Estatística - Aula 001

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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br
ÍNDICEÍNDICEÍNDICEÍNDICEÍNDICE
CAPITULO 1 – CONCEITOS BÁSICOS ............................................................................................................................ 3
1.1 – ESTATÍSTICA ...................................................................................................................................... 3
1.2 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA ................................................................................................................ 3
1.3 – ESTATÍSTICA INFERENCIAL ............................................................................................................. 3
1.4 – POPULAÇÃO OU UNIVERSO ........................................................................................................... 3
1.5 – CENSO .............................................................................................................................................. 3
1.6 – AMOSTRA ........................................................................................................................................... 3
1.7 – EXPERIMENTO ALEATÓRIO ............................................................................................................. 3
1.8 – EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO .................................................................................................. 3
CAPÍTULO 2 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ............................................................................................................. 3
2.1 – DADOS ESTATÍSTICOS ..................................................................................................................... 3
2.2 – DADOS BRUTOS ............................................................................................................................... 3
2.3 – ROL ................................................................................................................................................ 3
2.4 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA .................................................................................................... 3
2.5 – ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA .............................................................. 4
CAPITULO 3 – MEDIDAS DE POSIÇÃO ........................................................................................................................... 9
3.1 – INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 9
3.2 – MÉDIA ARITMÉTICA ( )X ................................................................................................................. 9
3.2.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS .......................................................... 9
3.2.2. DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA ARITMÉTICA ....................................................................... 9
3.2.3. PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA ........................................................................... 10
3.3 – MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................................ 11
3.3.1. DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS ................................. 11
3.3.2. DADOS AGRUPADOS CONFORME UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS POR CLASSE .... 12
3.3.3. PROCESSO BREVE PARA CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA ........................................... 13
CAPÍTULO 4 – MODA (Mo) ............................................................................................................................................ 15
4.1 – MODA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ......................................................................................... 15
4.2 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS ................................................................................................. 15
4.2.1. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA. ............... 15
4.2.2. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR CLASSE ....................................................................................................................... 15
4.3 – DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA MODA ............................................................................................. 17
4.4 – A MODA NA CURVA DE FREQÜÊNCIA. ........................................................................................... 17
CAPÍTULO 5 – MEDIANA (Md) ....................................................................................................................................... 18
5.1 – MEDIANA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ................................................................................... 18
5.2 – MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................................................ 19
5.2.1. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR VALOR .......................................................................................................................... 19
5.2.2. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR CLASSE ....................................................................................................................... 20
5.3 – RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA ARITMÉTICA, MEDIANA E MODA ......................................................... 21
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CAPÍTULO 6 – SEPARATRIZES ..................................................................................................................................... 21
6.1 – QUARTIS ......................................................................................................................................... 21
6.2 – DECIS .............................................................................................................................................. 22
6.3 – PERCENTIS .................................................................................................................................... 23
CAPÍTULO 7 – OUTRAS MÉDIAS .................................................................................................................................. 24
7.1 – MÉDIA GEOMÉTRICA (G) ................................................................................................................. 24
7.1.1. MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ..................................................... 24
7.1.2. MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................. 24
7.2 – MÉDIA HARMÔNICA (H) ................................................................................................................... 24
7.2.1. MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ....................................................... 24
7.2.2. MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................... 24
CAPÍTULO 8 – MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE ............................................................................. 25
8.1 – DISPERSÃO OU VARIABILIDADE ................................................................................................... 25
8.2 – AMPLITUDE TOTAL ......................................................................................................................... 25
8.2.1. DADOS NÃO AGRUPADOS .................................................................................................. 25
8.2.2. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA. ......................... 25
8.2.3. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE .......... 25
8.3 – VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
8.3.1. PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ........................................................................................ 26
8.3.2.PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA........................... 27
8.3.3. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE .......... 28
8.3.4. PROCESSO BREVE PARA CÁLCULOS DO DESVIO PADRÃO ........................................... 29
Capítulo 9 – TESTES DE ESTATÍSTICA .................................................................................................................... 31
Capítulo 10 – BATERIA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E COMENTADOS .................................................................. 44
10.1 – BATERIA 1 ........................................................................................................................................ 44
10.2 – BATERIA 2 ........................................................................................................................................ 45
10.3 – BATERIA 3 ........................................................................................................................................ 47
10.4 – BATERIA 4 ........................................................................................................................................ 50
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Capitulo 1
CONCEITOS BÁSICOS
1.1 — ESTATÍSTICA
A estatística constitui uma parte da matemática aplicada
que tem como finalidade obter conclusões sobre os verda-
deiros parâmetros do universo, utilizando para isso a cole-
ta, a organização, a descrição, a análise e a interpretação
dos dados.
1.2 — ESTATÍSTICA DESCRITIVA
É o ramo da estatística que se preocupa apenas em des-
crever os dados observados da amostra, sem se preocu-
par em fazer previsões sobre os parâmetros do universo.
Na estatística descritiva temos a coleta, organização e
descrição dos dados.
1.3 — ESTATÍSTICA INFERENCIAL
A estatística inferencial ou estatística indutiva é a parte
mais importante da estatística, pois é a inferência estatís-
tica que permite a análise e a interpretação dos dados atra-
vés de estimativas de parâmetros do universo.
1.4 — POPULAÇÃO OU UNIVERSO
É qualquer conjunto de elementos ou indivíduos, com pelo
menos uma característica comum ao objeto em estudo.
Exemplo:
? A população de alturas dos candidatos ao concurso de
AFRF/2000;
? A população de escolas de estatística no Brasil em 2000;
? A população de computadores em São Paulo.
A população pode ser dita finita ou infinita conforme o nú-
mero de elementos que possui. Por exemplo a população
dos pesos dos candidatos ao concurso do ICMS/2002 é finita.
Porém se cada aluno é sorteado e recolocado no conjunto
para novo sorteio, teríamos a população de pesos infinita.
Na prática consideramos como infinitas aquelas popula-
ções com número de elementos muito grande.
1.5 — CENSO
O censo é o processo que consiste no exame de todos os
elementos da população.
Na prática, a coleta de dados sobre a população requer:
I — Disponibilidade de tempo
III — Precisão dos dados coletados
III — Recursos financeiros
IV — Planejamento das etapas de coleta
Portanto, são muitas as dificuldades para a realização de
um censo, logo, nos geralmente utilizamos os processos
de amostragem.
