AULA 3 FUND MAT

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Relatório - Plano de Aula
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
	
	
	
	
	
	
	
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		Disciplina: GST1073 - FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
	Semana Aula: 3
	TEMA
	Potenciação, Radiciação, Expressões Algébricas e Operações, Fatoração e Produtos Notáveis. 
	OBJETIVOS
	Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Associar a potência de números inteiros à operação de multiplicação de fatores iguais.
Efetuar o cálculo de potências em que a base é um número real diferente de zero e de um qualquer e o expoente inteiro.
Resolver expressões numéricas com potências.
Reconhecer as propriedades da potenciação e aplicá-las em cálculo simples.
Calcular a raiz de um número racional de índice ímpar.
Aplicar as propriedades dos radicais na resolução de exercícios.
Simplificar radicais.        
Simplificar expressões com radicais.
Compreender o significado dos produtos notáveis.
Compreender e aplicar as diferentes técnicas de fatoração.
	ESTRUTURA DO CONTEÚDO
	UNIDADE II - CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA E ARITMÉTICA
2.1. Potenciação e propriedades;
2.2. Radiciação e propriedades
2.3. Expressões algébricas
2.4. Operações com expressões algébricas
2.5. Fatoração e produtos notáveis
1. POTENCIAÇÃO
A potência de expoente n ( e ) do número a é o produto de n fatores iguais a a. O número a é dito base e o número n é dito expoente. 
Notação: 
Propriedades das Potências
Toda potência de base , elevada a expoente par, é positiva. 
Toda potência de base , elevada a expoente ímpar, tem o sinal da base. 
Operações com Potências
Multiplicação de potências de mesma base: repete-se a base e soma-se os expoentes. 
Divisão de potencias de mesma base: repete-se a base e subtrai-se os expoentes. 
Potenciação: repete-se a base e multiplicam-se os expoentes. 
, qualquer que seja a base a
Potenciação de um produto: 
Potenciação de um quociente: 
Todo número elevado a um expoente negativo é igual ao inverso desse número elevado ao simétrico do expoente. 
2. RADICIAÇÃO
A raiz de índice n de um número a é o número b quando 
Notação: 
O índice n é um número inteiro maior que 1
O número a é o radicando.
Expoente fracionário: 
Propriedades dos radicais
Raiz de um Produto: é igual ao produto das raízes. 
Raiz de uma divisão: é igual a raiz do numerador dividida pela raiz do denominador. 
Quando multiplicamos ou dividimos o índice do radical e o expoente do radicando por um número , a raiz não se altera. 
Radicais semelhantes: possuem o mesmo índice e o mesmo radicando.
Operações com radicais
Adição e Subtração (radicais semelhantes): conserva-se a raiz e soma-se os coeficientes. 
Multiplicação e Divisão (mesmo índice): conserva-se o índice e multiplicam-se/ dividem-se os radicandos.
Multiplicação e Divisão (índices diferentes): reduz-se ao mesmo índice. 
Potenciação: conserva-se o índice e eleva-se o radicando ao expoente. 
Radiciação: conserva-se o radicando e multiplica-se os índices.
3. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Termo Algébrico (monômio): produto entre incógnitas ou produto entre números e incógnitas. 
Exemplo: 
Grau de um monômio (definido quando todos os expoentes são números inteiros): soma dos expoentes.
Exemplo: grau: 2+5+1=8
Expressão Algébrica: Soma ou subtração de termos algébricos.
Valor Numérico de expressão algébrica: é o valor obtido quando atribuímos às incógnitas os valores dados. 
Exemplo: Para x=3, temos como valor numérico da expressão : 
Monômios semelhantes: mesma parte literal.
Operações Com Monômios
Adição e Subtração (monômios semelhantes): repete-se a parte literal e somam-se/ subtraem-se os coeficientes 
Multiplicação e Divisão: multiplicam-se/ dividem-se as partes literais e os coeficientes. 
Classificação de Expressões Algébricas
Racionais: Não aparece incógnita dentro da raiz ou elevado a expoente fracionário.
Racionais Inteiras: Não aparece incógnita no denominador ou elevado a expoente negativo.
Racionais Fracionárias: Aparece incógnita no denominador ou elevado a expoente negativo.
Irracionais: Aparece incógnita dentro da raiz ou elevado a expoente fracionário.
POLINÔMIOS: expressões algébricas racionais inteiras.
Operações com Polinômios
Adição e Subtração: adicionam-se/subtraem-se os termos semelhantes. 
Multiplicação: multiplicam-se cada termo de um polinômio por todos os termos do outro polinômio, e, a seguir, reduzem-se os termos semelhantes. 
Divisão.
4. PRODUTOS NOTÁVEIS
	Quadrado da soma
	(a+b)2 = a2 + 2 ab + b2
	Quadrado da diferença
	(a-b)2 = a2 - 2 ab + b2
	Produto da soma pela diferença
	(a+b)(a-b) = a2-b2
	Cubo de uma soma
	(a+b)3= a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
	Cubo de uma diferença
	(a-b)3= a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
	Quadrado da soma de três termos
	(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
	Soma do cubo de dois termos
	a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
	Diferença do cubo de dois termos
	a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
	Produto de Stevin
	(x+a)(x+b) = x2+ (a+b) x +ab 
	
