Mini Curso de Cálculo I

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Professor: Especialista Luiz Augusto. prof.luizaugusto@bol.com.brPág.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
COM LUIZ AUGUSTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uma breve história do estudo da Derivada 
 
 A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações 
das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, 
tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas 
aplicações aparecem todos os dias. A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de 
tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto 
dado. Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em 
qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para 
encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu métodos, todos um 
tanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas 
problemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos 
não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas. Problemas de movimento e 
velocidade, também básicos para nosso entendimento de derivadas hoje em dia, também surgiram com os 
gregos antigos, embora estas questões tenham sido originalmente tratadas mais filosoficamente que 
matematicamente. Os quatro paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C.) se apóiam sobre dificuldades para 
entender velocidade instantânea sem ter uma noção de derivada. Na Física de Aristóteles (384--322 a.C.), 
os problemas de movimento estão associados intimamente com noções de continuidade e do infinito (isto 
é, quantidades infinitamente pequenas e infinitamente grandes). Na época medieval, Thomas Bradwardine 
(1295--1349) e seus colegas em Merton College, Oxford, fizeram os primeiros esforços para transformar 
algumas das idéias de Aristóteles sobre movimento em afirmações quantitativas. Em particular, a noção de 
velocidade instantânea tornou-se mensurável, pelo menos em teoria; hoje, é a derivada (ou a taxa de 
variação) da distância em relação ao tempo. 
 Foi Galileu Galilei (1564--1642) quem estabeleceu o princípio que matemática era a ferramenta 
indispensável para estudar o movimento e, em geral, ciência: “Filosofia [ciência e natureza] está escrita 
naquele grande livro o qual está diante de nossos olhos quero dizer o universo, mas não podemos 
entendê-lo se não aprendermos primeiro a linguagem. O livro está escrito em linguagem matemática.” 
Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as proporções clássicas de Euclides e propriedades 
das cônicas de Apolônio para estabelecer relações entre distância, velocidade e aceleração. Hoje, estas 
quantidades variáveis são aplicações básicas das derivadas. O interesse em tangentes a curvas reapareceu 
no século 17 como uma parte do desenvolvimento da geometria analítica. Uma vez que equações eram 
então usadas para descreverem curvas, o número e variedade de curvas aumentou tremendamente 
naqueles estudos em épocas clássicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601--1665) foi o primeiro a 
considerar a idéia de uma família inteira de curvas de uma só vez. Ele as chamou de parábolas superiores, 
curvas da forma y = k

n, onde k é constante e n = 2, 3, 4, … A introdução de símbolos algébricos para 
estudar a geometria de curvas contribuiu significativamente para o desenvolvimento da derivada, da 
integral e do cálculo. Por outro lado, como conclusões e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais 
facilmente usando raciocínio algébrico que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados 
pelos gregos antigos foram relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros fatores) levou a 
controvérsias espirituosas e até amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algébrico para 
determinar os pontos mais altos (máximos) e mais baixos (mínimos) sobre uma curva; geometricamente, 
ele estava encontrando os pontos onde a tangente à curva tem inclinação zero. 
 
 
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Uma breve história do estudo da Integral 
 O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de 
quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de 
uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos 
uma curva. Para um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um sólido 
tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Hoje, o uso do termo quadratura não 
mudou muito: matemáticos, cientistas e engenheiros comumente dizem que "reduziram um problema a 
uma quadratura", o que significa que tinham um problema complicado, o simplificaram de várias maneiras 
e agora o problema pode ser resolvido avaliando uma integral. 
 Historicamente, Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas 
quando encontrou a área de certas lunas, regiões que se parecem com a lua próxima do seu quarto 
crescente. Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" (isto é, encontrar a área de 
um círculo) com uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado; segundo 
um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc., etc. Seu problema era o "etc., etc.". Como a quadratura do 
círculo de Antiphon requeria um número infinito de polígonos, nunca poderia ser terminada. Ele teria que 
ter usado o conceito moderno de limite para finalizar seu processo com rigor matemático. Mas Antiphon 
tinha o início de uma grande idéia agora chamado de método de exaustão. Mais de 2000 anos depois, 
creditamos a Eudoxo (cerca de 370 A.C.) o desenvolvimento do método de exaustão: uma técnica de 
aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, com aproximações 
melhorando a cada etapa e a área exata sendo obtida depois de um número infinito destas etapas; esta 
técnica foi modificada para atacar cubaturas também. 
 Arquimedes (287--212 a.C.), o maior matemático da antigüidade, usou o método de exaustão para 
encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes aproximou a área com um número grande de triângulos 
construídos engenhosamente e então usou o argumento da redução ao absurdo dupla para provar o 
resultado rigorosamente e evitar qualquer metafísica do infinito. Para o círculo, Arquimedes primeiro 
mostrou que a área depende da circunferência; isto é muito fácil de se verificar hoje em dia, uma vez que 
ambas as fórmulas dependem de p. Então Arquimedes aproximou a área do círculo de raio unitário usando 
polígonos regulares de 96 lados inscritos e circunscritos! Seu famoso resultado foi 3 10/71 < p < 3 1/7; 
mas como estas eram apenas aproximações, no sentido estrito, não eram quadraturas. Esta técnica 
refinou o método de exaustão, assim quando existe um número infinito de aproximações poligonais, 
chamamos de método da compressão. O processo de Arquimedes para encontrar a área de um segmento 
de uma espiral era comprimir esta região entre setores de círculos inscritos e circunscritos: seu método de 
determinar o volume de um conóide (um sólido formado pela rotação de uma parábola ao redor de seu 
eixo) era comprimir este sólido entre cilindros inscritos e circunscritos. Em cada caso, a etapa final que 
estabelecia rigorosamente o resultado era o argumento da reduçãoao absurdo duplo. 
 No seu possivelmente mais famoso trabalho de todos, um tratado combinado de matemática e 
física, Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o centro de gravidade de certas regiões 
bidimensionais e de certos sólidos tridimensionais. (Arquimedes reconheceu que, por um lado, seu trabalho 
sugeria a verdade de seus resultados, e por outro faltava um rigor lógico completo). Se considerarmos 
uma destas regiões sendo composta de um número infinito de retas, de comprimentos variados, então 
estas retas são chamadas de indivisíveis. Similarmente, quando a composição de um sólido tridimensional 
é pensada como um número infinito de discos circulares, de raios variados, mas com espessura zero, então 
estes discos são conhecidos como indivisíveis. 
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 Matemáticos muçulmanos dos séculos 9 a 13 foram grandes estudiosos de Arquimedes, mas nunca 
souberam da determinação de Arquimedes do volume de um conóide. Assim, um dos mais notáveis de 
todos matemáticos árabes, Thabit ibn Qurrah (826--901) desenvolveu sua própria cubatura, um tanto 
complicada, deste sólido; e então o cientista persa Abu Sahl al-Kuhi (século 10) simplificou 
consideravelmente o processo de Thabit. Ibn al-Haytham (965--1039), conhecido no ocidente como 
Alhazen e famoso por seu trabalho em ótica, usou o método de compressão para encontrar o volume do 
sólido formado pela rotação da parábola ao redor de uma reta perpendicular ao eixo da curva. Durante o 
período medieval no ocidente, progresso foi obtido aplicando as idéias de cálculo a problemas de 
movimento. William Heytesbury (1335), um membro do notável grupo de estudiosos do Merton College, 
em Oxford, foi o primeiro a vislumbrar métodos para a determinação da velocidade e a distância percorrida 
por um corpo supostamente sob "aceleração uniforme". Hoje, podemos obter estes resultados encontrando 
duas integrais indefinidas ou antiderivadas, sucessivamente. Notícias deste trabalho de Heytesbury e seus 
colegas de Merton alcançaram Paris posteriormente no século 14 onde Nicole Oresme (1320--1382) 
representou ambas a velocidade e o tempo como segmentos de reta de comprimentos variáveis. 
 
 1 - INTRODUÇÃO LIMITES 
 
A ideia de limite de uma função pode ser considerada de maneira intuitiva e de maneira formal, 
ambas são importantes para a compreensão desse conceito. Iniciaremos pelo conceito intuitivo e em 
seguida apresentaremos o conceito formal. 
O Conceito Intuitivo de Limite. 
O gráfico abaixo representa uma função. Observe-o um pouco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A observação do gráfico acima permite afirmar que: 
 Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela direita a imagem da função tem valores 
bem próximos de 3; 
 Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela esquerda a imagem da função tem valores 
bem próximos de 3; 
 Quando tomamos valores de x próximos bem de 4 pela direita a imagem da função tem valores 
bem próximos de -1 ; 
 Quando tomamos valores de x próximos bem de 4 pela esquerda a imagem da função tem valores 
bem próximos de 4; 
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 Quando tomamos valores de x bem próximos de 5 pela direita a imagem da função tem valores 
bem próximos de 3,5; 
 Quando tomamos valores de x próximos bem de 5 pela esquerda a imagem da função tem valores 
próximos bem de -1; 
 Quando tomamos valores de x próximos bem de 0 pela direita a imagem da função decresce 
infinitamente; 
 Quando tomamos valores de x próximos bem de 0 pela esquerda a imagem da cresce 
indefinidamente; 
 Quando tomamos valores de x bem próximos de -2 pela direita a imagem da função tem valores 
bem próximos de -3; 
 Quando tomamos valores de x bem próximos de -2 pela esquerda a imagem da função tem 
valores bem próximos de -3. 
 
