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Planos - parte 2
Prof. Theotonio Pauliquevis
maio de 2010
– Typeset by FoilTEX –
Revisando: na aula passada vimos que:
• a equac¸a˜o geral do planos na forma ax+ by + cz + d = 0, onde o vetor
normal ao plano e´ ~n = (a, b, c)
• o conceito de que o conhecimento deste vetor normal e de um ponto
conhecido representam a informac¸a˜o m´ınima necessa´ria para se definir
um plano.
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Nesta aula veremos:
• Casos particulares, quando uma (ou mais) das componentes do vetor
normal sa˜o nulas;
• Equac¸o˜es parame´tricas do plano;
• Posic¸o˜es relativas entre: pontos, retas e planos.
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Casos particulares
→ TODO plano que passa pela origem tem seu termo d nulo. Dessa
forma, a equac¸a˜o de tal plano SEMPRE sera´ na forma:
ax+ by + cz = 0
E, de fato...
a.(0)x+ b.(0) + c.(0) + d = 0
d = 0
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Casos particulares
Considere o caso particular em que
~n = (0, b, c),
enta˜o,
by + cz + d = 0
Exemplo: 2y + 3z − 6 = 0⇒ 3z = −2y + 6
⇒ z = −2y
3
+ 2
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Casos particulares
Na˜o e´ dif´ıcil de perceber que este caso trata-se, quando estamos no espac¸o
de duas dimenso˜es, da equac¸a˜o de uma reta. E´ quando fazemos a ana´lise
em treˆs dimenso˜es que fica claro que trata-se de um plano paralelo ao eixo
x, cuja projec¸a˜o no plano yOz e´ a reta descrita acima. De modo ana´logo,
quando
~n = (a, 0, c)
ou
~n = (a, b, 0)
temos planos paralelos, respectivamente, aos eixo y e z. Ou seja: a
componente nula do vetor ~n corresponde ao eixo ao qual o plano e´ paralelo.
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Casos particulares
Em alguns casos podemos ter duas componentes do vetor ~n nulas. Neste
caso, o plano sera´ paralelo a um dos planos coordenados. Por exemplo, no
caso em que
~n = (0, 0, c) = c(0, 0, 1) = c~k
teremos
cz + d = 0
z =
−d
c
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Casos particulares
Exemplo:
o plano z = 4, que representa um plano paralelo ao plano coordenado xOy.
o plano x = 4, que representa um plano paralelo ao plano coordenado yOz.
o plano y = 5, que representa um plano paralelo ao plano coordenado xOz.
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Casos particulares
Exerc´ıcio exemplo: determine a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto
A(2, 3, 4) e e´ paralelo ao plano coordenado xOy
Resoluc¸a˜o: se o plano e´ paralelo ao plano coordenado xOy, enta˜o o
vetor sera´ na forma
~n = (0, 0, c)
Portanto, a equac¸a˜o geral do plano e´ na forma
cz + d = 0
z =
−d
c
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e, portanto
z = 4
e´ a equac¸a˜o deste plano
Exerc´ıcio: determinar a equac¸a˜o do plano que conte´m o ponto (2, 2,−1)
e a reta r
{
x = 4
y = 3
Resoluc¸a˜o: temos dois pontos (o inicial da reta) e o ponto que o plano
deve incluir. Dessa maneira, o vetor
−−→
AB (onde B e´ um ponto da reta)
DEVE estar dentro do plano. Assim:
−−→
AB = (4, 3, 0)− (2, 2,−1) = (2, 1, 1)
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Temos, agora, dois vetores:
−−→
AB = (2, 1, 1)
~v = (0, 0, 1)
O vetor ~v tem esta forma uma vez que a reta so´ tem grau de liberdade em
z, pois as coordenadas x e y esta˜o fixadas. Como o vetor ~n e´ paralelo a
produto vetorial ~AB × ~v, temos que
~n =
 ~i ~j ~k2 1 1
0 0 1
 =~i(1)−~j(2) + ~k(0) = (1,−2, 0)
Desta maneira, o plano tera´ a equac¸a˜o na forma:
x− 2y + d = 0
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Aplicando as coordenadas dos pontos fixos da reta r (x = 4 e y = 3),
teremos
4− 2.3 + d = 0
d = 2
e a equac¸a˜o do plano fica
x− 2y + 2 = 0,
com c = 0, portanto paralelo ao eixo z.
