C. Apostila - Cálculo Dif e Int I - Derivada

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Universidade Nove de Julho – Uninove 
2º semestre de 2013 – Curso: Engenharia
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I - Profº: Edson A. Cardoso
Anotações de Aula – Derivadas
1. Bibliografia
Cálculo A e B. Flemming, D.M. Editora Person Education do Brasil, 2007.
Cálculo Vol. 1 e Vol. 2. Stewart, James. São Paulo. Editora Thomson Learning, 2009 .
Software livre: Winplot
4. DERIVADAS
4.1. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADAS
Exemplo 1:
Suponhamos que a temperatura de uma sala obedeça a seguinte função: f (x) = x2, sendo a temperatura medida em graus celsius (ºC) e o tempo em horas (h).
 
	Começamos a observar a temperatura a partir do instante x0 = 1 h. A temperatura, então, será f (1) = 12 = 1º C.
	Quando x = 3 h, p.e., a temperatura será f (3) = 32 = 9 ºC.
	Temos então que:
a partir de x0 = 1 h, a variável x aumentou de DUAS unidades (horas) e passou para x = 3 h.
Esta variação de x é indicada por (x, i.e.:
(x = x – x0 = 3 – 1 = 2
por sua vez, a temperatura y = f (x) também sofreu uma variação: passou de f (x0) = f (1) = 1ºC para f (x) = f (3) = 9ºC, ou seja, aumentou de OITO unidades.
calculando a razão (y/(x, temos:
esta razão, 
exprime a variação de y por unidade de variação de x, em média, no intervalo (x. Assim, no nosso exemplo, 
, significa que entre 1h e 3h, a temperatura aumentou de 4ºC por hora, em média.
Suponhamos agora, que tenhamos a necessidade de conhecer a variação da temperatura num instante bem próximo de x0 = 1h, que é o que chamamos de variação instantânea da temperatura.
Vamos calcular os valores da variação para intervalos cada vez mais próximos de 1h. Com isto, nosso valor de (x será cada vez menor e tenderá a zero.
	
i
	
xi (h)
	
(x (h)
	
 (ºC)
	
(y (ºC)
	
 (ºC/h)
	
1
	
1h30 =
1,5
	
1,5 – 1 = 0,5
	
	
2,25 –1 = 1,25
	
	
2
	
1 h e 12 min = 1,2
	
1,2 – 1 = 0,2
	
	
1,44 –1=
0,44
	
	
3
	
1 h e 6 min = 1,1
	
1,1 – 1 =
0,1
	
	
1,21 –1= 0,21
	
	
4
	
1 h e 1 seg = 1,0002777
	
1,0002777 –1 = 0,0002777
	
	
1,0005555 – 1= 0,0005555
	
	Podemos perceber que quanto mais próximo de x = 1 ((x = 0), mais a razão 
 aproxima-se de 2.
	Relembrando o conceito de limite, x tendendo a xo implica em (x tender a zero. Ou seja:
	 
	Este número, assim encontrado, 2 ºC/h, é denominado derivada de f (x) no ponto x0 = 1h, e sua representação é f’ (1).
	O resultado pode ser compreendido da seguinte forma:
( o limite da razão 
 quando 
, exprime a variação instantânea de y (temperatura) por unidade de variação de x (tempo), a partir de x0 = 1 h.
( ou de uma outra forma, o limite da razão 
 quando 
, exprime que, quando x aumenta de uma unidade de tempo, a partir de x0 = 1 h, a temperatura y aumentará aproximadamente 2 ºC.
	Assim, p.e., se a unidade de tempo é (x = 0,00027777 h, o aumento da temperatura, (y será aproximadamente de 2. (y = 2. 0,00027777 = 0,0005554, que confere com o nosso cálculo para x = 1 h 1 seg.
	Podemos então, definir a derivada da função f (x) como a tangente do ângulo ( correspondente aos segmentos de reta entre f (x1) e f (x) (equivalente a (y) e entre x e x1 (equivalentes a (x).
Exemplo 2:
Consideremos a função C (x) = custo da produção de x sapatos (em reais). Suponhamos que para uma produção de x0 = 2.000, tenhamos a derivada C’ (x) = 20 R$/sapato.
Qual será o significado disto? Significa que, se aumentarmos a produção de uma unidade e produzirmos x = 2.001 sapatos, o aumento será de R$ 20,00, aproximadamente.
Obs: Podemos também analisar a derivada geometricamente:
					(y
 (
 (x
	O ângulo ( representa a inclinação da reta r, e utilizando trigonometria, temos:
 				
