Aula 24: Aplicações das integrais triplas

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Aplicações das integrais triplas
Já sabemos que as integrais triplas podem nos auxiliar no cálculo de volumes de sólidos do
espaço. Vamos aprender outras aplicações importantes das integrais triplas.
Suponha que você tem um sólido E do espaço. Se a densidade do sólido no ponto (x, y, z) ∈
E for dada por uma função contínua
ρ(x, y, z)
(medida em unidades de massa por unidades de volume), então sua massa total m é
m =
∫∫∫
E
ρ(x, y, z) dV
De forma análoga, podemos calcular a carga elétrica total de um sólido E qualquer do
espaço cuja densidade de carga seja uma função contínua σ(x, y, z) (medida em unidades de
carga por unidade de volume). Nesse caso, a carga total Q é dada por
Q =
∫∫∫
E
σ(x, y, z) dV
O momento do sólido E em relação ao plano coordenado xy é dado por
Mxy =
∫∫∫
E
zρ(x, y, z) dV
O momento do sólido E em relação ao plano coordenado xz é dado por
Mxz =
∫∫∫
E
yρ(x, y, z) dV
e o momento do sólido E em relação ao plano coordenado yz é dado por
Myz =
∫∫∫
E
xρ(x, y, z) dV
As coordenadas (x, y, z) do centro de massa do sólido E são
x =
Myz
m
, y =
Mxz
m
, z =
Mxy
m
onde m é a massa total do sólido.
Se a densidade for constante, então chamamos o centro de massa de centróide do sólido E.
O momento de inércia do sólido E em torno do eixo x é dado por
Ix =
∫∫∫
E
(y2 + z2)ρ(x, y, z) dV
O momento de inércia do sólido E em torno do eixo y é dado por
Iy =
∫∫∫
E
(x2 + z2)ρ(x, y, z) dV
e o momento de inércia do sólido E em torno do eixo z é dado por
Iz =
∫∫∫
E
(x2 + y2)ρ(x, y, z) dV
1
Exemplo 1. Determine o centróide do sólido limitado pelo cilindro parabólico x = y2 e pelos
planos x = z, z = 0 e x = 1 que possui densidade constante ρ(x, y, z) = 1 Kg/m3.
Olhando este sólido como sendo um sólido do tipo 1, temos que
E = {(x, y, z) ∈ R3 |(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ x}
onde
D = {(x, y) ∈ R2 | y2 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}
A massa total m do sólido E é
m =
∫∫∫
E
ρ(x, y, z) dV =
∫ 1
−1
∫ 1
y2
∫ x
0
1 dz dx dy
Vamos calular a integral em z: ∫ x
0
1 dz = [z]z=xz=0 = x
Calculando a integral do resultado com relação à x:∫ 1
y2
x dx =
[
x2
2
]x=1
x=y2
=
y4
2
− 1
2
2
Calculando a integral do resultado com relação à y:∫ 1
−1
(
y4
2
− 1
2
)
dy =
[
y5
10
− y
2
]y=1
y=−1
=
[
1
10
− 1
2
]
−
[
− 1
10
+
1
2
]
=
2
10
− 1 = 8
10
=
4
5
Logo,
m =
4
5
Kg
O momento do sólido em relação ao plano coordenado xy é dado por
Mxy =
∫∫∫
E
z dV =
∫ 1
−1
∫ 1
y2
∫ x
0
z dz dx dy
Vamos calcular a integral em z: ∫ x
0
z dz =
[
z2
2
]z=x
z=0
=
x2
2
Calculando a integral do resultado com relação à x:∫ 1
y2
x2
2
dx =
[
x3
6
]x=1
x=y2
=
1
6
− y
6
6
Calculando a integral do resultado com relação à y:∫ 1
−1
(
1
6
− y
6
6
)
dy =
[
y
6
− y
7
42
]y=1
y=−1
=
[
1
6
− 1
42
]
−
[
−1
6
+
1
42
]
=
2
6
− 2
42
=
2
7
O momento do sólido em relação ao plano coordenado xz é dado por
Mxz =
∫∫∫
E
y dV =
∫ 1
−1
∫ 1
y2
∫ x
0
y dz dx dy
Vamos calcular a integral em z: ∫ x
0
y dz = [zy]z=xz=0 = xy
Calculando a integral do resultado com relação à x:∫ 1
y2
xy dx =
[
x2y
2
]x=1
x=y2
=
y
2
− y
5
2
Calculando a integral do resultado com relação à y:∫ 1
−1
(
y
2
− y
5
2
)
dy =
[
y2
4
− y
6
12
]y=1
y=−1
=
[
1
4
− 1
12
]
−
[
1
4
− 1
12
]
= 0
O momento do sólido em relação ao plano coordenado yz é dado por
Myz =
∫∫∫
E
x dV =
∫ 1
−1
∫ 1
y2
∫ x
0
x dz dx dy
3
Vamos calcular a integral em z: ∫ x
0
x dz = [zx]z=xz=0 = x
2
Calculando a integral do resultado com relação à x:∫ 1
y2
x2 dx =
[
x3
3
]x=1
x=y2
=
1
3
− y
6
3
Calculando a integral do resultado com relação à y:∫ 1
−1
(
1
3
− y
6
3
)
dy =
[
y
3
− y
7
21
]y=1
y=−1
=
[
1
3
− 1
21
]
−
[
−1
3
+
1
21
]
=
2
3
− 2
21
=
12
21
=
4
7
As coordenadas (x, y, z) do centro de massa são
x =
Myz
m
=
5
7
, y =
Mxz
m
= 0, z =
Mxy
m
=
5
14
Exemplo 2. Seja H um hemisfério sólido (isto é, metade de uma bola) de raio 2 cuja densidade
em qualquer ponto é proporcional à distância ao centro da base.
