AULA 2 FUND MAT

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Relatório - Plano de Aula
	
		08/12/2014 16:11
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
	
	
	
	
	
	
	
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		Disciplina: GST1073 - FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
	Semana Aula: 2
	TEMA
	Subconjuntos, Operações entre Conjuntos, Conjuntos Numéricos, Formas de Representação.
	OBJETIVOS
	Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Estabelecer a relação de inclusão ou não entre dois conjuntos.
Resolver problemas envolvendo conjuntos e operações.
Determinar o conjunto das partes de um conjunto.
Determinar a união, interseção, diferença entre conjuntos.
Resolver problemas envolvendo conjuntos e operações.
Resolver problemas envolvendo Diagrama de Venn. 
Resolver problemas envolvendo conjuntos e operações.
Reconhecer os diversos tipos de intervalos de números reais.
Representar e reconhecer subconjuntos de números reais na forma de intervalos.
Operar com os diversos tipos de intervalos.
	ESTRUTURA DO CONTEÚDO
	UNIDADE I -  CONJUNTOS
1.5. Subconjuntos.
1.5.1. Propriedades.
1.5.2. Conjuntos cujos elementos são conjuntos.
1.5.3. Conjunto das Partes de um Conjunto.
1.6. Operações com conjuntos.
1.6.1. Número de Elementos de um Conjunto.
1.6.2. Interseção de conjuntos.
1.6.3. União (ou Reunião) de conjuntos.
1.6.4. Diferença de conjuntos.
1.6.5. Conjunto complementar.
1.6.6. Produto Cartesiano de dois Conjuntos.
1.6.7. Propriedades das Operações entre Conjuntos. 
1.7. Conjuntos numéricos.
1.7.1 - Números Naturais.
1.7.2. Números Inteiros.
1.7.3. Números Racionais.
1.7.4. Números Irracionais.
1.7.5. Números Reais.
1.8. Formas de representação numérica.
1.8.1 - Forma fracionária.
1.8.2 - Forma decimal.
1.8.3. Transformação de fracionária para decimal e vice-versa.
1.8.4. Intervalos numéricos e Operações com intervalos.
Motivação. 
Vamos pensar em uma situação, um exemplo, onde podemos observar o uso de frações e números decimais, que por sua vez, são elementos de conjuntos numéricos. 
Você vai ao supermercado comprar 1/2 Kg de café, que custa R$ 2,80 e paga a compra com uma nota de R$ 5,00, obtendo R$ 2,20 de troco.  
Precisamos utilizar, neste exemplo, o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), ou seja, números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais.
Começaremos nosso estudo com a noção de conjunto, para depois tratarmos dos conjuntos numéricos. 
Subconjunto
Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B.
Indica-se que A é subconjunto de B por: A  B (lê-se "A está contido em B"), ou ainda, por B    A (lê-se "B contém A").
Exemplos:
{2, 5, 3} {2, 5, 3, 8, 9}
{6, 9, 6, 5} {9, 6}
Duas propriedades importantes envolvendo subconjuntos
1 - O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: 
Simbolicamente: A B [x A, x B]
Exemplos: 
  {1, 2, 3}
 