 
4.2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO x0
 
 
4.2.1. DEFINIÇÃO
	Seja f (x) uma função definida num intervalo (a,b) e x0 um ponto deste intervalo.
A derivada de f (x) no ponto x0 é representada por:
 
se existir este limite e for diferente de + ( ou – (.
ou ainda:
 pois conforme o gráfico, temos:
e
Exemplo 1:
Determinar a derivada da função 
, no ponto x0 = 3.
Resolução:
	Calcularemos então o valor de f’ (3).
, x0 = 3 ( f (x0) = 2. 32 = 18
Substituindo: 
Exemplo 2:
Determinar a derivada da função 
, no ponto x0 = 2.
Resolução:
	Calcularemos então o valor de f’ (2).
, x0 = 2 ( f (x0) = 22 – 6.2 = – 8 
Substituindo: 
Exemplo 3:
Determinar a derivada da função 
, no ponto x0 = 0.
Resolução:
	Calcularemos então o valor de f’ (0).
, x0 = 0 ( (
= 0 
Substituindo: 
	Neste caso, dizemos que 
 não tem derivada no ponto x0 = 0. 
4.3. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
Convencionamos anteriormente que 
.
Daí conclui-se que:
se 
, então 
 	
 
 
	
	Substituindo essas conclusões, temos:
Exemplo 1:
Determinar a derivada da função 
.
Resolução:
Temos:
	Substituindo:
Observação: para uma maior facilidade nos cálculos, passaremos a usar o valor de x0 apenas como x.
Exemplo 2:
Determinar a derivada da função 
.
Resolução:
Temos:
	Substituindo:
Exemplo 3:
Determinar a derivada da função constante
.
Resolução:
Temos:
Substituindo:
4.4. REGRAS DE DERIVAÇÃO E PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DAS DERIVADAS
	O uso das derivadas a partir de sua definição acarretaria inúmeros cálculos para cada operação. Para evitar tais problemas, utilizaremos fórmulas desenvolvidas a partir daquela definição:
	Dada 
sua derivada será 
Exemplos:
1. 
(2 é uma constante)
2. 
(5 é uma constante)
3. 
(
 é uma constante)
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
	
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
4.5. DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA E DERIVADAS SUCESSIVAS
4.5.1 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA
Consideremos a função composta 
. 
Se as derivadas g’(u) e u’(x) existirem, então: 
 é a chamada Regra da Cadeia.
Exemplo 1:
Dada a função 
, calcule f’(x).
Resolução:
A função é da forma
 e chamaremos 
e 
 
Exemplo 2:
Dada a função 
, calcule f’(x).
Resolução:
A função é da forma
 e chamaremos 
 e 
 
Exemplo 3:
Dada a função 
, calcule f’(x).
Resolução:
A função é da forma
e usaremos 
, chamando 
 
Exemplo 4:
Dada a função 
, calcule f’(x).
Resolução:
A função é da forma
e usaremos 
, chamando 
 e 
4.5.2. DERIVADAS SUCESSIVAS
A notação f’ para designar derivadas é devida ao matemático Joseph Lagrange, na França do século XVIII. Ele também passou a usar f’, f’’, f’’’. etc, para designar sucessivas aplicações das derivadas numa função.
Exemplo 1:
Dada a função 
encontre a sua 2ª derivada 
Resolução
A derivada 2ª é indicada por f’’(x) 
Exemplo 2:
Dada a função 
encontre a sua 3ª derivada 
Resolução
Exercícios – DERIVADAS I
1. Seja f(x) = x4. Calcule:
a) f’(x) b) f’(1/2)
2. Calcule f’(x), sendo:
3. Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra prática:
4. Calcule, a partir da definição, as derivadas das funções abaixo:
5. Calcule, usando a regra prática, as derivadas das seguintes funções:
6. Encontre a derivada das seguintes funções:
Respostas:
1. a) 4x3 b) ½
2. 
3. 
4. 
5.
6.
Exercícios – DERIVADAS II
Calcule a derivada pela definição de: 
 , no pontox = 1.
Calcule a derivada da função 
 
3.) Se f(x) = 
 , calcule o valor de f ’ (x).
4.) Calcule a derivada da função 
 
5.) Determine a aceleração no instante t0 = 10 s de um móvel que tem o seu deslocamento segundo a expressão 
(t em segundos e v em metros por segundo).
6.) Calcule a derivada pela definição de: 
, no ponto x = – 1.
7.) Calcule a derivada da função 
 . 
8.) Se 
, calcule o valor de f ’ (x).
9.) Calcule a derivada da função 
 
