Aula 12 Base expressão do vetor paralelismo 1 2016

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“Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do 
desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 1 
 
Curso: Engenharia de produção Ano: 2016-1° semestre 
Disciplina: Vetores e Geometria Analítica Turma: PRO215AN/MEC215AN 
Professor: Alice Lima de Souza da Cruz 
 
AULA 12 
Conteúdo: UNIDADE III – Produtos com vetores 
 
Temas: Base. Expressão analítica do vetor. Igualdade de vetores. Paralelismo entre vetores. 
 
 
Base 
 
Seja 𝐵 = {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } um conjunto de vetores em um espaço qualquer (𝑅
2, 𝑅3). Dizemos que 𝐵 é uma base desse 
espaço, se: 
a) 𝐵 é um conjunto L.I. 
b) 𝐵 gera o espaço. 
Obs.: Dizer que o um conjunto 𝐵 = {𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , … , 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ } gera o espaço, significa que qualquer vetor �⃗� desse espaço, se 
escreve como uma combinação linear dos vetores de 𝐵, ou seja, existem escalares 𝛼1, 𝛼2, …𝛼𝑛 ∈ 𝑅, tal que, 𝛼1𝑣1⃗⃗⃗⃗ +
 𝛼2𝑣2⃗⃗⃗⃗ + ⋯+ 𝑣𝑛⃗⃗⃗⃗ 𝛼𝑛. 
 
Exemplo: Mostre que os conjuntos abaixo são bases dos respectivos espaços. 
a) 𝐵 = {(1,2), (−3,4)} é base do 𝑅2(�⃗� = (𝑥, 𝑦)) . 
Primeiro determinar se o conjunto 𝐵 é L.I. 
{
1 − 3 = 𝑥
2 + 4 = 𝑦
 
Podemos calcular o determinante deste sistema e definir se ele é L.I. 
 
[
1 −3
2 4
] = (1 ∗ 4) − (−3 ∗ 2) = 10 
 
Se o determinante é diferente de zero, então o conjunto de vetores é L.I. 
 
Agora saber se existem escalares que permitam escrever um vetor qualquer �⃗� = (𝑥, 𝑦) como combinação linear de 
𝐵. Para isso devemos resolver o sistema linear. 
 
�⃗� = (𝑥, 𝑦) = 𝛼1(1,2) + 𝛼2(−3,4) 
 
{
𝛼1 − 3𝛼2 = 𝑥 (𝐼)
2𝛼1 + 4𝛼2 = 𝑦 (𝐼𝐼)
 
 
(𝐼)𝛼1 = 𝑥 + 3𝛼2 
 
(𝐼𝐼)2𝛼1 + 4𝛼2 = 𝑦 
2(𝑥 + 3𝛼2) + 4𝛼2 = 𝑦 
2𝑥 + 6𝛼2 + 4𝛼2 = 𝑦 
2𝑥 + 10𝛼2 = 𝑦 
𝜶𝟐 =
𝒚 − 𝟐𝒙
𝟏𝟎
 
 
 
 
 
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(𝐼)𝛼1 = 𝑥 + 3𝛼2 
𝛼1 = 𝑥 + 3(
𝑦 − 2𝑥
10
) 
𝛼1 = 𝑥 + (
3𝑦 − 6𝑥
10
) 
𝛼1 = (
10𝑥 + 3𝑦 − 6𝑥
10
) 
𝜶𝟏 = (
𝟑𝒚 + 𝟒𝒙
𝟏𝟎
) 
 
Isto quer dizer que existem escalares que multiplicados pelos vetores geram o vetor �⃗� , então o conjunto de vetores 
𝐵 gera o espaço 𝑅2. 
 
 
Obs.: Quando estamos resolvendo sistemas de equações lineares, cada uma das colunas da matriz representa uma 
coordenada (x, y, z, por exemplo). Quando estamos resolvendo combinação linear entre vetores, cada uma das 
colunas irá representar um vetor, pois estamos combinando os escalares da mesma coordenada (x por exemplo), 
para gerar a coordenada (x) do vetor desejado. 











|||
|||
221 vvvA
 
 
b) O conjunto {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} é base do 𝑅3. 
 