Quando tomamos valores de x bem próximos de 1 pela direita e a função toma valores bem próximos 
de 3. Dizemos que x tende a 1 pela direita e que a imagem função tende a 3. 
 
Desse modo podemos afirmar que para a função representada pelo gráfico acima podemos afirmar que: 
 Quando x tende a 1 pela direita a imagem da função tende a 3. 
 Quando x tende a 1 pela esquerda a imagem da função tende a 3. 
 Quando x tende a -2 pela direita a imagem da função tende a -3. 
 Quando x tende a -2 pela esquerda a imagem da função tende a -3. 
 Quando x tende a 5 pela direita a imagem da função tende a 3,5. 
 Quando x tende a 5 pela esquerda a imagem da função tende a -1. 
 Quando x tende a 4 pela direita a imagem da função tende a -1. 
 Quando x tende a 4 pela esquerda a imagem da função tende a 4. 
 
Em linguagem mais formalizada a afirmação de que “Quando x tende a 1 pela direita a imagem 
da função tende a 3 .” É equivalente a afirmar que: O limite da função quando x tende a 1 pela 
direita é 3 . 
Assim, podemos afirmar que para a função representada pelo gráfico acima podemos afirmar que: 
 O limite da função quando x tende a -2 pela direita é -3. 
 O limite da função quando x tende a -2 pela esquerda é -3. 
 O limite da função quando x tende a 5 pela direita é 3,5. 
 O limite da função quando x tende a 5 pela esquerda é -1. 
 O limite da função quando x tende a 4 pela direita é -1. 
 O limite da função quando x tende a 4 pela direita é 4. 
 O limite da função quando x tende a -5 pela direita é 0. 
 O limite da função quando x tende a -5 pela direita é 0. 
Quando os limites de uma função à direita e a esquerda de um ponto são iguais dizemos que o 
limite da função no ponto existe e é o valor para o qual o valor da função tende. 
Quando os limites de uma função à direita e a esquerda de um ponto são diferentes dizemos que 
o limite da função no ponto não existe. 
Desse modo, temos que: 
 
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 O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 2 é –3; 
 O limite de função representada pelo gráfico no ponto x = -5 é 0; 
 O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 1 é 3; 
 O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 4 não existe; 
 O limite da função representada pelo gráfico no ponto x = 5 é não existe. 
 
Em linguagem simbólica a afirmação: “O limite da função f(x) quando x tende a 1 pela direita é 3 .” É 
representada por: 
lim
1x
f(x) = 3. 
Em linguagem simbólica a afirmação: “O limite da função f(x) quando x tende a 2 pela é -3.” É 
representada por: 
lim
2x
f(x) = 3. 
 
Assim, temos que: 
 
lim
1x
f(x) = 3. 
 
lim
5x
f(x)= 0. 
 
lim
4x
f(x) não existe. 
 
lim
5x
f(x) não existe. 
 Como acabamos de ver, por meio do gráfico de uma função é possível determinar o limite da 
mesma num x0 dado ponto por observação do comportamento da imagem função à direita e a esquerda de 
x0. Isso pode levar a idéia de que o conceito intuitivo de limite de uma função é suficiente. Entretanto, com 
o conceito intuitivo de limite não é possível se perceber resultados muito importantes acerca dos limites 
que são possíveis por meio de seu conceito mais formal. 
O Conceito formal. 
 O conceito de limite é apresentado mais formalmente da seguinte forma. 
 Definição: O limite de uma função f(x) quando x tende a x0 é L se e somente se para todo > 0 
existir um > 0 tal que, para todo x, se 0 <x – x0<, então f(x) – L <. 
 Em símbolos temos: 
Lxf
xx


)(lim
0
> 0 existir um > 0 tal que,x, se 0 <x –x0<, então f(x) –L<. 
Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto 
possivelmente em a. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L, e escrevemosSe para todo número 𝜀 > 0 há um número correspondente 𝛿 > 0 tal que 
| f(x) – L| 𝜀 < 0 sempre que 0 < |x – a| <𝛿 
Uma vez que |x – a| é a distância de x a a e | f(x) – L| é a distância de f(x) a L, e como pode ser 
arbitrariamente pequeno, a definição de um limite pode ser expressa como: 
 
Significa que a distância entre f(x) e L pode ser arbitrariamente pequena tornando-se a distância de x a a 
suficientemente pequena(mas não 0). 
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Uma interpretação geométrica pode ser dada, observando o gráfico da função e notando que uma escolha 
de um 𝜀 > 0 menor implica um 𝛿 > 0 menor, como mostrado nas figuras 3 e 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 - LIMITE DE UMA FUNÇÃO: 
Consideremos a função 
:f  
, definida por 
( ) 2 1f x x 
. Vamos estudar o limite de 
( )f x
quando
x
 tende a 1, ou seja, 
1
lim ( )
x
f x


2𝑥 + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1 
( ) 2 1f x x 
 2,8 2,98 2,998 2,9998 3 3,0002 3,002 3,02 3,2 
1
lim ( ) 3
x
f x


 ou 
1
lim2 1 2.1 1 3
x
x

    
Faça uma conjectura sobre o valor limite: 
 
Solução. Esta função não está definida para x=0 , então, fazendo os valores de x se aproximarem de 0 , 
tanto pela esquerda, quanto pela direita, pode-se construir a tabela 1. 
 
 
 
Para fazer o gráfico da função, pode-se simplificar algebricamente a expressão do limite. para x≠0 , tem-
se: 
 
( )f x
5
3
1
x
y
1 2 

 Aproximação pela 
direita 
Aproximação pela esquerda 
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Pode-se concluir que o gráfico da função é igual ao gráfico da função 𝑦 = 𝑥 + 1 + 1 para x≠0. 
 
 
 
 
 
 
Analisando os dados da tabela 1 e do gráfico dado pela figura, tem-se que: 
 
𝑥
 𝑥+1 −1
 → 2 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0 ( 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠) 
Logo, pode-se escrever: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙
 𝒙 + 𝟏 − 𝟏
= 𝟐 
Exemplo Resolvido 
Prove que existe o limite 
Inicialmente, devemos achar um 𝜹 tal que 
 4𝑥 − 5 − 7 < 𝜀 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 3 < 𝛿 
 Temos que 4𝑥 − 5 − 7 = 4𝑥 − 12 = 4 𝑥 − 3 = 4 𝑥 − 3 , então queremos 
 4 𝑥 − 3 < 𝜀 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 3 < 𝛿 ou, 
 𝑥 − 3 <
𝜀
4
 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 3 < 𝛿 
Então podemos escolher 𝛿 = 
𝜀
4
 
Agora, devemos mostrar que a escolha de 𝛿 funciona. 
Se 0 < 𝑥 − 3 < 𝛿 , então 
 4𝑥 − 5 − 7 = 4 𝑥 − 3 < 4 𝛿 = 𝛿 
 Ou seja , 4𝑥 − 5 − 7 < 𝜀 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 3 < 𝛿 
Portanto, pela definição de limite, 
 
Graficamente, temos a ilustração do exemplo na figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões Resolvidas 
Usando a definição de limite demonstre: 
1) 
x 2
lim(2 5x) 8

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 2
x 2
2x 2x 12
lim 10
x 2
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
x 3
lim(4 2x) 2

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f (x) L
2 5x ( 8)
2 5x 8
10 5x
5(2 x)
5. (2 x)
(2 x)
5
(x 2)
5
x 2
5
  
    
   
  
  
  

 

  

  
(Ida)  o
x x
x 2
5
  
  

 
x 2
5
5. (x 2)
5x 10
(10 5x)
(10 5x)
(2 5x) ( 8)
f (x) L

 
  
  
   
  
    
  
(Volta) 
2
f (x) L
2x 2x 12
10
(x 2)
2(x 3)(x 2)
10
(x 2)
2(x 3) 10
2x 6 10
2x 4
2(x 2)
2 x 2
x 2
2
  
  
   
 
  
   
 
   
   
  
  
  

  
(Ida) 
ox x
x 2
2
  
  

 
2
x 2
2
2. (x 2)
2(x 2)
2x 4)
2x 6 10
(2x 6) 10
2(x 3)(x 2)
10
(x 2)
2x 2x 12
10
(x 2)
f (x) L

 
  
  
  
   
   
 
  

  
   
 
  
(Volta) 
f (x) L
4 2x ( 2)
2x 4 2
6 2x
2.( x 3)
( x 3)
2
(x 3)
2
x 3
2
  
    
    
  
   

  

  

  
ox x
x 3
  
  
x 3
2
(x 3)
2
2.( x 3)
2x 6
2x 4 2
(4x 2x) ( 2)
f (x) L

 

  
   
   
    
    
  
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Questões Propostas 
 
Usando a definição de limite demonstre: 
 
1) 
x 2
lim(4x 1) 7

 
 2) 
x 4
lim(5 2x) 3

  
 
3) 
x 1
lim(5x 8) 3

 
 4) 
x 1
lim(4x 5) 9

  
 
