Apostila_GEOMETRIA_ANALTICA2

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Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 
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GEOMETRIA A
ALÍTICA 
 
1. Introdução 
1.1 Eixo (Reta orientada) 
Representada por uma reta com indicação de sentido. O sentido positivo (+) é indicado pela reta, e o 
sentido negativo (-) é o oposto da reta 
 
1.2 Segmento Orientado 
Determinado por um par ordenado de pontos. Representação: AB 
 
• Segmento Nulo: quando a origem coincide com a extremidade 
• Segmentos Opostos: BA é oposto de AB 
• Medida de um Segmento: Seu comprimento ou módulo é dado em unidade de comprimento 
(u.c): 
 
 
Daí, temos também que AB = BA, e que o comprimento de um segmento nulo é 0. 
1.3 Segmento Equipolente 
Os segmentos AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, sentido e módulo. 
Representação: AB~CD 
• Propriedades: 
I. AB~AB 
II. Se AB~CD, CD~AB 
III. Se AB~CD, e CD~EF, daí AB~EF 
IV. Dado um segmento orientado AB e 
um ponto C, só existe um ponto D que 
AB~CD 
 
1.4 Vetores 
Determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados 
eqüipolentes a AB, ou seja, �� = {��/ ��~ 
�} . Representação: 
������� �� �� 
 
 
 
• Características de um vetor ��: são as mesmas que as de seus representantes, ou seja, 
direção, módulo e sentido de �� são iguais a de qualquer um de seus representantes 
(segmentos orientados eqüipolentes) 
Y 
X 
B 
A 
v 
B 
. 
A 
r 
B 
. 
A 
u 
AB = 5u.c 
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• Módulo de ��: é dado por |��| 
• Vetores iguais: 
�������� �������� são iguais se AB~CD 
• Vetor 
ulo: 0�� 
• Se �� = 
�������, portanto �
������ é oposto de 
������� 
Indicação: 
������� = −�
������ 
• Versor: o versor de um vetor não nulo �� é o vetor unitário, ou seja, |��| = 1, de mesma 
direção e sentido de ��. 
 
 
 
 
 
• Vetores Colineares: Os vetores �� � ��� são colineares se têm a mesma direção, ou seja, são 
paralelos (ou coincidentes). 
• Vetores Coplanares: Vetores não nulos, ��, ��� � ���� pertencem a um mesmo plano π 
 
 
 
 
É importante dizer que dois vetores não colineares são sempre coplanares. 
 
2. Operações com Vetores 
2.1 Adição 
O vetor soma de �� ��� ��� (�� + ���) é o vetor �� determinado pelo segmento AC: 
 
 
Propriedades: 
I. �� + ��� = ��� + �� 
II. ��� + ���� + ���� = ��� + ��� + ����� 
III. Existe um só vetor nulo 0�� tal que para todo vetor �� se tem �� + 0�� = 0�� + �� = �� 
IV. Qualquer que seja ��, existe um só vetor �−��� tal que: �� + �−��� = −�� + �� = 0�� 
 
 
 
 
 
 
v B 
. 
A 
u u 
Nesse caso, temos queo vetor ��� é versor do vetor �� 
���� �� ��� π 
�� ��� 
�� 
 
� 
� 
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2.2 Diferença de Vetores 
Dados os vetores �� � ���, o vetor diferença � entre �� � ��� é a soma de �� com o oposto de ���: 
 
 
 
 
2.3 Multiplicação de um vetor por um número real 
Sendo o vetor �� ≠ 0��, e um número real " ≠ 0, temos que o vetor produto é #� = " ∙ ��, e suas 
características são: 
Módulo: |#�| = |" ∙ ��| = |��| ∙ |"| 
Direção: a direção de #� é a mesma de ��, pois k��//�� 
Sentido: é o mesmo que �� se " > 0 
 é oposto a �� se " < 0 
Observações: 
• Se " = 0 �� �� = 0��, então #� = 0�� 
• Se ��� = − '( ��, �)*ã� �� = − (' ��� 
• O versor ��� de um vetor não nulo �� é o VETOR UNITÁRIO dado por: 
 
 
Veja que ��� sempre será unitário pois: ��� = ,��|,��| → |���| = . ,��|,��|. = |,��||,��| = 1 
Propriedades: 
I. / ∙ �0 ∙ ��� = �/ ∙ 0� ∙ �� Prop. Associativa 
II. �/ + 0� ∙ �� = /�� + 0�� Prop. Distributiva em relação a adição escalar 
III. /��� + ���� = /�� + /��� .......Prop. Distributiva em relação a adição vetorial 
IV. 1�� = �� Identidade 
 
2.4 Ângulo entre Vetores 
É o ângulo θ formado pelos vetores 1
������ � 1������� tal que: 0 ≤ 3 ≤ 4 
 
 
 
�� 
−�� �� 
��� 
� = �� − ��� = �� + �−���� 
��� = ��|��| 
3 
� 
 
1 
��� 
��� 
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4 
 
Obs: 
1. Se 3 = 4, ��� � �� têm a mesma direção, porém com sentidos opostos 
2. Se 3 = 0, ��� � �� têm a mesma direção e sentido 
3. Se 3 = 5' , ��� � �� são ortogonais, e daí, por Pitágoras, temos: |��� + ��|' = |���|' + |��|' 
4. O vetor nulo 1�� é ortogonal a qualquer vetor 
5. Se ��� é ortogonal a ��, e m é um número real qualquer, ��� é ortogonal a � ∙ �� 
 
3. Vetores no R2 e R3 
3.1 Decomposição de um vetor no R2 
Dados dois vetores não colineares ��6 � ��', vimos que �� = /6 ∙ ��6 + /' ∙ ��', onde �� é um vetor 
qualquer coplanar com ��6 � ��'. Ou seja, qualquer vetor �� coplanar com ��6 � ��' pode ser 
decomposto em dois vetores com as direções de ��6 � ��', que são /6��6 � /'��', respectivamente. 
O vetor /6��6 é a projeção de �� sobre ��6 na direção ��'. Já o vetor /'��' é a projeção de �� sobre ��' na 
direção de ��6. 
 
 
 
 
Diz-se então, que �� é uma combinação linear de ��6 � ��', e que ��6 � ��' constituem a base do 
plano, representados então por {��6 � ��'} , e a1 e a2 são as coordenadas de �� em relação a base {��6 � ��'}. Mas o problema está na determinação dos reais a1 e a2. 
Para fins práticos, as bases mais utilizadas são as formadas por vetores ortogonais e de módulo 
unitário. Tais bases são chamadas de ortonormais. 
 
 
 
Num plano cartesiano xOy, existem infinitas bases. Daí tem-se uma base padrão, onde a origem é 
sempre no ponto O (do plano cartesiano xOy), e o vetor 7 ̂tem extremidade no ponto (1,0) e o vetor 9̂ 
tem extremidade no ponto (0,1). Essa é a chamada Base Canônica. 
 