1.6 — AMOSTRA
Amostra é qualquer subconjunto não vazio da população.
Para a seleção da amostra devemos tomar cuidado para
que a amostra seja representativa da população, conside-
rando a aleatoriedade da seleção e o tamanho da amostra.
1.7 — EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Experimentos Aleatórios são aqueles que, repetidos nas mes-
mas condições, produzem resultados possíveis e diferentes.
Exemplo:
O lançamento de uma moeda honesta várias vezes nas
mesmas condições, produz cara ou coroa como resultado,
que só pode ser conhecido após o lançamento.
1.8 — EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO
Quando o resultado do experimento já está determinado antes de
sua realização, portanto não interessa ao estudo da Estatística.
Capítulo 2
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
2.1 — DADOS ESTATÍSTICOS
Dados estatísticos são todas as informações levantadas
(coletadas) que servirão como base para o estudo e aná-
lise estatística e que chamaremos de Dados.
2.2 — DADOS BRUTOS
Dados Brutos são dados inicialmente coletados que ainda
não foram organizados sistematicamente.
2.3 — ROL
Rol é qualquer arranjo de dados brutos em ordem cres-
cente ou decrescente.
2.4 — DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
A Distribuição de Freqüência é uma disposição de dados
numéricos, de acordo com o tamanho ou magnitude dos
mesmos.
Neste tipo de série não variam local, tempo e o fato.
A distribuição de freqüência pode ser apresentada por va-
lor (único) ou por grupo de escalares (classes), discrimi-
nando a freqüência dos mesmos.
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Exemplo:
a) Distribuição de freqüência por valor:
NOTAS DOS APROVADOS NO AFRF/2000-SP
NOTAS FREQÜÊNCIAS
0 2
1 4
2 5
3 4
4 8
5 3
6 9
7 5
8 2
9 8
TOTAL 50
FONTE: ALUNO
b) Distribuição de freqüência por classe:
NOTAS DOS APROVADOS NO AFRF/2000-SP
NOTAS FREQÜÊNCIAS
 0 20 10
20 40 15
40 60 50
60 80 20
80 100 5
TOTAL 100
FONTE: ALUNO
2.5 - ELEMENTOS DE UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
A Tabela abaixo representa as notas de100 alunos apro-
vados no concurso de AFTN/94 em São Paulo.
NOTAS DOS ALUNOS APROVADOS NO CONCURSO
AFTN/94-SP
Descrevemos a seguir cada coluna:
a) Classe de Freqüência
As classes de freqüência são os intervalos em que a
variável nota foi agrupada.
Exemplo:
0 20 - representa as notas desde 0 até quase 20
b) Limites de uma Classe ( lllllI , LS )
Os limites de classe são os valores ínfimo e supremo
da classe, sendo que o limite inferior ( lllllI ) o ínfimo da
classe e limite superior ( LS ) o supremo da classe.
Assim teremos:
O limite inferior da 2ª classe é 20
O limite superior da 3ª classe é 60
c) Intervalo de classe (amplitude de classe) – h
É a diferença entre o limite superior real da classe e o
limite inferior real da classe.
h = LS – lllllI
Obs: Quando o limite inferior da classe coincide com
o limite superior da classe anterior, ele é cha-
mado de limite real. Caso contrário será cha-
mado de limite aparente, e o limite real será a
média aritmética entre eles.
d) Amplitude Total ( AT )
É a diferença entre o maior valor e o menor valor da
amostra.
No exemplo acima: AT = 100 – 0 = 100.
e) Ponto médio da classe
É a média aritmética entre o limite inferior real e o limite
superior real
f) Freqüência absoluta simples ( fi )
Freqüência absoluta é o número de observações que
ocorreram em determinada classe.
No exemplo acima a Freqüência absoluta ou simples-
mente Freqüência da 3ª classe é 50.
Freq. Acumuladas
NOTAS f Xi Fr Fr(%)Abaixo de A partir de
 0 20 10 10 10 100 0,10 10%
20 40 15 30 25 90 0,15 15%
40 60 50 50 75 75 0,50 50%
60 80 20 70 95 25 0,20 20%
80 100 5 90 100 5 0,05 5%
TOTAL 100 1,00 100%
2
Xi =
lI + LS
título
classes
cabeçalho
rodapé
Obs.: E —––| I
I |—–– E
I |—––| I E ®®®®® Excluindo
E –––– E I ®®®®® Incluindo
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g) Freqüência Total ( N )
A Freqüência total é a soma de todas as freqüências
absolutas.
 ∑==
k
1i
ifN
k – nº de classes
fi – Freqüência absoluta da i-ésima classe
N – Freqüência total.
h) Freqüências Acumuladas
Freqüência Acumulada Crescente ( ou Freqüência acu-
mulada “abaixo de”, ou Freqüência acumulada “até”)
que representaremos por +
AC
F é a soma das freqüênci-
as absolutas anteriores de uma determinada classe.
Por exemplo, na tabela acima, a Freqüênciaacumula-
da crescente da 3ª classe é a Freqüência acumulada
abaixo de 60 que é 10 + 15 + 50 = 75.
Como a classe é do tipo (40 60) poderíamos falar
em Freqüência acumulada crescente como sendo a Fre-
qüência acumulada até 60, que é: 10 + 15 + 50 = 75.
Freqüência Acumulada Decrescente (ou Freqüência acu-
mulada “a partir de”, ou Freqüência acumulada “acima de”)
que representaríamos por −ACF é a soma das freqüências
absolutas acima de determinado valor de classe.
Assim, a Freqüência acumulada decrescente de 3ª clas-
se é a Freqüência acumulada a partir de 40, que dá 75.
Se a classe fosse do tipo (40 60) poderíamos falar
em freqüência acumu-lada decrescente como sendo
freqüência acumulada decrescente acima 40, seria:
50 + 20 + 5 = 75
i) Freqüência Relativa ( fr )
É a razão entre a Freqüência absoluta e a Freqüência
total
N
if
rf = ou ∑= if
if
rf
Portanto, a Freqüência relativa da 4ª classe é
0,20
100
20 = , podemos repre-sentar a Freqüência re-
lativa em porcentagem que seria 20% e a somatória da
freqüência absoluta igual a 1ou 100%
NORMAS PARA APRESENTAÇÃO TABULAR DE DADOS
A apresentação tabular é a apresentação dos dados (ou
resultados) de determinado assunto de modo sintético a
fim de se obter uma visão global do que vamos analisar.
