Aula 17: Esboço de gráficos de equações em coordenadas polares

Prévia do material em texto

Representando graficamente conjuntos em coordenadas polares
Exemplo 1. Represente graficamente o conjunto{
(r, θ) ∈ R2 | 1 ≤ r ≤ 2, pi
6
≤ θ ≤ pi
3
}
No sistema de coordenadas polares esse conjunto é o semi-anel
No sistema de coordenadas cartesianas θr, esse conjunto é o retângulo
Exemplo 2. Represente graficamente o conjunto{
(r, θ) ∈ R2 | − 3 ≤ r ≤ 2, pi
6
≤ θ ≤ pi
3
}
No sistema de coordenadas polares esse conjunto é
1
No sistema de coordenadas cartesianas θr, esse conjunto é o retângulo
Exemplo 3. Represente graficamente o conjunto{
(r, θ) ∈ R2 | − 3 ≤ r ≤ 2, θ = pi
3
}
No sistema de coordenadas polares esse conjunto é a reta
No sistema de coordenadas cartesianas θr, esse conjunto é a reta
2
Exemplo 4. Represente graficamente o conjunto{
(r, θ) ∈ R2 | r ≤ 0, −pi
4
≤ θ ≤ pi
6
}
No sistema de coordenadas polares esse conjunto é
No sistema de coordenadas cartesianas θr, esse conjunto é
Exemplo 5. Represente graficamente o conjunto{
(r, θ) ∈ R2 | − pi
2
≤ θ ≤ pi
6
}
No sistema de coordenadas polares esse conjunto é
No sistema de coordenadas cartesianas θr, esse conjunto é
3
Simetria em coordenadas polares
• Se o ponto (r, θ) estiver no gráfico da equação implicar que o ponto (r,−θ) ou o ponto
(−r, pi − θ) também está no gráfico, então o gráfico é simétrico com relação ao eixo x.
• Se o ponto (r, θ) estiver no gráfico da equação implicar que o ponto (r, pi − θ) ou o ponto
(−r,−θ) também está no gráfico, então o gráfico é simétrico com relação ao eixo y.
• Se o ponto (r, θ) estiver no gráfico da equação implicar que o ponto (−r, θ) ou o ponto
(r, pi + θ) também está no gráfico, então o gráfico é simétrico com relação ao pólo.
Representando graficamente equações em coordenadas polares
Ás vezes é útil plotar inicialmente a curva correspondente à equação polar no plano carte-
siano θr antes de querer desenhá-la no plano polar. É o que ocorre nos exemplos abaixo:
4
Exemplo 6. Esboce a curva r = 1 + sen θ.
Observe que no plano cartesiano θr, essa curva é a curva seno deslocada uma unidade para
cima:
Observe também que se (r, θ) pertence ao gráfico desta equação, então o ponto (r, pi − θ)
também pertence. De fato, se
r = 1 + sen θ
então, como sen (pi − θ) = sen θ, temos
r = 1 + sen θ = 1 + sen (pi − θ)
Para desenhar o gráfico observamos que
1. À medida que θ varia de 0 até pi
2
a coordenada r aumenta de 1 até 2.
2. À medida que θ varia de pi
2
até pi a coordenada r diminui de 2 até 1.
3. À medida que θ varia de pi até 3pi
2
a coordenada r diminui de 1 até 0.
4. À medida que θ varia de 3pi
2
até 2pi a coordenada r aumenta de 0 até 1.
e depois de 2pi o ciclo se repete.
Essa figura é chamada de cardióide pois tem um formato parecido com um coração.
5
Exemplo 7. Esboce a curva r = cos(2θ).
Observe que no plano cartesiano θr, essa curva é
Observamos que
1. À medida que θ varia de 0 até pi
4
a coordenada r diminui de 1 até 0.
2. À medida que θ varia de pi
4
até
pi
2
a coordenada r diminui de 0 até −1.
3. À medida que θ varia de pi
2
até
3pi
4
a coordenada r aumenta de −1 até 0.
4. À medida que θ varia de 3pi
4
até pi a coordenada r aumenta de 0 até 1.
5. À medida que θ varia de pi até 5pi
4
a coordenada r diminui de 1 até 0.
6. À medida que θ varia de 5pi
4
até
3pi
2
a coordenada r diminui de 0 até −1.
7. À medida que θ varia de 3pi
2
até
7pi
4
a coordenada r aumenta de −1 até 0.
8. À medida que θ varia de 7pi
4
até 2pi a coordenada r aumenta de 0 até 1.
Essa figura é chamada de rosa de quatro pétalas.
6
Convertendo equações cartesianas em polares
Para reescrevermos uma equação cartesiana
f(x, y) = 0
como uma equação polar, usamos as relações
x = r cos θ e y = r sen θ
Exemplo 8. Encontre uma equação polar para o círculo
(x+ 1)2 + (y − 3)2 = 9
Temos que
(x+ 1)2 + (y − 3)2 = (r cos θ + 1)2 + (r sen θ − 3)2
= r2 cos2 θ + 2r cos θ + 1 + r2 sen 2θ − 6r sen θ + 9
= r2 + 2r(cos θ − 3 sen θ) + 10
Logo, a equação (x+ 1)2 + (y − 3)2 = 9 pode ser escrita como
r2 + 2r(cos θ − 3 sen θ) = −1
Convertendo equações polares em cartesianas
Exemplo 9. Encontre uma equação cartesiana para a equação polar
r =
4
2 cos θ + senθ
e identifique seu gráfico.
Temos que cos θ = x
r
e sen θ = y
r
. Logo,
2 cos θ − senθ = 2x
r
+
y
r
=
2x+ y
r
Portanto,
4
2 cos θ − senθ =
4r
2x+ y
e a equação r = 4
2 cos θ+senθ
pode ser escrita como
r =
4r
2x+ y
⇒ 1 = 4
2x+ y
⇒ 2x+ y = 4 ⇒ y = −2x+ 4
7
Concluímos que o gráfico desta equação é a reta
Exemplo 10. Encontre uma equação cartesiana para a equação polar
r2 = 4r cos θ
e identifique seu gráfico.
Como cos θ = x
r
, então
4r cos θ = 4r
x
r
= 4x
Usando que r2 = x2 + y2, a equação r2 = 4r cos θ pode ser escrita como
x2 + y2 = 4x ⇒ x2 + y2 − 4x = 0
Completando quadrados temos
(x− 2)2 + y2 − 4 = 0 ⇒ (x− 2)2 + y2 = 4
Concluímos que o gráfico desta equação é o círculo de raio 2 e centro no ponto (2, 0).
8