 
 
 
:7̂ 
/'��' 
�� 
��6 
��' /'��' 
;��6 
;��' Onde <;��6< = <;��'< = 1, e ;��6 é ortogonal a ;��' 
 
y 
x 7̂ 9̂ 
�� F9̂ 
�� = :7̂ + F9̂ Expressão geométrica 
ou 
�� = �:, G� Expressão analítica 
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3.1.1 Igualdade e Operações 
Igualdade: Sejam os vetores ��6 = �:6, F6� � ��' = �:', F'�; temos que ��6 = ��' se, e somente se, :6 = :' � F6 = F' 
Soma: Sejam os vetores ��6 = �:6, F6� � ��' = �:', F'�; temos ��6 + ��' = �:6 + :', F6 + F'� 
Multiplicação por número real “a”: Seja o vetor ��6 = �:6, F6�, temos /��6 = �/:6, /F6� 
 
Exemplo 1: Dados os vetores ��� = �3, −1� � �� = �−1,2�, determinar o vetor w���� tal que: 
R�S��� − T��� + UV W��� = XS��� − W��� 
Resp: Para o x: 4Z�3 − �−1�] + 6\ : = 2�3� − : ⟹ 4 ∙ 4 + 6\ : = 2 ∙ 3 − : ⇒ 43 : = 6 − 16 ⇒ 43 : = −10 ⇒ : = − 304 ⇒ ` = − UaX 
 Para o y: 4Z�−1� − 2] + 6\ F = 2�−1� − F ⇒ 4 ∙ �−3� + 6\ : = −2 − F ⇒ 43 F = −2 + 12 ⇒ 43 F = 10 ⇒ F = 304 ⇒ b = UaX 
Então, o vetor w���� é: W��� = �− UaX ; UaX � 
 
3.1.2 Vetor sem origem no ponto O 
Exemplo com o vetor 
������� com origem no ponto 
�:6, F6� e extremidade no ponto ��:', F'� 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Dados os pontos A(-1,3), B(1,0), C(2,-1), determinar D tal que �������� = �
������. 
Resp: Sabendo que o ponto D é D(x,y), devemos primeiro encontrar os vetores �
������ � ��������: 
�
������ = 
 − � = �−1,3� − �1,0� → �
������ = �−2,3� 
B 
A 
Onde 1
������ = �:6, F6� � 1������� = �:', F'� 
Veja que 1
������ + 
������� = 1�������, �)*ã� 
������� = 1������� − 1
������, que é dado 
então por 
������� = �:', F'� − �:6, F6�, resultando em: 
 
Fazendo isso, é como se estivéssemos transferindo o vetor para a 
origem. 
������� = �:' − :6, F' − F6� 
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�������� = � − � = �2, −1� − �:, F� → �������� = �2 − :; −1 − F� 
Como �������� = �
������, podemos escrever as equações de igualdade para x e para y: 
Parax: 2 − : = −2 → −: = −2 − 2 → −: = −4 → ` = R 
Para y: −1 − F = 3 → −F = 3 + 1 → −F = 4 → b = −R 
Então, o ponto D é D(4,-4) 
 
 
3.2 O Espaço R3 
Qualquer conjunto de vetores {��6, ��', ��\} não coplanares é uma base, sendo possível descrever 
qualquer vetor �� do espaço pela seguinte forma: 
�� = /6 ∙ ��6 + /' ∙ ��' + /\ ∙ ��\ 
Logo, qualquer vetor do espaço é uma combinação linear dos vetores da base. Para fins práticos, 
assim como no caso do R2, é usada a base canônica, onde cada vetor da base, os vetores 7̂, 9̂ � "d têm 
módulo 1. Cada dupla de eixo forma um plano coordenado. Esses três planos: xy, yz e xz se 
interceptam e formam um octante. 
Dado um vetor �� = :7̂ + F9̂ + e"d, �� = 1f������, onde O(0,0,0) e P(x,y,z). Sua expressão analítica é dada 
por �� = �:, F, e�. 
4.2.1 Igualdade e Operações 
Igualdade: Sejam os vetores ��6 = �:6, F6, e6� � ��' = �:', F', e'�; temos que ��6 = ��' se, e somente 
se, :6 = :' � F6 = F' � e6 = e' 
Soma: Sejam os mesmos vetores; temos ��6 + ��' = �:6 + :', F6 + F', e6 + e'� 
Multiplicação por número real “a”: Seja o vetor ��6 = �:6, F6, e6�, temos /��6 = �/:6, /F6, /e6� 
 
4.2.2 Vetor sem origem no ponto O 
Analogamente ao descrito para o plano R2, podemos encontrar o vetor AB sem origem no ponto O a 
partir de: 
 
 
 
 
������� = �:' − :6, F' − F6, e' − e6� 
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3.3 Condição de Paralelismo 
Para que haja paralelismo entre os vetores ��6 � ��', a relação ��6 = " ∙ ��' deve ser verdadeira, pois 
assim os vetores têm a mesma direção, ou seja, apresentam representantes que estão na mesma reta 
ou em retas paralelas. 
Sejam os vetores ��6 = �:6, F6, e6� � ��' = �:', F', e'�, para que tenhamos ��6//��', temos: ��6 = " ∙ ��' 
�:6, F6, e6� = "�:', F', e'� g:6 = ":'F6 = "F'e6 = "e' h → 
 
 
 
Exemplo 3: Determinar a e b de modo que os vetores ��� = �4,1, −3�� �� = �6, /, 0� sejam paralelos. 
Resp: pela condição de paralelismo, temos que ��� = " ∙ ��, daí: 
 :i:, = FiF, = eie, = " 
Como temos xu e xv, podemos encontrar a constante k, e em seguida encontrar a=yv e b=zv. 
Encontrando a: 
jkjl = mkml ⇒ no = 6p ⇒ / = on ⇒ q = VX 
Encontrando b: 
jkjl = rkrl ⇒ no = − \s ⇒ 0 = − o∙\n ⇒ 0 = − 6tn ⇒ u = − vX 
 
3.4 Ponto Médio 
O ponto médio M entre dois pontos A e B pode ser encontrado com a seguinte relação: 
 
w������� = 12 
������� 
�:x − :p, Fx − Fp , ex − ep� = 12 �:s − :p, Fs − Fp, es − ep, � 
Fazendo a igualdade para o x, temos: 
:x − :p = :s2 − :p2 ⇒ :x = :s2 − :p2 + :p ⇒ `y = `u + `qX 
:6:' = F6F' = e6e' = " 
w������� 
������� 
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Analogamente, temos que 
z{ = z| + z}X ~ { = | + }X 
 
Então, dizemos que o ponto médio de A e B é: 
 
Exemplo 4: Determinar o ponto médio M(x,y,z) em relação ao ponto A(-1,0,-3) e B(-5,-1,-4) 
Resp: o ponto médio M é dado por: 
w�:0 + :/2 ; yb + ya2 , zb + za2 � ⇒ M��−5� + �−1�2 , −1 + 02 , �−4� + �−3�2 � ⇒ M�3, − 12 , 72� 
 
