GST1073 10

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA - GST1073
Semana Aula: 10
Função de Segundo Grau: Máximos e Minimos
Tema
Função de Segundo Grau: Máximos e Minimos
Palavras-chave
Objetivos
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Estrutura de Conteúdo
1. MÁXIMO E MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO
 
Seja f uma função real de variável real. A função f admite valor máximo se, e somente 
se, existe xmax, xmax Î D ( f ), tal que: f (xmax) ³ f (x), "x, x Î D ( f ).
O número f (xmax) é chamado de valor máximo da função f .
O número xmax é chamado de ponto de máximo da função f.
 
Seja f uma função real de variável real. A função f admite valor mínimo se, e somente se, 
existe xmin, xmin Î D ( f ), tal que: f (xmin) £ f (x), "x, x Î D ( f ).
O número f (xmin) é chamado de valor mínimo da função f .
O número xmin é chamado de ponto de mínimo da função f.
 
 
2. CONCEITO DE MÁXIMO E MÍNIMO APLICADO À FUNÇÃO DO 2O GRAU
 
Seja f : R ® R tal que f (x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c} Ì R e a ¹ 0.
 
 f admite valor de máximo se, e somente se, a < 0. Seu valor de máximo é yv = 
 e seu ponto de máximo é xv = .
 f admite valor de mínimo se, e somente se, a > 0. Seu valor de mínimo é yv = 
 e seu ponto de mínimo é xv = .
 
Note que estes pontos de mínimo e máximo correspondem respectivamente aos 
vértices, quando a > 0 (mínimo) ou a < 0 (máximo).
 
Resumo:
 
a < 0 a > 0
 
Exemplo:
 
Determine o valor mínimo e o ponto de mínimo da função y = 2x2 + 2x + 1.
 
O valor mínimo é yv = , com D= b2 – 4ac. Para a função em questão, a = 2, b = 
2 e c = 1. Então, D = 22 – 4 x 2 x 1 = – 4. Logo yv = Þ yv = .
O ponto de mínimo é xv = . Para a função em questão, a = 2, b = 2 e c = 1. 
Então, xv = Þ xv = – .
 
 
 
 
3. VARIAÇÃO DE SINAL DE UMA FUNÇÃO DO 2O GRAU
 
De um modo geral, a discussão da variação de sinal de uma função do 2o grau, f (x) = ax2 
+ bx + c, recairá sempre em um dos seguintes casos:
 
 
 
Exemplo:
a. Dada a função do 2o grau y = 2x2 – x – 1, obtemos os pontos de intersecção de 
seu gráfico com o eixo Ox, atribuindo o valor zero à variável y e resolvendo a 
equação 2x2 – x – 1 = 0.
Calculando primeiro o valor de D, temos: D= b2 – 4ac Þ D= (-1)2 – 4 · 2 · (-1) = 
9.
Como D> 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x1, 0) e 
(x2, 0), onde x1 e x2 são as raízes da equação. Determinando x1 e x2, temos:
x = Þ x = \ x1 = 1, x2 = – 
Sabemos ainda que o coeficiente de x2 é positivo (a > 0); logo, a parábola tem 
concavidade voltada para cima. O valor da função será negativo para o intervalo 
do domínio ] -1/2, 1[ e positivo, para ] - ¥, - 1/2[ È ] 1, + ¥ [.
Estratégias de Aprendizagem
Indicação de Leitura Específica
Aplicação: articulação teoria e prática
1. (UCMG) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
 
2. (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x 
+ 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – 
C(x) seja máximo, devem ser vendidas:
a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades E) 4 unidades
 
3. Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é ponto de 
máximo ou mínimo.
a) f(x) = x2 – 4x + 3 
b) f(x) = – x2 – x + 2 
c) f(x) = 4x2 + 4x + 1
 
4. (F.C.CHAGAS) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem 
um valor:
a) mínimo igual a –16, para x = 6 
b) mínimo igual a 16, para x = -12 
c) máximo igual a 56, para x = 6 
d) máximo igual a 72, para x = 12 
e) máximo igual a 240, para x = 20.
 
5. (F.C.CHAGAS) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 – 24x +1. O valor 
mínimo de f é:
a) 73 b) 71 c) –71 d) –73 e) –79
 
6. (PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50m de corda. A 
área desse terreno expressa como função do comprimento x de um dos lados é:
a) A(x) = -x2 + 25x para x ³ 0 
b) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25
c) A(x) = -3x2 + 50x para x ³ 0 
d) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3
 
7. (FGV) Uma parede de tijolos será usada como um dos 
lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos 
usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área 
máxima. Qual o quociente do lado menor pelo maior?
 
 
 
 
8. (UFSCAR) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de 
futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ³ 0), onde t é o 
tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, 
após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo. 
b) a altura máxima atingida pela bola.
Considerações Adicionais
Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, 
indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e 
desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, volume 1: Conjuntos e 
Funções. Rio de Janeiro: Atual. 2004.