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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA - GST1073 Semana Aula: 9 Função de Segundo Grau Tema Função de Segundo Grau Palavras-chave Objetivos Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: Estrutura de Conteúdo A função quadrática é um ótimo exemplo para uma série de situações problemas das mais variadas. Seu aspecto gráfico (a parábola) é bastante conhecido e, nesta aula, a fim de construirmos e analisarmos os gráficos de funções de segundo grau, começaremos obtendo e estudando os pontos notáveis da parábola. 1. FUNÇÃO QUADRÁTICA Toda função do tipo y = ax2 + bx + c, com {a, b, c} Ì R e a ¹ 0, é chamada de função quadrática ou função do 2 o grau. Exemplos: a. y = 3x2 – x – 2 b. f (x) = 4x2 – 2 c. f (x) = d. y = x2 O gráfico de uma função do tipo f (x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c} Ì R e a ¹ 0, é uma parábola. A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo. Considerando a parábola de equação , Se , a parábola possui concavidade para cima. Se , a parábola possui concavidade para baixo. 2. PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA Alguns pontos da parábola, por facilitarem a construção do gráfico da função do 2o grau, merecem destaque. Vejamos quais são eles. Intersecção com o eixo Ox Para obtê-los a partir de y = ax2 + bx + c, basta atribuirmos o valor zero à variável y e resolver a equação: ax2 + bx + c = 0. (I) Utilizamos a fórmula de Bhaskara, x = , onde D = b2 – 4ac. Se a equação (I) tiver D > 0, então terá duas raízes reais e distintas: x1 ¹ x2. Assim, os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox são (x1, 0) e (x2, 0). Se a equação (I) tiver D = 0, então terá duas raízes reais e iguais: x1 = x2. Assim, a parábola será tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. Se a equação (I) tiver D < 0, então não terá raízes reais. Assim, a parábola não terá ponto em comum com o eixo Ox. Resumindo esquematicamente: Exemplo: a. y = 2x2 – x – 1, pontos de intersecção de seu gráfico com o eixo Ox: 2x2 – x – 1 = 0. D= b2 – 4ac Þ D= (-1)2 – 4 · 2 · (-1) = 9. Como D> 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x1, 0) e (x2, 0), onde x1 e x2 são as raízes da equação. Determinando x1 e x2, temos: x = Þ x = \ x1 = 1, x2 = – Sabemos ainda que o coeficiente de x2 é positivo (a > 0); logo, a parábola tem concavidade voltada para cima: b. f (x) = – 4x2 – 12x – 9, fazendo f (x) = 0, ou seja, – 4x2 – 12x – 9 = 0, obtemos as raízes de f. Temos: D= b2 – 4ac Þ D= (-12)2 – 4(-4)(-9) = 0. Como D= 0, temos duas raízes reais e iguais (x1 = x2). Portanto a parábola tangencia o eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. Determinando essas raízes, temos: x = Þ x = \ x1 = x2 = – O coeficiente de x2 é negativo (a < 0); logo, a parábola tem concavidade voltada para baixo: c. y = 2x2 + x + 1, fazendo y = 0, temos 2x2 + x + 1 = 0. Temos: D= b2 – 4ac Þ D= (1)2 – 4 · 2 · 1 = - 7. Como D< 0, a equação não possui raízes reais. Isso significa que a parábola correspondente ao gráfico da função não tem ponto comum com o eixo Ox. Sabemos ainda que o coeficiente de x2 é positivo (a > 0); logo, a parábola tem concavidade voltada para cima: O ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy Para obtê-lo a partir de y = ax2 + bx + c, basta atribuirmos o valor zero à variável x: y = a · 02 + b · 0 + c Þ y = c Assim, o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é (0, c). Exemplo: Para esboçar o gráfico da função y = x2 – 6x + 5, vamos obter os pontos de intersecção com os eixos Ox e Oy. Fazendo y = 0, temos x2 – 6x + 5 = 0. D= b2 – 4ac Þ D= (-6)2 – 4 · 1 · 5 = 16. Logo, x = Þ x = \ x1 = 5, x2 = 1 Portanto, a parábola intercepta o eixo Ox nos pontos (5, 0) e (1, 0). Fazendo x = 0, temos y = 02 – 6 · 0 + 5 Þ y = 5. Então, a parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, 5). O esboço do gráfico é: O vértice da parábola Outro ponto notável da parábola é o seu vértice. O vértice V é o ponto de intersecção da parábola com seu eixo de simetria e. O vértice V(xv, yv) da parábola de equação y = ax2 + bx + c, com {a, b, c} Ì R e a ¹ 0, é o ponto V , onde D = b2 – 4ac. Exemplo: No exemplo anterior, vimos o esboço gráfico da função y = x2 – 6x + 5. Traçando o eixo de simetria e dessa parábola, vemos que seu vértice V pertence a e, conforme abaixo: A abscissa de V é o ponto médio do segmento de extremos (1, 0) e (5, 0), ou seja, x = 3. Substituindo x por 3, obtemos a ordenada do vértice: y = 32 – 6 · 3 + 5 Þ y = -4. Portanto, o vértice da parábola é o ponto V(3, -4). Estratégias de Aprendizagem Indicação de Leitura Específica Aplicação: articulação teoria e prática Sugestão de Exercícios 1) Calcular os zeros das seguintes funções: a) f(x) = x2 - 3x – 10 b) f(x) = – x2 – x + 12 c) f(x) = – x2 + 4x – 4 d) f(x) = 36x2 + 12x + 1 2. Calcular m para que: a) a função f(x) = (m – 3)x2 + 4x – 7 seja côncava para cima. b) a função f(x) = (2m + 8)x2 – 2x + 1 seja côncava para baixo. c) a função f(x) = (m2 – 4)x2 – 4x + 3 seja quadrática. 3. (UFMG) Sendo f : R ® R uma função definida por f(x) = x2 –1, calcule: a) b) 4. (PUC) A função quadrática y = (m2 – 4)x2 – (m + 2)x – 1 está definida quando: a) m ¹ 4 b) m ¹ 2 c) m ¹ -2 d) m = -2 ou +2 e) m ¹ ± 2 5. (MACK) O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 – 2x + k; então, k pode ser: a) -2 b) -1 c) 2 d) 3 e) 4 6. (FUVEST) O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2). Então f(-2/3) vale: a) b) c) d) e) Considerações Adicionais Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e desenvolvimento do Plano de Aula. Bibliografia IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, volume 1: Conjuntos e Funções. Rio de Janeiro: Atual. 2004.
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