Aula 26: Integrais de linha de funções escalares

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Integrais de linha de funções escalares de duas variáveis
Dizemos que uma curva plana C dada pelas equações paramétricas
x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b]
ou (o que é equivalente) pela equação vetorial
−→r (t) = x(t)−→i + y(t)−→j
é uma curva lisa se
−→r ′(t) é contínua em [a, b] e −→r ′(t) 6= −→0 em [a, b]
Seja f(x, y) uma função contínua de duas variáveis cujo domínio contém a curva lisa C dada
pelas equações
x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b]
Definimos a integral de linha de f sobre C como sendo
∫
C
f(x, y) ds =
∫ b
a
f(x(t), y(t))
√[
dx
dt
]2
+
[
dy
dt
]2
dt
A integral de linha independe da parametrização e da orientação da curva C.
No caso em que f(x, y) ≥ 0 em C, a integral de linha
∫
C
f(x, y) ds representa a área da
"cortina" obtida entre a curva C e os pontos f(x, y) tais que (x, y) ∈ C.
No caso particular em que f(x, y) = 1, a integral de linha sobre a curva C é dada por
∫
C
1 ds =
∫ b
a
√[
dx
dt
]2
+
[
dy
dt
]2
dt
e ela nos fornece o comprimento da curva C.
Observação 1. A parametrização mais usada para descrever o segmento de reta que vai do
ponto (x1, y1) até o ponto (x2, y2) é
x = x1(1− t) + x2t, y = y1(1− t) + y2t, t ∈ [0, 1]
1
Exemplo 1. Calcule a integral de linha
∫
C
(2 + x2y) ds, onde C é a parte superior da circunfe-
rência x2 + y2 = 1 orientada no sentido anti-horário.
A curva C pode ser parametrizada por
x = cos t, y = sen t, t ∈ [0, pi]
As derivadas de x com relação à t, x′(t) = − sen t, e de y com relação à t, y′(t) = cos t, são
contínuas e nunca se anulam simultaneamente. Logo, a curva C é uma curva lisa.
Além disso, a função f(x, y) = 2 + x2y é contínua. Portanto,∫
C
f(x, y) ds =
∫ pi
0
f(cos t, sen t)
√
(− sen t)2 + (cos t)2 dt =
∫ pi
0
[
2 + cos2 t sen t
]
dt
=
[
2t− cos
3 t
3
]t=2pi
t=0
=
[
2pi +
1
3
]
−
[
0− 1
3
]
= 2pi +
2
3
Dizemos que uma curva C é uma curva lisa por partes se C é uma união finita de curvas
lisas C1, C2, ..., Cn onde o ponto inicial da curva Ci+1 é o ponto final da curva Ci para todo
i ∈ {1, 2, ..., n− 1}.
Seja f(x, y) uma função contínua de duas variáveis cujo domínio contém a curva lisa por
partes C. Definimos a integral de linha de f sobre C como sendo∫
C
f(x, y) ds =
∫
C1
f(x, y) ds+
∫
C2
f(x, y) ds+ ...+
∫
Cn
f(x, y) ds
2
Exemplo 2. Calcule a integral de linha
∫
C
2x ds, onde C = C1 ∪ C2, onde C1 é o arco da
parábola y = x2 de (0, 0) até (1, 1) e C2 é a reta que vai do ponto (1, 1) até o ponto (0, 0).
A curva C1 pode ser parametrizada por
x = t, y = t2, t ∈ [0, 1]
As derivadas de x com relação à t, x′(t) = 1, e de y com relação à t, y′(t) = 2t, são contínuas
e nunca se anulam simultaneamente. Logo, a curva C1 é uma curva lisa.