10.) Determine a aceleração no instante t0 = 5 s de um móvel que tem o seu deslocamento segundo a expressão 
 (t em segundos e v em metros por segundo).
Exercícios – DERIVADAS III
Calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados, desenhando o gráfico da função, bem como a reta tangente ao ponto considerado e o ângulo de inclinação da reta:
; 
; 
; 
Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando as regras de derivação apropriadas:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
Calcule a derivada da função 
 fazendo uso da regra do produto para a derivada de duas funções.
Sugestão: Faça 
 e 
, a seguir aplique a regra do produto.
4. Encontre os valores extremos das funções abaixo, determinando se os mesmos são de máximo ou de mínimo, por meio do teste da derivada primeira:
a) 
b) 
c) 
5. O custo mensal de obtenção e armazenamento de estoque de uma empresa é dado pela seguinte função:
onde 
 é igual ao número de itens produzidos mensalmente. Determine a quantidade de itens que deve ser produzida por mês, para que o custo da empresa com estoques seja o mínimo possível.
6. O preço de um determinado produto é estimado em função dos meses do ano, segundo a função abaixo:
onde 
 são os meses, a serem contados de 1º de janeiro (
) a 1º dezembro (
). Determine o mês em que o preço do produto é máximo, por meio do teste da derivada primeira, e o valor deste preço.
7. A receita total de certa empresa admite como modelo a seguinte função:
onde x é o número de unidades produzidas. Qual o nível de produção que gera receita máxima?
Respostas:
1.
; 
. b) 
; 
. c) 
; 
.
2.
 a) 
 b) 
 c) 
 
 d) 
 e) 
 f) 
 g) 
 h) 
3. 
4. a) 
 (mínimo). b) 
 (máximo); 
 (mínimo). c) 
 (mínimo).
5. 1200 itens.
6. julho; R$ 76,00.
7. 
 unidades.
�
4.6. APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NO ESTUDO DO CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES
	Utilizando o gráfico de temperatura (ºC) por tempo (h), definiremos a derivada de outra maneira.
 
Relembrando:
					(y
 (
 (x
	O ângulo ( representa a inclinação da reta r, e utilizando trigonometria, temos:
 				
 
	Podemos então, definir a derivada da função f (x) como a tangente do ângulo ( correspondente aos segmentos de reta entre f (x1) e f (x) (equivalente a (y) e entre x e x1 (equivalentes a (x).
4.6.1. FUNÇÃO CRESCENTE
	Uma função f (x) é crescente num intervalo [a,b] se e somente se, para qualquer x1 e x2 pertencentes ao intervalo [a,b] tivermos: se x2 > x1 , então , f (x2) > f (x1)
Em resumo:
	Quando ocorrer um aumento nos valores de x1 para x2, os valores de f (x) também deverão aumentar.
4.6.2. FUNÇÃO DECRESCENTE
	Uma função f (x) é decrescente num intervalo [a,b] se e somente se, para qualquer x1 e x2 pertencentes ao intervalo [a,b] tivermos: se x2 > x1 , então , f (x2) < f (x1)
4.6.3. TESTE DA DERIVADA PARA A FUNÇÃO CRESCENTE
	
	Para uma função crescente, o ângulo ( será: 0º < ( < 90º, e conseqüentemente, sua tangente será positiva. Daí, concluímos que f ‘(x) será positiva ( f’ (x) > 0, pois:
 Se f (x) é uma função contínua em [a,b] e se f’ (x) > 0 para todo x em (a,b), então, f (x) é crescente em [a,b].
4.6.4.TESTE DA DERIVADA PARA A FUNÇÃO DECRESCENTE
 
	Para uma função decrescente, o ângulo ( será: 90º < ( < 180º, e conseqüentemente, sua tangente será negativa. Daí, concluímos que f ‘(x) será negativa ( f’ (x) < 0, pois:
Se f (x) é uma função contínua em [a,b] e se f’ (x) < 0 para todo x em (a,b), então, f (x) é decrescente em [a,b].
Exemplo 1:
Dada a função 
, determinar os intervalos nos quais ela é crescente e os intervalos nos quais ela é decrescente.
Resolução:
Cálculo de f’ (x): 
Para determinarmos o intervalo em que f (x) é crescente, impomos f’ (x) > 0, ou seja:
Portanto, f é crescente em (1 , + () 
Para determinarmos o intervalo em que f (x) é decrescente, impomos f’ (x) < 0, ou seja: 
Portanto, f é decrescente em (– ( , 1) 
Pelo gráfico:
 
