Aula 29: Resultados de integrais de linha de campos vetoriais do plano

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Independência de caminhos
Se
−→
F é um campo vetorial contínuo, então dizemos que a integral de linha
∫
C
−→
F • d−→r independe
do caminho se ∫
C1
−→
F • d−→r =
∫
C2
−→
F • d−→r
para quaisquer dois caminhos C1, C2 ⊂ Dom(−→F ) cujos pontos iniciais e finais coincidam.
Já sabemos que as integrais de linha dos campos conservativos contínuos independem do caminho.
Uma curva C dada por −→r (t), t ∈ [a, b] é dita fechada se seu ponto final e seu ponto inicial
coincidem, ou seja, se
−→r (a) = −→r (b).
Observação 1. Cuidado para não confundir o fato de uma curva ser fechada com o fato do seu traço
ser fechado. O importante são os pontos inicial e final da curva e não o seu traço. Por exemplo, a
curva dada por
−→r (t) = cos t−→i + sen t−→j , t ∈ [0, 2pi] é uma curva fechada, enquanto a curva dada
por
−→r (t) = cos t−→i + sen t−→j , t ∈ [0, 3pi] não é fechada!
Suponha que a integral de linha
∫
C
−→
F •d−→r independe do caminho e que C seja uma curva fechada
contida no domínio de
−→
F . Sejam A e B dois pontos distintos sobre a curva C. Se vermos C = C1∪C2
onde C1 liga A a B e C2 liga B a A, então (lembrando que ao invertermos a orientação da curva
trocamos o sinal da integral de linha)∫
C
−→
F • d−→r =
∫
C1
−→
F • d−→r +
∫
C2
−→
F • d−→r =
∫
C1
−→
F • d−→r −
∫
−C2
−→
F • d−→r =
∫
C1
−→
F • d−→r −
∫
C1
−→
F • d−→r = 0
(uma vez que tanto C1 quanto C2 possuem os mesmos pontos iniciais e finais).
Por outro lado, suponha que
−→
F seja um campo vetorial contínuo tal que
∫
C
−→
F • d−→r = 0 para
qualquer caminho fechado C ⊂ Dom(−→F ). Se tomarmos dois caminhos distintos C1, C2 ∈ Dom(−→F )
conectando A a B e se C = C1 ∪ −C2, então C é uma curva fechada e
0 =
∫
C
−→
F • d−→r =
∫
C1
−→
F • d−→r +
∫
−C2
−→
F • d−→r =
∫
C1
−→
F • d−→r −
∫
C2
−→
F • d−→r
Logo,
∫
C1
−→
F • d−→r = ∫
C2
−→
F • d−→r e concluímos que −→F independe do caminho.
Com isso, demonstramos o seguinte teorema:
Teorema 1. A integral de linha
∫
C
−→
F •d−→r é independente do caminho se, e somente se, ∫
C
−→
F •d−→r = 0
para todo caminho fechado C ⊂ Dom(−→F ).
1
Como as integrais de linha de campos conservativos independem do caminho, então (pelo teorema
acima) concluímos que o trabalho realizado por um campo de força conservativo para mover uma
partícula ao longo de um caminho fechado é zero.
Dizemos que um conjunto D ⊂ R2 é aberto se ele não contém seus pontos de fronteira.
Dizemos que D é conexo se quaisquer dois pontos dentro do conjunto D podem ser conectados
por um caminho completamente contido em D (em outras palavras, D não é a união de conjuntos
disjuntos do plano).
O seguinte teorema nos dá condições suficientes para que um campo vetorial contínuo
−→
F do R2
cujo domínio seja uma região aberta e conexa do plano seja conservativo:
Teorema 2. Suponha que
−→
F seja um campo vetorial contínuo do R2 cujo domínio seja um conjunto
aberto e conexo do plano. Se
∫
C
−→
F • d−→r for independente do caminho em seu domínio, então −→F é
um campo vetorial conservativo (ou seja, existe uma função f de duas variáveis tal que
−→
F = ∇f).
Suponha que
−→
F é um campo vetorial conservativo do R2 dado por
−→
F (x, y) = P (x, y)
−→
i +Q(x, y)
−→
j
onde P e Q possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre Dom(
−→
F ). Como
−→
F é
conservativo, existe uma função f de duas variáveis tal que
−→
F = ∇f = (fx(x, y), fy(x, y)) = fx(x, y)−→i + fy(x, y)−→j
Portanto,
P (x, y) = fx(x, y) e Q(x, y) = fy(x, y)
e, pelo Teorema de Clairaut, temos que
∂P
∂y
(x, y) = fxy(x, y) = fyx(x, y) =
∂Q
∂x
(x, y)
Com isso, concluímos o seguinte teorema:
Teorema 3. Se
−→
F (x, y) = P (x, y)
−→
i +Q(x, y)
−→
j é um campo vetorial conservativo do R2 e se P e
Q possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre Dom(
−→
F ), então
∂P
∂y
(x, y) =
∂Q
∂x
(x, y), para todo (x, y) ∈ Dom(−→F )
2
Exemplo 1. Determine se o campo vetorial
−→
F (x, y) = (x− y)−→i + (x− 2)−→j é ou não conservativo.
