AULA 5 FUND MAT

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Relatório - Plano de Aula
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
	
	
	
	
	
	
	
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		Disciplina: GST1073 - FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
	Semana Aula: 5
	TEMA
	Relações e Funções
	OBJETIVOS
	Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Representar pontos no plano cartesiano;
Reconhecer uma relação; 
Reconhecer uma função;
Determinar o domínio de uma função;
Determinar a imagem de uma função.
	ESTRUTURA DO CONTEÚDO
	UNIDADE III - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÃO
3.1. Plano Cartesiano
3.2. Conceito de Função
3.3. Função Real de Variável Real
3.4. Valor de uma Função num Ponto
3.5. Domínio e Imagem de uma Função
1. Plano Cartesiano - Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas
Um sistema de coordenadas auxilia na determinação de um ponto através de um conjunto de informações. Para se determinar um ponto de um plano, podemos fixar nesse plano dois eixos reais Ox e Oy, perpendiculares entre si no ponto O:
esse sistema de eixos é conhecido como sistema cartesiano ortogonal de coordenadas;
o plano que contém esse sistema é chamado de plano cartesiano;
o ponto O é a origem do sistema;
os eixos Ox e Oy, denominados de eixos coordenados, são respectivamente o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas;
os eixos coordenados separam o plano cartesiano em quatro regiões denominadas de quadrantes, que devem ser enumeradas conforme a figura
2. Coordenadas de um ponto no plano cartesiano
Dado um ponto P do plano cartesiano, chamamos de projeção ortogonal de P sobre um dos eixos Ox ou Oy a intersecção desse eixo com a perpendicular a ele, traçada por P.
P’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox;
P’’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Oy;
Dizemos que as coordenadas do ponto P são: a abscissa do ponto P’ e a ordenada do ponto P’’.
3. PAR ORDENADO
Para indicarmos que um ponto P possui abscissa a e ordenada b, usaremos a notação P(a, b). O símbolo (a, b) é chamado de “par ordenado”.
Exemplo.
P(5, 4), significa que a abscissa de P é 5 e a ordenada é 4;
Q(4, 5), significa que a abscissa de Q é 4 e a ordenada é 5.
Notas:
Um ponto P pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada for zero.
Um ponto T pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa for zero.
Indicando os quadrantes 1o, 2o, 3o e 4o, respectivamente, por I Q, II Q, III Q e IV Q, temos:
P(a, b) I Q a > 0 e b > 0;
P(a, b) II Q a < 0 e b > 0;
P(a, b) III Q a < 0 e b < 0;
P(a, b) IV Q a > 0 e b < 0.
Exemplos.
O ponto A(5, 0) pertence ao eixo das abscissas;
O ponto B(0, 4) pertence ao eixo das ordenadas;
O ponto C(3, 4) pertence ao I Q;
O ponto D(-2, 5) pertence ao II Q;
O ponto E(-4, -6) pertence ao III Q;
O ponto F(5, -2) pertence ao IV Q.
4. PRODUTO CARTESIANO 
Sejam A e B conjuntos. Consideremos o conjunto { (x,y) / xA xB }. Dizemos que este conjunto é o produto cartesiano de A por B e escrevemos AxB (lê-se A cartesiano B) 
Geometricamente: 
Exemplo:
Sendo A = {1, 2, 3} e B = {5, 8}, temos: 
A X B = {(1, 5), (1, 8), (2, 5), (2, 8), (3, 5), (3, 8)}
5. RELAÇÕES 
Seja R um conjunto. Suponhamos que todos os elementos de R são pares ordenados. Dizemos então que R é uma relação. 
Se (x, y) R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) através de R.
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 6, 10}, determinar cada um dos conjuntos seguintes:
o produto cartesiano A X B;
O produto cartesiano A X B é o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y), tal que x A e y B. Assim, temos:
A X B = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 10), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 10),
 (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 10)}
a relação R1 de A em B, dada por R1 = {(x, y) A X B | y = 2x};
R1 é o subconjunto de A X B formado pelos pares ordenados em que o segundo elemento (y) de cada par é o dobro do primeiro elemento (x). Assim:
	y = 2x
10
6
4
2
1
3
2
1
 A B
	