2 - Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. 
Simbolicamente:  A A, A
Relação de Inclusão x Relação de Pertinência
1. Usamos a relação de inclusão () para relacionar um subconjunto B com um conjunto A que contém B (B A).
2. Usamos A relação de pertinência () para relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x como elemento (x E  A).
Conjunto das Partes de um Conjunto
Podemos ter um conjunto cujos elementos podem também ser conjuntos.
Exemplo: 
Considere o conjunto A = {a, b}.  Vamos determinar os subconjuntos de A, pensando em termos de número de elementos.
Subconjuntos com nenhum elemento: Ø
Subconjuntos com um elemento: {a}, {b}
Subconjuntos com dois elementos: {a,b}
Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
Notação: P(A) (lê-se P de A)
Exemplos.   
(a) Determinando o conjunto das partes do conjunto A = {a, b}. 
P(A) = {Ø , {a}, {b}, {a,b}}.
(b) Determinando o conjunto das partes do conjunto B = {a, b, c}:
Vamos determinar primeiramente os subconjuntos de A, pensando em termos de número de elementos.
Subconjuntos com nenhum elemento: Ø
Subconjuntos com um elemento: {a}, {b}, {c}
Subconjuntos com dois elementos: {a,b}, {a,c}, {b,c}
Subconjuntos com três elementos: {a,b,c}
 P(B) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}
Número de Elementos do Conjunto das Partes de um Conjunto
No exemplo (a), o conjunto A tem dois elementos e o conjunto das partes de A- P(A) -  possui 4 (22) elementos.  
No exemplo (b), o conjunto B tem três elementos e o conjunto das partes de B possui 8 (23) subconjuntos.  
De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, os números de elementos de P(A) é 2n.
Operações com Conjuntos
1. Interseção de conjuntos (): Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A com B ao conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B.
Notação: A   B (lê-se "A intersecção B").
Simbolicamente: A B = {x | x  A e x  B}
Propriedades da interseção de conjuntos:
Propriedade 1. Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, a interseção A  B será o conjunto B.
Simbolicamente: B A A B = B, para todo A, B.
Propriedade 2. A operação de interseção é comutativa. 
Simbolicamente: A B = B A,  para todo A, B.
Propriedade 3. A operação de interseção é associativa. 
Simbolicamente: (A B) C = A (B C),  para todo A, B, C.
2. União de conjuntos (U): Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Notação: A U B (lê-se "A união B"). 
Simbolicamente: A U B = {x | x E A ou x E B}
Exemplos.
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
A U B = {2, 3, 5, 6, 8, 9}
A = {3, 5}
B={2,3,4,5,6}
A U B = {2, 3, 4, 5, 6} = B
A = {2, 3, 5}
B = {4, 6}
A U B = {2, 3, 4, 5, 6}
Propriedades da união de conjuntos.
Propriedade 1. Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, a união A U B será o conjunto A.
Simbolicamente: B  A  A U B = A,  para todo A, B.
Propriedade 2. A operação de união é comutativa. 
Simbolicamente: A U B = B U A,  para todo A, B.
Propriedade 3. A operação de união é associativa. 
Simbolicamente: (A U B) U C = A U (B U C),  para todo A, B, C.
3. Diferença de conjuntos (-): Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B ao conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
Notação: A - B (lê-se "A menos B").  
Simbolicamente:  A - B = {x | x A e x B}
Exemplos.
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
A - B = {2, 6}
B -A = {9}
A = {3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
A - B = {  } = Ø
4. Complementar C:  Se A e B são conjuntos tais que A B, então a diferença B - A é chamada complementar de A em B.
Notação: CB A (lê-se "complementar de A em B"). 
Simbolicamente: CB A = B - A = {x | x  B e x  A}, onde A  B
Exemplo.
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {3, 5, 8, 9}
Como A B, então não existe CB A
A = {3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
Existe CB A , pois A  B. 
CB A = {2, 4, 6}.
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
Quando desejamos excluir o zero do conjunto, devemos colocamos um * ao lado do Conjunto. 
O conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero): N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}.
Conjunto dos Números Inteiros: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Alguns subconjuntos importantes:
- Inteiros não negativos: todos os números inteiros que não são negativos. Este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. 
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
- Inteiros não positivos: todos os números inteiros que não são positivos. 
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- Inteiros não negativos e não-nulos: É o conjunto Z+ excluindo o zero. Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Z*+ = N*
- Inteiros não positivos e não nulos: todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. 
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
Conjunto dos Números Racionais: todos aqueles que podem ser expressosna forma de fração.
Note que o conjunto dos números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 125,8342) e as dízimas periódicas (números decimais infinitos periódicos), como "14,050505...". 
Representamos o conjunto dos racionais pela letra Q.
