Integrais triplas em coordenadas esféricas

Prévia do material em texto

Coordenadas esféricas
No sistema de coordenadas esféricas, um ponto P do espaço tridimensional é representado
pela tripla ordenada (ρ, θ, φ), onde
• ρ = d(P, 0) = ||−→OP || ≥ 0 é a distância entre o ponto P e a origem.
• θ é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas.
• φ ∈ [0, pi] é o ângulo entre o vetor −→k = (0, 0, 1) e o vetor −→OP .
Suponha que P = (x, y, z) em coordenadas cartesianas. Sejam Q = (x, y, 0) a projeção do
ponto P no plano xy e X = (x, 0, 0) a projeção do ponto Q no eixo x.
Analisando o triângulo retângulo OQX obtemos que
x =
√
x2 + y2 cos θ e y =
√
x2 + y2 sen θ
E analisando o triângulo retângulo OPQ, obtemos que√
x2 + y2 = ρ sen φ e z = ρ cosφ
1
Logo,
x = ρ sen φ cos θ e y = ρ sen φ sen θ
e concluímos que podemos obter as coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P ∈ R3 à
partir das suas coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) utilizando as fórmulas
x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cosφ
Exemplo 1. Plote o ponto com coordenadas esféricas
(
2, pi
4
, pi
3
)
e determine suas coordenadas
cartesianas.
O ponto com coordenadas esféricas
(
2, pi
4
, pi
3
)
é o ponto
Em coordenadas cartesianas (x, y, z) temos
x = 2 sen
pi
3
cos
pi
4
= 2 ·
√
3
2
·
√
2
2
=
√
6
2
y = 2 sen
pi
3
sen
pi
4
= 2 ·
√
3
2
·
√
2
2
=
√
6
2
z = 2 cos
pi
3
= 2 · 1
2
= 1
Ou seja, em coordenadas cartesianas o ponto é representado pela tripla ordenada
(√
6
2
,
√
6
2
, 1
)
.
2
Observe que, se c = 0, então a equação esférica ρ = c representa a origem. Se c > 0,
então a equação esférica ρ = c representa a esfera de raio c dado em coordenadas cartesianas
por x2 + y2 + z2 = c2 (uma vez que seu gráfico é constituído de todos os pontos que distam
exatamente c unidades da origem).
Se c ∈ R, então a equação esférica θ = c representa um semi-plano que é equivalente ao
semi-plano
{(x, y, z) pertencentes ao plano xz | x > 0}
rotacionado em c radianos (uma vez que 0 ≤ φ ≤ pi).
Se c ∈ (0, pi
2
)
, então a equação esférica φ = c representa o semi-cone superior com ângulo
de abertura c e se e c ∈ (pi
2
, pi
)
, então a equação esférica φ = c representa o semi-cone inferior
com ângulo de abertura pi − c.
A equação esférica φ = 0 representa a semi-reta positiva do eixo z, a equação esférica φ = pi
representa a semi-reta negativa do eixo z e a equação esférica φ = pi
2
representa o plano xy.
3
Integrais triplas em coordenadas esféricas
Suponha que E seja um sólido descrito em coordenadas esféricas por
E = {(ρ, θ, φ) | u1(θ, φ) ≤ ρ ≤ u2(θ, φ), α ≤ θ ≤ β, γ ≤ φ ≤ λ}
onde u1(θ, φ) ≥ 0, β − α ≤ 2pi e 0 ≤ λ, γ ≤ pi.
Suponha que f(x, y, z) seja uma função de três variáveis contínua no sólido E. A integral
tripla da função f em coordenadas esféricas é dada por
∫∫∫
E
f(x, y, z) dV =
∫ λ
γ
∫ β
α
∫ u2(θ,φ)
u1(θ,φ)
f(ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cosφ) ρ2 sen φ dρ dθ dφ
Ou seja, para calcular uma integral tripla em coordenadas esféricas temos que:
• Descrever o sólido E em coordenadas esféricas para encontrar os limites de integração da
integral tripla.
• Reescrever a função a ser integrada f(x, y, z) em coordenadas esféricas utilizando as fór-
mulas
x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cosφ
• Reescrever o elemento de integração dV como sendo ρ2 sen φ dρ dθ dφ.