Exemplo 2:
Dada a função 
, determinar:
os intervalos nos quais ela é crescente e os intervalos nos quais ela é decrescente
os pontos em que a tangente ao gráfico de f (x) (Gf (x)) é paralelo ao eixo x.
Resolução:
Cálculo de f’ (x): 
Para determinarmos o intervalo em que f (x) é crescente, impomos f’ (x) = 0, ou seja:
e calculando as raízes da equação do 2º grau, temos: x1 = 1 e x2 = 2
Assim:
 + + + + + + + + + + – – – – – – – – – + + + + + + + + + + 
f (x) crescente decrescente crescente
 1 2
f (x) é crescente em (– ( , 1) e (2 , + () e decrescente em (1 , 2)
os pontos em que a tangente ao gráfico é paralela ao eixo x, são os pontos onde f’ (x) = 0 ( f (1) e f (2)
Pontos: (1, f (1)) e (2, f(2)) ( (1, 2) e (2,1)
Pelo gráfico:
 
4.7. APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NO ESTUDO DOS MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES
4.7.1. Máximo Relativo
	Dizemos que a função f (x) tem máximo relativo (ou máximo local) no ponto x0 do intervalo (a,b) quando a ordenada f (x0) correspondente ao ponto x0 é maior do que ou igual às ordenadas f (x) em pontos x suficientemente próximos de x0. Podemos notar que f (x0) é o maior valor (mais “alto”) do gráfico, no intervalo (a,b).
	O ponto x0 é denominado ponto de máximo relativo ou ponto de máximo local.
	( f (x0) é o máximo relativo ou máximo local de f (x)
	
4.7.2. MÍNIMO RELATIVO
Dizemos que a função f (x) tem mínimo relativo (ou mínimo local) no ponto x0 do intervalo (a,b) quando a ordenada f (x0) correspondente ao ponto x0 é menor do que ou igual às ordenadas f (x) em pontos x suficientemente próximos de x0. Podemos notar que f (x0) é o menor valor (mais “baixo”) do gráfico, no intervalo (a,b).
	O ponto x0 é denominado ponto de mínimo relativo ou ponto de mínimo local.
	( f (x0) é o mínimo relativo ou mínimo local de f (x)
Observação: usamos o termo “relativo” ou “local” por que consideramos o comportamento da função em relação a uma “vizinhança” de x0.
	Vejamos o gráfico:
 
	A função f tem máximo relativo no ponto A e mínimo relativo no ponto B.
	Deve-se ressaltar que um máximo relativo não é necessariamente o maior de todos os valores que a função pode ter, nem um mínimo relativo, o menor.
	Assim, no gráfico acima, vê-se que a função (à direita de B) tem valores maiores que o máximo A e valores (à esquerda de A) menores do que o mínimo B.
( O maior valor que f (x) atinge em seu domínio é denominada máximo absoluto de f (x).
( O menor valor que f (x) atinge em seu domínio é denominadomínimo absoluto de f (x).
4.7.3. CONDIÇÕES NECESSÁRIAS PARA A EXISTÊNCIA DE UM MÁXIMO OU MÍNIMO RELATIVOS
Se x0 é um ponto de máximo relativo (ou mínimo relativo) de f (x) 
e se existe f’ (x0), então f’ (x0) = 0
	Dizer que f’ (x0) = o é o mesmo que dizer que o coeficiente angular da reta tangente t ao gráfico de f (x) (G f (x)) no ponto x0 é zero, i.e., a reta tangente t à curva f (x), se existir, é paralela ao eixo x nesse ponto.
Observação: A condição de f’ (x0) = 0 é apenas necessária para que f tenha máximo (ou mínimo) relativo em x0, por que é possível f’ (x0) = 0 sem que ocorra máximo (ou mínimo) em x0.
 