Conjunto dos Números Irracionais: números decimais infinitos não-periódicos. 
Exemplos: 
(a) número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 ...
(b) Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)
Conjunto dos Números Reais: união do conjunto dos racionais com os irracionais.
Representamos o conjunto dos reais pela letra R.
Sugestão de leitura: Conjuntos Numéricos
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx
Sugestão de vídeos: Khan Academy
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-2
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-3
Sugestão de leitura: Curiosidade -Origem dos Numeros
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm
Formas de representação numérica e transformações: Forma Fracionária e Forma Decimal.
Definimos os números racionais como aqueles que podem ser escritos sob a forma de fração. Pois bem, dessa forma, precisaremos trabalhar com frações, ou seja, precisaremos transformar um número decimal, um número inteiro, uma dízima periódica em número fracionário. 
Os números decimais originam-se nas frações decimais (são aquelas cujo denominador é uma potencia de 10). 
Exemplos de frações decimais: 1/10, 3/100, 23/103
Exemplo.
A fração 1/2 equivale à fração 5/10, que, por sua vez, equivale ao número decimal 0,5.
Podemos representar uma fração decimal por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
Exemplo: 127/100=1,27
Podemos também transformar um número decimal em uma fração decimal. 
Basta tomarmos como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. 
Exemplos:
(a) 0,5   = 5/10
(b) 0,05  = 5/100
(c) 2,41  = 241/100
(d) 7,345 = 7345/1000
Sugestão de leitura: Frações e Decimais
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracdec.htm
http://www.mundoeducacao.com/matematica/transformacao-para-numeros-fracionarios.htm
Intervalos numéricos.
Podemos representar o conjunto dos números reais, associando cada número x real a um ponto de uma reta r. 
Convencionamos uma origem O, associando a ela o zero, adotamos uma unidade e um sentido positivo para esta reta, teremos uma reta denominada reta orientada.
Consideremos dois números reais a e b,  com a < b. 
Definiremos alguns subconjuntos de R chamados intervalos:
Intervalo fechado: Números reais maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.
Notação do Intervalo: [a, b]
Notação do Conjunto: {x  R | a x b}
Intervalo aberto: Números reais maiores do que a e menores do que b.
Notação do Intervalo: ]a, b[
Notação do Conjunto: {x  R | a < x < b}
Intervalo fechado à esquerda: Números reais maiores ou iguais a a e menores do que b.
Notação do Intervalo: [a, b[
Notação do Conjunto: {x  R | a x < b}
Intervalo fechado à direita: Números reais maiores do que a e menores ou iguais a b.
Notação do Intervalo: ]a, b]
Notação do Conjunto: {x  R | a < x b}
Semi-reta esquerda, fechada, de origem b: Números reais menores ou iguais a b.
Notação do Intervalo: ]- ,b]
Notação do Conjunto: {x  R | x b}.
Semi-reta esquerda, aberta, de origem b: Números reais menores que b.
Notação do Intervalo: ]- ,b[
Notação do Conjunto: {x  R | x<b}.
Semi reta direita, fechada, de origem a: Números reais maiores ou iguais a a.
Notação do Intervalo: [a,+ [
Notação do Conjunto: {x  R | x a}.
Semi reta direita, aberta, de origem a: Números reais maiores que a.
Notação do Intervalo: ]a, + [
Notação do Conjunto: {x  R | x>a}
Reta numérica: Números reais.
Notação do Intervalo: ] - ,+ [
Notação do Conjunto: IR
	PROCEDIMENTOS DE ENSINO
	1.  Motivação/contextualização
Seria interessante que a aula fosse iniciada com uma “provocação”, um exemplo prático da utilização de operações com frações, por exemplo. Sinalize então que as frações são elementos de conjuntos numéricos e que precisaremos operar tais conjuntos. 
Exemplo: 
Vamos pensar em uma situação, um exemplo, onde podemos observar o uso de frações e números decimais, que por sua vez, são elementos de conjuntos numéricos. 
Você vai ao supermercado comprar 1/2 Kg de café, que custa R$ 2,80 e paga a compra com uma nota de R$ 5,00, obtendo R$ 2,20 de troco.  
Precisamos utilizar, neste exemplo, o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), ou seja, números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais.
Começaremos nosso estudo com a noção de conjunto, para depois tratarmos dos conjuntos numéricos. 
2. Subconjuntos.
A partir de um exemplo numérico, definir quando um conjunto é subconjunto de outro, sinalizando a importância dos elementos neste contexto. Utilize as notações adequadas. 
Enunciar e exemplificar as duas propriedades importantes envolvendo subconjuntos, O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto e Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. 
Estabelecer a diferença no uso entre a relação de inclusão e de pertinência, exemplificando com conjuntos simples. 
Defina o conjunto das partes de um conjunto, tomando cuidado para que o aluno obtenha todos os subconjuntos separadamente, para não esquecer nenhum. Faça-o raciocinar em termos de número de elementos - subconjuntos com nenhum elemento, subconjuntos com um elemento, subconjuntos com dois elementos, e assim por diante. 
3. Operações com conjuntos.