S OPERATÓRIAS DE LIMITES: 
1) 
a a) 
66Lim
2x

 
 b) 
1111 Lim
4x


 c) 
88 Lim
2x

 
 
d) 
44 Lim
0x

 
 e) 
99 Lim
5x


 f) 
1212 Lim
6x

 
2) Limite da soma: 
)( Lim)( Lim])()([ Lim
000 xxx
xgxfxgxf
xxx 

 
Exemplos: 
a) 
122424x Lim Lim4x)( Lim 2
2x
2
2x
2
2x


xx
 
b) 
1 Lim3x Lim4xLim5 Lim1)3x4x5( Lim
2x2x
2
2x
3
2x
23
2x 
 xx
 
6312324251)3x4x5( Lim 2323
2x


x 
c) 
713143x Lim4xLim3x)4x( Lim 2
1x
2
1x
2
1x


 
d) 
83153 Lim5xLim3)5x( Lim 2
1x
2
1x
2
1x


 
e) 
4828228x Lim2xLim8x)2x( Lim 4
2x
4
2x
4
2x


 
3) Limite da diferença: 
)( Lim)( Lim])()([ Lim
000 xxx
xgxfxgxf
xxx 

 
Exemplos: 
a) 
42424x Lim Lim4x)( Lim 2
2x
2
2x
2
2x


xx
 
b) 
1 Lim3x Lim4xLim5 Lim1)3x4x-5( Lim
2x2x
2
2x
3
2x
23
2x 
 xx
 
2512324251)3x4x5( Lim 2323
2x


x
 
c) 
113143x Lim4xLim3x)4x( Lim 2
1x
2
1x
2
1x


 
d) 
23153 Lim5xLim3)5x( Lim 2
1x
2
1x
2
1x


 
e) 
3228228x Lim2xLim8x)2x( Lim 4
2x
4
2x
4
2x

 
4) Limite do produto: 
)( Lim)( Lim])()([ Lim
000 xxx
xgxfxgxf
xxx 

 
Exemplos: 
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a)
48412)22(232x Lim3 Limx)23( Lim 2
2x
2
2x
2
2x


xx
 
b)
6488)24(24x Lim Lim4x)( Lim 3
2x
3
2x
3
2x


xx
 
c)
62525125)55()5(55x Lim5 Lim5x)5( Lim 5
5x
5
5x
5
5x


xx
 
d)
1280516165)44(45 Lim4x Lim Lim5)x4( Lim 2
4x4x
2
4x
2
4x


xx
 
e)
15)13(1153x Lim xLim5Lim3x)x5( Lim 23
1x
2
1x
3
1x
23
1x


xx 
5) Limite do quociente: 
)(Lim
)(Lim
 
)(
)(
 Lim
0
0
0
x
x
x xg
xf
xg
xf
x
x
x



 , com 
0)(Lim
0x


xg
x
 
Exemplos: 
a)
  3
4
12
2
1xLim
Lim
1x
 Lim
2
2x
2
2x
2
2x









x
x
 
 
b)
  7
8
52
2
5xLim
Lim
5x
 Lim
3
2x
3
2x
3
2x









x
x
 
c)
  11
1
12.5
1
15xLim
Lim
15x
 Lim
2
1x
2
1x
2
1x









x
x
 
d)
  2
1
6
3
15
9
1xLim
4Lim
1x
4
 Lim
5x
5x
5x











xx
 
e)  
 
6
4
24
4
5154
1xLim
5513Lim
1x
5513
 Lim
3x
3x
3x











xx
xx
 
6) Limite da potência:    1lim ( ) lim ( )
o o
n
n n
x x x x
f x f x L
 
  
  
 
Exemplo: 
  82 Lim Lim 3
3
2x
3
2x






xx
 
a)
  82 Lim Lim 3
3
2x
3
2x






xx
 
b)
  813 Lim Lim 4
4
3x
4
3x






xx
 
c)
  2166 )9( Lim )9( Lim 3
3
3x
3
3x




 

xx
 
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d)
  648 )9( Lim )9( Lim 2
2
1x
2
1x




 

xx
 
b)
  5125 5 Lim )5( Lim 3
1
3
1
25x
6 2
25x






xx
 
Exercícios Propostos 
Usando as propriedades operatórias de limite calcular: 
1) 
1)2( Lim
3x


x
 
2) 
1)2(x Lim 2
2--x


x
 
3) 
9)37x(x Lim 23
3x


x
 
4) 
22
4x
)2(x Lim 

x
 
5) 
3
2
3x x
2x
 Lim


 
6) 
16x Lim 2
4x


 
7) 
2
4x
)9( Lim 

x
 
8) 
5
2x
)16( Lim x

 
9) 
3
5x
)8( Lim 

x
 
10) 2
x 3
(x 4x 12)
lim (7 x)
(x 2)
  
  
  
 
11) 23 2
2x 4
x 3x 2x 5
lim
2x 9x 2
   
 
  
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂𝒔: 1) 5 2) − 5 3) − 541 4) 3136 5) 
7
27
 6) 0 7) 25 8) 2 9) − 27 10) − 1 11) 
9
4
 
 
1.3 - LIMITES LATERAIS 
Definição (1): Seja 
f
uma função definida em um intervalo aberto 
] , [a b
. O limite de 
( )f x
, quando 
x
 
se aproxima de 
a
 pela direita, seja 
L
 e escrevemos 
lim ( )
x a
f x L


, se para todo 
0 
, existe 
0 
, tal 
que 
0 x a   
, então 
( )f x L  
, portanto: 
 lim ( ) 0, δ 0 / 0 ( )
x a
f x L x a f x L  

           
 
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Definição (2): Seja 
f
uma função definida em um intervalo aberto 
] , [a b
. O limite de 
( )f x
, quando 
x
 
se aproxima de 
a
 pela direita, seja 
L
 e escrevemos 
lim ( )
x a
f x L


, se para todo 
0 
, existe 
0 
, tal 
que 
0x a   
, então 
( )f x L  
, portanto: 
 lim ( ) 0, δ 0 | 0 ( )
x a
f x L x a f x L  

            
 
 
 
 
 
 
 
Questões propostas 
01) Calcule os limites indicados, se existirem; se o(os) limite(s) não existir(em), especifique a razão. 
1) 
3 2 se 1
( ) 2 se 1
4 1 se 1
x x
f x x
x x
 


  
 
a) 
1
lim ( )
x
f x

 = 1 b) 
1
lim ( )
x
f x

 = 5 c) 
1
lim ( )
x
f x

 = 

 
2) 3 2 se 1
( )
4 se 1
x x
f x
x x
  

  
 
a) 
1
lim ( )
x
f x

 = 5 b) 
1
lim ( )
x
f x

 = 5 c) 
1
lim ( )
x
f x

 = 5 
3) 2 3x + 2 se 3
( )
8 2 se 3
x x
f x
x x
  

 
 
a) 
3
lim ( )
x
f x

 = 2 b) 
3
lim ( )
x
f x

 = 2 c) 
3
lim ( )
x
f x

 = 2 
4) 
2
2
2 3 1 se 2
( ) 1 se 2
6 7 se 2
x x x
f x x
x x x
   



   
 
0
0
( )
logo:
lim ( )
x a
x a
x a
x a
x a f x L
f x L


 
 

  
   
   
    

( )f x
x
y
 a 
L
 
 D E
 
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a) 
2
lim ( )
x
f x

 = 1 b) 
2
lim ( )
x
f x

 = 1 c) 
2
lim ( )
x
f x

 = 1 
5) 
x + 1
 se 0
4
( )
1
 se 0
1
x
f x
x
x



 
 
 
a) 
0
lim ( )
x
f x

 = 1 b) 
0
lim ( )
x
f x

 = 
1
4
 c) 
0
lim ( )
x
f x

 = 

 
6) 2
3
+4 se 2
( )
 se 2
x x
f x
x x
 


 
a) 
2
lim ( )
x
f x

 = 2 b) 
2
lim ( )
x
f x

 = 8 c) 
2
lim ( )
x
f x

 = 

 
1.4 - CONTINUIDADE: 
Funções continuas são as funções que usamos para achar o ponto em que um planeta mais 
próximos do Sol ou pico de concentração de anticorpos no plasma sanguíneo. Elas também são as funções 
que usamos para descrever como um corpo se move através do espaço ou como a velocidade de uma 
reação química varia com o tempo. Na verdade, tantos processos físicos ocorrem de modo contínuo que 
durante os séculos XVIII e XIX raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo de comportamento. 
Foi uma surpresa quando os físicos de 1920 descobriram que a luz vem em partículas e que os átomos 
aquecidos emitem luz vem em partículas em freqüências distintas. Como conseqüência dessas e de outras 
descobertas e em função do grande uso de funções descontínuas na ciência da computação, na estatística 
e em modelos matemáticos, o tema da continuidade se tornou importante tanto prática como 
teoricamente. 
 