 
4. Produto Escalar 
Sendo os vetores ��� = :67̂ + F69̂ + e6"d � �� = :'7̂ + F'9̂ + e'"d , o produto ��� escalar ��, representado 
por †��� ∙ ‡����� , ou por < †���, ‡��� >, é dado por: 
��� ∙ �� = �:6, F6, e6� ∙ �:', F', e'� ��� ∙ �� = �:6 ∙ :' + F6 ∙ F' + e6 ∙ e'� 
Veja que o resultado de um produto escalar é um número, e não um vetor. 
Exemplo 5: Dados os vetores ��� = �−3,1, −1�, �� = �1,1,1� � ���� = �4,0,2�, determinar o vetor :� tal que: 
X�`�� − †��� = �`�� + �ˆ���� ∙ †����‡��� 
Resp: Vamos, primeiramente, calcular o produto escalar ˆ���� ∙ †��� : 
���� ∙ ��� = �:‰ ∙ :i + F‰ ∙ Fi + e‰ ∙ ei� = Š‹4 ∙ �−3�Œ + �0 ∙ 1� + ‹2 ∙ �−1�Œ = −14 
Daí: 2:� − ��� = :� + ����� ∙ ������ ⇒ 2:� − ��� = :� + �−14��� 
Sabendo que :� = �:, F, e�, e fazendo a igualdade para as três incógnitas: 
Ž2: − �−3� = : + �−14� ∙ 1 ⇒ : = −172F − 1 = F + �−14� ∙ 1 ⇒ F = −132e − �−1� = e + �−14� ∙ 1 ⇒ e = −15 h 
Então, temos �`�� = �−U, −UV, −Ua� 
 
�`u + `qX ; z| + z}X , | + }X � 
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4.1 Módulo de um Vetor 
Sendo �� = �:, F, e�, seu módulo |‡���| sempre maior que zero, é dado por: 
|��| = ‘�� ∙ �� = ‘�:, F, e� ∙ �:, F, e� = ‘�: ∙ : + F ∙ F + e ∙ e� 
 
Obs: 
• Versor de um vetor 
Seja ��� versor de ��, temos: 
 
• Distância entre dois pontos 
Tendo dois pontos, 
�:6, F6, e6� � ��:', F', e'�, podemos encontrar a distância entre eles 
descrevendo-se o vetor 
�������, e em seguida encontrando seu módulo. Lembrando que 
������� = � − 
, 
temos que a distância d é dada por: 
 
 
 
 
Exemplo 6: Dados os vetores ��� = �7,4,0� � �� = �7,4, −2�, determinar o versor do vetor ����, sendo: 
ˆ���� = V†��� − X‡��� 
Resp: Encontrando o vetor ����: 
���� = 3��� − 2�� = ‹3 ∙ 7 − 2 ∙ 7,3 ∙ 4 − 2 ∙ 4,3 ∙ 0 − 2 ∙ �−2�Œ = �7,4,4� 
Então, devemos encontrar o módulo do vetor ����, que é dado por: 
 |����| = ‘:' + F' + e' = ‘7' + 4' + 4' = √81 = 9 
Daí, o versor •� do vetor ���� é encontrado por: 
•� = ����|����| ⇒ –��� = �v , Rv , Rv� 
 
 
 
|��| = ‘:' + F' + e' 
��� = ��|��| 
 = <
�������< = ‘��:' − :6�' + �F' − F6�' + �e' − e6�'� 
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Exemplo 7: Seja o vetor �� = �� + 7�7̂ + �� + 2�9̂ + 5"d, calcular m para que |��| = √38 
Resp: Da expressão de módulo de vetores, temos: 
|��| = ‘�� + 7�' + �� + 2�' + 5' = √38 
Elevando os dois lados ao quadrado e desenvolvendo: 
�' + 18� + 40 + �' + 4� + 4 + 25 = 38 
2�' + 18� + 40 = 0 
Encontrando a reposta pela fórmula quadrática: 
: = −0 ± √0' − 4/�2/ = −18 ± √18' − 4 ∙ 2 ∙ 402 ∙ 2 = −18 ± 24 ⇒ { = −R ou { = −a 
4.2 Propriedades do Produto Escalar 
 
I. ��� ∙ ��� ≥ 0 � ��� ∙ ��� = 0 somente se ��� = 1�� = �0,0,0� 
II. ��� ∙ �� = �� ∙ ������ Propriedade Comutativa 
III. ������ + ����� = ����� + ������� Distributiva em relação à adição de vetores 
IV. �m���� ∙ �� = ����� ∙ ��� = �������� 
V. ��� ∙ ��� = |���|' 
 
4.3 Ângulo entre dois vetores 
Sejam os vetores ��� ≠ 1�� � �� ≠ 1��, o ângulo θ, sendo 0 ≤ 3 ≤ 180™ é dado por: 
 
 
Veja também que, a partir da figura acima, temos a seguinte importante relação: 
 
 
Obs: 
• Se ��� ∙ �� > 0 ∴ cos 3 > 0, daí temos que 0° ≤ 3 < 90° 
• Se ��� ∙ �� < 0 ∴ cos 3 < 0, daí temos que 90° < 3 ≤ 180° 
• Se ��� ∙ �� = 0 ∴ cos 3 = 0, daí temos que 3 = 90° 
 
 
��� − �� ��� 
�� θ 
��� ∙ �� = |���| ∙ |��| cos 3 
 
 
cos 3 = ��� ∙ ��|���| ∙ |��| 
|��� − ��|' = |���|' − 2��� ∙ �� + |��|' = |���|' − 2|���| ∙ |��| cos 3 + |��|' 
Condição de Ortogonalidade: ��� ∙ �� = 0 → � ���� �� 
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Exemplo 8: Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o ângulo 
interno ao vértice B. 
Resp: Considere a seguinte figura: 
 
 
Então, o ângulo θ é o ângulo entre os vetores �
������ � �������� 
�
������ = 
 − � = �3,0,4� 
�������� = � − � = �7,0,1� 
O co-seno de θ é dado pela expressão: 
cos 3 = �
������ ∙ ��������<�
������< ∙ <��������< = �3 ∙ 7� + �0 ∙ 0� + �4 ∙ 1�√3' + 0' + 4' ∙ √7' + 0' + 1' = 255√50 = 55√2 = √22 
Assim, temos que θ=45º 
 
Exemplo 9: Determinar se o vetor �� = �3, −2,1� é ortogonal ao vetor ��� = �2, −3, −12� 
Resp: para que o vetor �� seja ortogonal ao vetor ���, temos que o produto escalar entre eles é nulo: 
�� ∙ ��� = 3 ∙ 2 + �−2� ∙ �−3� + 1 ∙ �−12� = 6 + 6 − 12 = 0 
Então os vetores ‡��� ž †��� são ortogonais. 
 
