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A´lgebra Linear - Lista 1
1. Considere as seguintes matrizes
A =
(
2 0
6 7
)
, B =
(
0 4
2 −8
)
, C =
( −6 9 −7
7 −3 −2
)
,
D =
 2 4 −64 0 1
1 4 −6
 , E =
 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1

Se for poss´ıvel, calcule:
(a) AB −BA
(b) 2C −D
(c) (2Dt − 3Et)t
(d) D2 −DE.
2. Encontre um valor de x tal que ABt = 0, em que
A =
(
x 4 −2 ) e B = ( 2 −3 5 ) .
3. Mostre que as matrizes da forma A =
(
1 1y
y 1
)
, em que y e´ um nu´mero real na˜o nulo, satisfazem
a equac¸a˜o X2 = 2X.
4. Mostre que se A e B sa˜o matrizes que comutam com a matrizM =
(
0 1
−1 0
)
, enta˜o AB = BA.
5. Verifique que A3 =
 0 0 00 0 0
0 0 0
, para A =
 0 1 00 0 1
0 0 0
 .
6. Seja A =
(
a b
c d
)
uma matriz qualquer de ordem 2.
Prove que A2 =
(
0 0
0 0
)
se e somente se a+ d = 0 e ad− bc = 0.
7. Descreva todas as poss´ıveis matrizes 3× 3 que esta˜o na forma escada.
8. Descreva todas as poss´ıveis matrizes elementares de ordem 3.
9. Seja A =
 1 0 51 1 1
0 1 −4
 .
(a) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema (A+ 4I3)X = 0;
(b) Encontre a solucc¸a˜o geral do sistema (A− 2I3)X = 0.
1
10. Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema na˜o tem
soluc¸a˜o, tem soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas soluc¸o˜es:
(a)

x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a+ 2
;
(b)

x + y + z = 2
2x + 3y + 2z = 5
2x + 3y + (a2 − 1)z = a+ 1
.
11. Determine os coeficientes a, b, c e d da func¸a˜o polinomial p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, cujo gra´fico
passa pelos pontos P1 = (0, 10), P2 = (1, 7), P3 = (3,−11) e P4 = (4,−14).
12. Resolva os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas sa˜o:
(a)
 1 2 3 1 81 3 0 1 7
1 0 2 1 3
 (b)
 1 1 3 −3 00 2 1 −3 3
1 0 2 −1 −1
 (c)

1 2 3 0
1 1 1 0
1 1 2 0
1 3 3 0

13. Se poss´ıvel, encontre as inversas das seguintes matrizes:
(a)
 1 2 31 1 2
0 1 2
 (b)

1 1 1 1
1 2 −1 2
1 −1 2 1
1 3 3 2
 (c)
 1 2 31 1 2
0 1 1

14. Resolva o sistema AX = B, se A−1 =
(
2 3
4 1
)
e B =
(
5
3
)
.
15. Se det(A) = −3, encontre:
(a) det(A2);
(b) det(A3);
(c) det(A−1);
(d) det(At);
16. Se A e B sa˜o matrizes de ordem n tais que det(A) = −2 e det(B) = 3, calcule det(AtB−1).
17. Determine todos os valores de λ para os quais det(A− λIn) = 0, em que
(a) A =
 0 1 20 0 3
0 0 0
 (b) A =
 1 0 0−1 3 0
3 2 −2

(c) A =
 2 −2 30 3 −2
0 −1 2
 (d) A =
 2 2 31 2 1
2 −2 1

2