 
 
 
Gráfico de uma função continua) 
Uma função 
f
 é dita continua em 
( )ox
, se as três condições a seguir são satisfeitas: 
1) 
( )of x
 está definida e existe. 
2) 
lim ( )
ox x
f x

 existe. 
3) 
lim ( ) ( )
o
o
x x
f x f x


. 
y
x
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Demonstração: 
lim ( ) ( )
o
o
x x
f x f x


. 
)()()()( oo xfxfxfxf 
  Multiplicando e dividindo o 2º membro por 
)( oxx 
 
)(
)(
).()()()(
o
o
oo
xx
xx
xfxfxfxf



 
 
).(
)(
)()(
)()( o
o
o
o xx
xx
xfxf
xfxf 



 Aplicando a definição de 
lim
ox x
, obtemos: 
 
)(lim.
)()(
lim)]()([lim o
xx
o
o
xx
o
xx
xx
xx
xfxf
xfxf
ooo





 
 lim ( ) ( ) 0
lim ( ) ( )
o
o
o
x x
o
x x
f x f x
f x f x


 

 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 Uma função é dita contínua e m um intervalo 
( , )a b
 se é contínua em todos os pontos do intervalo; 
 Uma função que é contínua em toda a reta real 
( , ) 
 é dita contínua em toda a parte; 
 Uma função
( )f x
 é dita descontínua em 
ox
 se 
f
está definida em um intervalo aberto contendo 
ox
 
(com a possível exceção do 
ox
), e
( )f x
 não é contínua em 
ox
; 
 As descontinuidades podem ser de dois tipos: removível e não removível (ou essencial); 
 Uma descontinuidade em 
ox x
 é dita removível quando redefinimos o domínio 
( )f x
 
apropriadamente; 
 A descontinuidade é dita de 1ª espécie se os limites laterais existem e são diferentes; 
 A descontinuidade é dita de 2ª espécie quando não existem os limites laterais. Quando o ponto for a ou 
b consideramos apenas o limite lateral correspondente. 
Os seguintes tipos de funções são continuas em cada pontos de seus domínios: 

 Funções polinomiais; 

 Funções racionais; 

 Funções raiz (
ny x
, onde n é um inteiro positivo maior que 1); 
y
x
ox
0
y
x
|
ox
0
y
x
|
ox
0
 , ( )o ox f x
1) 
( )of x
 não é 
definida. 
2) 
lim
ox x
 não existe. 3) 
lim ( ) ( )
o
o
x x
f x f x


 
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
 Funções trigonométricas diretas; 

 Funções trigonométricasinversas; 

 Funções exponenciais; 

 Funções logarítmicas. 
 Como as funções continuas podem aparecer como combinações algébricas de funções continuas, 
são continuas em qualquer lugar onde elas sejam definidas: 
1.4 - Propriedades operatórias das funções continuas: 
(1) Teorema: Se f e g são funções continuas em a, então são continuas em a as funções f + g, f – 
g, f

g e 
f
g
, neste último caso, desde que 
g(a) 0
. 
Demonstrações: 
1) Como f e g são continuas em a, pela definição temos: 
lim ( ) ( )
x a
f x f a


 e 
lim ( ) ( )
x a
g x g a


. 
Para provarmos que f + g é contínua em a devemos provar a igualdade 
lim( )( ) ( )( )
x a
f g x f g a

  
. 
De fato: 
 lim( )( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )( )
lim( )( ) ( )( )
x a x a x a x a
x a
f g x f x g x f x g x f a g a f g a
f g x f g a
   

        
  
 
2) Como f e g são continuas em a, pela definição temos: 
lim ( ) ( )
x a
f x f a


 e 
lim ( ) ( )
x a
g x g a


. 
Para provarmos que f - g é contínua em a devemos provar a igualdade 
lim( )( ) ( )( )
x a
f g x f g a

  
. 
De fato:  lim( )( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )( )
lim( )( ) ( )( )
x a x a x a x a
x a
f g x f x g x f x g x f a g a f g a
f g x f g a
   

        
  
 
3) Como f e g são continuas em a, pela definição temos: 
lim ( ) ( )
x a
f x f a


 e 
lim ( ) ( )
x a
g x g a


 
Para provarmos que f

g é contínua em a devemos provar a igualdade 
lim( )( ) ( )( )
x a
f g x f g a

 
 
De fato:  lim( )( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )( )
lim( )( ) ( )( )
x a x a x a x a
x a
f g x f x g x f x g x f a g a f g a
f g x f g a
   

    

    
 
 
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4) Como f e g são continuas em a, pela definição temos: 
lim ( ) ( )
x a
f x f a


 e 
lim ( ) ( )
x a
g x g a


. 
Para provarmos que 
f
g
é contínua em a devemos provar a igualdade 
lim ( ) ( )
x a
f f
x a
g g
   
   
   
. 
De fato: 
lim ( ) ( )
lim ( ) lim ( )
lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
x a
x a x a
x a
x a
f xf f f a f
x a
g g g x g a g
f f
x a
g g

 


     
        
     
   
   
   
 
(2) Teorema: 
Se 
lim ( )
x a
g x b


 e se f é uma função continua em b, então 
lim( )( ) ( )
x a
fog x f b


, isto é, 
lim( )( ) (lim ( ))
x a x a
fog x f g x
 

. 
Demonstração: 
O teorema ficará demonstrado se provamos que: 
0, 0 | 0 ( )( ) ( )x a fog x f b            . 
Sabemos que f é continua em b, isto é 
lim ( ) ( )
y b
f y f b


, portanto, 
1 10, 0 | 0 ( ) ( )y b f y f b             (I) 
Por outro lado, 
lim ( )
x a
g x b


, isto é, 
1 10, 0 | 0 ( )x a g x b             (II) 
Se substituirmos y por g(x) em (I), teremos: 
1 10, 0 | 0 ( ) ( ( )) ( )g x b f g x f b             (III) 
Com base nas afirmações obtidas em (I) e (II), obtemos: 
10, 0 | 0 ( ) ( ( )) ( ) ( )( ) ( )g x b f g x f b fog x f b                
Observações: 
Este teorema continua válido se o símbolo “
x a
” for substituído por “
x a
” e “
x a
”. 
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(3) Teorema: 
Se a função g é continua em a e a função f é continua em g(a) então a função composta fog é 
continua em a. 
Demonstração: 
Considerando que g é continua em a, isto é, 
lim ( ) ( )
x a
g x g a


 e f é continua em g(a), pelo (2) 
teorema temos: 
lim(fog)(x) lim (g(x)) (lim(g(x)) ( ( )) (fog)( )
x a x a x a
f f f g a a
  
   
, o que prova que fog é continua em a. 
Questões Resolvidas 
01) Verifique se as funções 
f
são contínuas no ponto especificado: 
1) 3 se 0
( ) no ponto 0
2 se 0
x
f x x
x



 
1ª Condição: 
(0) 3f 
 
 
 
 Portanto a função não é contínua no ponto x = 0. 
2) 
2x 4
 se 2
( ) no ponto 22
4 se 2
x
f x xx
x
 
 
 
  
 
1ª Condição: 
( 2) 4f  
 
2ª Condição: 
2
2 2 2
( 2). ( 2)4
lim ( ) lim lim
2x x x
x xx
f x
x    
 
 
 ( 2)x  2
2
2 2 2
lim ( 2) ( 2 2) 4
( 2). ( 2)4
lim ( ) lim lim
2
x
x x x
x
x xx
f x
x

  

  
      
 
 
 ( 2)x  2
lim ( 2) ( 2 2) 4
x
x

      
 
3ª Condição: 
2
lim ( ) ( 2)
x
f x f

 
 
2ª Condição 
0 0
0
0 0
lim ( ) lim 3 3
lim ( )
lim ( ) lim 2 2
x x
x
x x
f x
f x
f x
 
 
 

 
  


  
 
3ª Condição 
0
(0) lim ( )
x
f f x


 
 Pontos Diferentes
2 3


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 Portanto a função não é contínua no ponto x = 2. 
3) 
3 10 se 4
( ) 2 se 4 no ponto 4
10 2 se 4
x x
f x x x
x x
 

 
  
 
1ª Condição: 
(4) 2f 
 
 
2ª Condição: 
4 4
4
4 4
lim ( ) lim(3 10) (3.4 10) (12 10) 2
lim ( ) 2
lim ( ) lim(10 2 ) (10 2.4) (10 8) 2
x x
x
x x
f x x
f x
f x x
 
 
 

 
       


       
 
3ª Condição: 
4
(4) lim ( ) 2
x
f f x

 
 
 Portanto a função é contínua no ponto 
4x 
. 
4) 
2
2
2 3 2 se 1
( ) 2 se 1 no ponto 1
2 se 1
x x x
f x x x
x x
   

 

 
 
1ª Condição: 
(1) 2f 
 
2ª Condição: 
1
lim ( ) 1
x
f x


 
3ª Condição: 
1
(1) lim ( )
x
f f x


 
 Portanto a função não é contínua no ponto 
1x 
. 
05) Determine 
a
 em cada função abaixo, para que a função seja contínua no ponto especificado: 
1) 
tg x
 se 0
( ) no ponto 0sen 2x
cos a se 0
x
f x x
x



 
 
|
 4 
E D
 
|
 1 
E D
 
|
 0 
E D
 
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1ª Condição: 
(0) cosf a
 
2ª Condição:
0 0 0
coslim lim lim
2 2. .cosx x x
sen x
sen xtgx x
sen x sen x x  
 
1
cos 2.x sen x

 
   
220 0
2 2
1 1
lim lim
2.cos.cos 2. cos
1 1 1
22. cos0 2. 1
x xxx x 
 
  
 
3ª Condição: 
0
1
(0) lim ( ) cos cos cos 2 ,
2 3 3x
f f x a a a k k
  

         
 
06) 3 2. 2 se 1
( ) no ponto 1
. 8 se 1
a x x
f x x
a x x
  

 
 
1ª Condição: 
(1) . 8 8 (1) 8f a x a f a      
 
2ª Condição: 
3 2
1 1
lim . 8 lim . 2
x x
a x a x
  
  
 
3 3 3
2
2
8 2 2 8 0 6 0
( 2).( 2 3) 0
( 2) 0
2
2 3 0
4 12
a a a a a a
a a a
a
a
a a
a
           
   
 

  
    
 
3) 
2 2 se 0
( ) se 0
 se 0
2 2
x x
f x a x
x
x
a

   



 
 
 
1ª Condição: 
(0)f a
 
3 a
3
6 2 a a
a
  
 2 2
2
2 2 3
 2
a a a
a
  
2
6 
2
a
a
 
 43
a
a

6 
 3a 6 
 0
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2ª Condição: 
 
 
 
