GST1073 5

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA - GST1073
Semana Aula: 5
Relações e Funções.
Tema
Relações e Funções.
Palavras-chave
Objetivos
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Representar pontos no plano cartesiano;
Reconhecer uma relação; 
Reconhecer uma função;
Determinar o domínio de uma função.
Determinar a imagem de uma função.
Estrutura de Conteúdo
UNIDADE III - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÃO
3.1. Plano Cartesiano
3.2. Conceito de Função
3.3. Função Real de Variável Real
3.4. Valor de uma Função num Ponto
3.5. Domínio e Imagem de uma Função
 
1. Plano Cartesiano - Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas
Um sistema de coordenadas auxilia na determinação de um ponto através de um conjunto 
de informações. Para se determinar um ponto de um plano, podemos fixar nesse plano 
dois eixos reais Ox e Oy, perpendiculares entre si no ponto O:
 esse sistema de eixos é conhecido como sistema cartesiano ortogonal de 
coordenadas;
 o plano que contém esse sistema é chamado de plano cartesiano;
 o ponto O é a origem do sistema;
 os eixos Ox e Oy, denominados de eixos coordenados, são respectivamente o eixo 
das abscissas e o eixo das ordenadas;
 os eixos coordenados separam o plano cartesiano em quatro regiões denominadas 
de quadrantes, que devem ser enumeradas conforme a figura
 
2. Coordenadas de um ponto no plano cartesiano
Dado um ponto P do plano cartesiano, chamamos de projeção ortogonal de P sobre um 
dos eixos Ox ou Oy a intersecção desse eixo com a perpendicular a ele, traçada por P.
 P’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox;
 P’’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Oy;
Dizemos que as coordenadas do ponto P são: a abscissa do ponto P’ e a ordenada 
do ponto P’’.
 
3. PAR ORDENADO
Para indicarmos que um ponto P possui abscissa a e ordenada b, usaremos a notação P(a, 
b). O símbolo (a, b) é chamado de “par ordenado”.
Exemplo.
 P(5, 4), significa que a abscissa de P é 5 e a ordenada é 4;
 Q(4, 5), significa que a abscissa de Q é 4 e a ordenada é 5.
 
Notas:
I. Um ponto P pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada for 
zero.
II. Um ponto T pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa for 
zero.
III. Indicando os quadrantes 1o, 2o, 3o e 4o, respectivamente, por I Q, II Q, III Q e IV 
Q, temos:
P(a, b) Î I Q Û a > 0 e b > 0;
P(a, b) Î II Q Û a < 0 e b > 0;
P(a, b) Î III Q Û a < 0 e b < 0;
P(a, b) Î IV Q Û a > 0 e b < 0.
Exemplos.
a. O ponto A(5, 0) pertence ao eixo das abscissas;
b. O ponto B(0, 4) pertence ao eixo das ordenadas;
c. O ponto C(3, 4) pertence ao I Q;
d. O ponto D(-2, 5) pertence ao II Q;
e. O ponto E(-4, -6) pertence ao III Q;
f. O ponto F(5, -2) pertence ao IV Q.
 
4. PRODUTO CARTESIANO 
Sejam A e B conjuntos. Consideremos o conjunto { (x,y) / xÎA Ù xÎB }. Dizemos que 
este conjunto é o produto cartesiano de A por B e escrevemos AxB (lê-se A cartesiano 
B) 
Geometricamente: 
 
Exemplo:
Sendo A = {1, 2, 3} e B = {5, 8}, temos: 
A X B = {(1, 5), (1, 8), (2, 5), (2, 8), (3, 5), (3, 8)}
5. RELAÇÕES 
 
Seja R um conjunto. Suponhamos que todos os elementos de R são pares ordenados. 
Dizemos então que R é uma relação. 
Se (x, y) Î R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) através de R.
 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 6, 10}, determinar cada um 
dos conjuntos seguintes:
a. o produto cartesiano A X B;
O produto cartesiano A X B é o conjunto formado por todos os pares ordenados 
(x, y), tal que x Î A e y Î B. Assim, temos:
 
A X B = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 10), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 10),
 (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 10)}
 
b. a relação R1 de A em B, dada por R1 = {(x, y) Î A X B | y = 2x};
 
R1 é o subconjunto de A X B formado pelos pares ordenados em que o segundo 
elemento (y) de cada par é o dobro do primeiro elemento (x). Assim:
 
 
A B
 
 
 
 
 
 
 
 
6. CONJUNTO DE PARTIDA E CONTRADOMÍNIO
Sejam A e B conjuntos. Suponhamos que RÌAxB. Dizemos que R é uma relação de A em 
B e que A é o conjunto de partida de R e B é o conjunto de chegada ou 
contradomínio de R. 
 
7. DOMÍNIO
Seja R relação. Consideremos o conjunto formado pelas primeiras coordenadas dos pares 
de R. Dizemos que tal conjunto é o domínio de R e escrevemos D(R). 
 
8. IMAGEM
Seja R uma relação. Consideremos o conjunto formado pelas segundas coordenadas dos 
pares de R. Dizemos que tal conjunto é a imagem de R e escrevemos I(R) . 
 