Exemplo:
CANDIDATOS APROVADOS NO AFRF/2000 POR ESTA-
DO DO BRASIL
SÉRIES ESTATÍSTICAS
Chamamos de série estatística ao quadro de distribuição
de dados estatísticas em função da época, do local ou da
espécie do fenômeno.
Sendo assim teremos:
a) série histórica, ou temporal, ou cronológica
Aquela em que a variável é o tempo, permanecendo
fixos o local e a espécie do fenômeno.
Exemplo:
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS DE CARROS ENTRE
1997-2001
ANOS VALOR (US$ 1 MILHÃO)
1997 100
1999 200
1999 400
2000 500
2001 300
FONTE: BANCO DO BRASIL
{onde
? Título
Cabeçalho
Rodapé →
Corpo
ESTADOS CANDIDATOS
MARANHÃO 50
PIAUÍ 100
CEARÁ 120
R. G. DO NORTE 40
PARAÍBA 110
MINAS GERAIS 80
SÃO PAULO 200
RIO DE JANEIRO 250
R. G. DO SUL 50
TOTAL 1000
FONTE : CURSO PRÉ-FISCAL
→
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b) Série territorial, ou geográfica, ou de localização
Aquela em que a variável é o local, permanecendo fi-
xos o tempo e a espécie do fenômeno.
Exemplo:
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS — 2000
PAÍSES DE DESTINO VALOR (US$ 1 MILHÃO)
ESTADOS UNIDOS 200
CANADÁ 100
ALEMANHA 150
ITÁLIA 100
INGLATERRA 300
FONTE: BANCO DO BRASIL
c) Série categórica, ou específica
Aquela em que variam as espécies ou categórica do
fenômeno mantendo-se fixos o tempo e o local.
Exemplo:
REBANHO BRASILEIRO
ESPÉCIE QUANTIDADE (1.000 CABEÇAS)
BOVINOS 5.000
SUÍNOS 9.000
OVINOS 2.000
CAPRINOS 1.000
FONTE: MINISTÉRIO DA ECONOMIA
d) Série conjugada
Chamamos de séries conjugadas aquelas onde são cru-
zados 2 (dois) ou mais tipos de séries, podendo ter,
assim, duas ou mais entradas.
Exemplo:
POPULAÇÃO DE CÃES BRASILEIROS (100 UNIDADES)
UNID. DA FEDERAÇÃO ANOS
1998 1999 2000 2001
AMAZONAS 100 150 200 90
MARANHÃO 30 400 300 350
----------------- ------ ----- ------ ------
----------------- ------ ----- ------ ------
SÃO PAULO 195 ------ ------
----------------- ------ ------ ------ ------
----------------- ------ ------ ------ ------
----------------- ------ ------ ------ ------
------------------ ------ ------ ------ ------
 FONTE: IBGE
A tabela acima é chamada de dupla entrada, pois po-
demos consultá-la no sentido horizontal ou no sentido
vertical.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Primeiramente veremos a representação gráfica de uma
distribuição de Freqüência.
a) Histograma
É a representação gráfica de uma distribuição de Fre-
qüência através de retângulos justapostos de forma
que a área de cada retângulo é proporcional à Freqüên-
cia da classe que ele representa e as bases de cada
retângulo iguais às amplitudes das classes que elas
representam.
Exemplo:
Seja a distribuição de freqüência:
CLASSES fi Xi FAC
+ FAC
–
0 —— 5 10 2,5 10 130
5 —— 6 20 5,5 30 120
6 —— 7 40 6,5 70 100
7 —— 8 20 7,5 90 60
8 —— 9 10 8,5 100 40
9 —— 10 30 9,5 130 30
 Total 130
Então teremos o histograma:
b) Polígono de freqüência
É o gráfico obtido quando se une os pontos médios
das bases superiores dos retângulos de um histograma,
através de segmentos de retas consecutivos
Exemplo:
O polígono de Freqüência no exemplo anterior seria:
 0 5 6 7 8 9 10 classes
10
20
30
40
 0 2,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 classes
10
20
30
40
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obs: Para finalmente fechar o polígono de Freqüência
devemos unir os pontos do polígono aos pontos mé-
dios das classes anterior e posterior supostas, até
atingir os limites e superfícies correspondentes.
c) Ogivas Crescentes
É o gráfico construído através da freqüência acumula-
da crescente.
.
 0 5 6 7 8 9 10 classes
70
90
100
130
30
10
 0 5 6 7 8 9 10 classes
60
100
130
30
120
40
c) Ogivas Decrescentes
É o gráfico construído através da freqüência acumula-
da decrescente.
Obs.: Orgivas Crescentes e Decrescentes se cruzam na
mediana.
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GRÁFICOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS
a) Gráfico de Barras (ou colunas)
São gráficos que utilizam barras horizontais ou verticais
para representar a magnitude dos dados estatísticos.
Exemplo:
Produção de carros 2000 - São Paulo
Espécie Produção (mil)
Caminhão 1.000
Fusca 10.000
Gol 4.000
BMW 1.000
1.000
10.000
4.000
1.000
Caminhão Fusca Gol BMW
Obs.: Pode também ser feito na vertical.
b) Gráficos Pictóricos
São gráficos que utilizam figuras para representar a
magnitude dos dados.
c) Gráficos de Setores
São gráficos que evidenciam uma parte do todo.
Exemplo:
Aprovados no INSS/2002
Estados Aprovados
RJ 50
SP 500
MG 150
RS 200
CE 100
Fonte: ESAF
Modo de Calcular:
RJ
1.000 —– 360º
 50 —— X
X = 18º
SP
RS
MGCE
RJ
Anotações:
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Capítulo 3
MEDIDAS DE POSIÇÃO
3.1 –INTRODUÇÃO
As medidas de posição irão nos mostrar como estão con-
centrados os nossos dados.
Essas medidas dividem-se em medidas de tendência cen-
tral, que se caracterizam pelo fato dos dados tenderem a
se concentrar em valores centrais, e as medidas conheci-
das como separatrizes.
Sendo assim teremos:
Inicialmente veremos as medidas de tendência central.
3.2 –MÉDIA ARITMÉTICA ( X )
Chamamos de média aritmética a razão entre a soma dos
dados assumidos pela variável e o número de dados con-
siderados.