 
4.3.1 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores de um vetor 
Sendo o vetor ��, seus ângulos diretores são os ângulos formados entre o vetor �� e os vetores da base 
canônica. 
Ângulos Diretores:ŽŸ: �)* � �� � 7̂ ¡: �)* � �� � 9̂¢: �)* � �� � "d h 
Co-senos Diretores: 
 cos Ÿ = ,��∙£̂|,��|∙|£̂| = �j,m,r��6,¤,¤�|,��|∙6 = j|,��| 
 
 
Analogamente, temos: 
cos Ÿ = :|��| cos ¡ = F|��| cos ¢ = e|��| 
A 
C B 
θ 
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4.3.1.1 Propriedades dos co-senos diretores 
I. Seja ��� versor de �� = �:, F, e�, temos que: 
 
 
II. Seja ��� versor de ��, sabendo que |���| = 1, � ���� ��� = �cos Ÿ , cos ¡ , cos ¢�, tem-se: 
 
 
4.4 Projeção de um vetor 
Seja ��� ≠ 1�� � �� ≠ 1��, e θ o ângulo formado entre ��� � ��, o vetor ����, projeção de ��� �� ��, é: 
 
 
 
cos 3 = |����||���| → |����| = |���| cos 3 = |���| ��� ∙ ��|���| ∙ |��| → |����| = ��� ∙ ��|��| 
Como ���� � �� têm a mesma direção: 
���� = "�� → |����| = |"| ∙ |��| → ��� ∙ ��|��| = |"| ∙ |��| → |"| = ��� ∙ ��|��| ∙ |��| = ��� ∙ ��|��|' 
∴ " = ��� ∙ ��|��|' 
Substituindo k em ���� = "��, temos que o vetor projeção ���� é dado por: 
 
 
Exemplo 10: Determinar o vetor projeção de ��� = �1,2, −3� na direção de �� = �2,1, −2� 
Resp: Encontramos o vetor projeção de ��� em �� pela seguinte expressão: 
f �G,��i��� = ¥��� ∙ ��|��|' ¦ ∙ �� = ¥�1 ∙ 2� + �2 ∙ 1� + ‹�−3� ∙ �−2�Œ‹2 ∙ 2 + 1 ∙ 1 + �−2� ∙ �−2�Œ ¦ ∙ �� = §109 ¨ ∙ �2,1, −2� 
f �G,��i��� = �209 , 109 , − 209 � 
 
��� = ��|��| = �:, F, e�|��| = § :|��| , F|��| , e|��|¨ → ��� = �cos Ÿ , cos ¡ , cos ¢� 
cos' Ÿ + cos' ¡ + cos' ¢ = 1 |���| = ‘cos' Ÿ + cos' ¡ + cos' ¢ = 1 → 
�� ���� 
��� 
θ 
Agudo 
�� ���� 
��� 
θ 
Obtuso 
���� = ¥��� ∙ ��|��|' ¦ ∙ �� ou f �G,��i��� = ¥��� ∙ ��|��|' ¦ ∙ �� 
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5. Produto Vetorial 
Dados os vetores ��� = :67̂ + F69̂ + e6"d � �� = :'7̂ + F'9̂ + e'"d, o produto vetorial ��� × �� �� ��� ∧ ��, é 
dado por: 
 
Ou então, de uma forma mais fácil, o produto vetorial é dado pela seguinte determinante: 
��� × �� = « 7̂ 9̂ "d:6 F6 e6:' F' e'« 
Veja que o produto vetorial forma um vetor, diferente do produto escalar, em que o resultado é um 
número real. 
5.1 Propriedades do Produto Vetorial 
 
I. ��� × ��� =1�� qualquer que seja ��� 
II. ��� × ��=-�� × ��� 
III. ��� × ��� + ����� = ��� × �� + ��� × ���� 
IV. ������ × �� = ����� × ��� 
V. ��� × �� = 1�� ¬�, � ¬���)*� ¬� 
a) ��� é nulo, ��� = �0,0,0� 
b) ��� � �� são colineares: ��� = ��� 
VI. O vetor ��� × �� é ortogonal simultaneamente aos vetores ��� � ��. Daí, temos da condição de 
ortogonalidade que ��� ∙ ���� × ��� = �� ∙ ���� × ��� = 0 
VII. ��� × �� � �� × ��� são simultaneamente ortogonais a ��� � �� 
VIII. |��� × ��|' = |��� |'|��|' − ���� ∙ ���' 
IX. Se ��� ≠ 1�� � �� ≠ 1�� e se θ é o ângulo entre ��� � ��, tem-se: |��� × ��| = |���||��| sin 3 
X. O produto vetorial não é associativo, ou seja: ��� × ��� × ����� ≠ ���� × ��� × ���� 
 
Exemplo 11: Dados os vetores ��� = �2, −1,1�, �� = �1, −1,0� � ���� = �−1,2,2�, calcular: 
- ˆ���� × ‡��� 
Resp: ���� × �� = �F‰e, − F,e‰�7̂ − �:‰e, − :,e‰�9̂ + �:‰F, − :,F‰�"d ���� × �� = �2 ∙ 0 − �−1� ∙ 2�7̂ − ��−1� ∙ 0 − 1 ∙ 2�9̂ + ��−1� ∙ �−1� − 1 ∙ 2�"d 
���� × �� = 27̂ + 29̂ − 1"d = �2,2, −1� 
_______________ __ _________________ 
 
 
��� × �� = �F6e' − F'e6�7̂ − �:6e' − :'e6�9̂ + �:6F' − :'F6�"d 
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14 
 
- (†��� × ‡���� ∙ �†��� × ‡���� 
Resp: O produto vetorial é dado pela seguinte expressão: 
��� × �� = �Fie, − F,ei�7̂ − �:ie, − :,ei�9̂ + �:iF, − :,Fi�"d ��� × �� = ‹�−1� ∙ 0 − �−1� ∙ 1Œ7̂ − �2 ∙ 0 − 1 ∙ 1�9̂ + �2 ∙ �−1� − 1 ∙ �−1��"d 
��� × �� = �1,1, −1� 
Então, o produto escalar é: 
(��� × ��� ∙ ���� × ��� = �1 ∙ 1� + �1 ∙ 1� + Z�−1� ∙ �−1�] = 1 + 1 + 1 
(†��� × ‡���� ∙ �†��� × ‡���� = V 
 
Exemplo 12: Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores ��� = �1,0,0� � �� = �3,2,1�. 
Resp: Pela propriedade VI, vemos que o produto vetorial entre dois vetores não colineares e não 
nulos forma um vetor simultaneamente ortogonal a esses dois vetores. Daí, temos que o vetor ���� 
ortogonal a ��� � �� é dado pelo seguinte produto vetorial: 
���� = ��� × �� = �F6e' − F'e6�7̂ − �:6e' − :'e6�9̂ + �:6F' − :'F6�"d ���� = ��� × �� = �0 ∙ 1 − 2 ∙ 0�7̂ − �1 ∙ 1 − 3 ∙ 0�9̂ + �1 ∙ 2 − 3 ∙ 0�"d 
���� = ��� × �� = �0,2,2� 
 
 
5.2 Interpretação Geométrica do módulo do produto vetorial 
O módulo do produto vetorial é a área do paralelogramo formado pelos dois vetores, como 
mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ 
D C 
B A 
ℎ �� 
��� 
Á �/
��� = |���| ∙ ℎ 
Á �/
��� = |���| ∙ |��| sin 3 
Como ℎ = |��| sin 3, tem-se: 
Relembrando a propriedade IX do produto 
vetorial, podemos dizer então que: 
 Á �/
��� = |���� × ����| = |����||����| sin 3 
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15 
 
6. Produto Misto 
Sejam os vetores ��� = :67̂ + F69̂ + e6"d � �� = :'7̂ + F'9̂ + e'"d e ���� = :\7̂ + F\9̂ + e\"d, o produto 
misto entre esses três vetores, (���, ��, ����� é dado por: 
����, ��, ����� = ��� ∙ ��� × ����� = ¯:6 F6 e6:' F' e':\ F\ e\¯ 
6.1 Propriedades do Produto Misto 
I. Temos que ����, ��, ����� = 0 
a) Se ���, �� �� ���� = 1�� 
b) Se dois deles forem colineares 
c) Se os três vetores forem coplanares, pois o produto vetorial �� × ���� formaria um vetor 
ortogonal ao plano, que seria então ortogonal ao vetor ��� 
II. ����, ��, ����� = ���, ����, ���� = �����, ���, ���, #orém, se mudar a ordem, tem-se: ����, ��, ����� = −���, ���, ����� 
III. Sendo m ∈ ℝ: ����, ��, ������ = ����, m��, ����� = �m���, ��, ����� 
IV. ����, ��, ���� +  �� = ����, ��, ����� + ����, ��,  �� 
 
Exemplo 13: Verificar se os vetores ��� = �4, −2,0�, �� = �6,2,4� � ���� = �−7,1, −2� são coplanares. 
Resp: Pela propriedade I-c do produto misto, vemos que o produto misto será nulo caso os vetores 
sejam coplanares. Então, devemos verificar se o produto misto será nulo: 
����, ��, ����� = ��� ∙ ��� × ����� = ¯:6 F6 e6:' F' e':\ F\ e\¯ = ¯
4 −2 06 2 4−7 1 −2¯ = −16 + 56 + 0 − 0 − 16 − 24 = 0 
Então, os vetores †���, ‡��� ž ˆ���� são coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16 
 
6.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto 
Sejam os vetores ���, �� � ����: 
 
 
 
 
 
 
 
Pela geometria da figura, temos: ℎ = |���| cos 3 e 
0/¬� = |�� × ����| 
Então o volume é: ´�µ��� = 
0/¬� ∙ ℎ = |���||�� × ����||cos 3| eq1 
Mas vimos também que dados dois vetores �6����� � �'�����, é válido dizer que: �6����� ∙ �'����� = |�6�����||�'�����| cos 3 → |�6����� ∙ �'�����| = |�6�����||�'�����||cos 3| eq2 
Fazendo �6����� = ��� � �'����� = ���� × �����, e substituindo na eq2, temos: |��� ∙ ��� × �����| = |���||�� × ����||cos 3| = ´�µ��� 
Esses três vetores formam um tetraedro, que é 1/6 do paralelepípedo, então ficamos com as seguintes 
expressões: 
 
 
 
Exemplo 14: Dados os vetores ��� = �1,1, −7�, �� = �−1,4, −3� � ���� = �−2,8, −2�, calcular o volume do 
paralelepípedo formado esses três vetores. 
Resp: O volume é dado pelo produto misto entres esses três vetores. Temos então: 
´�µ��� = �����, ����, ������ = ¯:1 F1 e1:2 F2 e2:3 F3 e3¯ = ¯
1 1 −7−1 4 −3−2 8 −2¯ = −8 + 6 + 56 − 56 + 24 − 2 = 20 
O volume é de 20 unidades de volume. 
 
 
 
´�µ��� = |��� ∙ ����� × ������| = �����, ����, ������ ¶´·¶¸p·¹¸™ = |��� ∙ ����� × ������|6 = �����, ����, ������6 
h 
θ 
���� 
�� 
��� 
Abase 
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17 
 
7. Reta 
7.1 Equação Vetorial da Reta 
Seja uma reta r que passa pelo ponto conhecido A(x1,y1,z1) e tem a direção do vetor �� = �/, 0, ��.Para o ponto P pertencer a reta, o vetor 
f������ deve ser paralelo ao vetor ��, tendo então a seguinte 
relação: 
f������ = *�� ⇒ f − 
 = *�� ⇒ f = 
 + *�� 
 
O vetor �� é o vetor diretor da reta, e t é o parâmetro, que varia de -∞ / + ∞. 
7.2 Equações Paramétricas da Reta 
Seja o sistema de coordenadas (0, 7�, 9�, "���; um ponto P genérico da reta r; A(x1,y1,z1) um ponto dado 
da reta r; e �� = /7̂ + 09̂ + �"d o vetor diretor da reta r. 
Lembrando que f = 
 + *�� ⇒ �:, F, e� = ‹:1, F1, e1Œ + *�/, 0, �� ⇒ �:, F, e� = �:6 + */, F6 + *0, e6 + *�� 
Desse modo, podemos escrever: 
 
 
 
OBS: essa reta pode ser descrita por qualquer outro vetor ��� paralelo ao vetor ��. 
7.3 Reta definida por dois pontos 
Seja a reta que passa pelos pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2), observamos que um possível vetor 
diretor é o vetor �� = 
������� = � − 
 = �:' − :6, F' − F6, e' − e6� = �/, 0, �� 
 
 
 
z 
x 
y 
�� 
f������ 
A 
P(x,y,z) 
Equação Vetorial da Reta: �:, F, e� = �:6, F6, e6� + *�/, 0, �� 
g: = :6 + /*F = F6 + 0*e = e6 + �* h ⇒ Equações Paramétricas da Reta 
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18 
 
Exemplo 15: A reta r, determinada pelos pontos A(1,-2,-3) e B(3,1,-4) tem a direção do vetor �� = 
������� = �2,3, −1�. 
a) Determine as equações paramétricas passando pelo ponto A. 
Resp: 
g : = :» + /* → 1 + 2*F = F» + 0* → −2 + 3*e = e» + �* → −3 − 1* h 
b) Qual o valor de t para encontrarmos o ponto B? 
Resp: 
g : = 1 + 2* → 3 = 1 + 2* → * = 1F = −2 + 3* → 1 = −2 + 3* → * = 1e = −3 − 1* → −4 = −3 − * → * = 1h 
 
7.4 Equações Simétricas da Reta 
Das equações paramétricas, podemos encontrar o valor do parâmetro t, que será comum para 
qualquer ponto P em todas as equações: 
¼½
¾: = :6 + /* → * = j¿jÀpF = F6 + 0* → * = m¿mÀse = e6 + �* → * = r¿rÀÁ
h 
 
OBS: 
a) Caso seja dado dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) pertencentes a reta 
Nesse caso, o vetor diretor é �� = 
������� = �:' − :6, F' − F6, e' − e6�. Então, em relação ao ponto A: 
 
 
b) Caso A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) e C(x3,y3,z3) pertençam a mesma reta 
Nesse caso, os vetores 
������� e 
������� são colineares, e seguem a relação 
������� = �
�������, daí: 
 
 
 
 
 = ` − `Uq = b − bUu = à − ÃUÄ 
: − :6:' − :6 = F − F6F' − F6 = e − e6e' − e6 
� = :' − :6:\ − :6 = F' − F6F\ − F6 = e' − e6e\ − e6 
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19 
 
Exemplo 16: Estabelecer as equações simétricas da reta determinada pelos pontos A(4,2,-6) e 
B(2,0,-1). 
Resp: 
������� = �−2, −2,5� 
Em relação ao ponto A: j¿jÀp = m¿mÀs = r¿rÀÁ ⇒ j¿n¿' = m¿'¿' = rÅo( 
Em relação ao ponto B: j¿jÀp = m¿mÀs = r¿rÀÁ ⇒ j¿'¿' = m¿' = rÅ6( 
 
7.5 Equações Reduzidas da Reta 
A partir das equações simétricas, podemos encontras as equações reduzidas. A seguir, usaremos a 
variável x como variável independente, isolando-a em duas equações com y e z sendo as variáveis 
dependentes: 
 
