P1 Heloisa - Calculo 2B

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Primeira VE Ca´lculo II - B – prof: Heloisa Bauzer Medeiros
1o semestre de 2010
So´ sera˜o aceitas respostas com justificativa e/ou contas indicadas e claras
O crite´rio de correc¸a˜o e´: certo × errado, desconsiderando-se erros de pouca
relevaˆncia conceitual.
Quest~ao 1. (0,5 cada item)Responda cada um dos itens a seguir.
a) Defina uma func¸a˜o cujo conjunto de n´ıvel 0 e´ a reta y = x em R2.
b)Defina uma func¸a˜o cujo conjunto de n´ıvel 0 e´ o plano y = x em R3.
c) Diga dois pontos diferentes do gra´fico de f(u, v) = (u2 + v2, u2 − v2).
d) Descreva duas func¸o˜es diferentes, f e g, tais que C e´ conjunto de n´ıvel
de f se e somente se C e´ conjunto de n´ıvel de g.
e)Esboce a imagem de f(x) = (x, x2).
f) Encontre uma func¸a˜o g cujo gra´fico e´ a imagem da func¸a˜o f do item
anterior.
g) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` imagem da func¸a˜o h(x) = (3x2,
√
x)
no ponto (48, 2).
Quest~ao 2. (1 pt)Considere F (x, y, z) = (x + y, x − y, z − x2). Calcule a
derivada de F no ponto (1, 3, 2).
Quest~ao 3. (2 pts)
F , G, H, W sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em todo o seu domı´nio. Sobre elas
se sabe:
F (1, 1) = (2, 1, 3) G(1, 2, 0) = (3, 2) H(3,−1) = 2 W (0) = (5, 1, 1)
F (1, 2) = (1, 0, 1) G(1, 0, 2) = (1, 2) H(1, 2) = 7 W (1) = (2, 0, 1)
F (−1, 5) = (3, pi, 2) G(1, 0, 1) = (3,−1) H(0, 2) = 4 W (2) = (4, 3, 2)
Denote por DF (x, y), DG(x, y, z), DH(x, y),DW (x), as derivadas de cada
uma das func¸o˜es nos respectivos pontos. Com esta notac¸a˜o, escrevaD(W◦H◦
G ◦F )(1, 2) na˜o esquecendo de colocar em que ponto as derivadas devem ser
calculadas. Quantas linhas e quantas colunas tem a derivada da composta?
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Quest~ao 4. (1,5 pts)Seja F (x, y) = (x2, y2) Obtenha uma aproximac¸a˜o de
grau 1 de F na vizinhanc¸a do ponto (1, 0). Calcule o valor da aproximac¸a˜o
em (1, 1
5
).
Quest~ao 5. (2,0 pts)Seja F (x, y, z) = 2(x−y). Descreva os conjuntos de n´ıvel
de F . (Obs: embora na˜o fac¸a muita diferenc¸a para esta questa˜o, talvez voceˆ
se sinta mais a` vontade em lembrar que ax := exln(a)).
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