Sendo assim temos:
n
X
X
n
1i
i∑
==
onde: X – média aritmética
Xi – os valores observados da variável
n – número de valores
Obs: Anotação ∑
=
n
1 i
iX significa a soma de todos os valo-
res Xis para i variando de 1 até n. Isto é,
∑
=
n
1 i
iX = X1 + X2 + X3 +...............+ Xn
3.2.1 – MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS NÃO
AGRUPADOS
No caso dos dados não estarem agrupados em uma distri-
buição, teremos a fórmula semelhante à da definição.
Exemplo 1:
Sabendo que a produção de pães diária em uma padaria,
durante uma semana foi, 105, 102, 108, 104, 106, 107 e 103
pães, temos a produção média da semana como:pães 105X
7
735X
7
103107106104108102105X
=
=
++++++=
Exemplo 2:
O número de filhos de 5 funcionários de uma empresa é 1,
9, 2, 8 e 0 filhos, temos que a média de filhos, nesse escri-
tório, é
filhos 4X
5
20X
5
08291X
=
=
++++=
3.2.2 — DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA ARITMÉTICA
Chamamos de desvio em relação à média aritmética, ou sim-
plesmente de desvio em relação à média, a diferença entre
cada valor observado da variável e a sua média aritmética.
Isto é,
Sendo X1, X2, X3, ........, Xn, os dados observados da va-
riável e X a respectiva média aritmética,
E os desvios em relação a média como sendo:
d1 = X1 – X
d2 = X2 – X
d3 = X3 – X
.................
.................
dn = Xn – X
Teremos;
XXd ii −=
Onde di é o desvio do i-ésimo dado em relação à média
aritmética.
MEDIDAS
 DE
POSIÇÃO
Média Aritmética
Mediana
Moda
Mediana
quartis
centis
percentis
Separatrizes
Medidas de tendência
Central
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Exemplo 3:
Considerando, o exemplo 1, teremos:
X1 = 105, X2= 102, X3 = 108, X4 = 104, X5 = 106, X6 = 107, X7 = 103
105X =
Então:
d1 = X1 – X = 105 –105 \ d1 = 0
d2 = X2 – X = 102 –105 \ d2 = 
–3
d3 = X3 – X = 108 –105 \ d3 = 3
d4 = X4 – X = 104 –105 \ d4 = 
–1
d5 = X5 – X = 106 –105 \ d5 = 1
d6 = X6 – X = 107 –105 \ d6 = 2
d7 = X7 – X = 103 –105 \ d7 = 
–2
Exemplo 4:
Considerando o exemplo 2 , temos:
X1 = 1, X2 = 9, X3 = 2, X4 = 8, X5 = 0 e X = 4
d1 = X1 – X \ d1 = 1 – 4 \ d1 = 
–3
d2 = X2 – X \ d2 = 9 – 4 \ d2 = 5
d3 = X3 – X \ d3 = 2 – 4 \ d3 = 
–2
d4 = X4 – X \ d4 = 8 – 4 \ d4 = 4
d5 = X5 – X \ d5 = 0 – 4 \ d5 =
 –4
3.2.3 – PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
Salientamos que este ponto é muito freqüente em provas
de concursos públicos.
1ª. PROPRIEDADE
A soma de todos os desvios em relação à média aritmética
é sempre igual a zero.
Isto é:
∑
=
=
n
1i
i 0d OU ( )∑
=
=
n
1i
1 0X– X
Exemplo 5:
Considerando o exemplo 3, temos:
d1 = 0
d2 = 
–3
d3 = 3
d4 = 
–1
d5 = 1
d6 = 2
d7 = 
–2
 ∑
=
=
7
1i
i 0d
Exemplo 6:
Considerando o exemplo 4, temos:
d1 = 
–3
d2 = 5
d3 = 
–2
d4 = 4
d5 = 
–4
 ∑
=
=
5
1i
i 0d
2ª. PROPRIEDADE
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (K) a to-
dos os valores de uma variável, a nova média aritmética
se altera, fica aumentada (ou diminuida) da constante ( K )
Isto é:
Se Yi = Xi ± K então Y = X ± K
Exemplo 7:
Suponha que o padeiro do exemplo 1 resolve aumentar a
produção diária da sua padaria em mais 10 pães por dia.
Assim, temos:
X1 = 105, X2 = 102, X3 = 108, X4 = 104, X5 = 106, X6 = 107, X7 = 103
aumentando em 10 pães por dia, teríamos:
Y1 = 115, Y2 = 112, Y3 = 118, Y4 = 114, Y5 = 116, Y6 = 117, Y7 = 113
Observe que Yi = Xi + 10, logo Y = X + 10 \\\\\ Y = 105 + 10
 Y = 115 pães
11
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Exemplo 8:
Suponhamos que cada funcionário do exemplo 2 tivesse
mais 3 filhos, então:
X1 = 1, X2 = 9, X3 = 2, X4 = 8, X5 = 0
Aumentando em mais 3 filhos, cada funcionário, teríamos
Y1 = 4, Y2 = 12, Y3 = 5, Y4 = 11, Y5 = 3
Observe que Yi = Xi + 3
Logo Y = X + 3 \\\\\ Y = 4 + 3 \\\\\ Y = 7 filhos
3ª. PROPRIEDADE
Multiplicando-se (ou dividindo-se) por uma constante ( K ),
todos os valores de uma variável, a nova média aritmética
se altera, fica multiplicada (ou dividida) pela constante.
Isto é:
Se Yi = K • Xi então XKY ⋅=
Se K
iX
iY = então K
XY = ( K ¹ 0 )
Exemplo 9:
Suponha que o padeiro gostaria de dobrar a produção diá-
ria de pães, então teríamos:
X1 = 105, X2 = 102, X3 = 108, X4 = 104, X5 = 106, X6 = 107, X7 = 103
dobrando a produção diária, teríamos:
Y1 = 210, Y2 = 204, Y3 = 216, Y4 = 208, Y5 = 212, Y6 = 214, Y7 = 206
Observe que Yi = 2 • Xi
Logo Y = 2 • X \\\\\ Y = 2 • 105 \ \ \ \ \ Y = 210 pães
Exemplo 10:
Suponhamos que os funcionários do exemplo 2 triplicas-
sem o nº de filhos, daí,
X1 = 1, X2 = 9, X3 = 2, X4 = 8, X5 = 0
Triplicando o nº de filhos, teríamos:
Y1 = 3, Y2 = 27, Y3 = 6, Y4 = 24, Y5 = 0
Observe que: Yi = 3 • Xi
Logo Y = 3 • X \ \ \ \ \ Y = 2 • 4 \ \ \ \ \ Y = 12 filhos
3.3 –MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS
AGRUPADOS
3.3.1- CONSIDERE OS DADOS AGRUPADOS EM
UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ABAIXO:
VALORES (Xi) FREQÜÊNCIA ABSOLUTA (fi)
X1 f1
X2 f2
X3 f3
. .