Primeiro saber se os vetores do conjunto são L.I. 
 
[
1 1 1
1 1 0
1 0 0
] |
1 1
1 1
1 0
| = 0 + 0 + 0 − 1 − 0 − 0 = −1 
 
Se o determinante da matriz é diferente de zero, o conjunto é L.I. 
 
Saber se um vetor qualquer pode ser escrito como combinação linear dos vetores de 𝑩. 
 
�⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼1(1,1,1) + 𝛼2(1,1,0) + 𝛼3(1,0,0) 
 
{
𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 𝑥 (𝐼)
𝛼1 + 𝛼2 + 0 = 𝑦 (𝐼𝐼)
𝛼1 + 0 + 0 = 𝑧 (𝐼𝐼𝐼)
 
 
(𝑰𝑰𝑰)𝜶𝟏 = 𝒛 
 
(𝐼𝐼)𝛼1 + 𝛼2 + 0 = 𝑦 
𝑧 + 𝛼2 = 𝑦 
𝜶𝟐 = 𝒚 − 𝒛 
 
(𝐼)𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 𝑥 
𝑧 + 𝑦 − 𝑧 + 𝛼3 = 𝑥 
 
 
 
 
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𝜶𝟑 = 𝒙 − 𝒚 
Então os vetores de B geram o espaço 𝑅3, portanto B é base do 𝑅3. 
 
Consequências 
1) Os espaços R² e R³ possuem infinitas bases. 
2) Qualquer base do R² tem a mesma quantidade de vetores. 
3) Qualquer base do R³ tem a mesma quantidade de vetores. 
4) Das infinitas bases do R², uma é considerada a mais simples, chamada base canônica do R². Ela é constituída 
pelos vetores {𝑖 , 𝑗 }, onde 𝑖 = (1,0), 𝑗 = (0,1). 
 
5) Das infinitas bases do R³, uma é considerada a mais simples, chamada base canônica do R³. Ela é constituída 
pelos vetores {𝑖 , 𝑗 , �⃗� }, onde 𝑖 = (1,0,0), 𝑗 = (0,1,0) e �⃗� = (0,0,1). Nesta base os vetores unitários formam 
ângulos de 90° a cada dois deles, e por esse motivo a base também é conhecida como ortonormal. 
 
6) No R², qualquer conjunto com dois vetores L.I. constitui uma base. 
7) No R³, qualquer conjunto com três vetores L.I. constitui uma base. 
 
 
 
Base ortonormal 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Expressão analítica do vetor 
 
Dado o vetor 𝑣 qualquer do plano, existe uma só dupla de números 𝑥 e 𝑦 tal que 
𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 (1) 
Os números 𝑥 e 𝑦 são as componentes de 𝑣 na base canônica. A primeira componente é chamada abscissa de 𝑣 e a 
segunda componente é 𝑦 é a ordenada de 𝑣 . 
O vetor 𝑣 em (1) também pode ser representado como estamos acostumados: 
𝑣 = (𝑥, 𝑦) (2) 
neste caso, dispensando a referência à base canônica. Essa igualdade sugere a definição: 
“Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais.” 
O par ordenado (x,y) é chamado expressão analítica 𝑣 . Para exemplificar, veja a seguir alguns vetores e suas 
correspondentes expressões analíticas: 
 
3𝑖 − 5𝑗 = (3,−5) -4𝑖 = (−4,0) 3𝑗 = (0,3) 0⃗ = (0,0) 
 
Igualdade entre vetores 
Dois vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑦 = (𝑥2, 𝑦2) são iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2, escrevendo-se �⃗� = 𝑦 . 
Exemplo: O vetor �⃗� = (𝑥 + 1,4) é igual ao vetor 𝑣 = (5, 2𝑦 − 6) se 𝑥 + 1 = 5 e 2𝑦 − 6 = 4, ou 𝑥 = 4 e 𝑦 = 5. 
Assim, se �⃗� = 𝑣 , então𝑥 = 4, 𝑦 = 5 e �⃗� = 𝑣 = (5,4). 
Relembrando 
 