22 2 2 2
2 2
0 0
2 2
2 2 2
( 2 2) 2 2 2 2 2 2
2 2 4.2( 2) ( 2) (2 2)
( 8).( 2 2) .( 2 2) lim ( 8).( 2 2) lim .( 2 2)
( 8).( 0 2 2) 0.( 2 2) ( 8).(2 2) 0
0
( 8) 8 0 8
(2 2)
2.4 como o de
x x
x a x a
x ax a
a x x a a x x a
a a a
a a a
a
  
     
   
    
            
 
        
       
   monimador nao pode ser igual a zero logo o sinal + e descartado ficando o - .
2 2a  
 
07) 
2
 se 4
( ) no ponto 44
3 se 4
x
x
f x xx
x a x
 

 
  
 
1ª Condição: 
(4) 3f x a 
 
2ª Condição: 
   
   
 
2 2
4 4 4
2 42 2
lim lim lim
4 2 4 2x x x
x xx x
x x x x
    
  
  
      
1
4x     4
1
lim
2 2
1 1 1
2 2 44 2
xx x


  
  

 
3ª Condição: 
4
lim 3 3.4 12
x
x a a a

    
 
logo igualando obtemos
1 1 1 48 47
12 12
4 4 4 4
a a a a

         
 
07) 
2
2 2
 se 0
( ) no ponto 0
3 4 se 0
x
x
f x xx
x x a x
  


   
 
0 0
lim lim
2 2 2 2x x
x x
x a
x
  

  

( 2 2)
2 2 ( 2 2)
x x
x x
 
 
   
.( 2 2)
2 2.( 2 2)
a
a a

 
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1ª Condição: 
2(0) 3 4f x x a  
 
2ª Condição: 
   
 
2 2
0 0 0
2 22 2 2 2
lim lim lim
2 2 2 2x x x
xx x x
x x x x  
    
  
    
2 2
1
x    0
1
lim
2 22 2
1 1 2 2 2
2.2 42 2 2 2 2
x xx 

  
    

 
3ª Condição: 
2 2
0
lim3 4 3.0 4.0
x
x x a a a

     
 
2
4
a 
 
08) 
2 3 15
 se 5
( ) no ponto 55
 se 5
x x
x
f x xx
a x
  


 
 
1ª Condição: 
(5)f a
 
2ª Condição: 
2
5 5
( 5)3 15
lim lim
5x x
xx x
x 
 


( 3)
5
x
x
 
 5
lim( 3) 5 3 2
x
x

    
 
3ª Condição: 
5
(5) lim ( ) 2
x
f f x a

  
 
7) 
2 16
 se 4
( ) no ponto 44
 se 4
x
x
f x xx
a x
 


 
 
1ª Condição: 
(4)f a
 
2ª Condição: 
2 x
2
8 15 5 x x
x
  
 5 3
 3
x x
x
 
 +15 
 3x 15
2
 
 0
8 15 ( 5).( 3)x x x x     
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2
4 4
( 4)16
lim lim
4x x
xx
x 



( 4)
4
x
x
 
 4
lim( 4) 4 4 8
x
x

    
 
3ª Condição: 
4
(4) lim ( ) 8
x
f f x a

  
 
09) Calcular os valores a e b para que a função f tenha limite no ponto x = 0: 
1) 3x + a se 0
( )
7x - b se 0
x
f x
x



 
0 0
0 0
0 0
lim ( ) lim 3 a a
lim ( ) lim ( ) a b
lim ( ) lim 7 b b
x x
x x
x x
f x x
f x f x
f x x
 
 
 
 
 
 
   

    
     
Questões Propostas 
01) Verifique se a função f é continua no ponto especificado: 
a) se 0
( ) no ponto 0
 1 se 0
sen x
x
f x xx
x



 
 
R: Continua 
b) 
1 cos
 se 0
( ) no ponto 0
 0 se 0
x
x
f x xx
x



 
 
R: Continua 
c) 
1 cos x
 se 0
sen x( ) no ponto 0
 1 se 0
x
f x x
x



 
 
R: Descontinua 
d) 
x sen x
 se 0
x sen x( ) no ponto 0
 1 se 0
x
f x x
x


 
 
 
R: Descontinua 
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f) 
2
3 2
x + x + 1 se 1
( ) 2 cos(πx) se -1 x 1 no ponto 1
x + 2x - x se 1
x
f x x
x
 

   


 
R: Continua 
02) Determine a em cada função abaixo, para que a função seja contínua no ponto especificado: 
a) 
3 8
 se 2
( ) no ponto 22
 se 2
x
x
f x xx
a x
 


 
 
R: 12 
b) 
3
 se 3
( ) no ponto 33
 se 3
x
x
f x xx
a x
 

 
 
 
R: 
1
2 3
 
c) 
3
 se 5
( ) no ponto 55 10
 se 5
x
x
f x xx
a x
 

  
 
 
R: 
2
 
d) 
2
2
3 5 2
 se 2
( ) no ponto 22
3 se 2
x x
x
f x xx
ax x x
  


   
 R: - 4 
4.1 - LIMITES INFINITOS 
Definição (1): Seja 
f
uma função e suponhamos que exista 
a
tal que 
] , [ ( )a D f 
. Definimos: 
1) 
 lim ( ) 0, 0, com 0, tal que ( )
x
f x L x f x    

         
 
2) 
 lim ( ) 0, 0, com 0, tal que ( )
x
f x L x f x    

          
 
Definição (2): Seja 
f
uma função, 
a
 um número real e suponhamos que exista 
b
, tal que 
] , [ ( )a b D f
. Definimos: 
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 lim ( ) 0, δ 0, com , tal que ( )
x a
f x a b a x a f x   

            
 
 
 
 
 Fazendo algumas modificações podem ser definidas também: 
1)
lim ( )
x a
f x

 
 4)
lim ( )
x a
f x

 
 7)
lim ( )
x a
f x a

 
 
2)
lim ( )
x
f x

 
 5)
lim ( )
x a
f x

 
 
3) 
lim ( )
x
f x

 
 6)
lim ( )
x a
f x

 
 
Teorema: 
Sejam f e g funções tais que 
lim ( ) c 0
x a
f x

 
 e 
lim ( ) 0
x a
g x


. Então. 
I) 
f(x) f(x)
lim se 0
g(x) g(x)x a
  
 quando x está próximo de a. 
II) 
f(x) f(x)
lim se 0
g(x) g(x)x a
  
 quando x está próximo de a. 
Este teorema continua válido se substituirmos 
( )x a
 for substituído por 
( )x a
 ou 
( )x a
. 
Teoremas: 
1)  lim ( ) lim ( ) ( )
lim ( ) lim ( ). ( )
x x
x x
f x f x g x
g x f x g x
 
 
      
 
     
 
2) lim ( ) , real lim ( ). ( ) , se 0
lim ( ) lim ( ). ( ) , se 0
x x
x x
f x L L f x g x L
g x f x g x L
 
 
     
 
      
 
3) 

lim ( )
lim ( ). ( )
lim ( )
x
x
x
f x
f x g x
g x



 
  
 
 
4) 

lim ( ) , real
lim ( ) ( )
lim ( )
x
x
x
f x L L
f x g x
g x




   
 
 
( )f x

x
y
xa a b
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5) 

lim ( ) , real
lim ( ) ( )
lim ( )
x
x
x
f x L L
f x g x
g x




   
 
 
 
6)  lim ( ) lim ( ) ( )
 
lim ( ) lim ( ) ( )
x x
x x
f x f x g x
g x f x g x
 
 
      
 
      
 
7) lim ( ) , real lim ( ) ( ) , se 0
lim ( ) lim ( ) ( ) , se 0
x x
x x
f x L L f x g x L
g x f x g x L
 
 
      
 
       
 
Os teoremas acima continua válido se substituirmos 
( )x
 por 
()x
 ou por 
( )x a
 
ou por 
( )x a
 ou por 
( )x a
. 
Observação: O teorema acima mostra como operar com os símbolos 

 e 

: 
1) 
( )   
 4)
( ) , se 0L L    
 
2) 
( )   
 5)
( ) , se 0L L    
 
3)
( ) , se 0L L    
 6)
( ) , se 0L L     
Em muitas situações os limites laterais não existem devido ao fato de os valores da função crescer ou 
decrescer indefinidamente. Por exemplo,analisando o comportamento da função 𝒇 𝒙 = 
𝟏
𝒙
 nas 
proximidades de x = 0 , pode-se construir a tabela 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Analisando os dados apresentados na tabela 2 e através da figura que mostra o gráfico da função fica 
evidente o seguinte: à medida que x fica mais próximo de 0 pela esquerda, os valores de 𝒇 𝒙 = 
𝟏
𝒙
 são 
negativos e decrescem indefinidamente e à medida que x fica mais próximo de 0 pela direita, os valores de 
𝒇 𝒙 = 
𝟏
𝒙
 são positivos e crescem indefinidamente. Logo o comportamento da função 𝒇 𝒙 = 
𝟏
𝒙
 nas 
proximidades de 0, pode ser resumido da seguinte forma: 
1
𝑥
→ − ∞ 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0− 𝑒 
1
𝑥
→ + ∞𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0+ 
daí tem-se: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒑−
𝟏
𝒙
= −∞ 𝒆 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒑+
𝟏
𝒙
= +∞ 
Definição 3. Uma reta x= p é chamada de assíntota vertical do gráfico de uma função f (x) se f (x) 
tende a +∞ ou −∞, quando x tende a p pela esquerda ou pela direita. 
 
