Aula-05-06

Prévia do material em texto

Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Cálculo I – Módulo 2
Integrais
Prof. Dra. Karen de Lolo G. Paulino
klgpaulino@gmail.com
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Integral Definida … Exercício
Exercício 27 da Seção 5.2 -
Mostre que .
Se considerarmos a=0 e x=b, qual é o resultado da integral?



b
a
ab
tdt
2
22
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Teorema Fundamental do Cálculo ...Introdução
• f é uma função contínua em [a, b] e x varia entre a e b.
• x for um número fixado  é um número definido. 
• variando x, o número também varia e define uma 
função de x denotada por g(x).
( ) ( )
x
a
g x f t dt 
( )
x
a
f t dt
( )
x
a
f t dt
 g depende somente de x
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Teorema Fundamental do Cálculo ...Introdução
Se f for uma função positiva, então 
g(x) pode ser interpretada como a 
área sob o gráfico de f de a até x, 
onde x pode variar de a até b.
( ) ( )
x
a
g x f t dt 
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Teorema Fundamental do Cálculo ...Introdução
t
y = f(t)
Se f for a função contínua cujo gráfico 
está mostrado na figura e
ache os valores de g(0), g(2), g(3), 
g(5), g(7), e g(8). 
Faça um esboço do gráfico de g.
0
( ) ( )
x
g x f t dt 
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Teorema Fundamental do Cálculo … Exercício
• Voltando ao exercício anterior (Exercício 27 da Seção 5.2) e 
considerando f(t)=t, a=0 e x=b,
• pode ser interpretada como a área sob o gráfico
de f(t) de [0,x]. Qual é a relação entre g’(x) e f(x)?
 
x x
tdtxg
0
2
2
)(
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1
TFC 1 - Se f for contínua em [a, b], então a função g definida por
é contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e g’(x) = f (x).
Ou seja, a derivada de uma integral definida com relação a seu 
limite superior é seu integrando calculado no limite superior.
( ) ( )
x
a
g x f t dt a x b  
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
TFC 1 … Justificativa
Para calcular g’(x) a partir da 
definição de derivada, observamos 
que, para h > 0, g(x + h) – g(x) é 
obtida subtraindo áreas, de forma 
que reste a área sob o gráfico de f
de x até x + h .
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
TFC 1 … Justificativa
Para h pequeno, essa área é 
aproximadamente igual à área do 
retângulo com altura f (x) e largura 
h:
Então, 
( ) ( ) ( )g x h g x hf x  
)(
)()(
xf
h
xghxg


Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
TFC 1 … Justificativa
Intuitivamente, portanto, esperamos que
O fato de isso ser verdadeiro, mesmo quando f não é 
necessariamente positiva, é garantido pela primeira parte do 
Teorema Fundamental do Cálculo.
0
( ) ( )
'( ) lim ( )
h
g x h g x
g x f x
h
 
 
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
TFC 1 … Exercícios
Ache a derivada das funções
1.
2. g(x)=
2
0
( ) 1
x
g x t dt 
4
1
sec
xd
t dt
dx
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2
Até aqui calculamos as integrais por interpretação geométrica e por 
somas de Riemann. 
A segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo, que segue 
facilmente da primeira parte, nos fornece um método muito mais 
simples para o cálculo de integrais.
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2
TFC 2 - Se f for contínua em [a, b], então 
onde F é qualquer primitiva de f, isto é, uma função tal que F’ = f.
Se conhecermos uma primitiva F de f, então poderemos calcular a 
integral simplesmente subtraindo os valores de F nas extremidades 
do intervalo [a, b].
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a 
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2
Notações comuns:
= =
Logo, a equação do TFC2 pode ser escrita como 
onde F’= f.
( )] ( ) ( )baF x F b F a 
( ) ( )] where '
b
b
a
a
f x dx F x F f 
( ) |baF x [ ( )]
b
aF x
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
TFC2 … Exercícios
Use o gráfico para estimar as áreas das regiões que ficam abaixo
das curvas dadas. A seguir, ache a área exata.
 
3
0
)1(.1 dxx

2
1
12 dx. x
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
0sec.463secsec.45
2
324
.44
8
3
3
x 43.
equação? na errado está que O4643
0
0
2
3/
3/
2
1
2
2
1
3
1
2
31
2
4-














 tgxdxxdtg
x
dx
x
x
dx
LISTA 2
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
TFC … Processos Inversos
TFC - Suponha f contínua em [a, b]
1.Se , então g’(x) = f (x).
2. quando F é qualquer primitiva de f, isto 
é, F’ = f.
A derivação e a integração são processos inversos. 
Cada um desfaz o que o outro faz.
( ) ( )
x
a
g x f t dt a x b  
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a 
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Exercícios
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
Exercícios
Calcule a integral:
























xsex
xsexsen
xfondedxxf
due
dt
t
dx
x
dyy
dtt
dx
x
x
dxxx
u
2
cos
2
0
)()(.41
.39
1
6
.37
2
1
.35
)21(.33
sec.31
1
.29
)2(.27
0
1
1
1
2/3
2/1
2
9
1
2
1
2
4/
0
2
9
1
2
0
5
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
47-50. Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira 
da área da região que fica abaixo da curva dada. A 
seguir, ache a área exata.


xxy
xxy
0,sen.49
270,.47 3
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010
51-52. Calcule a integral e interprete-a como uma 
diferença de áreas. Ilustre com um esboço.



2/5
4/
2
1
3
.52
x 51.


dxxsen
dx
Cálculo I – Módulo 2 UNIFESP - Diadema16/05/2010