	Quando xn for impar teremos
	
	ax2+bx+c=a(x-r1)(x-r2) onde r1e r2 são raízes da equação ax2+bx+c=0
5. FATORAÇÃO 
Fatorar é transformar uma soma de uma ou mais parcelas num produto de um ou mais fatores.
a) Fator comum (evidencia) 
 Exemplos: a+ab=a(1+b) , a2+ab =a(a+b)
b) Agrupamento: 
Exemplo: ax + bx + ay + by = x (a+b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)
c) Produtos notáveis.
	PROCEDIMENTOS DE ENSINO
	1. Motivação.
Observar que toda a parte de potenciação, radiciação, expressões algébricas, fatoração e produtos notáveis são ferramentas para diversas áreas e cálculos. 
2. Potenciação.
Definir potenciação e apresentar as propriedades, sempre exemplificando cada uma delas. Importante sinalizar a diferença entre e . 
Definir e exercitar as operações com potências: multiplicação de potencias de mesma base, divisão de potencias de mesma base, potenciação, potenciação de produto, potenciação de quociente, transformação de número elevado a expoente negativo em uma fração. 
3. Radiciação.
Definir radiciação utilizando o conceito de potenciação. Importante trabalhar com expoente fracionário. Definir e exercitar as propriedades dos radicais. Trabalhar com as operações com radicais: Adição e subtração de radicais semelhantes, multiplicação e divisão, potenciação, radiciação. 
Importante que se exercite também redução de radicais ao mesmo índice, introdução de um fator em um radical e racionalização.
4. Monômio.
Definir e exemplificar monômios, identificar o grau de um monômio, definir expressão algébrica e valor numérico de expressão algébrica. Convém exercitar valor numérico de expressões algébricas envolvendo frações, de modo a sanar as dúvidas de operações entre frações e inteiros. 
Importante diferenciar e fazer o aluno identificar a parte literal e o coeficiente de parte literal dos monômios, para posteriormente identificar monômios semelhantes. 
A operação com monômios deve ser exercitada para que as operações com polinômios sejam encaradas de modo mais natural. 
5. Polinômios.
Após a definição de polinômios, encarando-os como expressões algébricas racionais inteiras, definir as operações com polinômios: adição, subtração, multiplicação e divisão. Enunciar o Teorema de D´Alembert e exercitar problemas a respeito.
6. Produtos Notáveis.
Definir os produtos notáveis mais usuais: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma, cubo da diferença, quadrado da soma de três termos, soma do cubo de dois termos, diferença do cubo de dois termos, produto de Stevin
 7. Fatoração. 
Fazer um paralelo entre fatoração de expressões algébricas com a fatoração numérica. Utilizar as técnicas de fatoração: evidencia, agrupamento e produtos notáveis. 
	RECURSOS FÍSICOS
	Além dos recursos físicos oferecidos pela sala de aula tradicional, como quadro branco, é proveitosofazer uso do Laboratório de informática com acesso a jornais, revistas, vídeos e jogos virtuais. 
Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático.
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos disponíveis. 
	APLICAÇÃO: ARTICULAÇÃO TEORIA E PRÁTICA
	
Sugestão de exercícios:
1. O valor da expressão é
2. A expressão é igual a
3. O valor de para e 
4. O resto da divisão do polinômio por é
5. Considere o polinômio . Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é:
6. Adicione os polinômios e 
7. Multiplique o polinômio pelo polinômio 
8. Fatore 
	AVALIAÇÃO
	Sugestão de resolução.
1. O valor da expressão é
2. A expressão é igual a
3. O valor de para e 
4. O resto da divisão do polinômio por é
 
5. Considere o polinômio . Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é:
P(1)=4.1  + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2
4 + 3 – 2 + 1+ k = 2
10 + k = 2
k = 2 – 6
k = – 4
 
O polinômio será P(x) =  4x4  + 3x³ + 2x² + x – 4
 
P(3) =  4x4  + 3x³ + 2x² + x – 4
= 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4
= 324 + 81 – 18 + 3 – 4
= 386
6. Adicione os polinômios e 
7. Multiplique o polinômio pelo polinômio 
8. Fatore 
	CONSIDERAÇÃO ADICIONAL
	Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
LEITE, Álvaro Emílio, CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Equações e Regra de Três. Coleção Desmistificando a Matemática. São Paulo: Editora Intersaberes, 2024.