Às vezes se está interessado em saber o comportamento da função não em torno de um ponto específico p 
, e sim quando a variável x cresce ou decresce indefinidamente. Isto é chamado de comportamento final 
da função,pois descreve como a função se comporta para valores de x que estão longe da 
origem.Novamente considera-se a função 𝒇 𝒙 = 
𝟏
𝒙
 , mas agora para valores de x que estão bem distantes 
da origem. Fazendo x crescer e decrescer sem limitação, pode-se construir a tabela 3. 
 
 
 
Definição 4. Se os valores de f (x) subseqüentemente ficam cada vez mais próximos de um número L , à 
medida que x cresce sem limitação; ou seja: 
f (x)→ L quando 𝑥 → +∞ , então escreve-se: lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿 
Definição 5. Se os valores de f (x) subseqüentemente ficam cada vez mais próximos de um número L , à 
medida que x decresce sem limitação; ou seja: 
f (x)→ L quando 𝑥 → −∞ , então escreve-se: lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿 
Logo, podem-se descrever os comportamentos limitantes da função 𝒇 𝒙 = 
𝟏
𝒙
 da seguinte forma:
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
 
𝟏
𝒙
 = 𝟎 𝒆 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
 
𝟏
𝒙
 = 𝟎 
4.2 - LIMITES NO INFINITO 
Teorema: 
I) Se c 

, então 
lim c c
x

 
II) Se n é um número inteiro e positivo, então: 
i) 
nlim x +
x
 
 
ii) 
n
+ se n é par
lim x 
- se n é imparx

 

 
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III) Se n é um número inteiro e positivo, então: 
n
1
lim 0
xx

 
IV) Se f(x) = 
2 n
0 1 2 na a x a x a x   
 e 
na 0
 é uma função polinomial então: 
i)
n
nlim ( ) lim (a x )
x x
f x
 

 ii) 
n
nlim ( ) lim (a x )
x x
f x
 

 
V) Se 2 n
0 1 2 n n
2 m
0 1 2 m m
f(x) = a a x a x a x e a 0 
 
g(x) = b b x b x b x e b 0
     

    


, são funções polinomiais então: 
i)
n - mn
m
af(x)
lim lim x
g(x) bx x 
 
  
 
 ii) 
n - mn
m
af(x)
lim lim x
g(x) bx x 
 
  
 
 
Questões resolvidas 
1) Calcule os limites das funções abaixo: 
1) 2
31
4 3
lim
( 1)x
x x
x
 

 
( 1)x 
3
.( 3)
( 1)
x
x


2
3
( 1)
3 0
3
1
x
x
x
x
x

  

 


 
2)
21
3 2
lim
( 1)x
x
x


 
 
3 2 0
2
3
1
x
x
x
 
 

 
3)
0
45
3
lim
3 1
x x x x
   
 
4 0
0 
x
x


 
4) 
3
1
lim
3x
x
x


 
 

3

1

1 
 E D
 

2
3


1

1
 
 E D
 

0
D


0

0
 I
 II


3

3
 
 E

1
prof.luizaugusto@bol.com.br Página 29 
 
 
 
 
 
 
5) 6 4
2
2 3 2 1
lim
8 5x
x x x
x x
  
 
 
 
 
 
 
 
6) 2 22
2
2
2
( 1 ( 1 1)1)
lim
( 1 1)x
x x x x
x x x
x x x
x
x

         
    
 
2 2 2 2 2 2
2 2
2 22 2
2
( 1) ( 1) 1 ( 1)
lim lim
1 1 1 11 1 1 1
. 1 . 1. 1 . 1
lim
x x
x
x x x x x x x x
x xx x
x x x xx x x x
x
 

         

               
   

21x x  
2 2 2 2
1 2 2
lim
1 1 1 1 1 1 1 1
. 1 . 1 . 1 1
.
lim
x
x
x x
x x x
x x x x x x x x
x


  

 
          
 

2
.
x
x
x
 
 
 
2 2
2
lim
1 1 1 1
1 1
x
x
x
x x x x



 
     
 
1
1
x

2
1
x

1
1
x
 
2
1
x

2 2 2
1
1 1 21 1
   

 
7)
lim
x
x x x

 
= 1 1
lim 1 lim . 1
x x
x x x
x x 
 
     
 
1
. 1
x
 
 
 
.1.1
 
    
 
 
8) 2
2
2( ).( 3 4 )
( 3 4
3 4
l
)
im
x
x x x
x
x
x x
x x

  
 


  
 I
1 0
1
x
x
 

 II
3 0
3
x
x
 

 Toda vez que a tendência do limite for 

 ou 

, será 
necessário colocar em evidência o maior expoente do 
polinômio envolvido na operação. 
6 4 6 2 2
2 5 5 2
6
2
3 2 1 8 5
2 3 2 1 . 2 8 5 . 1
3
. 2
lim
x
x x x x x x x
x x x x x
x
x

   
              
   

5
2
x

5
1
x

2 8. 1x
x
 
 
 

2
5
x

4 4lim .2 ( ) .2
x
x

    
 
 
 
0
0
0
00
0
0
0
0 0
prof.luizaugusto@bol.com.br Página 30 
 
2 2 2 2
2
( 3 4) ( )
lim lim
3 4x x
x x x x
x x x 
  

  
23 4x x  
2
2 2
2
4
. 3
lim
3 4 3 4
1 . 1
4
. 3 .
lim lim
3 4
. 1
x
x x
x
x
x x x x
x x x x
x x
x
x x
x x

 
 
 
 
      
            
         
 
 
  
 
    
 
4
3
.
x
x
 
 
 
2
4
3
lim
3 4
1 1
x
x
x x



 
    
 
3
1
x
 
2
4
x
 1
3 3 3
lim
1 1 01 1x

    
  
 
2 2 2 2
2
( 3 4) ( )
lim lim
3 4x x
x x x x
x x x 
  

  
23 4x x  
2
2 2
2
4
. 3
lim
3 4 3 4
1 . 1
4
. 3 .
lim lim
3 4
. 1
x
x x
x
x
x x x x
x x x x
x x
x
x x
x x

 
 
 
 
      
            
         
 
 
  
 
    
 
4
3
.
x
x
 
 
 
2
4
3
lim
3 4
1 1
x
x
x x



 
    
 
3
1
x
 
2
4
x
 1
3 3 3
lim
1 1 01 1x
    
  
 
Exercícios Resolvidos 
a) a) 
l im
x x

7
0
 
 
b) 
l im
x x



3
1
0
3
 
 
c)
 
0
1
x
1
 Lim
22x



 
 
d)
  













4
432
4234 3lim
1112
3lim123lim x
xxxx
xxxxx
xxx 
 
e) 

 1
3
lim
21 x
x
x
 
 Para sabermos o sinal da resposta com x tendendo a 1 pela direita, podemos fazer x=1,1 e 
verificar qual é o sinal da função. 
 f(x) = 
 
0
11,1
1,13
1
3
22




x
x
 
 Se a função é positiva para x =1,1, o limite tende a +. 
 
0
0 0
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f) 

 1
3
lim
21 x
x
x
 
 Fazendo x = 0,9, temos: 
 f(x) = 
 
0
19,0
9,03
2



, logo, o limite tende a . 
g) 
0
7
lim 
 xx
 
h) 
0
1
3
lim
3



 xx 
0
1
0
14
1
3121
lim
14
32
lim
14
32
lim)
74
7652
77
3
7
7
777
2
7
5
37
25












xx
xxxx
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xx
xxx
i
x
xx
 
 j) 






43
4
2
5
21
1
1
lim
2
lim
xx
x
xx
xx
xx
 
Exercícios propostos 
a)
 253lim 2 

xx
x
 
b) 
12
13
lim
2
3


 xx
xx
x
 
c) 
12
13
lim
2
23


 x
xx
x
 
d) 
13
32
lim
2
2


 xx
xx
x
 
e) 
13
lim
2  xx
x
x
 
f) 
3
2
5lim
xx


 
g) 
23
1
lim
2


 x
x
x
 
h) 
234
125
lim
4
4


 xx
xx
x
 
i) 
32
12
lim
4
3


 xx
x
x
 
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j) 
3
2 3
lim
 x
x
x
 
 
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂𝒔:𝑎)∞𝑏)∞𝑐)∞𝑑)∞𝑒) 
1
3
𝑓) 0 𝑔) 5
3
𝑕) 
1
3
𝑖)
5
4
𝑗) 0 𝑙) 0 
1.4 CASOS EM QUE O NUMERADOR E O DENOMINADOR TENDEM A ZERO 
Exercícios resolvidos 
 
a) 
2lim
2
)2(
lim
2
2
lim
22
2
2







x
x
xx
x
xx
xxx 
 
b) 
  
 
    2
1
11
1
lim
11
11
lim
11
1111
lim
11
lim
00
00












xxx
x
xx
xx
x
x
xx
xx
 
c) 3
0
( 1 1)
lim
x
x
x
 

 
3 3 2 2
3 3
2 2
33
( ) ( ).( . )
.
( 1
a b a b a a b b
a b
a b
a a b b
a x
    

 
 
  3)
3 3
1
(1) 1
1
x
b
x
 
 
 1
2 23 3 2 33
0
( 1) ( 1).(1) 1 ( 1) 1 1
lim
x
x
x x x x
x


       
2 33 ( 1) 1 1x x
x
   
3 32 20 3 33 3
1 1 1 1 1
lim
1 1 1 31 1 1( 1) 1 1 (0 1) 0 1 1x x x
    
         
 
d) 
31
1
lim
2 3 1x
x
x


 
 