. .
. .
. .
Xk fk
 Total ∑
=
K
1i
if
Então a média aritmética da distribuição acima terá a se-
guinte fórmula:
∑
∑
=
==
K
1i
i
K
1i
ii
f
fX
X
A partir desse ponto iremos suprimir os índices no sím-
bolo de somatório para facilitar a notação, sendo assim,
teremos:
∑
∑=
i
ii
f
fX
X ou 
N
fX
X
ii∑=
Exemplo 11:
Consideremos a distribuição do número de filhos de uma
determinada classe de alunos
NÚMEROS DE FILHOS ( Xi ) ALUNOS ( fi )
0 5
1 10
2 20
3 10
4 5
 Total 50
12
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3.3.2 - CONSIDEREMOS AGORA OS DADOS
AGRUPADOS ABAIXO CONFORME UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE
Classes Freqüências aparentes ( fi )
l1 L1 f1
l2 L2 f2
l3 L3 f3
 . .
 . .
 . .
 . .
lk Lk fk
 Total ∑ if
Então a média aritmética para a distribuição de freqüência
em classe acima terá a seguinte fórmula:
∑
∑=
i
ii
f
fX
X
onde Xi — ponto médio da i-ésima classe.
Exemplo 13:
Considere as alturas de 50 indivíduos de uma empresa,
conforme a distribuição abaixo:
Alturas (cm) Indivíduos ( fi )
150 160 5
160 170 10
170 180 20
180 190 10
190 200 5
Total 50
Então o método mais fácil é considerar duas colunas, dos
pontos médios ( Xi ) e do produto do ponto médio pela
freqüência absoluta ( Xi fi ), isto é,
Classe fi Xi Xifi
150 160 5 155 775
160 170 10 165 1.650
170 180 20 175 3.500
180 190 10 185 1.850
190 200 5 195 975
Total 50 X 8.750
Então o método mais fácil de se calcular a média é fazer
mais uma coluna Xi fi , isto é:
Xi fi Xi fi
0 5 0
1 10 10
2 20 40
3 10 30
4 5 20
 Total 50 100
Então, temos:
filhos 2X 
50
100X 
f
fX
X
logo 50,f e 100fX
i
ii
iii
=∴=∴⋅=
==
∑
∑
∑ ∑
Exemplo 12:
Considere as notas de 100 alunos aprovados em concur-
so público.
NOTAS ( Xi ) ALUNOS ( fi )
2 15
4 18
6 47
8 15
9 5
 Total 100
Então vamos considerar mais uma coluna de Xifi
Xi fi Xi fi
2 15 30
4 18 72
6 47 252
8 15 120
9 5 45
 Total 100 549
Logo:
49,5X 
100
549X 
f
fX
X
logo 100,f e 549fX
i
ii
iii
=∴=∴⋅=
==
∑
∑
∑ ∑
13
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Temos, então:
cm 175X 
50
750.8X 
f
fX
X
logo 50,f e 750.8fX
i
ii
iii
=∴=∴⋅=
==
∑
∑
∑ ∑
Exemplo 14:
Considere os salários de 100 funcionários de uma empre-
sa, conforme a distribuição abaixo:
Salários Mínimos ( S.M.) Funcionários ( fi )
0 2 20
2 4 40
4 6 20
6 8 15
8 10 5
 Total 100
Considerando então mais duas colunas, dos pontos médi-
os (Xi ) e do produto do ponto médio pela freqüência abso-
luta ( Xi fi ), temos:
Classe (SM) fi Xi Xifi
0 2 20 1 20
2 4 40 3 120
4 6 20 5 100
6 8 15 7 105
8 10 5 9 45
 Total100 390
Temos, então:
mínimos salários 3,9X
 
100
390X 
f
fX
X
logo 100,f e 390fX
i
ii
iii
=
=∴⋅=
==
∑
∑
∑ ∑
3.3.3 – PROCESSO BREVE PARA CÁLCULO DA
MÉDIA ARITMÉTICA
Como geralmente o cálculo da média aritmética em distri-
buição de freqüência por classe é trabalhoso, inventaram
um processo, que consiste em mudar a variável original X
por outro Y, de modo que obedeça a seguinte relação:
h
XX
Y 0ii
−=
Onde X0 é uma constante arbitrária escolhida convenien-
temente entre os valores dos pontos médios, geralmente
o da classe que possui a maior freqüência. Através da re-
lação acima podemos chegar a seguinte fórmula:
( )
∑
∑ ⋅+=
i
ii
0 f
hfY
XX
Exemplo 15:
Vamos considerar o exemplo 13
Alturas (cm) Indivíduos ( fi ) Xi
150 160 5 155
160 170 10 165
170 180 20 175
180 190 10 185
190 200 5 195
 Total 50
Observando a coluna de pontos médios (Xi), temos que o
ponto médio da classe de maior freqüência é o valor 175,
portanto X0= 175 e h = 10 (intervalo de classe). Logo os
valores de Yi , serão:
 
2Y
10
175195
Y
h
XX
Y
1Y
10
175185
Y
h
XX
Y
0Y
10
175175
Y
h
XX
Y
1Y
10
175165
Y
h
XX
Y
2Y
10
175155
Y
h
XX
Y
55
05
5
44
04
4
33
03
3
22
02
2
11
01
1
=∴−=∴−=
=∴−=∴−=
=∴−=∴−=
−=∴−=∴−=
−=∴−=∴−=
Logo, vamos construir a tabela de cálculos
 Classes fi Xi Yi Yifi
150 160 5 155 –2 –10
160 170 10 165 –1 –10
170 180 20 175 0 0
180 190 10 185 1 10
190 200 5 195 2 10
 Total 50 0
14
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Temos, então:
( )
cm 751X
50
0
175X 
f
hfY
XX
50f0fY175X
i
ii
0
iii0
=
+=→⋅+=
==⋅=
∑
∑
∑∑
Exemplo 16:
Consideremos o exemplo 14:
Classe (SM) fi Xi
0 2 20 1
2 4 40 3
4 6 20 5
6 8 15 7
8 10 5 9
 Total 100 X
Analogamente teremos X0 = 3, h = 2
3Y
2
39
Y
h
XX
Y
2Y
2
37
Y
h
XX
Y
1Y
2
35
Y
h
XX
Y
0Y
2
33
Y
h
XX
Y
1Y
2
31
Y
h
XX
Y
55
05
5
44
04
4
33
03
3
22
02
2
11
01
1
=∴−=∴−=
=∴−=∴−=
=∴−=∴−=
=∴−=∴−=
−=∴−=∴−=
Construindo a tabela de cálculo temos:
Classes (SM) fi Xi Yi Xifi
0 2 20 1 –1 –20
2 4 40 3 0 0
4 6 20 5 1 20
6 8 15 7 2 30
8 10 5 9 3 15
Total 100 45
( )
( )
mínimos salários 3,9X9,03X
100
90
3X
100
245
3X :Temos
100f ,45fY 2,h ,3X :Como
 
f
hfY
XX
iii0
i
ii
0
=∴+=
+=→⋅+=
==⋅==
⋅+=
∑∑
∑
∑
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES SOBRE A MÉDIA ARITMÉTICA
1) A média sofre influência de valores extremos (peque-
nos ou grandes) da distribuição.