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→ Outro exemplo:
Determine a equac¸a˜o geral do plano que passa por A(2, 3, 4) e e´ paralelo
aos vetores ~v1 = ~j + ~k e ~v2 = ~j − ~k.
Resoluc¸a˜o: deve-se considerar que
• ~v1 e ~v2 esta˜o no plano, e
• ~v1 e ~v2 na˜o sa˜o paralelos
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Desta forma, ~n e´ paralelo a ~v1 × ~v2:
~v1 × ~v2 =
 ~i ~j ~k0 1 1
0 1 −1
 = −2~i = (−2, 0, 0)
E, desta maneira,
−2x+ 4 = 0→ x− 2 = 0→ x=2
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Equac¸o˜es parame´tricas do plano
Nas aulas sobre retas discutimos que a informac¸a˜o m´ınima necessa´ria para
determinar uma reta e´ o conhecimento de um ponto e um vetor. A equac¸a˜o
vetorial, na forma
−→
AP = t~v, se tornava, na forma parame´trica, em:
r
 x = xA + t~vxy = yA + t~vy
z = zA + t~vz
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No plano, podemos descrever um plano na forma vetorial pela expressa˜o
−→
AP = t~v + h~u
Decompondo de modo ana´logo ao que fizemos na equac¸a˜o de reta, teremos
(x− xA, y − yA, z − zA) = (tvx + hux, tvy + huy, tvz + huz)
Igualando as respectivas coordenadas x, y e z, temos:
 x− xA = hux + tvxy − yA = huy + tvy
z − zA = huz + tvz
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e, portanto,  x = xA + h~ux + t~vxy = yA + h~uy + t~vy
z = zA + h~uz + t~vz
Que formam as “equac¸o˜es parame´tricas do plano”. Ou seja, variando
os dois paraˆmetrosh e t, percorremos o plano.
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Exemplo:  x = 2− 3h+ 2ty = 1 + 3h+ t
z = 3 + h− 2t
Neste exemplo, o ponto de refereˆncia do plano e´ (2, 1, 3), e os vetores
que definem o plano sa˜o (−3, 3, 1) e (2, 1,−2).
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Posic¸o˜es relativas
A lo´gica de se calcular o aˆngulo entre planos e´ a mesma de retas: o aˆngulo
entre os vetores normais. Desta forma,
→ cos(θ) = |~n1 · ~n2||~n1||~n2|
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Posic¸o˜es relativas
Os planos sera˜o paralelos quando ~n1 = k~n2; coincidentes se d1 = kd2, e
na˜o coincidentes se d1 6= kd2. Exemplo: pi1 : 2x + 3y + 4z + 5 = 0pi2 : 4x + 6y + 8z + 15 = 0
pi3 : 6x + 9y + 12z + 15 = 0
Neste caso, pi1 e pi2 sa˜o paralelos mas na˜o coincidentes, enquanto pi1 e pi3,
por outro lado, sa˜o coincidentes uma vez que todos os coeficientes a, b, c e
d guardam uma relac¸a˜o de proporcionalidade entre si. Tambe´m de maneira
ana´loga a`s retas, os planos sera˜o perpendiculares se ~n1 · ~n2 = 0
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Retas e planos
O primeiro passo para se determinar o aˆngulo entre uma reta e um plano e´
calcular o aˆngulo entre seus aˆngulos diretor e normal. Observe a figura.
θ + ϕ = 90
cos(θ) = sen(ϕ)
cos(θ) =
|~v · ~n|
|~v||~n = sen(ϕ)
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Retas e planos
Note pore´m que θ e´ o aˆngulo entre ~n e ~v, sendo ~n o vetor normal da reta,
e ~v o vetor diretor da reta. Pore´m, o aˆngulo que estamos procurando, entre
a reta e o plano, na verdade corresponde ao aˆngulo ϕ.
As concluso˜es sa˜o:
• Se ~v · ~n = 0, a reta e´ PARALELA ao plano, e pode ou na˜o estar
contida no plano. Neste caso, basta testar se um ponto da reta (qualquer
um!) tambe´m esta´ contido no plano.
• Se ~v ‖ ~n = 0, a reta e´ ORTOGONAL ao plano.