Além disso, a função f(x, y) = 2x é contínua. Portanto,∫
C1
f(x, y) ds =
∫ 1
0
f(t, t2)
√
12 + (2t)2 dt =
∫ 1
0
[
2t
√
1 + 4t2
]
dt
=
[
1
4
(1 + 4t2)3/2
3/2
]t=1
t=0
=
[
1
6
(1 + 4t2)3/2
]t=1
t=0
=
5
√
5− 1
6
A curva C2 pode ser parametrizada por
x = 1(1− t) + 0t = 1− t, y = 1(1− t) + 0t = 1− t, t ∈ [0, 1]
As derivadas de x com relação à t, x′(t) = −1, e de y com relação à t, y′(t) = −1, são contínuas
e nunca se anulam simultaneamente. Logo, a curva C2 é uma curva lisa e temos∫
C2
f(x, y) ds =
∫ 1
0
f(1− t, 1− t)
√
(−1)2 + (−1)2 dt =
∫ 1
0
(2− 2t)
√
2 dt =
√
2
[
2t− t2]t=1
t=0
=
√
2
Logo, ∫
C
2x ds =
∫
C1
2x ds+
∫
C2
2x ds =
5
√
5− 1
6
+
√
2
3
Integrais de linha com relação ao comprimento de arco
Seja f(x, y) uma função contínua de duas variáveis cujo domínio contém a curva lisa C dada
pelas equações
x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b]
Definimos a integral de linha ao longo de C com relação a x como sendo∫
C
f(x, y) dx =
∫ b
a
f(x(t), y(t))x′(t) dt
e definimos a integral de linha ao longo de C com relação a y como sendo∫
C
f(x, y) dy =
∫ b
a
f(x(t), y(t))y′(t) dt
Estas duas integrais são chamadas de integrais de linha com relação ao comprimento de
arco e elas dependem da orientação da curva C. Se −C representa a curva constituída pelos
mesmos pontos que C sendo percorridos na orientação contrária, então∫
−C
f(x, y) dx = −
∫
C
f(x, y) dx e
∫
−C
f(x, y) dy = −
∫
C
f(x, y) dy
Se C = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Cn é uma curva lisa por partes, então definimos∫
C
f(x, y) dx =
∫
C1
f(x, y) dx+
∫
C2
f(x, y) dx+ ...+
∫
Cn
f(x, y) dx
∫
C
f(x, y) dy =
∫
C1
f(x, y) dy +
∫
C2
f(x, y) dy + ...+
∫
Cn
f(x, y) dy
Exemplo 3. Calcule a integral
∫
C
y2 dx
(a) onde C é o arco da parábola x = 4− y2 sendo percorrido de (−5,−3) até (0, 2).
(b) onde C é o arco da parábola x = 4− y2 sendo percorrido de (0, 2) até (−5,−3).
4
(a) A curva C pode ser parametrizada por
x = 4− t2, y = t, t ∈ [−3, 2]
Temos que∫
C
y2 dx =
∫ 2
−3
t2 x′(t) dt =
∫ 2
−3
(−2t3) dt =
[
−t
4
2
]t=2
t=−3
= −16
2
+
81
2
=
65
2
(b) A curva C pode ser parametrizada por
x = 4− t2, y = −t, t ∈ [−2, 3]
Temos que∫
C
y2 dx =
∫ 3
−2
t2 x′(t) dt =
∫ 3
−2
(−2t3) dt =
[
−t
4
2
]t=3
t=−2
= −81
2
+
16
2
= −65
2
Exercício 1. Calcule a integral
∫
C
x dy
(a) onde C é o segmento de reta que vai de (−5,−3) até (0, 2).
(b) onde C é o segmento de reta que vai de (0, 2) até (−5,−3).
5
Integrais de linha de funções escalares de três variáveis
Dizemos que uma curva espacial C dada pelas equações paramétricas
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b]
ou (o que é equivalente) pela equação vetorial
−→r (t) = x(t)−→i + y(t)−→j + z(t)−→k
é uma curva lisa se
−→r ′(t) é contínua em [a, b] e −→r ′(t) 6= −→0 em [a, b]
Seja f(x, y, z) uma função contínua de três variáveis cujo domínio contém a curva lisa C
dada pelas equações
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b]
Definimos a integral de linha de f sobre C como sendo
∫
C
f(x, y, z) ds =
∫ b
a
f(x(t), y(t), z(t))
√[
dx
dt
]2
+
[
dy
dt
]2
+
[
dz
dt
]2
dt
A integral de linha independe da parametrização e da orientação da curva C.
No caso particular em que f(x, y, z) = 1, a integral de linha sobre a curva C é dada por
∫
C
1 ds =
∫ b
a
√[
dx
dt
]2
+
[
dy
dt
]2
+
[
dz
dt
]2
dt
e ela nos fornece o comprimento da curva C.
Definimos a integral de linha ao longo de C com relação a x como sendo∫
C
f(x, y, z) dx =
∫ b
a
f(x(t), y(t), z(t))x′(t) dt
Definimos a integral de linha ao longo de C com relação a y como sendo∫
C
f(x, y, z) dy =
∫ b
a
f(x(t), y(t), z(t))y′(t) dt
e definimos a integral de linha ao longo de C com relação a z como sendo∫
C
f(x, y, z) dz =
∫ b
a
f(x(t), y(t), z(t))z′(t) dt
Estas três integrais são chamadas de integrais de linha com relação ao comprimento de arco.
Observação 2. A parametrização mais usada para descrever o segmento de reta que vai do
ponto (x1, y1, z1) até o ponto (x2, y2, z2) é
x = x1(1− t) + x2t, y = y1(1− t) + y2t, z = z1(1− t) + z2t, t ∈ [0, 1]
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