Neste caso, temos que P (x, y) = x− y e Q(x, y) = x− 2. Como
∂P
∂y
(x, y) = −1 e ∂Q
∂x
(x, y) = 1
então
∂P
∂y
(x, y) 6= ∂Q
∂x
(x, y) e, portanto, o campo não é conservativo.
A recíproca deste teorema só vale quando o domínio do campo vetorial é um conjunto aberto
simplesmente conexo do plano.
Para definir o conceito de conjunto simplesmente conexo precisamos definir inicialmente o conceito
de curva simples.
Dizemos que uma curva C é simples se C não tem auto-interseção, exceto possivelmente nos seus
pontos terminais. Ou seja, a curva C descrita pela função vetorial −→r (t), t ∈ [a, b] é simples se
−→r (t1) 6= −→r (t2) para quaisquer t1, t2 satisfazendo a < t1 < t2 < b
Um conjunto do plano D é dito simplesmente conexo se D é conexo e se todos os pontos contidos
dentro de toda curva simples fechada de D está contido em D (ou seja, se D é um conjunto conexo
sem buracos).
3
Teorema 4. Se
−→
F (x, y) = P (x, y)
−→
i + Q(x, y)
−→
j é um campo vetorial do R2 cujo domínio é um
conjunto aberto e simplesmente conexo e se P e Q possuem derivadas parciais de primeira ordem
contínuas sobre Dom(
−→
F ) satisfazendo
∂P
∂y
(x, y) =
∂Q
∂x
(x, y), para todo (x, y) ∈ Dom(−→F )
então
−→
F é um campo conservativo (ou seja, existe uma função f de duas variáveis tal que
−→
F = ∇f).
Exemplo 2. Determine se o campo vetorial
−→
F (x, y) = (3 + 2xy)
−→
i + (x2 − 3y2)−→j é ou não conser-
vativo.
Neste caso, temos que P (x, y) = 3 + 2xy e Q(x, y) = x2 − 3y2. Como
∂P
∂y
(x, y) = 2x e
∂Q
∂x
(x, y) = 2x
então
∂P
∂y
(x, y) = ∂Q
∂x
(x, y). Como Dom(
−→
F ) = R2 e R2 é um conjunto aberto e simplesmente conexo,
então o campo vetorial
−→
F é conservativo.
Exemplo 3. Considere o campo vetorial
−→
F (x, y) = (3 + 2xy)
−→
i + (x2 − 3y2)−→j .
• Determine uma função f tal que −→F (x, y) = ∇f(x, y).
• Calcule a integral de linha ∫
C
−→
F • d−→r onde C é a curva dada por
−→r (t) = et sen t−→i + et cos t−→j , t ∈ [0, pi]
Queremos determinar uma função f para a qual
fx(x, y) = 3 + 2xy
fy(x, y) = x
2 − 3y2 (∗)
Integrando fx(x, y) com relação à x e utilizando o teorema fundamental do cálculo, temos que
f(x, y) =
∫
fx(x, y) dx =
∫
3 + 2xy dx = 3x+ x2y + g(y)
(observe que a constante de integração pode depender de y já que estamos integrando com relação à
x e y independe x). Diferenciando o resultado com relação à y:
fy(x, y) =
∂
∂y
(3x+ x2y + g(y)) = x2 + g′(y)
Comparando esta derivada com a equação (∗) temos que
x2 + g′(y) = x2 − 3y2 ⇒ g′(y) = −3y2
Calculando a integral de g′ com relação à y e utilizando o teorema fundamental do cálculo:
g(y) =
∫
g′(y) dy =
∫
−3y2 dy = −y3 + k
Portanto, as funções da forma
f(x, y) = 3x+ x2y − y3 + k
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são funções potenciais para o campo conservativo
−→
F para qualquer k ∈ R. Em particular, se k = 0,
então temos
f(x, y) = 3x+ x2y − y3
Seja C a curva dada por
−→r (t) = et sen t−→i + et cos t−→j , t ∈ [0, pi]
O ponto inicial de C é o ponto de coordenadas −→r (0) = (0, 1) e o ponto final de C é o ponto de
coordenadas
−→r (pi) = (0,−epi). Pelo teorema fundamental das integrais de linha, temos que∫
C
−→
F • d−→r = f(0,−epi)− f(0, 1) = e3pi + 1
5