 F − F60 = : − :6/ ⇒ F − F6 = 0/ �: − :6� = 0/ : − 0/ :6 ⇒ F = 0/ : − 0/ :6 + F6 
Sendo � = 0/ � ) = − 0/ :1 + F1, temos: F = �: + ) 
 
Analogamente para z, e dizendo que # = �/ � • = − �/ :1 + e1, temos que as equações reduzidas da 
reta são escritas por: 
 
 
 
 
OBS: Em exercícios que são dadas as equações reduzidas da reta, e é preciso encontrar o vetor 
diretor dessa reta, ou então um ponto pertencente à reta, é mais fácil transformá-las em equações 
simétricas da reta, pelo seguinte método: 
ÆF = �: + ) → : = F − )�e = #: + • → : = e − •# h 
 
: − :6/ = F − F60 = e − e6� 
F = �: + ) 
e = #: + • 
e 
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20 
 
Como as duas equações são igual a x, temos a seguinte equação simétrica: 
: = : − 01 = F − )� = e − •# 
Então, nesse caso, o ponto que podemos encontrar é P(0,n,q), e o vetor diretor é �� = �1, �, #� 
 
Exemplo 17: Mostrar que as retas r e s são paralelas, sendo: 
r: j¿t = mÅ6Ço = rÅ'6¤ e ¬: ŽF = − \n : + Èn e = − (n : + 6\n h 
Resp: Primeiramente, devemos encontrar o vetor diretor da reta s, deixando y e z em função de x: 
¼ÉÉ
½
Éɾ F = − 34 : + 94 → : = F −
94− 34
e = − 54 : + 134 → : = e −
134− 54
h ⇒ �/í, ¬�� ��*�  é ��Ë = �1, − 34 , − 54� 
Para que as retas sejam paralelas, devemos ter ��Ë = ���¸, ou então: 
/Ë/¸ = 0Ë0¸ = �Ë�¸ = � ⇒ 1−8 = −
346 = −
5410 ⟹ − 18 = − 18 = − 18 
Assim, podemos dizer que as retas r e s são paralelas. 
 
 
7.6 Retas paralelas aos planos e aos Eixos Coordenados 
Observando as equações simétricas da reta, vemos que as componentes a,b e c do vetor diretor não 
podem ser nulas, pois teria zero no denominador. Mas elas podem, sim, serem nulas, como vemos 
nos casos a seguir: 
7.6.1 Só uma componente de ‡��� é nula 
Temos que �� é ortogonal a um dos eixos coordenados, e a reta r é paralela ao plano dos outros eixos 
a) Se q = Ì, ‡��� = �Ì, u, Ä� ⊥ Î`: Ï ∥ bÎÃ, ou seja, a reta r é paralela ao plano yOz 
 
 
 
Ñ : = :6F − F10 = e − e1� h 
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21 
 
b) Se u = Ì, ‡��� = �q, Ì, Ä� ⊥ Îb: Ï ∥ `ÎÃ, ou seja, a reta r é paralela ao plano xOz 
 
 
 
c) Se Ä = Ì, ‡��� = �q, u, Ì� ⊥ ÎÃ: Ï ∥ `Îb, ou seja, a reta r é paralela ao plano xOy 
 
 
 
7.6.2 Duas componentes de ‡��� são nulas 
a) Se q = u = Ì, ‡��� = �Ì, Ì, Ä� ∥ ÒÓ: Ï ∥ ÎÃ, ou seja, a reta r é paralela a reta do eixo z 
 
 
 
b) Se q = Ä = Ì, ‡��� = �Ì, u, Ì� ∥ Ô̂: Ï ∥ Îb, ou seja, a reta r é paralela a reta do eixo y 
 
 
 
 
c) Se u = Ä = Ì, ‡��� = �q, Ì, Ì� ∥ Õ̂: Ï ∥ Î`, ou seja, a reta r é paralela a reta do eixo x 
 
 
 
7.7 Ângulo entre Duas Retas 
O menor ângulo formado entre duas retas r1 e r2 é dado pelo co-seno entre os vetores diretores de 
cada reta: 
cos 3 = |��6 ∙ ��'||��6| ∙ |��'| , 0 ≤ 3 ≤ 42 
OBS: α é o ângulo suplementar de θ, ou seja, α é o ângulo formado por −��6 � ��' �� ��6 � − ��', 
temos: cos Ÿ = −cos 3 
 
Ñ F = F6: − :1/ = e − e1� h 
Ñ F = F6: − :1/ = e − e10 h 
g : = :6F = F6e = e6 + �*h 
g : = :6F = F6 + 0*e = e6 h 
g: = :6 + /*F = F6e = e6 h 
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22 
 
7.8 Condição de Paralelismo de Duas Retas 
Sejam as retas r1 e r2, com vetores diretores ��6 = �/6, 06, �6�� ��' = �/', 0', �'�, respectivamente, 
para que sejam paralelas, devemos ter: ��6 = ���', ou: 
 
 
 
 
7.9 Condição de Ortogonalidade 
Sejam as retas r1 e r2, com vetores diretores ��6 � ��', respectivamente, para serem ortogonais, 
devemos ter ��6 ⊥ ��', ou: 
 
 
OBS: Uma reta r, cujo vetor diretor é ortogonal a um plano π, é ortogonal a qualquer reta contida 
nesse plano. 
 
 
8. Plano 
8.1 A Equação Geral do Plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja um vetor )�� = �/, 0, ��, não nulo, e um ponto A(x,y,z), onde A∈ #µ/)� 4 � )�� é ortogonal ao 
plano. 
 
 
/6/' = 060' = �6�' = � 
��6 ∙ ��' = 0 
4 
A(x1,y1,z1) 
P(x,y,z) 
)�� = �/, 0, �� 
f������ 
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23 
 
O Plano 4 é definido pelo conjunto de todos os pontos P(x,y,z) tais que: 
f������ ∙ )�� = 0 ���) Ýçã� � � *�ß�)/µÝ / �� 
Z�: − :6, F − F6, e − e6��/, 0, ��] = 0 /: − /:6 + 0F − 0F6 + �e − �e6 = 0 /: + 0F + �e − /:6 − 0F6 − �e6 = 0 
 
 
 
OBS: O vetor à��� é denominado o vetor normal ao plano. 
Com essa equação, é possível saber em que ponto o plano corta cada eixo: 
/: + 0F + �e + = 0
¼É
½É
¾: = 0 � F = 0 ⇒ e = − � )� �Ý:� á: = 0 � e = 0 ⇒ F = − 0 )� �Ý:� �F = 0 � e = 0 ⇒ : = − / )� �Ý:� �
h 
8.2 Determinação de um Plano 
Para a determinação da equaçãodo plano, há 7 casos que devem ser avaliados: 
I. Conhecimento de um ponto pertencente ao plano e do vetor normal: esse é o caso mais 
simples, em que só é preciso colocar as coordenadas no ponto em d, e do vetor na equação. 
Sendo o vetor normal )�� = �2,3,4�, � � #�)*� 
�5,6,7�, temos: 
 = −�2 ∙ 5 + 3 ∙ 6 + 4 ∙ 7� = −56, � / �•�/çã� âÝ�/: 2: + 3F + 4e − 56 = 0 
Exemplo 18. Determinar a equação do plano paralelo ao plano 4: 2: − 3F − e + 5 = 0 e que 
contém o ponto A(4,-1,2). 
Resp: Nesse caso, já temos o vetor normal ao plano e o ponto pertencente a esse plano. Como o 
plano é paralelo ao plano π, temos que seu vetor normal é o mesmo que do plano π, e podemos 
encontrar esse vetor na equação do plano 4, que é: )�� =(2,-3,-1). A partir do ponto, encontramos d: 
 = −�2 ∙ 4 + �−3� ∙ �−1� + �−1� ∙ 2� = −9, � / �•�/çã� � #µ/)� âÝ�/: 2: − 3F − e − 9 = 0 
 