1. Determine a massa total de H.
2. Determine o centro de massa de H.
3. Vendo H como uma superfície de revolução, determine o momento de inércia de H com
relação ao seu eixo de rotação.
Vamos representar o hemisfério sólido como sendo a hemisfério superior da bola x2+y2+z2 = 4,
isto é, como sendo o sólido entre o gráfico da função z =
√
4− x2 − y2 e o plano xy. Desta
forma, o centro da base do hemisfério é a origem do sistema cartesiano e, portanto, a densidade
em qualquer ponto é
ρ(x, y, z) = k
√
x2 + y2 + z2
onde k é a constante de proporcionalidade.
1. A massa total de H é dada por
m =
∫∫∫
H
ρ(x, y, z) dV
Utilizando coordenadas esféricas, temos que
• H =
{
(r, θ, φ) | 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ,≤ 2pi, 0 ≤ φ ≤ pi
2
}
• ρ(r sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cosφ) = kρ
• dV = ρ2 sen φ dρ dθ dφ
Logo,
m =
∫ pi
2
0
∫ 2pi
0
∫ 2
0
kρ3 sen φ dρ dθ dφ
Vamos calcular a integral em ρ:∫ 2
0
kρ3 sen φ dρ = k sen φ
[
ρ4
4
]ρ=2
ρ=0
= 4k sen φ
4
Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ 2pi
0
4k sen φ dθ = 4k sen φ [θ]θ=2piθ=0 = 8pik sen φ
Calculando a integral do resultado com relação à φ:∫ pi
2
0
8pik sen φ dφ = 8pik [− cosφ]φ=
pi
2
φ=0 = 8pik
2. O momento do sólido em relação ao plano coordenado xy é dado por
Mxy =
∫∫∫
E
zρ(x, y, z) dV =
∫ pi
2
0
∫ 2pi
0
∫ 2
0
kρ4 cosφ sen φ dρ dθ dφ
Vamos calcular a integral em ρ:∫ 2
0
kρ4 cosφ sen φ dρ = k cosφ sen φ
[
ρ5
5
]ρ=2
ρ=0
=
32
5
k cosφ sen φ
Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ 2pi
0
32
5
k cosφ sen φ dθ =
32
5
k cosφ sen φ [θ]θ=2piθ=0 =
64
5
pik cosφ sen φ
Calculando a integral do resultado com relação à φ:∫ pi
2
0
64
5
pik cosφ sen φ dφ =
32
5
pik
∫ pi
2
0
sen (2φ) dφ =
32
5
pik
[
−cos(2φ)
2
]φ=pi
2
φ=0
=
32
5
pik
O momento do sólido em relação ao plano coordenado yz é dado por
Myz =
∫∫∫
E
xρ(x, y, z) dV =
∫ pi
2
0
∫ 2pi
0
∫ 2
0
kρ4 cos θ sen 2φ dρ dθ dφ
Vamos calcular a integral em ρ:∫ 2
0
kρ4 cos θ sen 2φ dρ = k cos θ sen 2φ
[
ρ5
5
]ρ=2
ρ=0
=
32
5
k cos θ sen 2φ
Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ 2pi
0
32
5
k cos θ sen 2φ dθ =
32
5
k sen 2φ [ sen θ]θ=2piθ=0 = 0
Calculando a integral do resultado com relação à φ:∫ pi
2
0
0 dφ = 0
O momento do sólido em relação ao plano coordenado xz é dado por
Mxz =
∫∫∫
E
xρ(x, y, z) dV =
∫ pi
2
0
∫ 2pi
0
∫ 2
0
kρ4 sen θ sen 2φ dρ dθ dφ
5
Vamos calcular a integral em ρ:∫ 2
0
kρ4 sen θ sen 2φ dρ = k sen θ sen 2φ
[
ρ5
5
]ρ=2
ρ=0
=
32
5
k cos θ sen 2φ
Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ 2pi
0
32
5
k sen θ sen 2φ dθ =
32
5
k sen 2φ [− cos θ]θ=2piθ=0 = 0
Calculando a integral do resultado com relação à φ:∫ pi
2
0
0 dφ = 0
Logo, as coordenadas (x, y, z) do centro de massa são
x = 0, y =
Mxz
m
= 0, z =
Mxy
m
=
5
4
3. H pode ser visto como uma superfície de revolução em torno do eixo z. Vamoscalcular o
comento de inércia de H em torno do eixo z. Temos que
Iz =
∫∫∫
E
(x2 + y2)ρ(x, y, z) dV =
∫ pi
2
0
∫ 2pi
0
∫ 2
0
kρ5 sen 3φ dρ dθ dφVamos calcular a integral em ρ:∫ 2
0
ρ5 sen 3φ dρ = k sen 4φ
[
ρ6
6
]ρ=2
ρ=0
=
32
3
k sen 3φ
Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ 2pi
0
32
3
k sen 3φ dθ =
32
3
k sen 3φ [θ]θ=2piθ=0 =
64
3
k sen 3φ
Calculando a integral do resultado com relação à φ:∫ pi
2
0
64
3
k sen 3φ dφ =
64
3
k
∫ pi
2
0
sen
3φ dφ
=
64
3
k
∫ pi
2
0
sen φ(1− cos2 φ) dφ
=
64
3
k
∫ pi
2
0
sen φ− sen φ cos2 φ dφ
=
64
3
k
[
− cosφ+ cos
3 φ
3
]φ=pi
2
φ=0
=
128
9
kpi
Exercício 1. Determine o centróide de um cone circular reto de altura 3 e raio da base 4.
6