			 f (x)
 								G f (x) 			
								 t				
		 0 x0 				x
		 	
	Em x0 a “tangente” ao gráfico é paralela ao eixo x, mas x0 não é ponto de máximo nem de mínimo relativo.
	Dizemos que neste caso, x0 é ponto de inflexão de f (x).
	As raízes de f’ (x) = 0 são denominados de números críticos de f (x), ou pontos críticos de f (x). Estas raízes são assim chamadas pois são possíveis máximos (ou mínimos) de f.
Exemplo:
Determinar os números críticos de: 
Resolução:
cálculo de f’ (x): 
cálculo das raízes: 
e calculando as raízes da equação do 2º grau, temos: x1 = – 1 e x2 = 3 
os números críticos de 
 são 
 e 
isto significa que os possíveis pontos de máximo relativo ou mínimo relativo de f (x) são os números – 1 e 3.
4.8. DETERMINAÇÃO DE MÁXIMO (MÍNIMO) RELATIVO
4.8.1. 1° MÉTODO – TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA
Considerando a função f (x), contínua num intervalo (a,b), e seja x0 um ponto deste intervalo.
Suponhamos que x0 seja uma das raízes de f’ (x), isto é, f’ (x0) = 0.
Já sabemos que as raízes da equação f’ (x) = 0, chamadas de números críticos de f (x), são os possíveis extremos locais de f.
Para sabermos se x0 é ponto de máximo (ou de mínimo) relativo de f (x), estudaremos o sinal de f’ (x) na vizinhança de x0.
No gráfico abaixo (I), observamos que, quando f (x) tem ponto de máximo relativo em x0:
f (x) é crescente para valores de x ligeiramente menores que x0, i.e., f’ (x) > 0
f (x) é decrescente para valores de x ligeiramente maiores que x0, i.e., f’ (x) < 0
x0 será ponto de máximo relativo de f (x) se, numa vizinhança de x0, f’ (x) troca seu sinal algébrico de + para – , quando x cresce passando por x0.
I) 						 II)
No gráfico acima (II), observamos que, quando f (x) tem ponto de mínimo relativo em x0:
f (x) é decrescente para valores de x ligeiramente menores que x0, i.e., f’ (x) < 0
f (x) é crescente para valores de x ligeiramente maiores que x0, i.e., f’ (x) > 0
x0 será ponto de mínimo relativo de f (x) se, numa vizinhança de x0, f’ (x) troca seu sinal algébrico de – para +, quando x cresce passando por x0.
Observação: se f’ (x) não muda de sinal quando x passa por x0, então x não é ponto de máximo relativo e nem ponto de mínimo relativo de f (x). 
Para determinar os extremos de f usando o teste da derivada primeira, seguimos o seguinte roteiro:
	1º) Calculamos f’ (x)
	2º) Calculamos os números críticos de f (x), fazendo f’ (x) = 0
	3º) Aplicamos o teste da derivada primeira:
sinal de f’ (x): de + para – ( máximo em x0 
sinal de f’ (x): de – para + ( mínimo em x0 
Exemplo 1:
Determinar os pontos de máximo relativo e de mínimo relativo da função: 
cálculo de f’ (x): 
cálculo das raízes: 
e calculando as raízes da equação do 2º grau, temos: x1 = – 1 e x2 = 3 
os números críticos de 	
 são 
 e 
teste da derivada primeira:
 + + + + + + + + + + – – – – – – – – – + + + + + + + + + + 
f (x) crescente decrescente crescente
 – 1 3
no número crítico x1 = – 1, o sinal de f’ (x) passa de + para – ; portanto, x1 = – 1 é ponto de máximo relativo de f (x);
no número crítico x2 = 3, o sinal de f’ (x) passa de – para +; portanto, x2 = 3 é ponto de mínimo relativo de f (x);
	Vejamos o gráfico abaixo:
 
Exemplo 2:
Determinar os pontos de máximo relativo e de mínimo relativo da função: 
cálculo de f’ (x): 
cálculo das raízes: 
e calculando as raízes da equação do 2º grau, temos: x1 = x2 = 0 
os números críticos de 	
 são 
 
teste da derivada primeira:
 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
f (x) crescente crescente
 0
no número crítico x1 = x2 não há mudança de sinal de f’ (x), pois é + à esquerda e à direita da raiz.
concluímos que f (x) = x3 não possui ponto de máximo ou mínimo relativo
	Vejamos o gráfico abaixo:
 