 
3 3 33
3 3 3
( 2 3) 2 3
(1) 1
a x a x
b b
    
  
 
 
 
0
0
0
0
3 3
2 2 2 2 23 3 33 3 3
2 3 1 2 2 2.( 1)
. (2 3) 2 3.1 1 (2 3) 2 3 1 (2 3) 2 3 1
a b x x x
a b
a a b b x x x x x x
    
    
             
 I
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21 133
1
2.( 1)
lim lim ( 1)
(2 3) 2 3 1x x
x
x
x
x x 


 
   
2 33 (2 3) 2 3 1
.
2. ( 1)
x x
x
   

2 33
1
2 2 3 3 33 33
(2 3) 2 3 1
lim
2
(2.( 1) 3) 2.( 1) 3 1 ( 2 3) 2 3 1 1 1 1 1 1 1 3
2 2 2 2 2
x
x x

   

               
    
 
 
Exercícios propostos 
1) 2
2
23
4 292
523
lim 







 xx
xxx
x
 5) 
113
2653
lim
3 2
3
1 

 xx
xx
x
 
 
2) 











 2
124
7lim
2
3 x
xx
x
x
 6) 






 bxb
x
x 0
lim
 
 
3) 
lim
x a
x x a a
x a
 
   
 7) 







 tttt
1
1
1
lim
0
 
4) 
23
352
lim
23
2
1 

 xx
xx
x
 8) 
1
27
lim
3
1 

 x
x
x
 9) 
3
96
lim
2
3 

 x
xx
x
 
10)
1
123
lim
2
1 

 x
xx
x
 11)
25
2510
lim
2
2
5 

 x
xx
x 
12) 
9
81
lim
2
4
3 

 x
x
x
 
 13) 
1
12
lim
2
2
1 

 x
xx
x 
14) 
1
43
lim
2
2
1 

 x
xx
x
 15) 
4
6
lim
2
3
2 

 x
xx
x
 
 
Respostas: 
1)
4
9
 2) -1 3) 3a 4)
3
1
 5) -3 6)
b2
 7)
2
1

 8)
12
1
 9) 0 10) 4 11) 0 12) 18 13) 0 14) 5/2 
15) 5/4 
 
1.5 LIMITES FUNDAMENTAIS 
 
Objetivos: 
 Apresentar o limite exponencial fundamental; 
 Apresentar o limite fundamental trigonométrico; 
 Calcular limites envolvendo o limite exponencial fundamental; 
 Calcular limites envolvendo o limite fundamental trigonométrico. 
 
Introdução 
Vejamos a seguinte situação-problema! 
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Como cresceria um depósito bancário ao longo do tempo se os juros, ao invés de serem creditados 
anualmente ou semestralmente, o fossem em intervalos de tempos cada vez menores, até que os 
acréscimos pudessem ser considerados instantâneos e sobre eles, imediatamente incidissem as mesmas 
taxas de juros? 
 
Este problema foi proposto por Jacques Bernoulli, matemático suíço, no século XVII. 
A resolução do problema levou a necessidade de calcular o seguinte limite 








n
n
n
Lim
1
1
. 
Vejamos alguns valores de n
n







1
1
! 
Para n = 10 temos que n
n







1
1
= 2.59374246010000 
Para n = 100 temos que n
n







1
1
= 2.70481382942153 
Para n = 1000 temos que n
n







1
1
= 2.71692393223559 
Para n = 10000 temos que n
n







1
1
= 2.71814592682493 
Para n = 100000 temos que n
n







1
1
= 2.71826823719230 
Como podemos observar que à medida que n aumenta o valor n
n







1
1
converge para um valor próximo 
de 2,7182818284. 
 
O matemático suíço Loenardo Euler ( pronuncia-se Oiler) dedicou-se ao problema proposto por 
Jacques Bernoulli e concluiu que o valor do limite 








n
n
n
Lim
1
1
é um número que converge para próximo 
2,7182818284. 
Anos depois outro matemático provou que o valor de 








n
n
n
Lim
1
1
é um número irracional. 
Hoje o número resultante do cálculo de 








n
n
n
Lim
1
1
é representado pela letra e em homenagem 
ao matemático Euler. 
 Assim, podemos chegar ao seguinte resultado 








n
n
n
Lim
1
1
= e. 
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Vejamos um teorema, sem sua demonstração que amplia dos naturais para os reais a variável n. 
Teorema:Seja f a função definida em { xR x< -1 ou x > 0} por f(x) = x
x







1
1
, então 








x
x
x
Lim
1
1
= e . 
 
 
 
 
Agora vejamos as seguintes proposições que são conseqüências do limite exponencial fundamental! 
Proposição 
 Seja f a função definida em { xR x< -1 ou x > 0} por f(x) = x
x







1
1
, então 








x
x
x
Lim
1
1
= e . 
Demonstração: 
Seja f a função definida em {xR x< -1 ou x > 0} por f(x) = x
x







1
1
. 
Fazendo x = - (w+1) e notando que se x tende a - então w tende a +. 
 Assim, temos que 








x
x
x
Lim
1
1
= 










w
w
w
Lim
)1(
1
1
1
 
 = 









w
w
w
w
Lim
)1(
1
 
 = 







 
w
w
w
w
Lim
)1(
1 
O limite 








n
n
n
Lim
1
1
= e 
O limite de f a função definida em 
{ xR x< -1 ou x > 0} por f(x) = x
x







1
1
que é 








x
x
x
Lim
1
1
= e é 
denominado limite exponencial fundamental. 
prof.luizaugusto@bol.com.br Página 36 
 
 = 









w
w
w
Lim
1
1
1
 
 = 





















w
w
ww
Lim
1
1
1
1
= 













 ww
LimLim
w
w
w
1
1
1
1
= e  1 = e 
 
Desse modo, fica demonstrado que se f é uma função definida em { xRx < -1 ou x > 0 } por 
f(x) = x
x







1
1
, então 








x
x
x
Lim
1
1
= e . 
Proposição 
 Seja f a função definida em { xR  -1< x ≠ 0} por f(x) = 
 xx
1
1
, então 
 x
x
xLim
1
0
1

= e . 
Demonstração: 
 Seja f a função definida em { xR  -1< x ≠ 0} por f(x) = 
 xx
1
1
. 
 Fazendo x =
y
1
 temos que y = 
x
1
 . 
 Assim, temos que 
 quando x tende a 0+ , y tende a +; 
 quando x tende a 0- , y tende a - . 
 
Desse modo, obtemos: 
1)
 x
x
xLim
1
0
1

= y
y y
Lim 







1
1
= e ; 
2)
 x
x
xLim
1
0
1

= y
y y
Lim 







1
1
= e . 
 Como 
 x
x
xLim
1
0
1

 = 
 x
x
xLim
1
0
1

 = e então 
 x
x
xLim
1
0
1

= e , como queríamos demonstrar. 
Agora vejamos a aplicação do limite exponencial e suas conseqüências no cálculo de alguns limites. 
 
 Exemplo 1: 
 
 Calcular x
x x
Lim
3
1
1 







. 
 Solução: 
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 Como 
3
3
1
1
1
1





















xx
xx
então 
 x
x x
Lim
3
1
1 







= 
3
1
1
















x
x x
Lim
=
3
1
1
















x
x x
Lim
 = e 3. 
 
 Exemplo 2: 
 Calcular x
x x
Lim 







4
1
. 
Solução: 
 Fazendo w= 
4
x
temos que x = 4w . 
Assim, quando x tende a +, w também tende a +. 
Desse modo, 
x
x x
Lim 







4
1
= w
w w
Lim
4
1
1 







= 
4
1
1
















w
w w
Lim
= 
4
1
1
















w
w w
Lim
= e4 
1.6 TEOREMA DO CONFRONTO 
 
 
 
 
 
1) 
lim ( )
ox x
g x L


, 
lim ( )
ox x
h x L


, logo 
lim ( )
ox x
f x L


 
 Sendo 
lim g( ) lim h( )
o ox x x x
x x
 

 e se 
( )f x
 é tal que 
( ) ( ) ( )g x f x h x 
 para todo 
 I ox x 
 em 
que I é intervalo aberto que contém 
ox
, estão 
lim ( )
ox x
f x L


. 
Demonstração: 
 
 1 1lim ( ) 0, δ 0 / 0 ( )
o
o
x x
g x L x x g x L  

           
. 
 
 2 2lim ( ) 0, δ 0 / 0 ( )
o
o
x x
h x L x x h x L  

           
. 
Admitindo que existe 
 min 1 2δ δ ,δ
, tais que 
0 
, 
0 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
g x L
g x L
L g x L

 
 
 
   
   
( )
( )
( )
h x L
h x L
L h x L

 
 
 
   
   
y
x
L
( )g x
( )f x
( )h x
ox
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Somando as desigualdades (1) e (2): 
 
 
 
 
 
 
 
1.7 O limite trigonométrico fundamental 
Agora vamos ver um resultado importante no cálculo devido, entre outros motivos, o mesmo 
possibilitar a determinação do valor de outros limites. 
Teorema: 
Seja f a função definida em R – {0} por f(x) = 
x
senx
 então 
Lim
x 
x
senx
= 1. 
Demonstração: 
Seja f a função definida em R – {0} por f(x) = 
x
senx
. 
Consideremos a figura abaixo 
 
Suponhamos que o raio da circunferência é 1. 
Seja x a medida em radianos do arco 
MOA
 . 
Limitando a variação de x ao intervalo (0 , 
2

 ) podemos da observação da figura acima concluir 
que: 
área do triângulo MOA < a área do setor MOA < área do triângulo AOT. 
 
