GST1073 9

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA - GST1073
Semana Aula: 9
Função de Segundo Grau
Tema
Função de Segundo Grau
Palavras-chave
Objetivos
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Estrutura de Conteúdo
A função quadrática é um ótimo exemplo para uma série de situações problemas das mais 
variadas. Seu aspecto gráfico (a parábola) é bastante conhecido e, nesta aula, a fim de 
construirmos e analisarmos os gráficos de funções de segundo grau, começaremos 
obtendo e estudando os pontos notáveis da parábola.
 
 
1. FUNÇÃO QUADRÁTICA
Toda função do tipo y = ax2 + bx + c, com {a, b, c} Ì R e a ¹ 0, é chamada de função 
quadrática ou função do 2 o grau.
Exemplos:
a. y = 3x2 – x – 2 
b. f (x) = 4x2 – 2 
c. f (x) =
d. y = x2
 
O gráfico de uma função do tipo f (x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c} Ì R e a ¹ 0, é 
uma parábola.
 
A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo. Considerando a 
parábola de equação , 
Se , a parábola possui concavidade para cima. 
Se , a parábola possui concavidade para baixo. 
 
 
2. PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA
 
Alguns pontos da parábola, por facilitarem a construção do gráfico da função do 2o grau, 
merecem destaque. Vejamos quais são eles.
 
 Intersecção com o eixo Ox
 
Para obtê-los a partir de y = ax2 + bx + c, basta atribuirmos o valor zero à variável y e 
resolver a equação:
ax2 + bx + c = 0. (I)
 
Utilizamos a fórmula de Bhaskara, x = , onde D = b2 – 4ac.
 
 Se a equação (I) tiver D > 0, então terá duas raízes reais e distintas: x1 ¹ x2. 
Assim, os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox são (x1, 0) e (x2, 0).
 Se a equação (I) tiver D = 0, então terá duas raízes reais e iguais: x1 = x2. Assim, 
a parábola será tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2.
 Se a equação (I) tiver D < 0, então não terá raízes reais. Assim, a parábola não 
terá ponto em comum com o eixo Ox.
 
Resumindo esquematicamente:
Exemplo:
a. y = 2x2 – x – 1, pontos de intersecção de seu gráfico com o eixo Ox: 2x2 – x – 1 
= 0.
D= b2 – 4ac Þ D= (-1)2 – 4 · 2 · (-1) = 9.
Como D> 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x1, 0) e 
(x2, 0), onde x1 e x2 são as raízes da equação. Determinando x1 e x2, temos:
x = Þ x = \ x1 = 1, x2 = – 
Sabemos ainda que o coeficiente de x2 é positivo (a > 0); logo, a parábola tem 
concavidade voltada para cima:
b. f (x) = – 4x2 – 12x – 9, fazendo f (x) = 0, ou seja, – 4x2 – 12x – 9 = 0, obtemos as 
raízes de f. 
Temos: D= b2 – 4ac Þ D= (-12)2 – 4(-4)(-9) = 0.
Como D= 0, temos duas raízes reais e iguais (x1 = x2). Portanto a parábola 
tangencia o eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. Determinando essas raízes, 
temos:
x = Þ x = \ x1 = x2 = – 
O coeficiente de x2 é negativo (a < 0); logo, a parábola tem concavidade voltada 
para baixo:
 
c. y = 2x2 + x + 1, fazendo y = 0, temos 2x2 + x + 1 = 0.
Temos: D= b2 – 4ac Þ D= (1)2 – 4 · 2 · 1 = - 7.
Como D< 0, a equação não possui raízes reais. Isso significa que a parábola 
correspondente ao gráfico da função não tem ponto comum com o eixo Ox.
Sabemos ainda que o coeficiente de x2 é positivo (a > 0); logo, a parábola tem 
concavidade voltada para cima:
 
 O ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy
 
Para obtê-lo a partir de y = ax2 + bx + c, basta atribuirmos o valor zero à variável x:
 
y = a · 02 + b · 0 + c Þ y = c
 
 
Assim, o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é (0, c).
 
Exemplo:
Para esboçar o gráfico da função y = x2 – 6x + 5, vamos obter os pontos de intersecção 
com os eixos Ox e Oy.
 
 Fazendo y = 0, temos x2 – 6x + 5 = 0.
D= b2 – 4ac Þ D= (-6)2 – 4 · 1 · 5 = 16.
Logo, x = Þ x = \ x1 = 5, x2 = 1
Portanto, a parábola intercepta o eixo Ox nos pontos (5, 0) e (1, 0).
 
 Fazendo x = 0, temos y = 02 – 6 · 0 + 5 Þ y = 5.
Então, a parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, 5). 
 
O esboço do gráfico é:
 O vértice da parábola
 
Outro ponto notável da parábola é o seu vértice. O vértice V é o ponto de intersecção da 
parábola com seu eixo de simetria e. 
 
O vértice V(xv, yv) da parábola de equação y = ax2 + bx + c, com {a, b, c} Ì R e a 
¹ 0, é o ponto V , onde D = b2 – 4ac.
 
Exemplo: No exemplo anterior, vimos o esboço gráfico da função y = x2 – 6x + 5. 
Traçando o eixo de simetria e dessa parábola, vemos que seu vértice V pertence a e, 
conforme abaixo:
A abscissa de V é o ponto médio do segmento de extremos (1, 0) e (5, 0), ou seja, x = 3.
 
Substituindo x por 3, obtemos a ordenada do vértice:
y = 32 – 6 · 3 + 5 Þ y = -4.
Portanto, o vértice da parábola é o ponto V(3, -4).
 
 
 
Estratégias de Aprendizagem
Indicação de Leitura Específica
Aplicação: articulação teoria e prática
Sugestão de Exercícios
1) Calcular os zeros das seguintes funções:
a) f(x) = x2 - 3x – 10 
b) f(x) = – x2 – x + 12 
c) f(x) = – x2 + 4x – 4 
d) f(x) = 36x2 + 12x + 1 
 
 
2. Calcular m para que:
a) a função f(x) = (m – 3)x2 + 4x – 7 seja côncava para cima.
b) a função f(x) = (2m + 8)x2 – 2x + 1 seja côncava para baixo.
c) a função f(x) = (m2 – 4)x2 – 4x + 3 seja quadrática.
 
3. (UFMG) Sendo f : R ® R uma função definida por f(x) = x2 –1, calcule:
a) 
b)
 
 
 
4. (PUC) A função quadrática y = (m2 – 4)x2 – (m + 2)x – 1 está definida quando:
 
a) m ¹ 4 b) m ¹ 2 c) m ¹ -2 d) m = -2 ou +2 e) m ¹ ± 2
 
 
 
 
5. (MACK) O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 – 2x + k; então, k pode 
ser:
 
a) -2 b) -1 c) 2 d) 3 e) 4
 
 
6. (FUVEST) O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos 
pontos (0,0) e (1,2). 
Então f(-2/3) vale:
 
a) b) c) d) e) 
Considerações Adicionais
Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, 
indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e 
desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, volume 1: Conjuntos e 
Funções. Rio de Janeiro: Atual. 2004.