4.8.2. 2º MÉTODO – TESTE DA DERIVADA SEGUNDA
O teste da derivada segunda para determinar extremos relativos envolve somente o número crítico x0. Não envolve a vizinhança de x0. Em geral, é o teste mais simples a ser aplicado.
Consideremos o exemplo abaixo:
	Determinar os pontos de máximo relativo e de mínimo relativo da função: 
cálculo de f’ (x): 
cálculo das raízes: 
e calculando as raízes da equação do 2º grau, temos: x1 = – 1 e x2 = 3 
os números críticos de 
 são 
 e 
teste da derivada segunda:
- 
calcule f’’ (x1) e f’’ (x2):
se 
( temos ponto de mínimo em x2
- se 
( temos ponto de máximo em x1
Resumindo:
se x0 é um número crítico de uma função f (x), para o qual f’ (x0) = 0 e se f’’(x0) < 0, então, f (x) tem um ponto de máximo relativo em x0.
se x0 é um número crítico de uma função f (x), para o qual f’ (x0) = 0 e se f’’(x0) > 0, então, f (x) tem um ponto de mínimo relativo em x0.
Para determinar os extremos de f usando o teste da derivada segunda, seguimos o seguinte roteiro:
	1º) Calculamos f’ (x)
	2º) Calculamos os números críticos de f (x), fazendo f’ (x) = 0
	3º) Calculamos f” (x)
	4º) Aplicamos o teste da derivada segunda:
sendo f” (x) < 0 ( máximo em x0 
sendo f” (x) > 0 ( mínimo em x0 
Exemplo:
Determinar os pontos de máximo relativo e de mínimo relativo da função: 
cálculo de f’ (x): 
cálculo das raízes: 
e calculando as raízes da equação do 2º grau, temos: x1 = – 3 e x2 = 1 
os números críticos de 
 são 
 e 
cálculo de f” (x): 
teste da derivada segunda:
- 
calcule f’’ (x1) e f’’ (x2):
como 
( temos ponto de mínimo em x2 = 1
- como 
( temos ponto de máximo em x1 = – 3 
4.9. APLICAÇÃO DA TEORIA DOS MÁXIMOS E MÍNIMOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
	A teoria que foi desenvolvida para a determinação de extremos de funções pode ser aplicada na resolução de problemas práticos.
	Na resolução destes problemas, é importante observar qual é a função que vem acompanhada das expressões máximo, mínimo ou equivalentes: maior, menor, etc.
	A solução do problema deve girar em torno desta função. Vamos chamá-la, por esta razão, de função principal.
	Os outros dados do problema servirão para fazer com que a função principal tenha uma só variável.
Exemplo 1:
Dentre todos os retângulos de 16 cm de perímetro, qual o de maior área?
Resolução:							 x	 	
sejam x e y os lados do retângulo 
 y 
o perímetro do retângulo é dado por: P (x,y) = x + x + y + y = 2.x + 2.y
a área do retângulo é dado por: A (x,y) = x.y
a função principal é a de área, pois é dela que se deseja o maior valor (máximo)
trabalhando com as expressões de P (x,y) e A(x,y), temos: 
como queremos a “área máxima”, usaremos a função da área para achar seuspontos críticos:
usando o “Método da Derivada Segunda” temos
 é ponto de máximo
calculando o valor de x, temos
Conclusão:
O retângulo de maior área e perímetro igual a 16 cm, é um quadrado de lado 4 cm
Exemplo 2:
Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo cujos catetos medem 20 m e 40 m, respectivamente. Pretende-se construir um edifício retangular com frente para o maior cateto, de modo que a área recoberta seja máxima. Quais são as dimensões que se deve dar ao edifício?
Resolução:									
sejam x e y os lados do retângulo CEDF, dentro do triângulo ABC B 
a área do retângulo será: A (x,y) = x.y 
para que possamos encontrar a função derivada de D E
A (x,y), necessitamos de uma função com y 20 m
uma variável. Para isso, usaremos o x
semelhança de triângulo, em ABC e 	A	 F C
DBE:							 40 m
substituindo y em A(x,y) = x.y, temos:
usando o “Método da Derivada Segunda” temos
	
 é ponto de máximo
calculando o valor de y, temos
Conclusão:
O edifício deverá ter 20 m de comprimento por 10 m de largura
Exemplo 3:
Deseja-se construir uma piscina de base quadrada e com capacidade para 32 m3. Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material usado no seu revestimento interno.
Resolução:									
 h x 
 
