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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 3 2.o/2013 Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o ao lado do item e justificando a sua resposta. 1) Sejam P = (x, y) ∈ R2 um ponto gene´rico, P0 = (0, 0) e f : R2 → R a func¸a˜o dada por f(P0) = 0 e f(P ) = f(x, y) = y x y x2 + y2 para P 6= P0. A figura abaixo ilustra o gra´fico de f . Se necessa´rio, use a desigualdade |x y| ≤ 1 2 (x2 + y2). C E a) Dado uma margem de toleraˆncia ǫ > 0, basta escolher a margem de seguranc¸a δ = 2ǫ para se ter que |f(P )− f(P0)| < ǫ sempre que ‖P − P0‖ < δ. C E b) A func¸a˜o na˜o possui as derivadas parciais fx(P0) e fy(P0). C E c) A derivada direcional ∂ ∂v f(P0) na˜o existe para alguma direc¸a˜o v ∈ R2. C E d) O limite lim P→P0 f(P )/‖P‖ na˜o existe. C E e) A func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel em P0. 2) Sejam D = {(x, y) ∈ R2; x2+ y2 < 1} e f : D → R dada por f(x, y) = √ 1− x2 − y2, cujo gra´fico e´ o hemisfe´rio superior da esfera de raio 1. a) Calcule as derivadas parciais f . Resposta: fx(x, y) = −x√ 1−x2−y2 e fy(x, y) = −y√ 1−x2−y2 b) Use o item anterior para justificar a afirmac¸a˜o de que f e´ diferencia´vel em D. Resposta: as derivadas parciais sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em D. c) Calcule a equac¸a˜o do plano P que e´ tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). Resposta: z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0). d) Obtenha o vetor ortogonal ao plano P. Resposta: e´ o vetor (fx(x0, y0), fy(x0, y0),−1). e) Verifique que, como esperado, o plano P e´ ortogonal ao vetor posic¸a˜o (x0, y0, f(x0, y0)). Resposta: (fx(x0, y0), fy(x0, y0),−1) e´ paralelo a (x0, y0, f(x0, y0)). Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 3 2.o/2013 – 1/2 3) Considere o plano Oxy de origem no centro da Terra e que conte´m o equador, conforme ilustrado abaixo. Suponha que um sate´lite de massa m move-se sobre este plano com vetor posic¸a˜o P (t) = (x(t), y(t)) e sujeito apenas a` forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional F (x, y) da Terra. Indique por M a massa da Terra e por G a constante universal de gravitac¸a˜o. a) Use as leis de Newton para obter a expressa˜o da forc¸a F (x, y). Resposta: F (x, y) = −GMm (x2+y2)3/2 (x, y). b) Calcule as derivadas parciais da func¸a˜o p(x, y) = a√ x2+y2 . Resposta: px(x, y) = −ax (x2+y2)3/2 e px(x, y) = −ay (x2+y2)3/2 F v c) Verifique que, para algum a ∈ R , a func¸a˜o p(x, y) e´ tal que F (x, y) = −∇p(x, y). Resposta: a = −GMm. d) Usando o valor de a obtido acima e a lei de Newton F (P (t)) = mP ′′(t), verifique que a energia total E(t) = (m/2)‖P ′(t)‖2 + p(P (t)) do sate´lite e´ independente de t. Resposta: E ′(t) = 〈mP ′′(t), P ′(t)〉+ 〈−F (P (t)), P ′(t)〉 = 0, logo E(t) independe de t. e) Verifique que, se o sate´lite estiver movendo-se sobre uma curva de n´ıvel de p(x, y), enta˜o o vetor velocidade P ′(t) e´ ortogonal ao vetor forc¸a F (P (t)). Resposta: 0 = d dt p(P (t)) = 〈−F (P (t)), P ′(t)〉. 4) Considere o problema de determinar a distaˆncia de P0 = (1, 1, 0) ao parabolo´ide P de equac¸a˜o z = x2+y2, cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo. Nesse sentido, seja f(x, y) o quadrado da distaˆncia de P0 a um ponto gene´rico (x, y, x 2 + y2) de P. P0 P1 a) Obtenha a expressa˜o e calcule as derivadas parciais de f(x, y). Resposta: f(x, y) = (x− 1)2 + (y − 1)2 + (x2 + y2)2, fx(x, y) = 2(x− 1) + 4x(x2 + y2) e fy(x, y) = 2(y − 1) + 4y(x2 + y2) b) Calcule os pontos cr´ıticos de f(x, y). Resposta: o u´nico ponto cr´ıtico e´ (1/2, 1/2) c) Justifique o fato de que f na˜o possui ponto de ma´ximo absoluto. Resposta: f(x, y) ≥ (x2 + y2)2 →∞ quando √ x2 + y2 →∞ d) Como f(x, y) ≥ 0, pode-se mostrar que f assume o seu valor mı´nimo. Use essa infor- mac¸a˜o para calcular a distaˆncia de P0 a P. Resposta: o ponto de mı´nimo e´ um ponto cr´ıtico, e a distaˆncia e´ igual a √ 3/2 e) Verifique que, se (x1, y1) e´ um ponto cr´ıtico de f(x, y) e P1 = (x1, y1, x 2 1 + y 2 1) ∈ P, enta˜o o segmento P0 P1 e´ ortogonal a P no ponto P1. Resposta: P1−P0 = −(x21+y21)(2x1, 2y1, −1) e´ ummu´ltiplo escalar do vetor ortogonal (2x1, 2y1, −1) a P em P1 Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 3 2.o/2013 – 2/2
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