Que equivale a afirmar que 
2
`MMOA
< 
2
AMOA
< 
2
ATOA
. 
 
Multiplicando a desigualdade acima por 2 temos que 
 
OA
 

'MM
 < AO  MA  < AO  TA 
 
Como o raio AO é 1 então a ultima desigualdade é equivalente a 
( ) ( ) , por outro lado ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) , onde podemos concluimos que
( )
( )
( ) , logo
lim ( )
ox x
L g x h x L g x f x h x
L g x f x h x L
L f x L
f x L
f x L
f x L
 
 
 
 


      
     
   
   
 

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`MM
< AM<
AT
 
 
Da figura podemos concluir que 
`MM
 = senx , AM= x e 
AT
 = tgx. 
 
Assim, a desigualdade 
`MM
< AM<
AT
se torna equivalente a senx < x < tgx . 
Como senx > 0 para x em (0 , 
2

 ), dividindo a desigualdade acima por senx obtemos a seguinte 
desigualdade 
 1 < 
senx
x
 < 
xcos
1
 
Invertendo os termos da desigualdade teremos a inversão da desigualdade que nos dá a seguinte 
relação que é equivalente a ultima desigualdade 
 1 > 
x
senx
 > cosx 
Como as funções 
x
senx
 e cosx são pares temos que 
 
)(
)(
x
xsen


=
x
senx
 e cos(-x)= cosx. 
Assim, podemos concluir que a desigualdade 
1 > 
x
senx
 > cosx 
é válida para todo x ≠ 0. 
 Calculando o limite de cada termo da desigualdade quando x tende a zero obtemos a seguintes 
desigualdade 
 
Lim
x 0
 1 < 
x
senx
Lim
x 0
< 
xLim
x
cos
0
 
Como 
Lim
x 0
 1 = 1 e 
xLim
x
cos
0
 = 1 entãopelo teorema do confronto podemos afirmar que 
x
senx
Lim
x 0
 = 1. 
Assim, demonstramos que 
x
senx
Lim
x 0
 = 1. 
 
 
 
 
 
Agora vejamos algumas aplicações do limite trigonométrico fundamental no cálculo de outros 
limites. 
 Exemplo 3: 
O limite 
x
senx
Lim
x 0
= 1 é conhecido como 
limite trigonométrico fundamental! 
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 Calcular 
x
xsen
Lim
x
3
0
. 
 Solução: 
Como 
x
xsen
Lim
x
3
0
 = 
x
xsen
Lim
x 3
33
0
= 


3
0
Lim
x x
xsen
Lim
x 3
3
0
 = 3.1= 3, então 
podemos concluir que 
x
xsen
Lim
x
3
0
 = 3. 
 Exemplo 4: 
 Calcular 
xsen
xsen
Lim
x 7
3
0
. 
 Solução: 
Como 
xsen
xsen
Lim
x 7
3
0
= 
x
xsen
x
xsen
Lim
x
7
3
0
= 
x
xsen
x
xsen
Lim
Lim
x
x
7
3
0
0

 = 
x
xsen
x
xsen
Lim
Lim
x
x
7
77
3
33
0
0

 =
x
xsen
x
xsen
LimLim
LimLim
xx
xx
7
7
7
3
3
3
00
00




 = 
17
13


= 
7
3
. 
Assim podemos concluir que 
xsen
xsen
Lim
x 7
3
0
 = 
7
3
. 
 
RESUMO 
 








n
n
n
Lim
1
1
é um número irracional aproximadamente igual a 2,7182818284; 
 O número 








n
n
n
Lim
1
1
 é representado por e em homenagem ao matemático suíço Leonardo Euler; 
 Se f é a função definida em { xR x< -1 ou x > 0} por f(x) = x
x







1
1
, então 








x
x
x
Lim
1
1
= e ; 
 O 








x
x
x
Lim
1
1
= e é denominado limite exponencial fundamental. 
 








x
x
x
Lim
1
1
= e; 
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 
 x
x
xLim
1
0
1

= e; 
 O limite 
x
senx
Lim
x 0
=1 é conhecido como limite trigonométrico fundamental! 
 
Como conseqüência do limite trigonométrico fundamental apresentamos. 
 
1) 0
1 cos x
lim 0
xx


 2) 0
tg x
lim 1
xx

 
 
Exercícios resolvidos 
01) Calcular os limites trigonométricos abaixo: 
 
a) 0
5 5
lim
5x
sen x
x


 
 
b) 0
3
lim
2x
sen x
sen x

 
 
c) 20
1 sec
lim
x
x
x


 
 
 
 
 
 
 
 
d) 4
cos
lim
1x
sen x x
tg x



 
 
 
 
e) 
0
3 2
lim
x
sen x sen x
sen x
 
 
 
 
0 0
5 5
lim5 5 lim 5.1 5
5 5
Teorema
x x
sen x sen x
x x 
    

1
0 0
1
0 0
0
0
3 3 3 3
3 lim3 3 lim
3.1 33 3 3lim lim
2 2 2 2.1 2
2 lim 2 22 2 2 lim
2
x x
x x
x
x
sen x sen x sen x sen x
x x x x
sen x sen x sen x
sen xx x x
x
 
 


  
    
 



2 2 2 2
1 cos 1
1
cos 1 1 cos 1cos cos
cos .cos
x
x xx x
x x x x x x


 
   
2 2 2
2 2 2 2
22
2
1
2
0 0
cos 1 (cos 1) cos 1 (1 cos )
.cos (cos 1) .cos .(cos 1) .cos .(cos 1) .cos .(cos 1)
1 1
cos .(cos 1) cos .(cos 1)
1
lim lim
cosx x
x x x x sen x
x x x x x x x x x x x x
sen x senx
x x x x x x
senx
x x 
     
   
   
  
     
    
 
  
 

1 1 1 1 1
1 1 1 1
.(cos 1) cos .(cos 1) 1.(1 1) 1.(1 1) 2 2x x x
            
   
4 4 4
4
cos cos cos
lim lim lim cos
cos cos
1
cos cos
lim ( cos )
x x x
x
sen x x sen x x x
sen x x
sen x x sen x x sen x
x x
sen x x
  

  

 
   
 

 
cos
( cos )
x
sen x x

 
4
2
lim cos cos
4 2x
x


     
3cos3 3 4
2 2 cos
x sen x sen x
sen x sen x x
    
   
3
0 0
.3 4 2 cos
lim lim
x x
sen xsen x sen x sen x x
sen x 
      
 
 
2(3 4 2 cos )sen x x
sen x
   
2
0
2 2
0
lim3 4 2 cos
lim3 4 ( ) 2 cos 3 4 ( 0) 2 cos0 3 4 0 2 1 3 2 1
x
x
sen x x
sen x x sen


 
     
  
                 
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f)
4
2
2lim
2
x
sen x
x
 


 
g) 
2
20
5
lim
x
x
sen
x
 
 
  
 
 
 
h) 
lim
x a
tg x tg a
x a


 
 
 
 
 
 
i) 
π
2
π
3
2
lim
6 3πx
sen x
x
 
  
 

 
 Mudança da variável e conseqüência, mudança da tendência do limite. 
 
π π π
2 2 2
0
π π π
3
3 12 2 2
lim lim lim
π π π6 2
6
2 2 2
1 1 1
lim 1
2 2 2
x x x
t
sen x sen x sen x
x x x
sent
t
  

     
        
        
     
        
     
   
 
j) 45 2
lim
5 1
x
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
2 4 42 cos
2 4 2 2
x x
sen x sen x sen sen
 

   
    
         
   
   
22
2 25 25
25 5
x x
x
 
     
 
 
2
2 2
2
2 20 0 0
1
1 1 1 15 5 5
lim lim lim 1
25 25 25 25
25
55 5
x x x
x x x
sen sen sen
xx x  
      
                   
     
            
 
2
0
0
2
2
x t
t
x
x



 

 

cos cos ( )
( ) 1cos cos cos cos cos coslim lim lim lim
cos cos ( )
( ) 1 ( ) 1 1
lim lim lim 1 lim
( ) cos cos ( ) cos .cos c
x a x a x a x a
x a x a x a x a
x xsen sena sen a x sena sen x a
sen x ax a x a x a
x a x a x a x a x a
sen x a sen x a
x a x a x a x a
   
   
   
    
    
 
    
  
2
2
1
1
os .cos cos .cos
1
sec a
cos a
x a a a
 
 
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QUESTÕES PROPOSTAS 
 Calcule os limites abaixo 
01) x
x x
Lim
7
1
1 







= 02) x
x x
Lim 







3
1
= 
03) 43
1
x
x x
Lim 







= 04) bx
x x
a
Lim 







1
= 
05) x
x x
x
Lim 





 1
= 06) x
x x
Lim
3
1
1 







= 
07) x
x x
Lim
2
3
1 







= 08) x
x x
x
Lim 







 3
4
= 
09) x
x x
x
Lim 







 1
2
= 10) 3
1
4










x
x x
x
Lim
= 
11) 
x
xsen
Lim
x
5
0
= 12) 
x
xsen
Lim
x 3
5
0
= 
13) 
)(
)(
2
2
0 xx
xxsen
Lim
x 


 = 14) 
)23(
)23(
2
2
2 

 xx
xxsen
Lim
x
= 
15) 
x
senx
Lim
x
2
0
 = 16) 
2
0 x
senx
Lim
x
 = 
17) 
1
)1(
2
0 

 x
xsen
Lim
x
=