 x
sejam x e h os lados do paralelepípedo (piscina). O volume da piscina é dado por V(x,h) = x2.h ( V (x,h) = 32
o revestimento interno corresponde as áreas internas dos retângulos representados por:
 paredes da piscina
 										 h
 fundo da piscina x
							 x
 x
A área total será: A 1 (fundo da piscina) = x.x = x2 
 A2 (laterais) = 4. x. h A (x,h) = x2 + 4.x.h
substituindo h em A(x,h) = x2+4.x.h temos:
usando o “Método da Derivada Segunda” temos
 é ponto de máximo
calculando o valor de h, temos
Conclusão:
A piscina deverá medir 4 m de lado por 2 m de profundidade.
Exercícios – DERIVADAS IV
Ache os pontos de máximo e de mínimo, caso haja, das funções abaixo:
Na fabricação de um produto, o custo, em reais, para produzir q unidades é dado por C(q) = 0,1q3 – 3q2 + 36q + 100, obtenha:
A função custo marginal.
O custo marginal para produzir a 11ª unidade.
O valor real para produzir a 11ª unidade.
Em uma fábrica de ventiladores, o preço de um tipo de ventilador é dado por p=-2q + 800, onde 0 ( q ( 400.
Obtenha a função Receita.
Obtenha a função Receita Marginal.
Obtenha a Receita Marginal para o 101º ventilador.
Em uma indústria têxtil, a receita na venda de um tipo de toalha é dada por R(q) = - 0,001q2 + 10q, onde 0 ( q ( 10.000. Suponha que o custo para a produção das toalhas seja dado por C(q) = 2q + 12.000.
Obtenha a função Lucro.
Obtenha a função Lucro Marginal.
Obtenha o Lucro Marginal aos níveis de q = 3.000 e q = 5.000.
Obtenha a quantidade que dá o lucro máximo.
Uma apresentação teatral para fins filantrópicos irá custar R$15,00 por pessoa se o número de entradas não exceder 150. Contudo, o custo por entrada fica reduzido de R$0,07 para cada bilhete que exceder 150. Quantos bilhetes devem ser vendidos para maximizar a venda?
Sob concorrência perfeita uma empresa pode vender ao preço de R$100,00 a unidade certo produto por ela produzido. Se x unidades for a produção diária, o custo total da produção será 
. Ache o número de unidades que a empresa deveria produzir para ter o lucro máximo.
Um atacadista oferece entregar a um comerciante 300 cadeiras a R$90,00 a unidade e reduzir o preço de cada cadeira em R$0,25 na encomenda toda, para cada cadeira adicional acima de 300. Ache o total de cadeiras envolvido na maior transação possível entre o atacadista e o comerciante nessas circunstâncias.
Um determinado produto tem preço de produção de R$4,00. Ao vendê-lo a x reais o fabricante espera vender 
 unidades. A que preço deve ser vendido o produto para que haja lucro máximo?
Um sitiante plantou 30 abacateiros e cada árvore produz 100 abacates em média. Pretendendo aumentar o número de árvores, o sitiante sabe que cada árvore nova plantada fará diminuir em 2 abacates o número médio produzido pelas árvores. Quantas árvores deverá plantar para obter o número máximo de abacates?
O custo total de uma empresa é dado por 
, onde x é o número de unidades produzidas. Sendo a função preço total representada por 
 :
Determine o número de unidades que devem ser fabricadas para que o custo seja mínimo.
Calcule o número de unidades produzidas para que o lucro seja máximo.
Uma empresa tem lucro total de fabricação dado por 
. Calcule o número de unidades que maximizam o lucro.
Um distribuidor nacional de brinquedos estabelece os seguintes modelos de custo e receita para um de seus jogos: 
 e 
. Calcule o número de unidades que maximizam o lucro.
A função lucro para uma lanchonete que vende hambúrgueres é dada por 
. Ache o nível de produção que gera lucro máximo.
Exercícios – DERIVADAS V
1. O custo mensal de obtenção e armazenamento de estoque de uma empresa é dado pela seguinte função:
onde 
 é igual ao número de itens produzidos mensalmente. Determine a quantidade de itens que deve ser produzida por mês, para que o custo da empresa com estoques seja o mínimo possível.
2. O preço de um determinado produto é estimado em função dos meses do ano, segundo a função abaixo:
onde 
 são os meses, a serem contados de 1º de janeiro (
) a 1º dezembro (
). Determine o mês em que o preço do produto é máximo, por meio do teste da derivada primeira, e o valor deste preço.
3. A receita total de certa empresa admite como modelo a seguinte função:
onde x é o número de unidades produzidas. Qual o nível de produção que gera receita máxima?
4. Calcule a derivada da função 
, no ponto P de abscissa t = 2 é dada por:
5. Dadas as funções que dão os valores de produção de um determinado elemento, calcule os limites quando x vai ao infinito: 
 e 
Um distribuidor nacional de brinquedos estabelece os seguintes modelos de custo e receita para um de seus jogos: 
 e 
. Calcule o número de unidades que maximizam o lucro.
Na fabricação de um produto, o custo, em reais, para produzir q unidades é dado por C(x) = 0,1x3 – 3x2 + 36x + 100, obtenha:
a) A função custo marginal.
b) O custo marginal para produzir a 12ª unidade.
O valor real para produzir a 12ª unidade.
Em uma indústria têxtil, a receita na venda de um tipo de toalha é dada por R(x) = – 0,001x2 + 10x, onde 0 ( x ( 10.000. Suponha que o custo para a produção das toalhas seja dado por C(x) = 2x + 12.000.
a) Obtenha a função Lucro.
b) Obtenha a função Lucro Marginal.
c) Obtenha o Lucro Marginal aos níveis de x = 3.000 e x = 5.000.
Obtenha a quantidade que dá o lucro máximo.
O custo total de uma empresa é dado por 
, onde x é o número de unidades produzidas. Sendo a função preço total representada por 
 :
a) Determine o número de unidades que devem ser fabricadas para que o custo seja mínimo.
b) Calcule o número de unidades produzidas para que o lucro seja máximo.
Uma empresa tem lucro total de fabricação dado por 
. Calcule o número de unidades que maximizam o lucro.
Um distribuidor nacional de brinquedos estabelece os seguintes modelos de custo e receita para um de seus jogos: 
 e 
. Calculeo número de unidades que maximizam o lucro.
Em uma fábrica de ventiladores, o preço de um tipo de ventilador é dado por PR (x) = 800 – 2x, onde 0 ( x ( 500.
a) Obtenha a função Receita.
b) Obtenha a função Receita Marginal.
c) Obtenha a Receita Marginal para o 101º ventilador.
13. Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra prática:
14. Uma empresa pode vender seu produto no máximo a R$ 100,00 a unidade. Encontre a quantidade de produtos que ela deverá vender para obter lucro máximo, se o seu custo de produção é regido pela função CT (p) = p2 + 20p + 700.
Tabelas de Fórmulas de Derivadas
TABELA I
Adotaremos a seguinte legenda:
x ( variável
c ( constante
função de x ( f (x)
derivada da função f (x) ( f’ (x)
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
TABELAS II
Tabela mais compacta e adotaremos a seguinte legenda:
x ( variável
a , c , n ( constante
u , v ( funções de x
derivada da função ( u’ , v’
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16.
17. 
 