 
 
 
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Vetor definido por dois pontos 
Consideremos o vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ de origem no ponto A(x1, y1) e extremidade B(x2, y2). 
De acordo com o que foi visto anteriormente, os vetores têm expressões analíticas, onde AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗� − 𝐴 ou AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ =
(x1, y1) − (x2, y2) e AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (x1 − x2), (, y1 − y2), isto é, as componente de AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ são obtidas subtraindo-se das 
coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A. 
Ponto médio 
Seja o segmento de extremos A(x1, y1) e B(x2, y2). Sendo M(x,y) o ponto médio de AB, podemos expressar de 
forma vetorial como 
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
Ou (x − x1, y − y1) = (x2 − 𝑥, y2 − y) 
 E daí x − x1 = x2 − 𝑥 e y − y1 = y2 − y. 
Resolvendo em relação a x e y, temos 
2𝑥 = x1 + x2 e 2𝑦 = 𝑦1 + y2 
Portanto 𝑀 (
x1+x2
2
,
𝑦1+y2
2
) 
Exemplo: 
O ponto médio do segmento de extremos A(-2,3) e B(6,2) é: 
𝑀 = (
−2 + 6
2
,
3 + 2
2
)𝑜𝑢 𝑀 (2,
5
2
) 
Paralelismo de dois vetores 
Dois vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑦 = (𝑥2, 𝑦2) são paralelos, se existe um número real 𝛼 tal que �⃗� = 𝛼𝑦 , ou seja, �⃗� =
(𝑥1, 𝑦1)=𝛼(𝑥2, 𝑦2) ou = (𝑥1, 𝑦1)=(𝛼𝑥2, 𝛼𝑦2). 
Pela condição de igualde entre vetores resulta em 
𝑥1 = 𝛼𝑥2 e 𝑦1 = 𝛼𝑦2, donde 
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
= 𝛼 
Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralenos quando suas componente forem 
proporcionais. 
Obs.: Essa é a mesma condição discutida quando tratou-se de vetores Linearmente Dependentes. 
 
 
 
 
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Exemplo: 
Os vetores �⃗� = (−2,3) e 𝑣 = (−4,6) são paralelos pois 
−2
−4
=
3
6
= 2 
Módulo de um vetor 
Seja o vetor 𝑣 = (𝑥, 𝑦). Pelo teorema de Pitágoras vem 
|𝑣 | = √𝑥2 + 𝑦2 
Exemplo: 
Se 𝑣 = (2,−3), então 
|𝑣 | = √(2)2 + (−3)2 = √4 + 9 = √13 
Exercícios: 
1) Mostre que 𝑎 = (1,0,2),�⃗� = (−2,3,1),𝑐 = (3,2, −2) formam uma base do R³. 
2) Mostre que 𝑎 = (1,0,0),�⃗� = (2,3,1),𝑐 = (−1,−6,−2) não formam uma base do R³. 
3) Determinar o vetor �⃗⃗� na igualdade 3�⃗⃗� − 2�⃗� =
1
2
𝑣 + �⃗⃗� , sendo �⃗� = (3,−1)𝑒 𝑣 = (−2,4). 
4) Dados 𝐴 = (0,1,−1), 𝐵 = (1,2,−1), �⃗� = (−2,−1,1), 𝑣 = (3,0,−1), �⃗⃗� = (−2,2,2), verifique se existem 
escalares a1, a2 e a3, tais que: 
�⃗⃗� = 𝑎1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑎2�⃗� + 𝑎3𝑣 
5) Determinar os valores de m e n para que os vetores �⃗� = ( 𝑚 + 1, 3, 1 )𝑒 𝑣 = ( 4,2,2𝑛 − 1) sejam paralelos.