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Aula 16: Sistemas de coordenadas polares

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Coordenadas polares
Observe que para definirmos um sistema de coordenadas cartesianas no plano, nós temos
que escolher um ponto do plano (que chamamos de origem do plano e denotamos por O) e dois
eixos orientados perpendiculares entre si (que chamamos de eixo x e eixo y). Em coordenadas
cartesianas, um ponto P do plano é descrito por um par ordenado (x, y) cujas entradas são as
projeções do ponto P sobre o eixo x e sobre o eixo y, respectivamente. Observamos que, nesse
caso, cada ponto tem um único par ordenado associado à ele.
Até o presente momento, lidamos apenas com funções de duas variáveis dependentes das
coordenadas cartesianas. Vamos introduzir agora um novo sistema de coordenadas que nos será
muito útil para resolver alguns tipos de integrais: as coordenadas polares.
Para definirmos um sistema de coordenadas polares, nós temos que escolher um ponto do
plano (que chamamos de pólo (ou origem) do plano e denotamos por O) e escolhemos uma
semi-reta horizontal do plano com ponto inicial no pólo que seja orientada para a direita (que
chamamos de eixo polar). Observe que, da forma como escolhemos o eixo polar, ele coincide
com o semi-eixo positivo de x.
Em coordenadas polares, um ponto P pode ser descrito por um par ordenado (r, θ) onde r
é a distância do ponto P ao pólo, isto é,
r = d(P,O)
e θ é o ângulo entre o segmento de reta OP e o eixo polar (medido em radianos).
Ao contrário do que acontecia no sistema de coordenadas cartesianas, um ponto do plano
pode ter infinitos pares ordenados de coordenadas polares correspondentes à ele.
O ângulo θ é negativo se ele for medido no sentido horário e positivo se ele for medido no
sentido anti-horário.
É interessante estender o sinal de r também para os negativos. Para tanto, definimos
(−r, θ) = (r, θ + pi)
1
Nas figuras abaixo estão representados alguns pontos do plano em coordenadas polares:
Os pares ordenados (0, θ) correspondem ao pólo do sistema coordenado para todo θ ∈ R.
Imagine que você está no pólo do sistema de coordenadas polares olhando para o eixo polar.
Podemos pensar que para chegar em um certo ponto fixo P do plano podemos
• Girar o corpo de um ângulo θ no sentido anti-horário e andar r unidades para frente.
Nesse caso, obtemos as coordenadas P = (r, θ)).
• Girar o corpo de um ângulo θ + pi no sentido anti-horário e andar r unidades para trás.
Nesse caso, obtemos as coordenadas P = (−r, θ + pi)).
• Girar o corpo de um ângulo θ+2pi no sentido anti-horário e andar r unidades para frente.
Nesse caso, obtemos as coordenadas (r, θ + 2pi)).
• Girar o corpo de um ângulo pi− θ no sentido horário e andar r unidades para trás. Nesse
caso, obtemos as coordenadas (−r, pi − θ)).
• Girar o corpo de um ângulo 2pi − θ no sentido horário e andar r unidades para frente.
Nesse caso, obtemos as coordenadas (r, 2pi − θ)).
e assim por diante.
2
Exemplo 1. Temos que
(
1,
5pi
4
)
=
(
1,−3pi
4
)
=
(
1,
13pi
4
)
=
(
−1, pi
4
)
Mudando de coordenadas cartesianas para coordenadas polares
Conidere a figura abaixo na qual representamos o sistema de coordenadas cartesianas e o
sistema de coordenadas polares no mesmo desenho, de forma que o eixo polar coincidisse com
o eixo x e o pólo coincidisse com a origem do sistema cartesiano.
Pelo triângulo retângulo da figura, observamos que se r 6= 0, então
cos θ =
x
r
sen θ =
y
r
Além disso, se r = 0, então o ponto P corresponde à origem do sistema coordenado e, portanto,
x = 0 e y = 0. Logo, as coordenadas cartesianas (x, y) de um ponto P podem ser escritas em
termos das coordenadas polares (r, θ) de P como
x = r cos θ y = r sen θ
Com essa fórmula conseguimos encontrar as coordenadas cartesianas de um ponto quando
as coordenadas polares são conhecidas.