2) Quanto à propriedade 1, observe que a soma dos des-
vios em relação à média aritmética tem a seguinte no-
tação:
• SSSSSdi = 0 ou SSSSS (Xi – X ) = 0 para dados não agrupados.
• SSSSSdifi = 0 ou SSSSS (Xi – X ) • fi = 0 para dados agrupados.
3) O processo breve pode ser usado no caso dos dados
não estarem agrupados em uma distribuição de fre-
qüência por classe, basta fazer h = 1.
4) A média aritmética representa o centro de massa dos
dados.
5) A média aritmética, no caso de dados agrupados, é a
média ponderada pelas freqüências absolutas.
15
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 Capítulo 4
MODA (MO )
Chamamos de moda o valor ou atributo que ocorre com
maior freqüência em uma distribuição.
Por exemplo, a nota modal dos alunos de um concurso é a
nota mais comum, isto é, a nota que a maioria dos alunos
obtiveram.
4.1 - MODA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
Quando temos série de valores não agrupados, a moda é
facilmente encontrada, pois pela definição, basta encon-
trar o valor que mais se repete.
Exemplo 17
4, 2, 6, 4, 3, 5, 7, 9, 4, 10, 8, 4, 3, 2, 4
Mo = 4. (unimodal)
Exemplo 18
3, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 2, 5, 2.
Neste caso são dois valores (2 e 3) que mais se repe-
tem, e na mesma quantidade.
Portanto, dizemos que a distribuição possui duas mo-
das iguais a 2 e 3, e chamamos de bimodal.
Exemplo 18.1
1, 2, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 1, 9, 15
Mo = 1 Mo = 2 Mo = 3 (multimodal)
Exemplo 18.2
2, 0, 1, 3, 4, 15, 7
Não existe Moda (amodal)
4.2 - MODA PARA DADOS AGRUPADOS
4.2.1 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM
UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.
Quando os dados estiverem agrupados em uma distribui-
ção de freqüência de valores, para acharmos a moda bas-
ta observar qual é o valor da variável que possui a maior
freqüência.
Exemplo 19
Vamos considerar a distribuição do exemplo 11.
Número de filhos (Xi) Alunos ( fi )
0 5
1 10
2 20
3 10
4 5
Observamos que o valor 2 filhos possui a maior freqüência
(20), logo a moda é 2 filhos
Exemplo 20
Vamos considerar a distribuição do exemplo 12.
Notas (Xi) Alunos ( fi )
2 15
4 18
6 47
8 15
9 5
Observamos que o valor da nota 6 possui a maior freqüên-
cia (47), portanto a nota modal é 6.
4.2.2 — MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM
UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR CLASSE
Quando os dados estiverem agrupados em distribuição de
freqüência por classe, a moda estará evidentemente na
classe que possui a maior freqüência (classe modal).
Se os dados forem agrupados em classe, perdemos o co-
nhecimento dos dados e os respectivos cálculos da mé-
dia, da moda e da mediana, nesse caso, fazemos uma
estimativa entre os limites inferiores e superiores da clas-
se da mesma.
No caso da moda, existem 3 métodos de cálculo da moda:
a) MODA BRUTA
Chamaremos de moda bruta ao ponto médio da classe
modal (classe que contém a maior freqüência).
Sendo assim teremos uma fórmula para a moda bruta:
2
*L
M0
+=
*
il
onde: li* — limite inferior da classe modal
L* — limite superior da classe modal
Exemplo 21
Vamos considerar a distribuição do exemplo 13
Alturas (cm) Indivíduos (fi)
150 160 5
160 170 10
170 180 20
180 190 10
190 200 5
16
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Temos que a classe modal é a classe 170 180, logo
li* = 170 e L* = 180 e a moda bruta será:
cm 175M0 =∴+=→
+= 
2
180170M 
2
L**
M 00
il
Exemplo 22
Vamos considerar a distribuição do exemplo 14
Salários Mínimos (SM) Funcionários (fi)
0 2 20
2 4 40
4 6 20
6 8 15
8 10 5
logo, classe modal: 2 4 li* = 2 L* = 4
Moda bruta: mínimos salários 3M0 =∴+= 2
42M0
b) MODA DE CZUBER
Trata-se que uma estimativa, na classe modal, através de
uma regra de três, que resulta na seguinte fórmula:
[ ]
[ ] [ ]postmaxantmax
antmax
0
ffff
*hff*M
−+−
⋅−+= il
onde: li* – é o limite inferior da classe modal
fmax – é a freqüência absoluta máxima (freqüência de
classe modal)
fant – é a freqüência absoluta anterior à classe
modal
fpost – é a freqüência posterior à classe modal
h* – intervalo da classe modal
Exemplo 23
Vamos considerar a distribuição do exemplo 13.
