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Distaˆncias - parte 1
Prof. Theotonio Pauliquevis
maio de 2010
– Typeset by FoilTEX –
TIPOS DE DISTAˆNCIAS
1. Entre ponto e ponto
2. Entre ponto e reta
3. Entre duas retas
4. Entre ponto e um plano
5. Entre dois planos
6. Entre uma reta e um plano
– Typeset by FoilTEX – 1
DISTAˆNCIA ENTRE PONTOS
Temos muito pouco a falar neste caso...
d(P1, P2) =
∣∣∣ ~P1P2∣∣∣
d(P1, P2) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
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– Typeset by FoilTEX – 3
– Typeset by FoilTEX – 4
Os vetores ~v e
−−−→
P1P0 formam um paralelogramo cuja a´rea e´:
A = |~v|d = |~v × ~P1P0|
Isolando d, temos
d = d(P0, r) =
|~v × ~P1P0|
|~v|
– Typeset by FoilTEX – 5
Exerc´ıcio: calcular a distaˆncia do ponto P0(1, 2, 3) a` reta
r :

x = 1− 2t
y = 2t
z = 2− t
– Typeset by FoilTEX – 6
Distaˆncia entre duas retas:
Primeiro caso: retas sa˜o concorrentes. Neste caso, na˜o ha´
distaˆncia, ja´ que elas se cruzam...
Segundo caso: As retas sa˜o paralelas.
Primeira questa˜o: podemos usar o que aprendemos no ı´tem
anterior (distaˆncia de ponto a reta) e aplicar neste caso?
SIM. De fato, basta escolher um ponto qualquer de uma
das retas, e calcular a distaˆncia deste ponto ate´ a outra reta
Terceiro caso: As retas sa˜o reversas.
Neste caso, temos que bolar um jeito novo.
– Typeset by FoilTEX – 7
Observe o esquema:
Note que ~u, e´ diretor de r, e ~v e´ diretor de s apesar deste
estar desenhado deslocado no ve´rtice inferior.
Note tambe´m que d, altura do paralelogramo, e´ a distaˆncia
entre as retas.
– Typeset by FoilTEX – 8
Sabemos que... o volume de um paralelep´ıpedo e´ dado por
V = |~u× ~v|d = |(~u,~v,−−−→P1P2)|
Isolando d, temos que
d = d(r, s) =
|(~u,~v,−−−→P1P2)|
|~u× ~v|
– Typeset by FoilTEX – 9
Exerc´ıcio: calcule a distaˆncia entre as retas
r :
 y = 1x+ 2 = z − 4−2
e
s :

x = 3
y = 2t− 1
z = −t+ 3
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Resoluc¸a˜o: a reta r passa pelo ponto P1(-2,1,4) e tem
a direc¸a˜o do vetor ~u = (1, 0,−2), e a reta s pelo ponto
P2(3,−1, 3) e tem a direc¸a˜o do vetor ~v = (0, 2,−1). Enta˜o,−−−→
P1P2 = (5,−2,−1). Assim,
(~u,~v,
−−−→
P1P2) =
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 −2
0 2 −1
5 −2 −1
∣∣∣∣∣∣∣ = 16
e
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 0 2
0 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣ = (4, 1, 2)
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De acordo com a definic¸a˜o de distaˆncia, teremos
d(r, s) =
|16|
|(4, 1, 2)| =
16√
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Exerc´ıcios propostos para hoje: 3 e 5 do livro.
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