Derivadas Parciais - Lista 2

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Considere a func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) = |x y|, cujo gra´fico esta´ ilustado a seguir.
O gra´fico ilustra ainda a restric¸a˜o da func¸a˜o ao longo da reta y = −x. Observe que, para
P = (x, y) e P0 = (0, 0), tem-se |f(P )− f(P0)| = f(P ), uma vez que f(P0) = 0 e f(P ) ≥ 0.
Se necessa´rio, use a desigualdade |x y| ≤ 1
2
(x2 + y2).
C E a) Dado uma margem de toleraˆncia ǫ > 0, basta escolher a margem de seguranc¸a
δ =
√
2 ǫ para se ter que |f(P )− f(P0)| < ǫ sempre que ‖P − P0‖ < δ.
C E b) A func¸a˜o na˜o possui as derivadas parciais fx(P0) e fy(P0).
C E c) A derivada direcional
∂f
∂v
(P0) na˜o existe para alguma
direc¸a˜o v.
C E d) O limite lim
P→P0
f(P )/‖P‖ e´ igual a zero.
C E e) A func¸a˜o f e´ diferencia´vel em P0.
2) Suponha que a temperatura da chapa D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 < 1 e y > 0} seja dada
pela func¸a˜o T (x, y) = 20
pi
arctan
(
2 y
1−x2−y2
)
, cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo. Neste caso, as
curvas de n´ıvel da func¸a˜o T sa˜o as isotermas da chapa.
x
y
T = 5
a) Verifique que as isotermas sa˜o arcos de c´ırculos com centros no
eixo Oy e passam pelos pontos (−1, 0) e (1, 0).
Resposta:
no n´ıvel k, a curva e´ x2 + (y + 1/K)2 = 1 + 1/K2,
com K = tan(pik/20)
b) Esboce, na figura ao lado, a isoterma de temperatura igual a 5.
c) Use o item a) para verificar que na˜o existe limP→(1,0) T (P ).
Resposta: considere isotermas em temperaturas distintas
d) Use as propriedades do limite para decidir quando a` existeˆncia do limite limP→P0 T (P )
no caso em que P0 = (x0, y0) e´ tal que x
2
0 + y
2
0 = 1 e y0 > 0.
Resposta: o limite existe e e´ igual a 10
e) Da mesma forma, estude a existeˆncia do limite limP→P0 T (P ) no caso em que
P0 = (x0, 0) e |x0| < 1.
Resposta: o limite existe e e´ igual a 0
Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013 – 1/2
3) Considere um sistema de eixosOxyz de origemO no centro da Terra. Nesse sistema, se um
sate´lite esta´ no ponto P , a forc¸a F (P ) com que a Terra atrai o sate´lite tem direc¸a˜o e sentido
dados pelo vetor unita´rio U = −P/‖P‖. Ale´m disso, se as massas da Terra e do sate´lite
sa˜o M e m, a intensidade da forc¸a e´ diretamente proporcional dessas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia ‖P‖, com constante de proporcionalidade G. Segundo
os itens abaixo, a func¸a˜o f(P ) = a/‖P‖ esta´ estreitamente relacionada com a forc¸a F .
a) Obtenha a expressa˜o da forc¸a F (P ).
Resposta: F (P ) = −GMm‖P‖2 P‖P‖ .
b) Calcule a derivada fx, e obtenha fy e fz por simetria.
Resposta: fx(x, y, z) =
−ax
(x2+y2+z2)3/2
, e analogamente para fy e fz.
c) Verifique que, escolhendo a apropriadamente, tem-se
F (P ) = (fx(P ), fy(P ), fz(P )). Nesse caso, f e´ dita uma
func¸a˜o potencial para a forc¸a F .
Resposta: a = GMm.
F
m
d) Calcule a derivada segunda fxx, e obtenha as outras derivadas fyy e fzz por simetria.
Resposta: fxx(x, y, x) = a(2x
2 − y2 − z2)/(x2 + y2 + z2)5/2, e analogamente para fyy e fzz.
e) Verifique que f satisfaz a` equac¸a˜o de Laplace fxx + fyy + fzz = 0.
Resposta: basta somar as treˆs derivadas.
4) No estudo da penetrac¸a˜o da geada em uma rodovia, a temperatura T (t, x) no instante t (em
horas) e a` profundidade x (em metros) pode ser modelada por T (t, x) = T0 e
−λx sen(ω t−λ x),
em que T0, ω e λ sa˜o constantes positivas.
x t
a) Obtenha condic¸o˜es nas constantes de forma que, para x0 fixo,
a func¸a˜o g(t) = T (t, x0) tenha per´ıodo de 24 horas.
Resposta: T0 e λ quaiquer e ω =
pi
12
b) Calcule e interprete as derivadas parciais Tt(t, x) e Tx(t, x).
Resposta: Tx(t, x) = −λT0 e−λx[sen(ωt−λx)+cos(ωt−λx)] e´ a taxa de
variac¸a˜o da temperatura com relac¸a˜o a` profundidade em um intante fixo
t. O outro caso e´ ana´logo.
c) Para uma profundidade fixa x0, determine os instantes em que a temperatura e´ ma´xima.
Resposta: sa˜o os intantes t tais que ωt− λx0 = pi2 + 2kpi, com k = 0, 1, 2, . . .
d) Calcule a derivada segunda Txx(t, x).
Resposta: Txx(t, x) = 2λ
2T0 e
−λx cos(ωt− λx)
e) Verifique que, para algum K ∈ R, a temperatura T (t, x) satisfaz a` equac¸a˜o do calor
Tt(t, x) = KTxx(t, x).
Resposta: K = ω2λ2
Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013 – 2/2