Alturas (cm) Indivíduos (fi)
150 160 5
160 170 10
170 180 20
180 190 10
190 200 5
Então, temos:
Classe modal: 170 180
li* = 170, h* = 180 –170 = 10
fmax = 20, fant = 10 fpos=10
logo:
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
cm 175M0 =∴+=→+
⋅+=
−+−
⋅−+=
−+−
⋅−+=
 5170M 
1010
1010170M
10201020
101020
170M
ffff
*hff*M
00
0
postmaxantmax
antmax
0 il
Exemplo 24
Vamos considerar a distribuição do exemplo 14
Salários Mínimos (SM) Funcionários (fi)
0 2 20
2 4 40
4 6 20
6 8 15
8 10 5
Classemodal: 2 4
li*= 2
h* = 4 – 2 = 2
fmax = 40
fant = 20
fpost = 20
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
mínimos salários 3M0 =
−+−
⋅−+=
−+−
⋅−+=
20402040
22040
2M
ffff
*hff*M
0
postmaxantmax
antmax
0 il
17
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c) MODA DE KING
A fórmula da moda de King é também uma estimativa na
classe modal, mas não considera a freqüência absoluta
da classe modal.
postant
post
0 ff
*hf*M +
⋅
+= il
Exemplo 25
Considerando os dados do exemplo 13 temos:
li*= 170
h* = 10
fant = 10
fpost = 10
cm 175M0 =∴+
⋅+=
+
⋅
+=
 
1010
1010170M
ff
*hf*M
0
postant
post
0 il
4.3. DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA MODA
Podemos determinar graficamente a posição da moda no
histograma da distribuição de freqüência absoluta, como
veremos a seguir.
a) MODA BRUTA
 freqüências
 li* L* classes
 Moda bruta (Mo)
Para achar a moda bruta no histograma acima basta des-
cer uma perpendicular, a partir do ponto médio do seg-
mento AB, ao eixo horizontal das classes.
b) MODA CZUBER
freqüências
Para achar a moda de Czuber no histograma acima, basta
descer uma perpendicular, a partir da intersecção dos seg-
mentos AD e CB, ao eixo horizontal das classes.
c) MODA DE KING
 freqüências
Para achar a moda de King no histograma acima, basta
unir os pontos D’C’ e verificar a intersecção com o eixo
horizontal, onde D’li* = DL* e L*C’= Cli*
4.4. A MODA NA CURVA DE FREQÜÊNCIA.
Na curva de freqüência, a moda será o valor que
corresponde, no eixo horizontal, ao ponto de freqüência
máxima (vertical).
↑
BA
A B
C
D
L*li* Classes
Moda de Czuber
B
 L*li* Classes
A
D
C
D`
C´
Moda de King
f
Mo x
UNIMODAL
(UMA MODA)
18
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Capítulo 5
MEDIANA (MD)
A mediana é outra medida de posição, que representa o
valor que divide a distribuição em dois conjuntos com o
mesmo número de elementos.
5.1. MEDIANA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
A definição é bem clara e fácil de ser interpretada no caso
de dados não agrupados.
Exemplo 26
Dado a série de valores
4, 12, 10, 3, 15, 5, 14, 8, 7
a mediana será fácil de ser identificada após encontrar-
mos o Rol.
Rol: 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
Agora veremos qual é o valor central que divide a distribui-
ção de forma que tenha o mesmo nº de elementos à es-
querda e à direita desse valor.
Logo a mediana é 8 (Md = 8), pois temos quatros valores
abaixo de 8 e quatro valores acima de 8.
Observe que no exemplo acima havia 9 valores, e nove é
um número ímpar.
Portanto, se o rol tem um número ímpar de dados a medi-
ana será justamente o termo central.
Se, porém, houvesse um número par de dados, a media-
na, seria então valor entre os dois termos centrais, e por
convenção adotamos a mediana como sendo a média arit-
mética entre os dois termos centrais.
Exemplo 27
Dada a série de valores
6, 4, 10, 5, 12, 3, 20, 7
Existem 8 dados, como o número de dados é par, existem
dois termos centrais no Rol.
Rol: 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 20
 termos centrais
Logo a mediana será:
6,5Md =
+=
2
76Md
MULTIMODAL
 Mo1 Mo2 Mo3 x
f ANTIMODAL ou AMODAL
x
↑↑
f
BIMODAL
(DUAS MODAS)
M01 M02 x
--
-
MdX =
MdX =
OBS.:
1. Em uma distribuição simétrica e unimodal a Média Arit-
mética é igual a moda e igual a Mediana.
2. Em uma distribuição simétrica e bimodal apenas a
Média Artimética e a Mediana são iguais.
3. Em uma distribuição simétrica e multimodal a Média
Artimética e a Mediana são iguais e coincidem apenas
como uma das modas.
19
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RESUMINDO
• Se a série possui n elementos teremos:
a) Se n for ímpar, existe um termo central no rol e
este termo central do rol será justamente a
mediana, que será calculada como sendo o
termo de ordem 
2
1n + do rol.
b) Se n for par, existem dos termos centrais no rol,
e a mediana será a média aritmética entre esses
termos centrais, que será calculado como sendo
a média aritmética entre os termos de ordem
1
2
ne
2
n +
Portanto no exemplo 26, temos n = 9 (ímpar), logo, a
mediana será o 5º termo do rol ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
2
1n
 , isto é, Md = 5º
termo do rol = 8.
No exemplo 27, termos n = 8 (par), logo a mediana será a
média aritmética entre o 4º e 5º termo do rol 
º
1
2
n eº
2
n
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
5,6
2
76Md =+=
5.2. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
 5.2.1. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM
UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR VALOR
Vamos ver esta situação através de um exemplo.
Exemplo 28
Nº DE APROVADOS EM UM
CONCURSO, POR NOTAS
NOTA APROVADOS
 6 10
 7 15
 8 2
 9 14
 10 10
 TOTAL 51
Seja N a freqüência total ∑= ifN , portanto N = 51 apro-
vados, isto é, existem 51 dados, como 51 é ímpar existe
um termo central, que é o termo de ordem ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
2
1N 26 ,
no rol. Para ser fácil a identificação dele vamos construir a
freqüência acumulada crescente.
 Nota freqüência freq. Acum.
 6 10 10
 7 15 25
 8 2 27
 9 14 41
 10 10 51
 TOTAL 51 X
Observamos então, na coluna de freqüência acumulada,
que o 26º elemento do rol é 8, logo Md = 8.