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Retas e planos
Estas concluso˜es sa˜o invertidas em relac¸a˜o ao que estamos “acostumados”
dos cap´ıtulos anteriores, devendo-se tomar cuidado para na˜o se confundir.
Isto e´ devido a` relac¸a˜o cos(θ) = sen(ϕ), em que temos que fazer as relac¸o˜es
de paralelismo e perpendicularismo com o aˆngulo complementar.
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Exemplo: considere o plano pi, dado pela equac¸a˜o pi : 2x+3y−4z+7 =
0 e a reta r, dada pela equac¸a˜o
r
 x = 3 + 3ty = −4 + 2t
z = −2 + 3t
Pela ana´lise da equac¸a˜o da reta, nota-se que ~n = (2, 3,−4) e ~v = (3, 2, 3).
Assim,
~v · ~n = 2.3 + 3.2− 4.3 = 0
∴ ~n⊥~v
∴ ~v ‖ pi
e a reta e´ paralela ao plano. Sera´ que ela tambe´m r esta´ contida no plano
pi? Para testar esta hipo´tese basta escolher um ponto qualquer da reta
(p.ex. tomando t = 0), que resulta no ponto P (3,−4,−2). Aplicando as
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coordenadas deste ponto na equac¸a˜o do plano, temos
2.3 + 3(−4)− 4(−2) + 7 = 9 6= 0
ou seja, a reta na˜o esta´ no plano.
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Outro exemplo: considere a equac¸a˜o dos planos pi1 e pi2:
pi1 : 5x− 2y + z + 7 = 0
pi2 : 3x− 3y + z + 4 = 0
Podemos concluir que pi1 e pi2 na˜o sa˜o paralelos, pois ~n1 6= k~n2.
A intersecc¸a˜o entre estes dois planos (que obviamente so´ pode ser
definida para planos na˜o paralelos entre si) sera´, obviamente, uma reta.
Matematicamente, temos duas equac¸o˜es e treˆs inco´gnitas, caracterizando
assim um sistema indeterminado. E´ poss´ıvel, contudo, expressar y e z em
func¸a˜o de x.
⇒ eliminando z, podemos subtrair as equac¸o˜es dos planos na forma
pi1 − pi2 → 2x+ y + 3 = 0→ y = −2x− 3
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⇒ eliminando y, fazendo 3pi1 − 2pi2{
15x− 6y + 3z + 21 = 0
6x− 6y + 2z + 8 = 0
}
9x + z + 13 = 0
z = −9x− 13
Resposta final: r
{
y = −2x− 3
z = −9x− 13
}
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Intersecc¸a˜o entre reta e plano
Comecemos nossa discussa˜o tomando como exemplo a reta
r
{
y = 2x+ 3
z = 3x− 4
}
e o plano pi : 3x + 5y − 2z − 9 = 0. Para determi-
narmos o ponto de intersecc¸a˜o entre reta e plano devemos substituir as
equac¸o˜es para y e z, definidas na reta r, na equac¸a˜o do plano pi. Assim,
teremos
3x+ 5(2x+ 3)− 2(3x− 4)− 9 = 0
3x+ 10x+ 15− 6x+ 8− 9 = 0
x = 2
Substituindo o valor obtido para x na equac¸a˜o da reta, obtemos y = −1
e z = −10
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Ou seja, o ponto Pint(−2,−1,−10) e´ o ponto de intersecc¸a˜o entre a reta
e o plano.
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Intersecc¸a˜o entre eixos coordenados e o
plano
Os eixos coordenados Ox, Oy e Oz sa˜o simplesmente casos especiais de
equac¸o˜es de reta. O eixo x, por exemplo, e´ a reta y = 0 e z = 0. Por
exemplo, se considerarmos o plano pi : 2x + 3y + z − 6 = 0, os pontos de
cruzamento deste plano com os eixos coordenados Ox,Oy e Oz podem ser
determinados da maneira calculada abaixo:
→ eixo Ox:
2x+ 3.0 + 0− 6 = 0⇒ 2x− 6 = 0
x = 3→ (3, 0, 0)
Analogamente, os pontos de intersecc¸a˜o com Oy e Oz sera˜o:
→ eixo Oy: 3y − 6 = 0→ y = 2→ (0, 2, 0)
→ eixo Oz: z = 6→ (0, 0, 6)
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