Em particular, se u1(θ, φ) = a e u2(θ, φ) = b, então∫∫∫
E
f(x, y, z) dV =
∫ λ
γ
∫ β
α
∫ b
a
f(ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cosφ) ρ2 sen φ dρ dθ dφ
Exemplo 2. Calcule a integral tripla
∫∫∫
E
e(x
2+y2+z2)
3
2 dV onde E é a bola unitária
x2 + y2 + z2 ≤ 1.
Vamos calcular esta integral utilizando coordenadas esféricas.
Como ρ é a distância do ponto P até a origem, então
ρ =
√
x2 + y2 + z2
se P é escrito em coordenadas cartesianas pela tripla ordenada (x, y, z). Portanto,
ρ2 = x2 + y2 + z2
Em coordenadas esféricas, temos que
• E = {(ρ, θ, φ) | 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ φ ≤ pi}
• e(x2+y2+z2) 32 = eρ3
4
Logo, ∫∫∫
E
e(x
2+y2+z2)
3
2 dV =
∫ pi
0
∫ 2pi
0
∫ 1
0
eρ
3
ρ2 sen φ dρ dθ dφ
Vamos calcular a integral com relação à ρ:∫ 1
0
eρ
3
ρ2 sen φ dρ =
[
eρ
3
3
sen φ
]ρ=1
ρ=0
=
e− 1
3
sen φ
Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ 2pi
0
e− 1
3
sen φ dθ =
e− 1
3
sen φ [θ]θ=2piθ=0 =
2pi(e− 1)
3
sen φ
Calculando a integral do resultado com relação à φ:∫ pi
0
2pi(e− 1)
3
sen φ dφ =
2pi(e− 1)
3
[− cosφ]φ=piφ=0 =
4pi(e− 1)
3
Concluímos assim que ∫∫∫
E
e(x
2+y2+z2)
3
2 dV =
4pi(e− 1)
3
Exemplo 3. Calcule o volume do sólido E que está acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da
esfera x2 + y2 + z2 = z.
Observe que
x2 + y2 + z2 = z ⇒ x2 + y2 +
(
z − 1
2
)2
=
1
4
e, portanto, a equação x2 + y2 + z2 = z representa a esfera de raio 1
2
com centro no ponto(
0, 0, 1
2
)
.
Sabemos que o volume do sólido E é dado por∫∫∫
E
1 dV
5
Em coordenadas esféricas, temos que
• A equação do cone é
ρ cosφ =
√
ρ2 cos2 θ sen 2φ+ ρ2 sen 2θ sen 2φ = ρ|sen φ| = ρ sen φ
(uma vez que φ ∈ [0, pi] e, portanto, sen φ ≥ 0). Logo, ρ(cosφ− sen φ) = 0 e, portanto,
ρ = 0 ou φ = pi
4
. Como a equação ρ = pi
4
já acopla a origem (dada por ρ = 0) que é o
vértice do cone, então a equação do cone pode ser escrita simplesmente por
φ =
pi
4
• A equação da esfera é ρ2 = ρ cosφ. Como φ ∈ (0, pi
4
)
em E, então cosφ 6= 0 e, portanto,
a equação da esfera pode ser escrita simplesmente por
ρ = cosφ
(já que ρ 6= 0 na metade superior da esfera).
• E = {(ρ, θ, φ) | 0 ≤ ρ ≤ cosφ, 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ φ ≤ pi
4
}
Logo,
V (E) =
∫ pi
4
0
∫ 2pi
0
∫ cosφ
0
ρ2 sen φ dρ dθ dφ
Vamos calcular a integral com relação à ρ:∫ cosφ
0
ρ2 sen φ dρ =
[
ρ3
3
sen φ
]ρ=cosφ
ρ=0
=
cos3 φ sen φ
3
Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ 2pi
0
cos3 φ sen φ
3
dθ =
cos3 φ sen φ
3
[θ]θ=2piθ=0 =
2pi
3
cos3 φ sen φ
Calculando a integral do resultado com relação à φ:∫ pi
4
0
2pi
3
cos3 φ sen φ dφ =
2pi
3
[
−cos
4 φ
4
]φ=pi
4
φ=0
=
2pi
3
[
− 1
16
+
1
4
]
=
pi
8
Concluímos assim que
V (E) =
pi
8
6