6. CONJUNTO DE PARTIDA E CONTRADOMÍNIO
Sejam A e B conjuntos. Suponhamos que RAxB. Dizemos que R é uma relação de A em B e que A é o conjunto de partida de R e B é o conjunto de chegada ou contradomínio de R. 
7. DOMÍNIO
Seja R relação. Consideremos o conjunto formado pelas primeiras coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é o domínio de R e escrevemos D(R). 
8. IMAGEM
Seja R uma relação. Consideremos o conjunto formado pelas segundas coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é a imagem de R e escrevemos I(R) . 
Exemplo: Considere a relação R de A em B, descrita pelo diagrama a seguir:
Os conjuntos A e B são conjunto de partida (CP) e contradomínio (CD) da relação R.
O domínio da relação R é o conjunto: D(R) = {1, 2, 3}.
D(R) é o conjunto formado por todos os elementos de A que estão relacionados com elementos de B, através de R.
O conjunto imagem da relação R é o conjunto: Im(R) = {9, 10, 12, 15}
Im(R) é o conjunto formado por todos os elementos de B que estão relacionados com elementos de A, através de R.
9. FUNÇÕES
Uma função é um tipo particular de relação entre conjuntos, que possui uma propriedade especial. 
Sejam A e B conjuntos. Seja R uma relação de A em B. Suponhamos que: 
D(R)=A
I(R)B
Cada elemento xA está associado a um único elemento yB
Dizemos então que R é uma função de A em B. 
Ou ainda, sejam A e B conjuntos diferentes do vazio. Uma relação f de A em B é função se, e somente se, todo elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B. Usaremos a notação f : A B para indicar que f é função de A em B.
Exemplos: 
As relações f e g são funções, pois:
todo elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B;
todo elemento de C está associado, através de g, a um único elemento de D;
todo elemento de M está associado, através de h, a um único elemento de N;
No entanto, t não é função, pois o elemento 4 está associado através de t a mais de um elemento de O (1 e 6).
Nota: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. No exemplo (a) acima, temos:
CP(f) = D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; CD(f) = B = {18, 19, 16, 13, 15}; Im(f) = {16}.
	PROCEDIMENTOS DE ENSINO
	1. MOTIVAÇÃO
Interessante que o professor traga para sala de aula alguns exemplos de utilização de funções no dia a dia do aluno, começando com a aplicação de plano cartesiano. 
2. PLANO CARTESIANO 
Sugerimos que o professor exercite marcação de pontos e identificação de pontos no sistema ortogonal de coordenadas, já que é um tópico que eventualmente gera dúvidas e é ferramenta importante para o estudo de gráficos de função. 
A introdução da noção de par ordenado é adequada e sugerimos, como exemplo de aplicação, a exploração dos conceitos de “latitude e longitude”. 
Importante que se explore também os pontos sobre os eixos coordenados e a identificação dos pontos por quadrantes. 
O produto cartesiano é também interessante para que possamos definir a noção de relação. 
3. RELAÇÕES 
Introduzir a definição de relação, a partir da noção de par ordenado. Importante sinalizar que se (x, y) R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) através da relação R.
4. CONJUNTO DE PARTIDA, CONTRADOMÍNIO, DOMINIO E IMAGEM
As noções contradomínio, domínio de R e imagem da relação devem ser bem trabalhadas. Recomenda-se a utilização, a princípio do Diagrama de Venn, para melhor visualização dos conceitos. 
5. FUNÇÕES
Introduzir a noção de função como um tipo particular de relação entre conjuntos. A utilização de Diagramas de Venn é sempre bem-vinda. 
Primordial que o aluno perceba que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. Uma relação f de A em B é função se,e somente se, todo elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B. 
Importante se introduzir e utilizar a notação de função. 
	RECURSOS FÍSICOS
	Além dos recursos físicos oferecidos pela sala de aula tradicional, como quadro branco, é proveitoso fazer uso do Laboratório de informática com acesso a jornais, revistas, vídeos e jogos virtuais. 
Recomendamos a leitura do capítulo referente Funções no material didático.
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros disponíveis.
	APLICAÇÃO: ARTICULAÇÃO TEORIA E PRÁTICA
	Num papel quadriculado, em um mesmo plano cartesiano, localize os pontos: 
A = ( 0 , 4 ); B = ( -4 , 5 ); C = ( 3 , - 4 ); D = ( 2 , 2 ); E = ( 0 , 0 ) 
No plano cartesiano abaixo, dê os pares ordenados de cada ponto: 
Considere os segmentos g e k indicados no seguinte plano cartesiano. Determine as coordenadas de suas extremidades:
Em papel quadriculado, trace os segmentos e , onde:
A = ( 3 , 4 ) e B = ( -3 , -4 )
M = ( -1, 2 ) e N = ( -1 , -1 )
Dadas duas retas concorrentes (p x m), onde p ∩ m = T. Determina as coordenadas cartesianas:
Do ponto T: 
Do ponto A, o que corresponde à intersecção da reta com o eixo : 
Do ponto B, o que corresponde à intersecção da reta com o eixo : 
6. (UFF) Em um certo dia, três mães deram a luz em uma maternidade. A primeira teve gêmeos, a segunda teve trigêmeos e a terceira, um único filho. Considere, para aquele dia, o conjunto das três mães, o conjunto das seis crianças e as seguintes relações:
I) A que associa cada mãe ao seu filho.
II) A que associa cada filho a sua mãe.
III) A que associa cada criança ao seu irmão.
São funções:
(a) somente a I 
(b) somente a II 
(c) somente a III
(d) todas
(e) nenhuma
 