Exemplo: Considere a relação R de A em B, descrita pelo diagrama a seguir:
 
 
Os conjuntos A e B são conjunto de partida (CP) e contradomínio (CD) da relação R.
O domínio da relação R é o conjunto: D(R) = {1, 2, 3}.
D(R) é o conjunto formado por todos os elementos de A que estão relacionados com 
elementos de B, através de R.
O conjunto imagem da relação R é o conjunto: Im(R) = {9, 10, 12, 15}
Im(R) é o conjunto formado por todos os elementos de B que estão relacionados com 
elementos de A, através de R.
 
 
9. FUNÇÕES
Uma função é um tipo particular de relação entre conjuntos, que possui uma propriedade 
especial. 
Sejam A e B conjuntos. Seja R uma relação de A em B. Suponhamos que: 
1. D(R)=A
2. I(R)ÌB
3. Cada elemento xÎA está associado a um único elemento yÎB
Dizemos então que R é uma função de A em B. 
 
Ou ainda, sejam A e B conjuntos diferentes do vazio. Uma relação f de A em B é 
função se, e somente se, todo elemento de A estiver associado, através de f, a um 
único elemento de B. Usaremos a notação f : A ® B para indicar que f é função 
de A em B.
 
Exemplos: 
 
 
 
As relações f e g são funções, pois:
 todo elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B;
 todo elemento de C está associado, através de g, a um único elemento de D;
 todo elemento de M está associado, através de h, a um único elemento de N;
 
No entanto, t não é função, pois o elemento 4 está associado através de t a mais de 
um elemento de O (1 e 6).
 
Nota: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), 
contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam 
válidos. No exemplo (a) acima, temos:
CP(f) = D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; CD(f) = B = {18, 19, 16, 13, 15}; Im(f) = {16}.
Estratégias de Aprendizagem
Indicação de Leitura Específica
Aplicação: articulação teoria e prática
1. Num papel quadriculado, em um mesmo plano cartesiano, localize os pontos: 
A = ( 0 , 4 ); B = ( -4 , 5 ); C = ( 3 , - 4 ); D = ( 2 , 2 ); E = ( 0 , 0 ) 
1. No plano cartesiano abaixo, dê os pares ordenados de cada ponto: 
1. Considere os segmentos g e k indicados no seguinte plano cartesiano. Determine 
as coordenadas de suas extremidades:
1. Em papel quadriculado, trace os segmentos e , onde:
A = ( 3 , 4 ) e B = ( -3 , -4 )
M = ( -1, 2 ) e N = ( -1 , -1 )
 
2. Dadas duas retas concorrentes (p x m), onde p n m = T. Determina as 
coordenadas cartesianas:
a. Do ponto T: 
b. Do ponto A, o que corresponde à intersecção da reta com o eixo : 
c. Do ponto B, o que corresponde à intersecção da reta com o eixo : 
6. (UFF) Em um certo dia, três mães deram a luz em uma maternidade. A primeira teve 
gêmeos, a segunda teve trigêmeos e a terceira, um único filho. Considere, para aquele 
dia, o conjunto das três mães, o conjunto das seis crianças e as seguintes relações:
I) A que associa cada mãe ao seu filho.
II) A que associa cada filho a sua mãe.
III) A que associa cada criança ao seu irmão.
São funções:
(a) somente a I 
(b) somente a II 
(c) somente a III
(d) todas
(e) nenhuma
 
7. Considere a função f: A ? B representada pelo diagrama a seguir: 
 
Determine: 
a) o domínio (D) de f.
b) f(1), f(-3), f(3) e f(2). 
c) o conjunto imagem (Im) def.
 
8. Na revelação de um filme, uma óptica calcula o preço a ser cobrado usando a 
fórmula P = 12,00 + 0,50n, onde P é o preço, em reais, a ser cobrado e n é o número 
de fotos reveladas do filme.
a) Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos do meu filme?
b) Se paguei R$20,00 pela revelação, qual o total de fotos reveladas?
 
9. (UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento:
Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. 
Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. 
Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão.
Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano.
Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua 
resposta.
 
10. Dada a função f(x) = 3x + 5, determine:
 
 
11. Encontre o domínio das funções abaixo:
a) f(x) = 
b) y = 
c) g(x) = 
d) f(x) = 
 
12. Considere o gráfico da função f abaixo:
Encontre:
a) o domínio.
b) os zeros ou raízes.
c) os intervalos de crescimento.
d) os intervalos onde a função é constante.
e) o valor da expressão: E = f(-1) + f(2) – 3.f(p) + 4.f(4).
 
13. Considere o gráfico da função f abaixo:
Encontre:
a) o domínio.
b) o conjunto imagem.
c) os zeros ou raízes.
 
 
Sugerimos o vídeo do Khan Academy.
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/matematica/algebra/graficos_e_analis
es_de_funcoes_lineares/representacao_grafica_de_um_par_ordenado
Considerações Adicionais
Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, 
indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e 
desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, volume 1: Conjuntos e 
Funções. Rio de Janeiro: Atual. 2004.