Aula-03

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Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema10/05/2010
Cálculo I – Módulo 2
Integrais
Prof. Dra. Karen de Lolo G. Paulino
klgpaulino@gmail.com
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema10/05/2010
Lista de Exercícios ….. Entrega 13/05
Capítulo 4 (Seção 4.9) – Primitivas
p. 324 – ex. 39, 45, 51, 58 e 61
Capítulo 5 (Seção 5.2) – Integral definida
p. 355 – ex. 34, 37, 38, 39 e 40
Referência: Stewart, J. “Cálculo Volume I”. 6ª. edição.
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Aula anterior …. Cálculo de área
• Função: f(t) = t2 + 1
• Limitamos a região de domínio ao 
intervalo [0, 4] 
• Calculamos a área da região 
abaixo da curva de f(t). 
Utilizamos 2 métodos. Quais as 
diferenças entre eles?
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Aula anterior …. Cálculo de área
Métodos utilizados: • Aproximação por retângulos
• Somas de Riemann.
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E se a função não fosse estritamente crescente no intervalo?
Por exemplo, assuma o intervalo [-2, 2] na mesma função.
Ainda assim, teríamos pelo 1o método os retângulos abaixo da 
curva? A soma dos retângulos ainda representa uma 
aproximação para a área total sob a curva?
Aula anterior …Aplicando a outras funções
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Aula anterior …Aplicando a outras funções
E se a função não fosse estritamente positiva no intervalo?
Exemplos:
1. f(x)= x-1, 0  x  3 
2. f(x)= |x|, -1  x  2
A soma dos retângulos ainda 
representa uma aproximação para 
a área total sob a curva?
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Integral Definida ...... Definição
DEF.: Seja f uma função contínua em I=[a, b]. Dividindo I em n
subintervalos com extremidades x0, x1, ..., xn, e escolhendo os 
pontos amostrais c1, c2, ..., cn tal que ci pertence ao i-ésimo
subintervalo, temos que a integral definida de f de a até b é



n
i
ii
x
b
a
xcfdxxf
i 10
).(lim)(
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Integral Definida ...... Definição



n
i
ii
x
b
a
xcfdxxf
i 10
).(lim)(
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Integral Definida ...... Exercícios
Calcule as integrais interpretando em termos de áreas
Exemplos:
 
3
0
)1(.1 dxx 
2
1
1.2 dxx
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Integral Definida ...... Propriedades
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Integral Definida ...... Propriedades
 
b
a
b
c
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(.5
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Integral Definida .... Propriedades Comparativas
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Integral Definida .... Propriedades Comparativas
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Integral Definida .... Exercícios
Use a Propriedade 8 para 
estimar o valor de

1
0
2
dxe x
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Integral Definida .... Exercícios
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema10/05/2010
Integral Definida .... Exercícios
Lista 
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Integral Definida .... Exercícios
Lista
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Primitiva …. Exercícios
Capítulo 4 (4.9) – Pag. 323
49-50. Qual gráfico é a 
primitiva de f e por quê?
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Primitiva …. Exercícios
Capítulo 4 (4.9) – Pag. 323
49-50. Qual gráfico é a 
primitiva de f e por quê?
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Problema... Deseja-se conhecer a posição s(t) de uma partícula. 
• A partícula se move em uma reta e tem aceleração dada por 
a(t)=6t+4. 
• Sua velocidade inicial é v(0)= -6cm/s, e seu deslocamento inicial 
é s(0)=9cm. 
Primitiva .... Exercícios
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Primitiva …. Exercícios
53. Dado o gráfico de f’, esboce o 
gráfico de f se f for contínua e 
f(0)= -1.
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Primitiva .... Exercícios
A figura mostra o gráfico da derivada f’ de uma função f.
a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente?
b) Para que valores de x a função f tem um máximo ou mínimo
local?
c) Esboce o gráfico de f’’
d) Esboce o gráfico de um possível gráfico de f 
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Primitiva …. Exercícios
Dado o gráfico de f’, esboce 
o gráfico de f
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Integral definida …. Exercícios
Suponha que g seja integrável e que 
Calcule:
(a) (b) (c)
7)(e3)(
4
0
3
0
  dzzgdzzg

4
3
)( dzzg 
4
4
)( dzzg 
0
3
)( dzzg
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Integral definida …. Exercícios
Suponha que g seja integrável e que 
Calcule:
(a) (b) (c)



1
1
)( drrh
6)(e0)(
3
1
1
1
   drrhdrrh

3
1
)( drrh 
1
3
)( drrh
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Primitiva …. Exercícios
52. Dado o gráfico da função velocidade de um carro, esboce o 
gráfico da função posição.
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Primitiva …. Exercícios
Dado o gráfico de f’’, 
esboce o gráfico de f’