Integrais Múltiplas - Lista 4

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2013
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Denote por (x, y, z) o centro de massa do so´lidoQ, de densidade 1, limitado pelo parabolo´ide
z = x2 + y2, pelo cilindro x2 + y2 = 4x e pelo plano z = 0, conforme a figura. Se necessa´rio,
use que cos4(t) = 1
8
(cos(4t) + 4 cos(2t) + 3).
C E a) Em coordenadas cartesianas, tem-se que
Q = {(x, y, z);x2 + y2 ≤ 4x e 0 ≤ z ≤ x2 + y2}
C E b) Em coordenadas cil´ındricas, o so´lido corresponde a` regia˜o
Q̂ = {(r, θ, z); 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ r ≤ 4 cos(θ) e 0 ≤ z ≤ r2}
C E c) A massa de Q e´ maior do que 25pi.
C E d) Tem-se necessariamente que z < 16.
C E e) Tem-se necessariamente que y = 0.
x
y
z
2) A atmosfera alcanc¸a cerca de 100 × 103 m e possui massa aproximada de 5, 1 × 1018 kg.
Suponha a Terra esfe´rica de raio R m e denote por Q a regia˜o da atmosfera situada entre o
n´ıvel do solo e um altura de h0 m. Suponha ainda que a densidade nesta regia˜o, em kg/m
3
e na altura de h m, possa ser aproximada pela func¸a˜o δ(h) = a− b(R+ h), em que a e b sa˜o
constantes apropriadas.
h
a) Obtenha a expressa˜o da regia˜o Q em coordenadas cartesianas.
Resposta: Q = {(x, y, z);R2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ (R + h0)2}
b) Obtenha a expressa˜o da regia˜o Q em coordenadas esfe´ricas.
Resposta: Q̂ = {(ρ, θ, φ); 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ φ ≤ pi eR ≤ ρ ≤ R + h0}
c) Calcule a massa M de Q em termos das constantes a, b, R e h0.
Resposta: M = 4pi
[
a
3
ρ3 − b
4
ρ4
] ∣∣R+h0
R
d) Suponha agora R = 6.370 × 103 e h0 = 3 × 103. Enta˜o as constantes a = 619, 09 e
b = 9, 7× 10−5 fornecem um bom modelo para a densidade. Verificar que, neste caso,
M e´ maior do que 1, 5× 1018.
Resposta: M ≈ 1, 6× 1018
e) Nas condic¸o˜es acima verifique que, apesar da altura de Q ser de 3% da altura total,
essa regia˜o concentra mais de 30% da massa da atmosfera.
Resposta: 100× 1,6
5,1
> 30
Ca´lculo III Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2013 – 1/2
3) Seja C o disco no plano Oyz de equac¸a˜o (y − 2)2 + z2 ≤ 1. Seja ainda Q o so´lido obtido
por rotac¸a˜o de C em torno do eixo Oz, e suponha que Q tenha densidade constante δ0. Se
necessa´rio, use que
∫
1
−1
√
1− u2 un du e´ igual a 0 se n for ı´mpar, e´ igual a pi/2 se n = 0 e
igual a pi/8 se n = 2.
a) Esboce o disco C no plano Oyz, indicando as
intersec¸o˜es do disco com os eixos coordenados.
Resposta: ver figura abaixo.
b) Verifique que, se (r, θ, z) sa˜o as coordenadas cil´ındricas de
um ponto do so´lido, enta˜o a coordenada z esta´ em um
intervalo que depende apenas do raio r.
Resposta: −
√
1− (r − 2)2 ≤ z ≤
√
1− (r − 2)2.
z r
θ
C
x
y
c) Use o item anterior para obter a descric¸a˜o de Q em coordenadas cil´ındricas.
Resposta: Q̂ = {(r, θ, z); 0 ≤ θ ≤ 2pi, 1 ≤ r ≤ 3 e −
√
1− (r − 2)2 ≤ z ≤
√
1− (r − 2)2}.
1 2 3
d) Use o item anterior para calcular a massa M de Q.
Resposta: M = δ04pi
2
e) Calcule o momento de ine´rcia I de Q em relac¸a˜o ao eixo Oz. Em
seguida, determine r0 tal que I = r
2
0
M , e verifique que 1 < r0 < 3.
Resposta: I = δ04pi
238/8 = r20M , com r0 =
√
38/8
4) Se uma part´ıcula de massa m, a uma distaˆncia r do eixo Oz, gira em torno deste eixo
com velocidade angular ω, enta˜o a sua velocidade linear e´ v = r w e a sua energia cine´tica e´
igual a mv2/2. Isso permite calcular a energia cine´tica EC de uma bola homogeˆnea Q ⊂ R3,
de raio R e densidade δ0, girando em torno do mesmo eixo Oz com velocidade angular ω.
De fato, todas as part´ıculas de Q giram com a mesma velocidade angular, e EC e´ a soma
das energias cine´ticas dessas part´ıculas.
r
dm
a) Expresse a distaˆncia r do ponto (x, y, z) ∈ Q ao eixo de
rotac¸a˜o Oz.
Resposta: r =
√
x2 + y2.
b) Calcule a energia cine´tica dEC de uma part´ıcula de massa in-
finitesimal dm situada no ponto (x, y, z) ∈ Q.
Resposta: dEC = (1/2)dm(x
2 + y2)ω2.
c) Obtenha a expressa˜o de EC usando um argumento infinitesimal.
Resposta: EC =
∫∫∫
Q
(1/2)(x2 + y2)ω2δ0 dx dy dz.
d) Expresse a distaˆncia r em termos das coordenadas esfe´ricas.
Resposta: r = ρ sen(φ).
e) Calcule o valor de EC usando os itens anteriores e coordenadas esfe´ricas.
Resposta: EC = (4/15)piω
2δ0R
5.
Ca´lculo III Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2013 – 2/2