Lista de exercícios 5: Aplicações de integrais duplas

Prévia do material em texto

Lista de exercícios 5
1. Uma carga elétrica é distribuída sobre um retângulo R = [1, 3]× [0, 2] de modo que sua densidade de
carga em (x, y) é dada pela função σ(x, y) = 2xy + y2 C/m2. Determine a carga total no retângulo.
2. Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco x2 + y2 ≤ 4 de modo que sua densidade de carga
em (x, y) é dada pela função σ(x, y) = x+ y + x2 + y2 C/m2. Determine a carga total no disco.
3. Determine a massa total e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1}
e tem função densidade ρ(x, y) = xy2.
4. Determine a massa total e o centro de massa da lâmina que ocupa a região triangular D com vértices
(0, 0), (2, 1), (0, 3) e tem função densidade ρ(x, y) = x+ y.
5. Determine a massa total e o centro de massa da lâmina que ocupa a região triangular D com vértices
(0, 0), (1, 1), (4, 0) e tem função densidade ρ(x, y) = x.
6. Determine a massa total e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D limitada por y = ex,
y = 0, x = 0 e x = 1 e tem função densidade ρ(x, y) = y. Determine também os momentos de inércia
Ix, Iy e I0 para esta lâmina.
7. Determine a massa total e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D limitada por y =
√
x,
y = 0 e x = 1 e tem função densidade ρ(x, y) = x.
8. Determine a massa total e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ pi
2
, 0 ≤ y ≤ cosx}
e tem função densidade ρ(x, y) = x.
9. Uma lâmina ocupa a parte do disco x2+y2 ≤ 1 do primeiro quadrante. Determine o centro de massa
dessa lâmina se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x.
10. Uma lâmina ocupa a parte do disco x2+y2 ≤ 1 do primeiro quadrante. Determine o centro de massa
dessa lâmina se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto
à origem. Determine também os momentos de inércia Ix, Iy e I0 para esta lâmina.
11. Uma lâmina ocupa a parte do disco x2 + y2 ≤ 2y que está fora do disco x2 + y2 ≤ 1. Determine
o centro de massa dessa lâmina se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do
ponto à origem.
1