Após definir cada uma das operações entre conjuntos: Interseção, União, Diferença e Complementar proponha alguns exercícios que envolvam estas operações simultâneas. Dê uma atenção especial às notações destas operações e às suas propriedades, utilizando, sempre que possível o Diagrama de Venn para melhor visualização.   
4. Conjuntos numéricos.
Apresente os conjuntos numéricos: Números Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais, observando a necessidade de existência de cada um destes conjuntos.
Sugira as leituras e vídeos da Khan Academy.
Sugestão de leitura: Conjuntos Numéricos
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx
Sugestão de vídeos: Khan Academy
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-2
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-3
Sugestão de leitura: Curiosidade -Origem dos Números
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm
5. Formas de representação numérica.
A partir da definição de número racional (relembre se for preciso - aquele que pode ser escrito sob a forma de fração), mostre ao aluno que ele precisará trabalhar com frações. Você pode utilizar um outro exemplo contextualizado onde o aluno precise operar decimais e frações. Para isto, sinalize que ele precisará eventualmente transformar um número decimal, um número inteiro, uma dízima periódica em número fracionário. 
Faça o aluno notar que pode transformar um número decimal em fração e vice versa e que ele pode trabalhar em uma ou outra forma. 
Sugira a leitura sobre Frações e Decimais:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracdec.htm
http://www.mundoeducacao.com/matematica/transformacao-para-numeros-fracionarios.htm6. Intervalos numéricos.
É importante o aluno perceber que pode representar o conjunto dos números reais, associando cada número x real a um ponto de uma reta r, convencionamos uma origem O, associando a ela o zero, adotando uma unidade e um sentido positivo para esta reta.
Defina e mostre na reta real os intervalos, associando-os às notações sob a forma de intervalo, bem como sob a forma de conjuntos. 
Opere os intervalos numéricos, sempre que possível utilizando a reta numérica como base. 
	RECURSOS FÍSICOS
	Além dos recursos físicos oferecidos pela sala de aula tradicional, como quadro branco, é proveitoso fazer uso do Laboratório de informática com acesso a jornais, revistas, vídeos e jogos virtuais. 
Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático.
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos disponíveis. 
	APLICAÇÃO: ARTICULAÇÃO TEORIA E PRÁTICA
	Sugestão de leitura: Conjuntos Numéricos
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx
Sugestão de vídeos: Khan Academy
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-2
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-pre-alg/v/number-sets-3
Sugestão de leitura: Curiosidade -Origem dos Numeros
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm
Sugestão de leitura: Frações e Decimais
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracdec.htm
http://www.mundoeducacao.com/matematica/transformacao-para-numeros-fracionarios.htm
Sugestão de exercícios:
1. Considere as seguintes equações abaixo:  
(I)  x2 + 4 = 0                     
(II) x2 - 2 = 0                           
(III). 0,3x = 0,1
Analisando as soluções destas equações, verifique a veracidade das afirmativas abaixo.
(a) as soluções de II são números irracionais. 
(b) a solução de III é número irracional. 
(c) as soluções de I e II são números reais. 
(d) as soluções de I e III são números não reais. 
(e) as soluções de II e III são números racionais. 
2. Represente em notação de intervalos os seguintes subconjuntos de IR:
3. Dados os subconjuntos de IR: A = {x  IR / -2 x < 3}, B = {x  IR / 1 x < 4}  e C = {x  IR / x < 0}, determine: 
(a) AB
(b) AB
(c) (Ab)C
	AVALIAÇÃO
	1. Considere as seguintes equações abaixo:  
(I)  x2 + 4 = 0                     
(II) x2 - 2 = 0                           
(III). 0,3x = 0,1
Analisando as soluções destas equações, verifique a veracidade das afirmativas abaixo.
(a) as soluções de II são números irracionais. 
(F). Pela equação x2 = - 4. Não há raiz real, logo não são irracionais.
(b) a solução de III é número irracional. 
(F). Pela equação x = 0,1/0,3 = 1/3. Logo racional.
(c) as soluções de I e II são números reais. 
(F). A justificativa (a) elimina uma das possibilidades de ser real.
d) as soluções de I e III são números não reais. 
(F). Pela justificativa (b), III é racional, logo real. 
e) as soluções de II e III são números racionais. 
(F). Pela equação II, x= +- raiz de 2. Logo irracional.
2. Represente em notação de intervalos os seguintes subconjuntos de IR:
(a) ]- 3,  0]
(b) [7  10]
3. Dados os subconjuntos de IR: A = {x  IR / -2 x < 3}, B = {x  IR / 1 x < 4}  e C = {x  IR / x < 0}, determine: 
(a) AB = [-2,4[
(b) AB = [1,3[
(c) (Ab)C=
	CONSIDERAÇÃO ADICIONAL
	Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, volume 1: Conjuntos e Funções. Rio de Janeiro: Atual. 2004.
LEITE, Álvaro Emílio, CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Teoria dos Números e Teoria dos Conjuntos. Coleção Desmistificando a Matemática. São Paulo: Editora Intersaberes, 2024.