produto misto

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Produto misto
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Revisão de Produto vetorial
 Definição: o produto vetorial de dois vetores
por , é um vetor 
 i) a direção de é perpendicular ao plano formado por e ;
 ii) o seu módulo é igual à área do paralelogramo formado por e :
iii) o seu sentido obedece à regra da mão direita (figura).
 Note que o produto vetorial não é comutativo:
e
, representado
(
)
tal que:
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Outras Propriedades:
As propriedades do produto vetorial estão intimamente ligadas às propriedades dos determinantes.
IV) u  v = 0 
paralelos
Faça o teste, imaginando 3 vetores no mesmo plano!
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Módulo do Produto Vetorial:
onde
 : é o ângulo entre os dois vetores 
B = (para simplificar a notação) 
O ângulo entre dois vetores está relacionado com o módulo do produto 
vetorial da seguinte maneira:
 | A  B | 
=
A·B·sen
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Módulo do Produto Vetorial:
onde
 : é o ângulo entre os dois vetores 
B = (para simplificar a notação) 
O ângulo entre dois vetores está relacionado com o módulo do produto 
vetorial da seguinte maneira:
 | A  B | 
=
A·B·sen
 A 
h
A área do paralelogramo é determinada 
por: área = B·h 
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Módulo do Produto Vetorial:
onde
 : é o ângulo entre os dois vetores 
B = (para simplificar a notação) 
O ângulo entre dois vetores está relacionado com o módulo do produto 
vetorial da seguinte maneira:
 | A  B | 
=
A·B·sen
Mas, da figura, vemos que: 
h = A·sen (triângulo retângulo)
Assim: 
área = B·A·sen = A·B·sen 
Interpretação Geométrica:
A área do paralelogramo é determinada 
por: área = B·h 
Considere um paralelogramo definido por dois vetores: 

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Outra consequência
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 Outra forma de se escrever o produto vetorial de dois vetores e é através do determinante da matriz formada pelos versores e pelas componentes cartesianas dos vetores e ao longo das suas linhas:
O produto vetorial e o determinante
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Produto misto
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Produto misto
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Produto misto
Exercício 6)Verificar se são coplanares os seguintes vetores: 
u =(3, -1, 2), v = (1, 2, 1) e w = (-2, 3, 4) 
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Produto misto
Verificar se são coplanares os seguintes vetores: 
u =(3, -1, 2), v = (1, 2, 1) e w = (-2, 3, 4) 
u =(2, -1, 0), v = (3, 1, 2) e w = (7, -1, 2) 
Se
então são coplanares!
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Interpretação geométrica do produto misto
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Volume do paralelepípedo
V = Abase x altura; 
Mas, Abase = 
Sendo o ângulo entre os vetores w e (u x v), h será:
h = |w| . |cos |
Portanto,
V = |w|.|u x v|.|cos |
= |a|.|w|.|cos | = |h.a| = |w. (u x v)|
a
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Volume do tetraedro
Vtetra = (1/6) |u. (v x w)|
= 
Volume tetraedro = 
1/6 Volume paralelepípedo
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Fim
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Produto vetorial usando componentes 
 O produto vetorial também é distributivo. Podemos escrevê-lo em termos das suas componentes cartesianas como:
Mas como 
e
, teremos: