Extração de Raízes Quadráticas

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Extração de Raízes Quadráticas
(radiciação)
Resumo do Método
Extração de Raízes Quadráticas
Vídeo explicativo (assista direto se não quiser ler os slides)
O que é um quadrado (noção básica)
Componentes de uma raiz quadrática
Reconhecendo um quadrado perfeito
Discussão sobre o método de radiciação
Quantidade de algarismos previsíveis da solução
Algarismos finais previsíveis da raiz resultante
Desenhando o radical para a radiciação
Exercícios propostos
O Que é Um Quadrado (Noção Básica)
3
3
25
25
Reconhecendo um Quadrado Perfeito
Um número é quadrado perfeito quando a sua raiz quadrada é um número inteiro. Apenas observando o último algarismo de um número, pode-se saber se ele NÃO tem uma raiz perfeita, ou se é um candidato a tê-la.
Algarismos finais de raízes perfeitas impossíveis
2
3
7
8
Isso acontece porque não existe nenhum número que multiplicado por ele mesmo tenha um resultado cujo último algarismo seja um desses acima.
todos os outros números (0, 1, 5 6 e 9) são candidatos a terem raízes perfeitas
componentes de uma raiz quadrática
Conhecendo os nomes das partes de uma raiz quadrática.
Método
Existem diversos métodos disponíveis para a extração de raízes quadráticas, alguns bons, outros nem tanto, alguns complicados, outros nem tanto; alguns dedicados a raízes exatas, outro a raízes inexatas; métodos voltados a radicandos com três algarismos, e alguns àqueles com cinco ou mais. Existem métodos deficientes e até métodos falhos.
Temos métodos voltados à radiciação de números até 10.000 e outros métodos para número maiores do que este, e assim por diante. Há também os que não são métodos, mas apenas utilização de algumas propriedades da radiciação.
Lembremos que cada método possui suas características com sequências a serem seguidas, tabelas, nomenclaturas, etc...
Não vejo sentido em aprender diversos métodos, sendo um para cada tipo de radiciação, pois julgo melhor aprender apenas um que sirva bem a todos os casos. E ainda que para determinado caso um método seja mais rápido que o outro, o tempo ganho na resolução é tão ínfimo, que nada tira o mérito de se utilizar apenas um método. Pelo contrário, o uso deste único método aqui estudado é sólido e simples o bastante para que seja justificado por si mesmo.
Assim posto, vamos abordar o método unificado que irá servir para todos os casos de radiciação, sejam eles exatos, inexatos, decimais, para valores pequenos ou enormes.
Quantidade de algarismos previsíveis da resolução
Pode-se saber quantos algarismos a raiz terá apenas olhando para o radicando. Para isso se deve agrupar os algarismos do radicando em pares, sempre da direita para a esquerda, ou, como se diz, do fim para o começo.
A raiz de 186624 terá 3 algarismos, pois existem três pares de números: 18, 66 e 24.
A raiz de 2304 terá 2 algarismos, pois existem dois pares de números: 23 e 04.
A raiz de 64516 terá três algarismos, pois existem três pares de números: 06, 45 e 16. Aqui, para melhor visualização, colocamos um zero antes do seis, para que este possa formar um par.
Possíveis algarismos finais da raiz resultante segundo o algarismo final do radicando inicial
Radicandos
Possíveis AlgarismosFinais da Raiz
Terminadosem1
1
9
Terminados em4
2
8
Terminados em5
5
Terminados em6
4
6
Terminados em9
3
7
Saber os possíveis algarismos finais de uma raiz facilita a finalização do cálculo.
Esses algarismos finais são sempre previsíveis, porque quando elevados ao quadrado - ou seja, quando são multiplicados por eles mesmos - resultam em um número cujo último algarismo coincide com o último algarismo do radicando.
Exemplos
O radicando 4624 só pode ter uma raiz terminada em 2 ou 8 porque 2x2=4 e também porque 8x8=64.
O radicando15129 só pode ter uma raiz terminada em 3 ou 7 porque 3x3=9 e também porque 7x7=49
O radicando 635 só pode ter uma raiz terminada em 5 porque 5x5=25.
Ou seja, pode-se saber qual é o último algarismo da raiz, o que já é grande parte do cálculo, antes mesmo de propriamente se iniciar a radiciação.
A importância de compreender essa tabela é que quando chegarmos ao ponto de calcular o último algarismo da raiz não será necessário fazer toda a multiplicação, bastando apenas armar a conta, e se os valores não coincidirem para um dos algarismos previsíveis, então o outro algarismo é o correto.
Desenhando o radical para solucionar a raiz
Desenho de uma divisão
Desenho de uma radiciação
dividendo
divisor
resultado
resto
radicando
resultado
resto
pensemos que o desenho de uma radiciação assemelha-se ao desenho de uma divisão, como pode ser visto nos dois desenhos abaixo. E é também interessante ter em mente que este método de radiciação assemelha-se à divisão devido à facilidade de serem solucionadas, tanto uma quanto o outra; apenas o resultado muda de lugar, mas os números a serem tratados – o dividendo na divisão, e o radicando, na radiciação – ficam localizados no mesmo lugar.
Vídeo
Explicativo
Análise do Vídeo
00:10 – Tabela de algarismos finais.
01:00 – Radiciação do número 56.169 – e aqui já se sabe que este número terá o algarismo da raiz resultante sendo 3 ou 7, pois 3x3=9 e 7x7=49
01:20 – Aqui já se sabe que a raiz terá 3 algarismos, pois o número foi quebrado em 3 pares, a saber, 05, 61 e 69.
03:20 – A multiplicação aqui fica restrita aos números 3 e 7 e isso facilita tudo, pois se não for um, só poderá ser o outro. Com efeito, como já é sabido que a raiz terá três algarismos, e já foram calculados os dois primeiros, neste momento não se faz necessário fazer todo o cálculo para a descoberta do terceiro algarismo, basta armar a conta da multiplicação, e se o valor não der certo para 233, então só poderá ser 237.
04:05 – Radiciação de 329.476 e já sabemos que a raiz terá 3 algarismos e que o último será 4 ou 6 porque 4x4 = 16 e 6x6=36.
06:10 – Radiciação do número dois que é RAIZ INEXATA, possuindo vírgula. Neste caso a tabela de algarismos finais não tem validade.
Radiciação de 37 que também possui RAIZ INEXATA.
Exercício Proposto
Encontre a raiz dos seguintes números
186.624
361
841
37 (inexato)
329.476
2.965.284
10 (inexato)
15.129
64
64.516
4.624
3 (inexato)
9.437.184
1.024
2 (inexato)
2.304
48 (inexato)
5.776
Dica de Procedimento
Arma-se o radical nos moldes da divisão
Agrupa-se o radicando em algarismos pares
Definem-se os possíveis números para ocupar o último algarismo da raiz
Procedem-se os cálculos
Curiosidade: um quadrado perfeito multiplicado por 4 várias vezes sempre resultará em um quadrado perfeito.