Aula 21: Coordenadas cilíndricas e integrais triplas em coordenadas cilíndricas

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Coordenadas cilíndricas
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P do espaço tridimensional é representado
pela tripla ordenada (r, θ, z), onde (r, θ) são as coordenadas polares da projeção do ponto P
sobre o plano xy e z é a coordenada cartesiana que estamos acostumados.
Podemos obter as coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P ∈ R3 à partir das suas
coordenadas cilíndricas (r, θ, z) utilizando as fórmulas
x = r cos θ, y = r sen θ, z = z
Exemplo 1. Plote o ponto com coordenadas cilíndricas
(
2, 2pi
3
, 1
)
e determine sua coordendas
cartesianas.
O ponto com coordenadas cilíndricas
(
2, 2pi
3
, 1
)
é o ponto
Em coordenadas cartesianas (x, y, z) temos
x = 2 cos
2pi
3
= 2 ·
(
−1
2
)
= −1
y = 2 sen
2pi
3
= 2 ·
(√
3
2
)
=
√
3
z = 1
Ou seja, em coordenadas cartesianas o ponto é representado pela tripla ordenada (−1,√3, 1).
1
Observe que a equação cilíndrica r = c representa o cilindro de raio c dado em coordenadas
cartesianas por x2 + y2 = c2.
A equação cilíndrica θ = c representa um plano que é equivalente ao plano xz rotacionado
em c radianos.
Já a equação cilíndrica z = c continua representando simplesmente o plano paralelo ao plano
xy que passa pelo ponto (0, 0, c).
2
Exemplo 2. Determine a equação em coordendas cilíndricas do elipsóide 4x2 + 4y2 + z2 = 1.
Como r2 = x2 + y2, então, em coordenadas cilíndricas, o elipsóide é descrito por 4r2 + z2 = 1.
Exemplo 3. Determine a equação em coordendas cilíndricas do parabolóide z = x2 + y2.
Como r2 = x2 + y2, então, em coordenadas cilíndricas, o parabolóide é descrito por z = r2.
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas
Suponha que E seja um sólido do tipo 1 descrito por
E = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}
cuja projeção D no plano xy tenha uma representação conveniente em coordenadas polares
dada por
D = {(r, θ) ∈ R2 | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)}
Suponha que f(x, y, z) seja uma função de três variáveis contínua no sólido E. Sabemos
que a integral tripla de f em E é dada por∫∫∫
E
f(x, y, z) dV =
∫∫
D
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f(x, y, z) dz dA
Lembramos que primeiro calculamos a integral em z∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f(x, y, z) dz
e depois calculamos a integral dupla em D do resultado. Como a integral dupla será calculada
em coordenadas polares, temos que traduzir o resultado da integração para coordenadas polares.
Mas isto é o mesmo que traduzir x e y para polares, manter z fixo e calcular∫ u2(r cos θ,r sen θ)
u1(r cos θ,r sen θ)
f(r cos θ, r sen θ, z) dz
3
uma vez que z é constante em x, y, r e θ. Logo,∫∫
D
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f(x, y, z) dz dA =
∫∫
D
[∫ u2(r cos θ,r sen θ)
u1(r cos θ,r sen θ)
f(r cos θ, r sen θ, z) dz
]
dA
=
∫ β
α
∫ h2(θ)
h1(θ)
[∫ u2(r cos θ,r sen θ)
u1(r cos θ,r sen θ)
f(r cos θ, r sen θ, z) dz
]
r dr dθ
=
∫ β
α
∫ h2(θ)
h1(θ)
∫ u2(r cos θ,r sen θ)
u1(r cos θ,r sen θ)
f(r cos θ, r sen θ, z) r dz dr dθ
Concluímos assim que
∫∫∫
E
f(x, y, z) dV =
∫ β
α
∫ h2(θ)
h1(θ)
∫ u2(r cos θ,r sen θ)
u1(r cos θ,r sen θ)
f(r cos θ, r sen θ, z) r dz dr dθ
Observe que o que estamos fazendo é escrever a integral tripla
∫∫∫
E
f(x, y, z) dV em coor-
denadas cilíndricas. O resultado que chegamos nos diz que para isso temos que:
• Descrever o sólido E em coordenadas cilíndricas para encontrar os limites de integração
da integral tripla.
