Lista de exercícios 8: Mudança de variáveis em integrais duplas e triplas

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Lista de exercícios 8
1. Calcule a integral dupla
∫∫
D
(x− 3y) dA, onde D é o triângulo de vértices (0, 0), (2, 1) e (1, 2).
Dica: Utilize a mudança de variáveis x = 2u+ v, y = u+ 2v.
2. Calcule a integral dupla
∫∫
D
(4x+8y) dA, ondeD é o paralelogramo de vértices (−1, 3), (1,−3), (3,−1)
e (1, 5).
Dica: Utilize a mudança de variáveis x = 1
4
(u+ v), y = 1
4
(v − 3u).
3. Calcule a integral dupla
∫∫
D
x2 dA, onde D é a região limitada pela elipse 9x2 + 4y2 = 36.
Dica: Utilize a mudança de variáveis x = 2u, y = 3v.
4. Calcule a integral dupla
∫∫
D
xy dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas
y = x e y = 3x e pelas hipérboles xy = 1 e xy = 3.
Dica: Utilize a mudança de variáveis x = u
v
, y = v.
5. Calcule a integral dupla
∫∫
D
y2 dA, onde D é a região limitada pelas curvas xy = 1, xy = 2, xy2 = 1
e xy2 = 2.
Dica: Utilize a mudança de variáveis u = xy, v = xy2.
6. Calcule o volume do sólido contido dentro do elipsóide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
Dica: Utilize a mudança de variáveis x = au, y = bv e z = cw.
7. Calcule a integral dupla
∫∫
D
cos
(
y−x
y+x
)
dA, ondeD é a região trapezoidal com vértices (1, 0), (2, 0), (0, 2)
e (0, 1).
8. Calcule a integral dupla
∫∫
D
sen (9x2 + 4y2) dA, onde D é a região do primeiro quadradante limitada
pela elipse 9x2 + 4y2 = 1.
9. Calcule a integral dupla
∫∫
D
x−2y
3x−y dA, onde D é o paralelogramo limitado pelas retas x − 2y = 0,
x− 2y = 4, 3x− y = 1 e 3x− y = 8.
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