7. Considere a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir: 
Determine: 
a) o domínio (D) de f.
b) f(1), f(-3), f(3) e f(2). 
c) o conjunto imagem (Im) de f.
8. Na revelação de um filme, uma óptica calcula o preço a ser cobrado usando a fórmula P = 12,00 + 0,50n, onde P é o preço, em reais, a ser cobrado e n é o número de fotos reveladas do filme.
a) Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos do meu filme?
b) Se paguei R$20,00 pela revelação, qual o total de fotos reveladas?
9. (UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento:
Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. 
Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. 
Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão.
Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano.
Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta.
10. Dada a função f(x) = 3x + 5, determine:
	
11. Encontre o domínio das funções abaixo:
a) f(x) = 
b) y = 
c) g(x) = 
d) f(x) = 
12. Considere o gráfico da função f abaixo:
Encontre:
a) o domínio.
b) os zeros ou raízes.
c) os intervalos de crescimento.
d) os intervalos onde a função é constante.
e) o valor da expressão: E = f(-1) + f(2) – 3.f() + 4.f(4).
13. Considere o gráfico da função f abaixo:
Encontre:
a) o domínio.
b) o conjunto imagem.
c) os zeros ou raízes.
Sugerimos o vídeo do Khan Academy.
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/matematica/algebra/graficos_e_analises_de_funcoes_lineares/representacao_grafica_de_um_par_ordenado
	AVALIAÇÃO
	Num papel quadriculado, em um mesmo plano cartesiano, localize os pontos: 
A = ( 0 , 4 ); B = ( -4 , 5 ); C = ( 3 , - 4 ); D = ( 2 , 2 ); E = ( 0 , 0 ) 
No plano cartesiano abaixo, dê os pares ordenados de cada ponto: 
Gabarito: A(-3,4); B(3,4) ; C(2,1) ; D(-2.-3) ;E(1,-3)
Considere os segmentos g e k indicados no seguinte plano cartesiano. Determine as coordenadas de suas extremidades:
Gabarito:
Extremidades de g: (-5,-3) e (0,2)
Extremidades de k: (1,-2) e (4,1)
Em papel quadriculado, trace os segmentos e , onde:
A = ( 3 , 4 ) e B = ( -3 , -4 )
M = ( -1, 2 ) e N = ( -1 , -1 )
Dadas duas retas concorrentes (p x m), onde p ∩ m = T. Determina as coordenadas cartesianas:
Do ponto T: (4,1)
Do ponto A, o que corresponde à intersecção da reta com o eixo : (3,0)
Do ponto B, o que corresponde à intersecção da reta com o eixo : (0,5)
6. (UFF) Em um certo dia, três mães deram a luz em uma maternidade. A primeira teve gêmeos, a segunda teve trigêmeos e a terceira, um único filho. Considere, para aquele dia, o conjunto das três mães, o conjunto das seis crianças e as seguintes relações:
I) A que associa cada mãe ao seu filho.
II) A que associa cada filho a sua mãe.
III) A que associa cada criança ao seu irmão.
São funções:
(a) somente a I 
(b) somente a II 
(c) somente a III
(d) todas
(e) nenhuma
Gabarito:
Nomeando as mães como A, B e C com seus respectivos filhos A1, A2, B1, B2, B3 e C1, temos as situações:
i) I não é função, pois tanto a mãe A, como a mãe B possuem duas imagens, contrariando a definição de função.
ii) II é função. Cada filho possui somente uma imagem (mãe) e todo filho possui imagem.
iii) III não é função. Além de os filhos da mãe A e B possuírem mais de uma imagem (irmãos), o filho da mãe C como único não possui irmão, logo sem imagem.
 
7. Considere a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir: 
Determine: 
a) o domínio (D) de f.
b) f(1), f(-3), f(3) e f(2). 
c) o conjunto imagem (Im) de f.
Gabarito: 
a) D(f) = {1, -3, 3, 2}
b) 
f(1) = 1
f(-3) = 9
f(3) = 4
f(2) = 4
c) IM(f) = {1, 4, 9}
8. Na revelação de um filme, uma óptica calcula o preço a ser cobrado usando a fórmula P = 12,00 + 0,50n, onde P é o preço, em reais, a ser cobrado e n é o número de fotos reveladas do filme.
a) Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos do meu filme?
b) Se paguei R$20,00 pela revelação, qual o total de fotos reveladas?
Gabarito: 
9. (UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento:
Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. 
Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. 
Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão.
Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano.
Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta.
Gabarito:
 
10. Dada a função f(x) = 3x + 5, determine:
	
Gabarito:
11. Encontre o domínio das funções abaixo:
a) f(x) = 
Gabarito:
b) y = 
Gabarito:
c) g(x) = 
Gabarito: 
d) f(x) = 
Gabarito: 
12. Considere o gráfico da função f abaixo:
Encontre:
a) o domínio.
b) os zeros ou raízes.
c) os intervalos de crescimento.
d) os intervalos onde a função é constante.
e) o valor da expressão: E = f(-1) + f(2) – 3.f() + 4.f(4).
Gabarito: 
13. Considere o gráfico da função f abaixo:
Encontre:
a) o domínio.
b) o conjunto imagem.
c) os zeros ou raízes.
	CONSIDERAÇÃO ADICIONAL
	Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, volume 1: Conjuntos e Funções. Rio de Janeiro: Atual. 2004.