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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013 Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o ao lado do item e justificando a sua resposta. 1) Considere a func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) = |x y|, cujo gra´fico esta´ ilustado a seguir. O gra´fico ilustra ainda a restric¸a˜o da func¸a˜o ao longo da reta y = −x. Observe que, para P = (x, y) e P0 = (0, 0), tem-se |f(P )− f(P0)| = f(P ), uma vez que f(P0) = 0 e f(P ) ≥ 0. Se necessa´rio, use a desigualdade |x y| ≤ 1 2 (x2 + y2). C E a) Dado uma margem de toleraˆncia ǫ > 0, basta escolher a margem de seguranc¸a δ = √ 2 ǫ para se ter que |f(P )− f(P0)| < ǫ sempre que ‖P − P0‖ < δ. C E b) A func¸a˜o na˜o possui as derivadas parciais fx(P0) e fy(P0). C E c) A derivada direcional ∂f ∂v (P0) na˜o existe para alguma direc¸a˜o v. C E d) O limite lim P→P0 f(P )/‖P‖ e´ igual a zero. C E e) A func¸a˜o f e´ diferencia´vel em P0. 2) Suponha que a temperatura da chapa D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 < 1 e y > 0} seja dada pela func¸a˜o T (x, y) = 20 pi arctan ( 2 y 1−x2−y2 ) , cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo. Neste caso, as curvas de n´ıvel da func¸a˜o T sa˜o as isotermas da chapa. x y T = 5 a) Verifique que as isotermas sa˜o arcos de c´ırculos com centros no eixo Oy e passam pelos pontos (−1, 0) e (1, 0). Resposta: no n´ıvel k, a curva e´ x2 + (y + 1/K)2 = 1 + 1/K2, com K = tan(pik/20) b) Esboce, na figura ao lado, a isoterma de temperatura igual a 5. c) Use o item a) para verificar que na˜o existe limP→(1,0) T (P ). Resposta: considere isotermas em temperaturas distintas d) Use as propriedades do limite para decidir quando a` existeˆncia do limite limP→P0 T (P ) no caso em que P0 = (x0, y0) e´ tal que x 2 0 + y 2 0 = 1 e y0 > 0. Resposta: o limite existe e e´ igual a 10 e) Da mesma forma, estude a existeˆncia do limite limP→P0 T (P ) no caso em que P0 = (x0, 0) e |x0| < 1. Resposta: o limite existe e e´ igual a 0 Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013 – 1/2 3) Considere um sistema de eixosOxyz de origemO no centro da Terra. Nesse sistema, se um sate´lite esta´ no ponto P , a forc¸a F (P ) com que a Terra atrai o sate´lite tem direc¸a˜o e sentido dados pelo vetor unita´rio U = −P/‖P‖. Ale´m disso, se as massas da Terra e do sate´lite sa˜o M e m, a intensidade da forc¸a e´ diretamente proporcional dessas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia ‖P‖, com constante de proporcionalidade G. Segundo os itens abaixo, a func¸a˜o f(P ) = a/‖P‖ esta´ estreitamente relacionada com a forc¸a F . a) Obtenha a expressa˜o da forc¸a F (P ). Resposta: F (P ) = −GMm‖P‖2 P‖P‖ . b) Calcule a derivada fx, e obtenha fy e fz por simetria. Resposta: fx(x, y, z) = −ax (x2+y2+z2)3/2 , e analogamente para fy e fz. c) Verifique que, escolhendo a apropriadamente, tem-se F (P ) = (fx(P ), fy(P ), fz(P )). Nesse caso, f e´ dita uma func¸a˜o potencial para a forc¸a F . Resposta: a = GMm. F m d) Calcule a derivada segunda fxx, e obtenha as outras derivadas fyy e fzz por simetria. Resposta: fxx(x, y, x) = a(2x 2 − y2 − z2)/(x2 + y2 + z2)5/2, e analogamente para fyy e fzz. e) Verifique que f satisfaz a` equac¸a˜o de Laplace fxx + fyy + fzz = 0. Resposta: basta somar as treˆs derivadas. 4) No estudo da penetrac¸a˜o da geada em uma rodovia, a temperatura T (t, x) no instante t (em horas) e a` profundidade x (em metros) pode ser modelada por T (t, x) = T0 e −λx sen(ω t−λ x), em que T0, ω e λ sa˜o constantes positivas. x t a) Obtenha condic¸o˜es nas constantes de forma que, para x0 fixo, a func¸a˜o g(t) = T (t, x0) tenha per´ıodo de 24 horas. Resposta: T0 e λ quaiquer e ω = pi 12 b) Calcule e interprete as derivadas parciais Tt(t, x) e Tx(t, x). Resposta: Tx(t, x) = −λT0 e−λx[sen(ωt−λx)+cos(ωt−λx)] e´ a taxa de variac¸a˜o da temperatura com relac¸a˜o a` profundidade em um intante fixo t. O outro caso e´ ana´logo. c) Para uma profundidade fixa x0, determine os instantes em que a temperatura e´ ma´xima. Resposta: sa˜o os intantes t tais que ωt− λx0 = pi2 + 2kpi, com k = 0, 1, 2, . . . d) Calcule a derivada segunda Txx(t, x). Resposta: Txx(t, x) = 2λ 2T0 e −λx cos(ωt− λx) e) Verifique que, para algum K ∈ R, a temperatura T (t, x) satisfaz a` equac¸a˜o do calor Tt(t, x) = KTxx(t, x). Resposta: K = ω2λ2 Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013 – 2/2
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