 
 
d /: + 0F + �e + = 0 Equação Geral do Plano 
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24 
 
II. Conhecimento de um ponto pertencente ao plano e dois vetores não colineares também 
pertencentes ao plano: nesse caso, para encontrarmos o 
vetor normal )��, devemos fazer o produto vetorial entre os 
dois vetores �� � ��� pertencentes ao plano. Lembre-se que o 
produto vetorial gera outro vetor simultaneamente ortogonal 
aos dois vetores do produto, logo, como eles estão no plano, 
o produto vetorial será um vetor normal ao plano. 
Após fazer o produto vetorial, você terá o vetor normal ao plano, e 
então é possível usar o mesmo procedimento que no caso I. 
 
 
III. Conhecimento de dois pontos pertencentes ao plano e um vetor paralelo ao plano: 
Quando dizemos que o vetor é paralelo ao plano, entende-se que ele é pertencente ao plano. 
Então, sendo os pontos A e B, e o vetor �� pertencente ao plano, temos que o vetor normal à��� 
é encontrado por: 
)�� = 
������� × �� 
Nesse caso, o valor de d pode ser encontrado por qualquer um dos pontos, tanto A quanto B. 
OBS: os vetores 
������� � �� não podem ser colineares, pois assim teríamos um produto vetorial nulo. 
Exemplo 19. Paralelo ao eixo do z e que contém os pontos A(0,3,1) e B(2,0,-1). 
Resp: Como o plano é paralelo ao eixo z, podemos dizer que o vetor "d = �0,0,1� pertence a esse 
plano. A partir dos pontos A e B, que pertencem ao plano, podemos encontrar outro vetor 
pertencente ao plano, que no caso é: 
������� = � − 
 = �2, −3, −2� 
O vetor normal )�� é dado pelo produto vetorial desses dois vetores pertencentes ao plano: 
)�� = 
������� × "d = �−3, −2,0� 
Usando o ponto A para encontrar d: 
 = −‹�−3� ∙ 0 + �−2� ∙ 3 + 0 ∙ 1Œ = 6, �)*ã� / �•�/çã� � #µ/)� âÝ�/: − 3: − 2F + 6 = 0 
OBS: Veja que a resposta também poderia ser 3x+2y-6=0, isso porque poderiam ter feito o produto 
vetorial "d × 
�������, ou poderíamos ter pego o vetor �
������ ao invés de 
�������, e outros motivos diversos, 
obtendo valores diferentes para o vetor normal (geralmente valores opostos). 
 
 
4 
A 
)�� 
��� 
�� 
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25 
 
IV. Conhecimento de três pontos (não colineares) pertencentes ao plano: Sendo os pontos 
A, B e C pertencentes ao plano, é preciso fazer dois vetores usando esses pontos, ou seja, 
obtém-se 
������� � 
�������, ou qualquer outra combinação, e encontramos o vetor normal da 
seguinte forma: 
)�� = 
������� × 
������� 
O valor de d, para ser colocado na equação geral do plano, pode ser obtido a partir de qualquer um 
desses três pontos dados. 
Exemplo 20. Determinar a equação do plano que contém os pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C(1,1,-1). 
Resp: Devemos determinar os vetores pertencentes ao plano, que serão: 
������� = � − 
 = �3, −3,1�
������� = � − 
 = �2, −1, −1� 
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, fazemos o produto vetorial entre esses dois vetores 
pertencentes ao plano: 
)�� = 
������� × 
������� = �4,5,3� 
Utilizando o ponto A para determinar d: 
 = −Z4 ∙ �−1� + 5 ∙ 2 + 3 ∙ 0] = −6, �)*ã� / �•�/çã� âÝ�/: 4: + 5F + 3e − 6 = 0 
 
V. Conhecimento de duas retas concorrentes e pertencentes ao plano: Esse caso é similar 
ao caso II, pois agora, os vetores pertencentes ao 
plano são os vetores diretores da reta, e o ponto para 
encontrar d é qualquer ponto de uma das retas. Então, 
deve-se encontrar os vetores diretores �� � ���, das retas 
rv e ru, respectivamente, e fazer o produto vetorial 
entre eles, para obter o vetor )�� normal ao plano. )�� = �� × ��� 
 
 
 
Exemplo 21. Determinar a equação do plano que contém o seguinte par de retas: 
 : : − 12 = F + 23 = e − 3−1 � ¬: : − 1−2 = F + 2−1 = e − 32 
4 
A 
)�� 
��� 
�� 
ru 
rv 
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26 
 
Resp: Como plano contém as retas, então os vetores diretores dessas retas são pertencentes ao 
plano, e podemos encontrar o vetor normal pelo produto vetorial entre esses dois vetores. Sendo os 
vetores diretores ��¸ = �2,3, −1� � ��Ë = �−2, −1,2�, temos que o vetor normal é: )�� = ��¸ × ��Ë = �5, −2,4� 
Utilizando o ponto P(1,-2,3) da reta r, que pertence ao plano, temos: 
 = −Z5 ∙ 1 + �−2� ∙ �−2� + 4 ∙ 3] = −21, � / �•�/çã� � #µ/)� âÝ�/: 5: − 2F + 4e − 21 = 0 
 
VI. Conhecimento de duas retas paralelas e pertencentes ao plano: Como as retas são 
paralelas, o vetor diretor delas é o mesmo, então não é possível encontrar o vetor normal ao 
plano somente com os vetores diretores das retas. 
É preciso encontrar um outro vetor pertencente ao 
plano. Para isso, encontra-se um ponto de cada 
reta, no caso os pontos A e B, e cria-se o vetor 
�������, que é pertencente ao plano. Então, efetuamos 
os produto vetorial entre o vetor diretor �� das 
retas e o vetor 
�������, para encontrar o vetor normal )��. )�� = �� × 
������� 
 
 
Exemplo 22. Determinar a equação do plano que contém o seguinte par de retas: 
 : g: = −3 + *F = −*e = 4 h � ¬: ã: + 22 = F − 1−2 ; e = 0h 
 
Resp: Nesse caso, temos que os vetores diretores das retas pertencentes ao plano são ��¸ = �1, −1,0� � ��Ë = �2, −2,0�. Assim, vemos que eles são vetores paralelos, logo, as retas 
são paralelas. Devemos encontrar outro vetor então que não seja paralelo a esses dois 
vetores, para podermos efetuar o produto vetorial (que quando é feito entre vetores paralelos 
gera um vetor nulo). Para isso, vamos utilizar os pontos Pr=(-3,0,4) da reta r, e Ps=(-2,1,0) da 
reta s, para encontrarmos o vetor que precisamos: �� = f¸ fË�������� = fË − f¸ = �1,1, −4� 
Faremos agora o produto vetorial entre ��¸ e ��, para encontrarmos o vetor normal 
(poderíamos usar também o vetor ��Ë, mas como é paralelo a ��¸, o produto vetorial será 
igual, só que, no caso, duas vezes maior). )�� = ��¸ × �� = �4,4,2� 
Utilizando o ponto Pr para encontrar d: = −Z4 ∙ �−3� + 4 ∙ 0 + 2 ∙ 4] = 4, /í / �•�/çã� � #µ/)� âÝ�/: 4: + 4F + 2e + 4 = 0 
 