 f (ºC) 
 9,0 f (3) = 9
 8,0
 7,0 G f(x)
 6,0
 (y
 5,0
 
 
 4,0
 3,0 
 
 2,0
 f (1)=1
 1,0
 
 0
 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 x (t)
 (x
 x0 = 1 x = 3
 
 f (x) 
 
 
 G f (x) 
 
 
 
 f (x)
 (y
 
 f (x0) 
 
 
 
 a x0 x b x 
 					 (x
	
 
 
 f (x) 
 
 
 G f (x) 
 
 
 f (x0 + (x )
 
 
 (y
 
 f (x0) 
 
 
 
 a x0 x0 + (x b x
 (x 
 
 
 f (ºC) r 
 9,0 f (3) = 9
 8,0
 7,0 G f(x)
 6,0
 (y
 5,0
 
 
 4,0
 3,0 ( 
 
 2,0
 f (1)=1
 1,0
 
 0
 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 x (t)
 (x
 x0 = 1 x = 3
 
 f (x) G f (x) 
 
 
 
 f (x2)
 
 
 f (x1) 
 0
 0 a x1 x2 b x 
 
 
 f (x) G f (x) 
 
 
 
 f (x1)
 
 
 f (x2) 
 
 0 a x1 x2 b x 
 
 
Em resumo:
Quando ocorrer um aumento nos valores de x1 para x2, os valores de f (x) deverão diminuir.
 
 f (x) G f (x) t 
 
 
 
 
 
 						(			
 0 a b x 
 
 
 
 f (x) G f (x) 
 t
 
 
 
 
														(	
 
 
 0 a b x 
 
 
 f (x) G f (x) = x2 – 2x 
 
 
 
 decrescente crescente 
 
	 0	 1 2												
 
 
 
 
 
 f (x)
 
 2 
 
 
 
 
 
 1	 							 					
 
 
 
 
 
 0 1 2 x
 f (x) 
 
 f (x0)				 G f (x) 
 f (x2) 
 
 f (x1)
 
 									
 
 
 0 a x1 x0 x2 b x 
 
 
 f (x) 
 						 G f(x)		
 				 
 f (x2) 
 
 f (x1)
 
 f (x0)
 									
 
 0 a x1 x0 x2 b x 
 
 f (x)	 máximo local	
 A 
 
 
 
 
 				 B Gf(x)
 
	 							 					
 						 mínimo local
 
 
 0 a x1 x2 b x 
 f (x)
 t
 mínimo
 0 x0 x
 f (x)
 máximo
 		 t
 0 x0 x
 f (x)f’ (x) < 0 f’ (x) > 0
 t
 f’ (x) = 0
 0 x0 x
 f (x)
 f’ (x) = 0
 		 t
 f’ (x) > 0 f’ (x) < 0
 
 0 x0 x
 f (x)	 
 máximo 
 
 
 3
 
 – 1 			 x	 
 
	 							 					 						 Gf(x)
 
 
 
 mínimo 
 f (x)	 
 
 					 Gf(x) 
 
 
 
 			 	 
 
	 							 					 						 
			 0	 x	
 
 
 
 
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