Exemplo 2. Converta o ponto P =
(
4,
pi
6
)
de coordenadas polares para cartesianas.
Temos que r = 5, θ =
pi
6
e, portanto,
x = r cos θ = 4 cos
pi
6
= 2
√
3
3
y = r sen θ = 4 sen
pi
6
= 2
Logo, em coordenadas cartesianas, P =
(
2
√
3, 2
)
.
Observe que
x2 + y2 = (r cos θ)2 + (r sen θ)2 = r2 cos2 θ + r2 sen 2θ = r2( sen 2θ + cos2 θ) = r2
e que se x 6= 0, então
tan θ =
y
x
Logo, se x 6= 0, podemos encontrar as coordenadas polares de um ponto quando as coordenadas
cartesianas são conhecidas, através das fórmulas
r2 = x2 + y2 tan θ = x
y
Observe que se x = 0, então r2 = y2 e temos que r = y ou r = −y.
Se r = y, então
sen θ =
y
x
= 1
e, portanto, podemos tomar θ =
pi
2
. Logo, se x = 0, então uma das coordenadas polares do
ponto P = (x, y) é
r = y θ = pi
2
Observe que se tivéssemos tomado r = −y, então
sen θ =
y
x
= −1
e, portanto, poderíamos tomar θ = −pi
2
.
Exemplo 3. Represente o ponto com coordenadas cartesianas P = (1,−1) em coordenadas po-
lares.
Temos que x = 1, y = −1 e
r2 = x2 + y2 = 2
tan θ =
x
y
= −1
Da primeira equação temos que r = ±√2.
Se tomarmos r =
√
2, então (como o ponto (1,−1) está no quarto quadrante) podemos tomar
θ = 7pi
4
(por exemplo). Logo, uma das representações do ponto P em coordenadas polares é
P =
(√
2,
7pi
4
)
.
Observe que se tivéssemos tomado r = −√2, então (como o ponto (1,−1) está no quarto
quadrante) poderíamos tomar θ = 3pi
4
(por exemplo). Obteríamos assim, P =
(
−
√
2,
3pi
4
)
Exemplo 4. Represente o ponto com coordenadas cartesianas P = (0,−1) em coordenadas po-
lares.
Uma das representações do ponto P em coordenadas polares é P =
(
−1, pi
2
)
.
Observação 1. Quando as coordenadas cartesianas de um ponto P são dadas e queremos
representá-lo em coordenadas polares, podemos obter infinitas representações distintas. Entre-
tanto, temos que ficar atentos ao quadrante no qual o ponto P se encontra para não obtermos
um θ errado ao escolhermos r.
4
Curvas em coordenadas polares
Chamamos uma equação da forma
f(r, θ) = 0
de equação polar. O gráfico de uma equação deste tipo consiste em todos os pontos P do plano
que possuem pelo menos uma representão polar (r, θ) que satisfaz a equação.
Exemplo 5. A equação r = 2 é uma equação polar (pois podemos escrevê-la como f(r, θ) = 0
se tomarmos f(r, θ) = r − 2). O gráfico dessa equação polar consiste de todos os pontos que
distam 2 unidades do pólo. Logo, o gráfico dessa equação é o círculo de raio 2.
Observe que no plano cartesiano θr, essa curva representa uma reta paralela ao eixo θ.
Na verdade, o gráfico da equação r = k, onde k ∈ R, é o círculo de raio |k| se k 6= 0 e é o
pólo se k = 0.
No plano cartesiano θr, a curva r = k sempre representa uma reta paralela ao eixo θ.
Exemplo 6. A equação θ = 1 é uma equação polar (pois podemos escrevê-la como f(r, θ) = 0
se tomarmos f(r, θ) = θ − 1). O gráfico dessa equação polar consiste de todos os pontos que
podem ser escritos como P = (r, 1), onde r é qualquer número real. Logo, o gráfico dessa
equação é a reta que forma um ângulo de 1 rad com o eixo x.
Observe que no plano cartesiano θr, essa curva representa uma reta paralela ao eixo r.
Na verdade, o gráfico da equação θ = k, onde k ∈ R, é uma reta. No plano cartesiano θr, a
curva θ = k sempre representa uma reta paralela ao eixo r.
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