 
 
 
�� 
r1 r2 
A 
B 
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VII. Conhecimento de uma reta pertencente ao plano e um ponto também pertencente ao 
plano, mas que não pertence a reta: Esse caso é similar ao anterior. Só que agora não é 
preciso encontrar o ponto B pela equação da reta, 
ele já é dado. E o vetor normal ao plano é então 
dado por: )�� = �� × 
������� 
 
 
 
 
Exemplo 23. Determinar a equação do plano que contém o ponto A(1,-1,2) e o eixo dos z. 
Resp: Um dos vetores pertencentes ao plano é o vetor "d, pois é o vetor diretor do eixo dos z. O 
outro vetor pertencente ao plano pode ser encontrado utilizando o ponto A e um ponto do eixo z, 
que no caso pode ser o ponto O(0,0,0), daí fazendo o vetor 1
������ = 
 − 1 = �1, −1,2�, temos o vetor 
normal originado do produto vetorial entre 1
������ � "d: 
)�� = 1
������ × "d = �−1,−1,0� 
Utilizando o ponto O para encontrar d, temos que d=0, daí a equação fica: −: − F = 0 
8.3 Casos Particulares 
8.3.1 Planos que passam pela origem: ponto O(0,0,0) 
Pela equação geral do plano, /: + 0F + �e + = 0, temos que d = 0, pois o ponto é O(0,0,0), daí a 
equação do plano fica: 
/: + 0F + �e = 0 
 
8.3.2 Planos paralelos ao eixo x 
O vetor normal é )�� = �0, 0, ��, então, a equação do plano 
fica: 
0F + �e + = 0 
 
 
 
 
 
A 
B 
�� 
r1 r2 
A 
B 
y 
x 
z 
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8.3.3 Planos paralelos ao eixo y 
Temos que o vetor normal é )�� = �/, 0, ��, então a 
equação do plano fica: 
/: + �e + = 0 
 
 
 
 
 
8.3.4 Planos paralelos ao eixo z 
Temos que o vetor normal é )�� = �/, 0, 0�, então a equação 
do plano fica: 
/: + 0F + = 0 
 
 
 
 
 
8.3.5 Planos paralelos ao plano xy 
O vetor normal é )�� = �0,0, ��, e a equação de plano fica: 
�e + = 0 
8.3.6 Planos paralelos ao plano xz 
O vetor normal é )�� = �0, 0, 0�, e a equação de plano fica: 
0F + = 0 
8.3.7 Planos paralelos ao plano yz 
O vetor normal é )�� = �/, 0,0�, e a equação de plano fica: 
/: + = 0 
 
 
y 
x 
z 
y 
x 
z 
xy 
xz 
yz 
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8.4 Equações Paramétricas do Plano 
Sejam os vetores não colineares ��6 � ��', e o ponto A 
pertencentes ao plano, temos: 
 
f������ = ℎ��6 + *��' �: − :6, F − F6, e − e6� = �/6ℎ + /'*, 06ℎ + 0'*, �6ℎ + �'*� 
Então: 
: − :6 = /6 ℎ + /'*F − F6 = 06 ℎ + 0'*e − e6 = �6 ℎ + �'* Ž
` = `U + qUä + qX �å�b = bU + uUä + uX �åå�à = ÃU + ÄUä + ÄX �ååå�h 
As equações I, II, e III são as equações paramétricas do plano, e os termos h e t são os 
parâmetros. 
 
8.5 Ângulo entre Planos 
Sejam os planos 46 � 4', a vista de perfil deles é: 
 
 
 
 
 
Desse modo, pode-se ver que: �90° − 3� + ¡ = 90°, daí: 3 = ¡ 
Ou seja, o ângulo entre dois planos é igual ao menor ângulo entre os vetores normais dos 
respectivos planos. Então, o ângulo θ é dado por: 
cos 3 = |)��6 ∙ )��'||)��6||)��'| 
 
 
 
 
A 
P 
f������ 
��6 
��' 
ℎ��6
*��' 
4' 
46 
3 90° − 3 
¡ ¡ 
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8.6 Condição de Paralelismo e Ortogonalidade 
Sejam os planos 46 � 4', com vetores normais )��6 = �/6, 06, �6� � )' = �/', 0', �'�, 
respectivamente. Para serem paralelos, devemos ter: /6/' = 060' = �6�' 
 
Sejam os planos 46 � 4', com vetores normais )��6 = �/6, 06, �6� � )' = �/', 0', �'�, 
respectivamente. Para serem ortogonais, devemos ter: )��6 ∙ )��' = 0 
 
8.7 Ângulo entre uma Reta e um Plano 
Sendo θ o ângulo formado entre o vetor normal )�� do plano e o vetor diretor �� da reta, e æ o ângulo 
formado entre a reta e o plano, temos: 
cos 3 = sin æ = |)�� ∙ ��||)��||��| 
 
8.8 Reta pertencente a um plano 
Para a reta pertencer ao plano, uma das duas seguintes condições devem ser satisfeitas: 
i. O vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano e a reta ter um ponto 
pertencente ao plano 
ii. Dois pontos da reta pertencerem ao plano 
 
8.9 Intersecção de Dois Planos 
A intersecção de dois planos é uma reta. Devemos encontrar a equação para essa reta. Vemos que o 
vetor diretor �� da reta é simultaneamente ortogonal aos vetores normais dos dois planos, então, para 
encontrar o vetor diretor da reta, devemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores normais: 
�� = )��6 ∙ )��' 
Por fim, devemos encontrar um ponto dessa intersecção, para podermos montar a equação da reta. 
Para isso, devemos resolver o sistema das duas equações de plano, deixando uma variável em como 
variável independente. Estipulando qualquer valor para essa variável independente, podemos achar 
um ponto da intersecção. 
Tendo um ponto, e o vetor diretor dessa reta, podemos montar sua equação como descrito no item 
de Retas. 
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Exemplo 24. Determinar as equações reduzidas da reta intersecção dos planos: 
46: 2: − F − 3e − 5 = 0 � 4': : + F − e − 3 = 0 
Resp: Devemos deixar as variáveis y e z como função de x, e obtemos as equações reduzidas da 
reta: 
ã2: − F − 3e − 5 = 0 �ç� ⇒ F = 2: − 3e − 5 �ççç� : + F − e − 3 = 0 �çç� h 
Substituindo III em II: 
: + 2: − 3e − 5 − e − 3 = 0 ⇒ 3: − 4e − 8 = 0 ⇒ e = \n : − 2 (IV) 
Substituindo IV em I: 
2: − F − 3 §34 : − 2¨ − 5 = 0 ⇒ 84 : − F − 94 : + 6 = 0 ⇒ F = − 14 : + 6