Aula 23: Mudanças de variáveis em integrais duplas e triplas

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Mudanças de variáveis em integrais duplas
Quando fazíamos uma mudança de variáveis x = x(u) nas integrais de uma única variável,
podíamos calcular a integral de uma função f com relação à x entre a e b como∫ b
a
f(x) dx =
∫ d
c
f(x(u))x′(u) du
onde a = x(c) e b = x(d). Em outras palavras,∫ b
a
f(x) dx =
∫ d
c
f(x(u))
dx
du
du
Queremos saber agora como podemos calcular uma integral dupla fazendo uma mudança
de variáveis das variáveis cartesianas x e y para as variáveis u e v, onde x e y são dados pelas
funções
x = x(u, v) y = y(u, v)
que possuem derivadas parciais contínuas em u e v
Precisamos saber traduzir o elemento de integração dA = dx dy para as novas variáveis.
Para tanto, definimos o que chamamos de Jacobiano da mudança de coordenadas.
O Jacobiano da mudança de coordenadas é o determinante da matriz 2× 2
∂(x, y)
∂(u, v)
= det

∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
 = ∂x∂u ∂y∂v − ∂x∂v ∂y∂u
O elemento de área dA = dx dy é escrito nas variáveis u e v como
dA =
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv
onde
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ é o módulo do Jacobiano da mudança de variáveis.
Se a mudança de variáveis
(x, y)→ (u, v)
é injetiva (exceto possivelmente na fronteira da região D), se o jacobiano da mudança de
variáveis é não-nulo e se f é uma função contínua em D, então∫∫
D
f(x, y) dA =
∫∫
D
f(x(u, v), y(u, v))
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv
onde a região D do lado direito da igualdade tem que ser descrita em termos das novas variáveis
u e v.
Observação 1. Na prática, para traduzirmos a região D das coordenadas cartesianas para as
coordenadas u e v, basta fazermos a tradução das equações das curvas de fronteira de D.
Exemplo 1. No caso em que fazemos a mudança das coordenadas cartesianas para as coorde-
nadas polares, as variáveis x e y são dadas em termos das variáveis r e θ pelas funções
x = x(r, θ) = r cos θ y = y(r, θ) = r sen θ
1
que possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O Jacobiano da mudança de
variáveis neste caso é
∂(x, y)
∂(r, θ)
= det

∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
 = det
[
cos θ −r sen θ
sen θ r cos θ
]
= r cos2 θ + r sen 2θ = r
Como tomamos r ≥ 0 para descrevermos as regiões de integração em coordenadas polares, então∣∣∣∣∂(x, y)∂(r, θ)
∣∣∣∣ = |r| = r
e, portanto,
dA = r dr dθ
Exemplo 2. Calcule a integral dupla
∫∫
D
e
x+y
x−y dA, onde D é a região trapezoidal com vértices
(1, 0), (2, 0), (0,−2) e (0,−1).
Vamos fazer a mudança de variáveis
u = x+ y v = x− y
Observe que podemos obter x e y em função de u e v pelas funções
x =
u+ v
2
y =
u− v
2
O Jacobiano da mudança de variáveis neste caso é
∂(x, y)
∂(u, v)
= det

∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
 = det

1
2
1
2
1
2
−1
2
 = −14 − 14 = −12
Logo, o módulo do Jacobiano é ∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ = 12
e o elemento de integração é
2
dA =
1
2
du dv
As fronteiras da região D em coordenadas cartesianas são dadas por
y = 0, x− y = 2, x = 0, x− y = 1
Assim, nas coordenadas u e v temos que a equação
• y = 0 equivale à equação u = v
• x− y = 2 equivale à equação v = 2
• x = 0 equivale à equação u = −v
• x− y = 1 equivale à equação v = 1
Logo, a região D é descrita nas coordenadas u e v como
D = {(u, v) | − v ≤ u ≤ v, 1 ≤ v ≤ 2}
No plano cartesiano uv, a região D corresponde ao trapézio
Além disso, como
e
x+y
x−y = e
u
v
então ∫∫
D
e
x+y
x−y dA =
∫ 2
1
∫ v
−v
e
u
v
1
2
du dv =
1
2
∫ 2
1
∫ v
−v
e
u
v du dv
Vamos calcular a integral em u:∫ v
−v
e
u
v du =
[
ve
u
v
]u=v
u=−v = ve− ve−1 = (e− e−1)v
Calculando a integral do resultado com relação à v:∫ 2
1
(e− e−1)v dv = (e− e−1)
∫ 2
1
v dv = (e− e−1)
[
v2
2
]v=2
v=1
= (e− e−1)
[
2− 1
2
]
=
3(e− e−1)
2
Logo, concluímos que ∫∫
D
e
x+y
x−y dA =
3(e− e−1)
4
3
Mudanças de variáveis em integrais triplas
Suponha que queremos calcular uma integral tripla fazendo uma mudança de variáveis das
variáveis cartesianas x, y e z para as variáveis u, v e w, onde x, y e z são dados pelas funções
x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = y(u, v, w)
que possuem derivadas parciais contínuas em u, v e w.
Nesse caso, o Jacobiano da mudança de coordenadas é o determinante da matriz 3× 3
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
= det

∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w

O elemento de volume dV = dx dy dz é escrito nas variáveis u, v e w como
dV =
∣∣∣∣ ∂(x, y, z)∂(u, v, w)
∣∣∣∣ du dv dw
onde
∣∣∣∣ ∂(x, y, z)∂(u, v, w)
∣∣∣∣ é o módulo do Jacobiano da mudança de variáveis.
Se a mudança de variáveis
(x, y, z)→ (u, v, w)
é injetiva (exceto possivelmente na fronteira do sólido E), se o Jacobiano da mudança de
variáveis é não-nulo e se f é uma função contínua em E, então∫∫
E
f(x, y, z) dV =
∫∫
E
f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))
∣∣∣∣ ∂(x, y, z)∂(u, v, w)
∣∣∣∣ du dv dw
onde o sólido E do lado direito da igualdade tem que ser descrito em termos das novas variáveis
u, v e w.
Observação 2. Na prática, para traduzirmos o sólido E das coordenadas cartesianas para as
coordenadas u, v e w, basta fazermos a tradução das equações referentes às fronteiras de E.
Exemplo 3. No caso em que fazemos a mudança das coordenadas cartesianas para as coor-
denadas cilíndricas, as variáveis x, y e z são dadas em termos das variáveis r, θ e z pelas
funções
x = x(r, θ, z) = r cos θ y = y(r, θ, z) = r sen θ z = z(r, θ, z) = z
que possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O Jacobiano da mudança de
4
variáveis neste caso é
∂(x, y, z)
∂(r, θ, z)
= det

∂x
∂r
∂x
∂θ
∂x
∂z
∂y
∂r
∂y
∂θ
∂y
∂z
∂z
∂r
∂z
∂θ
∂z
∂z

= det
 cos θ −r sen θ 0
sen θ r cos θ 0
0 0 1

= 1 · (−1)3+3 det det
[
cos θ −r sen θ
sen θ r cos θ
]
= r cos2 θ + r sen 2θ = r
(fazendo a expansão em cofatores pela última linha). Como tomamos r ≥ 0 quando descrevemos
os sólidos de integração, então ∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(r, θ, z)
∣∣∣∣ = |r| = r
e, portanto,
r dr dθ dz
Exemplo 4. No caso em que fazemos a mudança das coordenadas cartesianas para as co-
ordenadas esféricas, as variáveis x, y e z são dadas em termos das variáveis ρ, θ e φ pelas
funções
x = x(ρ, θ, φ) = ρ sen φ cos θ y = y(ρ, θ, φ) = ρ sen φ sen θ z = z(ρ, θ, φ) = ρ cosφ
que possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O Jacobiano da mudança de
5
variáveis neste caso é
∂(x, y, z)
∂(ρ, θ, φ)
= det

∂x
∂ρ
∂x
∂θ
∂x
∂φ
∂y
∂ρ
∂y
∂θ
∂y
∂φ
∂z
∂ρ
∂z
∂θ
∂z
∂φ

= det
 sen φ cos θ −ρ sen φ sen θ ρ cosφ cos θ
sen φ sen θ ρ sen φ cos θ ρ cosφ sen θ
cosφ 0 −ρ sen θ

= cosφ(−1)1+3 det
[−ρ sen φ sen θ ρ cosφ cos θ
ρ sen φ cos θ ρ cosφ sen θ
]
− ρ sen φ(−1)3+3 det = det
[
sen φ cos θ −ρ sen φ sen θ
sen φ sen θ ρ sen φ cos θ
]
= cosφ(−ρ2 sen φ cosφ sen 2θ − ρ2 sen φ cosφ cos2 θ)
− ρ sen φ(ρ sen 2φ cos2 θ + ρ sen 2φ sen 2θ)
= cosφ(−ρ2 sen φ cosφ)− ρ sen φ(ρ sen 2φ)
= −ρ2 sen φ cos2 φ− ρ2 sen φ sen 2φ
= −ρ2 sen φ
(fazendo a expansão em cofatores pela última linha). Como tomamos φ ∈ [0, pi], então
sen φ ≥ 0
e concluímos que o módulo do Jacobiano é∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(ρ, θ, φ)
∣∣∣∣ = | − ρ2 sen φ| = ρ2 sen φ
Portanto,
dV = ρ2 sen φ dρ dθ dφ
6