• Reescrever a função a ser integrada f(x, y, z) em coordenadas cilíndricas utilizando as
fórmulas x = r cos θ, y = r sen θ e z = z.
• Reescrever o elemento de integração dV como sendo r dz dr dθ.
Exemplo 4. Calcule o volume do sólido E que está contido dentro do cilindro x2 + y2 = 1,
abaixo do plano z = 4 e acima do parabolóide z = 1− x2 − y2.
4
Sabemos que
Volume de E =
∫∫∫
E
1 dV
Observe que o parabolóide z = 1 − x2 − y2 pode ser descrito em coordenadas cilíndricas como
z = 1− r2 e que a projeção do sólido E no plano xy é o disco D de raio 1 centrado na origem.
Logo,
D = {(r, θ) ∈ R2 | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi}
e o sólido E pode ser descrito em coordenadas cilíndricas como
E = {(r, θ, z) ∈ R3 | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi, 1− r2 ≤ z ≤ 4}
Temos então que
Volume de E =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
∫ 4
1−r2
r dz dr dθ
Vamos calcular a integral em z:∫ 4
1−r2
r dz = [rz]z=4z=1−r2 = [4r]− [r − r3] = 3r + r3
Calculando a integral do resultado em r:∫ 1
0
3r + r3 dr =
[
3r2
2
+
r4
4
]r=1
r=0
=
3
2
+
1
4
=
7
4
Calculando a integral do resultado em θ:∫ 2pi
0
7
4
dθ =
[
7θ
4
]θ=2pi
θ=0
=
7pi
2
e, portanto,
Volume de E =
7pi
2
Exemplo 5. Calcule
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 2
√
x2+y2
(x2 + y2) dz dy dx.
Observe que essa integral iterada é a integral tripla da função f(x, y, z) = x2 + y2 sobre o
sólido
E = {(x, y, z) ∈ R3 | −2 ≤ x ≤ 2, −
√
4− x2 ≤ y ≤
√
4− x2,
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 2}
Esse sólido é um sólido do tipo 1 (já que z é uma função de x e y) e sua projeção no plano xy
é a região
D =
{
(x, y) ∈ R2 | −2 ≤ x ≤ 2, −
√
4− x2 ≤ y ≤
√
4− x2
}
que é um disco centrado na origem de raio 2.
Observe que z varia entre a parte superior do cone z =
√
x2 + y2 e o plano z = 2.
5
Reescevendo a região D em coordenadas polares, temos
D =
{
(r, θ) ∈ R2 | 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2pi}
Reescrevendo a equação do cone z =
√
x2 + y2 em coordenadas cilíndricas obtemos
z =
√
r2 = |r| = r
(já que r ≥ 0 em D) e, portanto, o sólido E pode ser descrito em coordenadas cilíndricas como
E =
{
(r, θ, z) ∈ R3 | 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2pi, r ≤ z ≤ 2}
Além disso, a função f(x, y, z) é escrita em coordenadas cilíndricas como
f(r cos θ, r sen θ, z) = r2
Logo, concluímos que a integral do enunciado pode ser escrita em coordenadas cilíndricas como∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 2
√
x2+y2
(x2 + y2) dz dy dx =
∫ 2pi
0
∫ 2
0
∫ 2
r
r2 r dz dr dθ =
∫ 2pi
0
∫ 2
0
∫ 2
r
r3 dz dr dθ
Vamos calcular a integral em z:∫ 2
r
r3 dz =
[
r3z
]z=2
z=r
= 2r3 − r4
Calculando a integral do resultado em r:∫ 2
0
2r3 − r4 dr =
[
r4
2
− r
5
5
]r=2
r=0
= 8− 32
5
=
8
5
Calculando a integral do resultado em θ:∫ 2pi
0
8
5
dθ =
[
8θ
5
]θ=2pi
θ=0
=
16pi
5
e, portanto, ∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 2
√
x2+y2
(x2 + y2) dz dy dx =
16pi
5
6