Integrais Múltiplas - Lista 3

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 3 2.o/2013
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) A resisteˆncia de uma viga de sec¸a˜o transversal S e´ diretamente proporcional ao momento
de ine´rcia I de S em relac¸a˜o ao eixo da viga. Suponha que S seja como ilustrado abaixo,
com densidade constante δ0 = 1. Calculando, obte´m-se que o trape´zio T de ve´rtices ABCD
tem momento de ine´rcia IT = 101/3 em relac¸a˜o a` origem (o eixo da viga). O objetivo da
questa˜o e´ comparar I com o momento de ine´rcia Iq de uma outra viga de sec¸a˜o transversal
quadrada Sq = [−2, 2] × [−2, 2] e mesma densidade δ0 = 1. Observe que S e Sq possuem a
mesma a´rea, mas I e Iq podem ser diferentes.
C E a) Calculando, obte´m-se que
∫∫
Sq
x2 dxdy < 20.
C E b) O momento de ine´rcia Iq e´ menor do que 45.
C E c) O trape´zio T pode ser descrito na forma
T = {(x, y) ∈ R2; 1 ≤ y ≤ 3 e −(y+1)/2 ≤ x ≤ (y+1)/2}.
C E d) O momento de ine´rcia I e´ menor do que 2IT.
C E e) A viga de sec¸a˜o transversal S e´ mais resistente que a viga
de sec¸a˜o transversal Sq.
1 2
1
2
3
A B
CD
Sq
S
2) Considere o problema de determinar a densidade me´dia da chapa D, limitada pelas retas
x + y = 1, x + y = 4, x − y = −1 e x − y = 1, e com densidade δ(x, y) = (x + y)2 ex−y.
Introduzindo as varia´veis u = x + y e v = x − y, pode-se expressar x e y em termos de u e
v, obtendo a mudanc¸a de va´ria´veis (x, y) = g(u, v).
1
1
a) Esboce a chapa D na figura ao lado.
b) Obtenha a expressa˜o da mudanc¸a g(u, v) e calcule o seu
jacobiano.
Resposta: g(u, v) = (12 (u+ v),
1
2 (u− v)) e Jg(u, v) = − 12 .
c) Determine a regia˜o Dˆ de modo que g(Dˆ) = D.
Resposta: Dˆ = [1, 4]× [−1, 1].
d) Calcule a a´rea A da chapa D.
Resposta: A = 3
e) Calcule a massa M e a densidade me´dia δ0 da chapa D.
Resposta: M = 213 (e− e−1) e δ0 = 73 (e− e−1)
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3) Apesar da func¸a˜o e−x
2
na˜o ter uma primitiva elementar, a integral
∫∞
0
e−x
2
dx pode ser
calculada usando coordenadas polares e que e−x
2
e−y
2
= e−(x
2+y2). De fato, tem-se que∫ ∞
0
e−x
2
dx
∫ ∞
0
e−y
2
dy =
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−(x
2+y2) dxdy = lim
a→∞
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy
onde o integrando sugere o uso de coordenadas polares. Nesse sentido, sejam R1 e R2 as
regio˜es no primeiro quadrante limitadas pelos c´ırculos de raios a e
√
2 a, conforme a figura.
a) Use coordenadas polares para calcular a integral
de e−(x
2+y2) sobre a regia˜o R1.
Resposta:
∫∫
R1
e−(x
2+y2) dxdy = pi4 (1− e−a
2
)
b) Repita o mesmo ca´lculo para a regia˜o R2.
Resposta:
∫∫
R2
e−(x
2+y2) dxdy = pi4 (1− e−2a
2
)
a
√
2a
R1 R2
c) Determine func¸o˜es g1(a) e g2(a) tais que g1(a) <
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy < g2(a).
Resposta: g1(a) =
pi
4 (1− e−a
2
) e g2(a) =
pi
4 (1− e−2a
2
)
d) Use o item anterior para calcular o limite lima→∞
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy.
Resposta: lima→∞
∫ a
0
∫ a
0 e
−(x2+y2) dxdy = pi4
e) Calcule finalmente o valor da integral
∫∞
0
e−x
2
dx.
Resposta:
∫∞
0
e−x
2
dx =
√
pi
2
4) Considere uma chapa CR limitada pela circunfereˆncia x
2 + y2 = R2, com densidade con-
stante δ0, uma part´ıcula de massa m0 situada no ponto (0, 0, b) e o problema de determinar
a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional entre esses corpos. Denote por G a constante gravitacional
e por dF (x, y) a forc¸a de atrac¸a˜o entre a part´ıcula e o elemento de massa dm(x, y) = δ0 dxdy
do ponto (x, y). Observe que, por simetria, as componentes horizontais de dF (x, y) e
dF (−x,−y) se cancelam, restando apenas as componentes verticais dessas forc¸as.
b
R
a) Use a lei de Newton para calcular ‖dF (x, y)‖.
Resposta: ‖dF (x, y)‖ = Gm0dm(x,y)(x2+y2+b2)
b) Determine o vetor unita´rio U(x, y) na mesma direc¸a˜o do vetor
de ponto inicial(0, 0, b) e ponto final (x, y, 0).
Resposta: U(x, y) = (x,y,−b)√
(x2+y2+b2)
c) Usando que dF (x, y) = ‖dF (x, y)‖ U(x, y), determine a
componente vertical dFv(x, y) de dF (x, y).
Resposta: dFv(x, y) = −Gm0 dm(x, y) b (x2 + y2 + b2)−(3/2)
d) Calcule a forc¸a de atrac¸a˜o entre CR e a part´ıcula usando um argumento infinitesimal.
Resposta: 2piGm0δ0[b(R
2 + b2)−1/2 − 1]
e) Passando o limite com R → ∞, verifique que a forc¸a de atrac¸a˜o entre a part´ıcula e
todo o plano Oxy, com densidade δ0, na˜o depende da distaˆncia b da part´ıcula ao plano.
Resposta: −2piGm0δ0
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