha que f possui derivadas de segunda ordem contínuas em um disco centrado no
ponto (a, b) e que fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0. Considere o determinante
D(a, b) = det
[
fxx(a, b) fxy(a, b)
fxy(a, b) fyy(a, b)
]
= fxx(a, b)fyy(a, b)− [fxy(a, b)]2
(chamado de hessiano de f em (a, b)). Temos que
• Se D(a, b) > 0 e fxx(a, b) > 0, então f(a, b) é um mínimo local.
• Se D(a, b) > 0 e fxx(a, b) < 0, então f(a, b) é um máximo local.
• Se D(a, b) < 0, então (a, b) é um ponto de sela.
Observação 2. É impossível ter D(a, b) > 0 e fxx(a, b) = 0, pois se fxx(a, b) = 0 então
D(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b)− [fxy(a, b)]2 = − [fxy(a, b)]2 ≤ 0
Observação 3. Não podemos afirmar nada sobre o ponto (a, b) se D(a, b) = 0!
Exemplo 4. Determine todos os valores de máximo e mínimo locais e os pontos de sela da
função
f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1
Observamos inicialmente que Dom(f) = R2 e que as derivadas parciais de f
fx(x, y) = 4x
3 − 4y fy(x, y) = 4y3 − 4x
existem para todo (x, y) ∈ R2. Logo, os únicos pontos críticos de f são os pontos nos quais as
duas derivadas parciais de f se anulam simultaneamente. Temos que
fx(x, y) = 4x
3 − 4y = 0 ⇒ y = x3 e fy(x, y) = 4y3 − 4x = 0 ⇒ x = y3
Subtituindo a condição y = x3 na condição x = y3, obtemos
x = x9 ⇒ x9 − x = 0 ⇒ x(x8 − 1) = 0 ⇒ x = 0, 1 ou − 1
Quando x = 0, temos y = x3 = 0. Quando x = 1, temos y = x3 = 1. Quando x = −1, temos
y = x3 = −1. Logo, os pontos críticos de f são (0, 0), (1, 1) e (−1,−1). Vamos usar o teste da
derivada de segunda ordem para tentar descobrir se estes pontos são pontos de máximo, mínimo
ou de sela. Temos que
fxx(x, y) = 12x
2 fxy(x, y) = −4 fyy(x, y) = 12y2
4
Logo, o hessiano de f em (x, y) é
D(x, y) = det
[
fxx(x, y) fxy(x, y)
fxy(x, y) fyy(x, y)
]
= fxx(x, y)fyy(x, y)− [fxy(x, y)]2 = 144x2y2 − 16
Como
• D(0, 0) = −16 < 0, então (0, 0) é ponto de sela.
• D(1, 1) = 144− 16 = 128 > 0 e fxx(1, 1) = 12 > 0, então (1, 1) é ponto de mínimo local
e f(1, 1) = −1 é mínimo local de f .
• D(−1,−1) = 144 − 16 = 128 > 0 e fxx(−1,−1) = 12 > 0, então (−1,−1) é ponto de
mínimo local e f(−1,−1) = −1 é mínimo local de f .
Máximos e mínimos globais
Seja D um subconjunto de R2. Dizemos que D é um conjunto limitado se existir alguma
circunferência do plano que contém todos os pontos de D (ou seja, se D tem extensão finita).
Dizemos que um conjunto limitado D é um conjunto fechado se ele contém todos os seus pontos
de fronteira (isto é, todos os pontos tais que qualquer disco centrado nele contém pontos tanto
do interior de D quanto pontos que não pertencem a D).
5
Teorema 2. Se f for uma função contínua definida em um conjunto fechado e limitado D ⊂ R2,
então f necessariamente atinge um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em D.
Para determinar os valores de máximo e mínimo globais de f em um subconjunto limitado
e fechado D basta:
• determinar os valores de f nos pontos críticos do interior de D.
• determinar os valores extremos de f na fronteira de D.
O maior dos valores determinados acima é o máximo absoluto de f e o menor dos valores
determinados acima é o mínimo absoluto de f em D.
Exemplo 5. Determineos valores de máximo e mínimo absolutos da função
f(x, y) = x2 − 2xy + 2y no retângulo D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}.
Como f é uma função polinomial, então f é contínua em R2 e, em particular, no retângulo
fechado e limitado D. Logo, pelo teorema acima, sabemos que f atinge um máximo absoluto e
um mínimo absoluto em D. Temos que
fx(x, y) = 2x− 2y fy(x, y) = 2− 2x
e estas duas derivadas se anulam simultaneamente apenas quando x = y = 1. Assim, (1, 1) é
o único ponto crítico de f e temos que f(1, 1) = 1.
Vamos analisar agora f nos pontos de fronteira de D. Vamos dividir a fronteira nos 4 segmentos
de reta da figura abaixo:
Temos que, dentro de D,
• No segmento L1 temos y = 0 e, portanto, f(x, y) = x2 que atinge seu máximo em x = 3
e seu mínimo em x = 0. Temos que f(0, 0) = 0 e f(3, 0) = 9.
• No segmento L2 temos x = 3 e, portanto, f(x, y) = 9 − 4y que atinge seu máximo em
y = 0 e seu mínimo em y = 2. Temos que f(3, 0) = 9 e f(3, 2) = 1.
6
• No segmento L3 temos y = 2 e, portanto, f(x, y) = x2− 4x+4 = (x− 2)2 que atinge seu
máximo em x = 0 e seu mínimo em x = 2. Temos que f(0, 2) = 4 e f(2, 2) = 0.
• No segmento L4 temos x = 0 e, portanto, f(x, y) = 2y que atinge seu máximo em y = 2
e seu mínimo em y = 0. Temos que f(0, 2) = 4 e f(0, 0) = 0.
Logo, o máximo global de f é 9 e ele é atingido no ponto (3, 0) e o mínimo global de f é 0 e
ele é atingido nos pontos (0, 0) e (2, 2).
7