Se a freqüência total (N) fosse par, procederíamos da se-
guinte forma,
Exemplo 29
Nº de aprovados em um
concurso, por nota
Nota Aprovados
 6 10
 7 15
 8 1
 9 14
 10 10
TOTAL 50
Como a freqüência total (N) é 50, existem dois termos cen-
trais (25º e 26º), logo construindo a freqüência acumulada
teríamos.
 Nota freqüência freq. Acum.
 6 10 10
 7 15 25
 8 1 26
 9 14 40
 10 10 50
 TOTAL 50 X
Logo, a mediana será a média aritmética entre os termos
de ordem
7,5 = Md
2
 8+7 = Md
 é, isto ,1
2
N 26º e 
2
N25º ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
20
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 5.2.2. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR CLASSE
Quando temos os dados agrupados em uma distribuição
de freqüência por classe, teremos que determinar qual será
o ponto do intervalo de classe em que está compreendida
a mediana. Logo, precisamos achar qual a classe que con-
tém a mediana.
Evidentemente a classe que contém a mediana será a que
corresponde a freqüência acumulada imediatamente su-
perior a ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
N
.
Tudo que foi dito acima está considerado na fórmula abaixo:
*f
*hF–
2
N
*Md
AC.ANT ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= il
Onde:
li*– é o limite inferior da classe que contém a mediana
h* – o intervalo da classe que contém a mediana
f* – a freqüência absoluta da classe que contém a mediana
N – Freqüência total
FAC ANT. – Freqüência acumulada crescente anterior à classe
que contém a mediana.
Exemplo 30
Considerando o exemplo 13
Altura (Cm) Indivíduo (fi)
150 160 5
160 170 10
170 180 20
180 190 10
190 200 5
TOTAL 50
Primeiramente precisamos fazer a freqüência acumulada
crescente.
Alturas (Cm) Ìndivíduo (fi) Freq. Acum.
150 160 5 5
160 170 10 15
170 180 20 35
180 190 10 45
190 200 5 50
TOTAL 50 X
Daí, N = 50 \\\\\ 252
N = , então a classe que contém a
mediana será a classe 170 180, logo, li* = 170
h* = 10 f* = 20 15F ANT.AC =
[ ]
cm 175Md =∴+=
⋅+=→
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= ⋅
 5170Md
20
1015–25
170Md 
*f
F–
2
N
Md
ANTAC*il
Exemplo 31
Considerando os dados do exemplo 14 temos:
Salários minímos (SM) Funcionários
0 |—––– 2 202 |—––– 4 40
4 |—––– 6 20
6 |—––– 8 15
8 |—––– 10 5
 TOTAL 100
Primeiramente precisamos fazer a freqüência acumulada
crescente
 Salários minímos (SM) Funcionários Freq. Acum.
0 |—––– 2 20 20
2 |—––– 4 40 60
4 |—––– 6 20 80
6 |—––– 8 15 95
8 |—––– 10 5 100
 TOTAL 100 X
Daí, N =100 50
2
N =∴ , e então a classe que contém a
mediana será a classe 2 4, logo, li* = 2 h* = 2 f* = 40
20F ANT.AC =
[ ]
mínimos salários 3,5Md =∴+=
⋅+=
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
 
40
602Md
40
2 20–50
2Md
*f
*hF–
2
N
Md
AC.ANT*
il
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5.3. RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA ARITMÉTICA,
MEDIANA E MODA
Quando a distribuição for unimodal, isto é, a moda for úni-
ca teremos a seguinte situação.
a) DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA
MoMdX ==
Isto é,
SE A DISTRIBUIÇÃO É SIMÉTRICA E UNIMODAL
ENTÃO: MoMdX ==
b) DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA
MoMdX <<
Isto é,
SE A DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA NEGATIVA
E UNIMODAL ENTÃO: MoMdX <<
c) DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA POSITIVA
XMdMo <<
Isto é,
SE A DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA POSITIVA
E UNIMODAL ENTÃO: XMdMo <<
 Capítulo 6
SEPARATRIZES
6.1. QUARTIS (Q)
Chamamos de quartis os valores que dividem a distribui-
ção em quatro partes iguais.
Logo, teremos três quartis:
Primeiro quartil ( Q1 ) será o valor que terá 25% dos da-
dos à sua esquerda e 75% dos dados à sua direita.
Segundo quartil ( Q2 ) será o valor que terá 50% dos
dados à sua esquerda e 50% dos dados à sua direita. Por-
tanto o segundo quartil é a própria mediana.
Terceiro quartil ( Q3 ) será o valor que terá 75% dos da-
dos à sua esquerda e 25% dos dados à sua direita logo.
Para calcular os quartil, basta, na fórmula da mediana,
substituir o 2
N
 por 
4
NK
*f
*hF–4
KN
Q
AC.ANT
K
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= *il
onde K = 1, 2, 3, daí teremos:
*
*
*
*
*
*
*
i
*
i
*
i
f
hF–
4
3N
Q
f
hF–
2
N
Q
f
hF–
4
N
Q
AC.ANT
3
AC.ANT
2
AC.ANT
1
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
l
l
l
25% 25% 25% 25%
Q1 Q2 Q3
22
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Exemplo 32
Considerando os dados do exemplo 14
 Salários minímos (SM) Funcionários Freq. Acum.
0 2 20 20
2 4 40 60
4 6 20 80
6 8 15 95
8 10 5 100
 TOTAL 100 X
Cálculo do primeiro quartil (Q1):
.25
4
100
4
KN 1K ==∴=
Logo, a classe que contém o primeiro quartil será a classe
2 4. daí, li* = 2 h* = 2 f* = 40 20F ANT.AC =
[ ]
40
2 20–25
2Q
f
hF–
4
N
Q
1
ANT.AC
1
⋅+=
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
*
*
*
il
Q1 = 2 + 0,25 \ \ \ \ \ Q1 = 2,25 salários mínimos
Cálculo do segundo quartil (Q2)
50
2
100
2
N 2K ==∴=
Logo, a classe que contém o primeiro quartil será a classe
2 4. daí, li* = 2 h* = 2 f* = 40 20F ANT.AC =
[ ]
40
2 20–50
2Q
f
hF–
2
N
Q
2
ANT.AC
2
⋅+=
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
*
*
*
il
Q2 = 2 + 1,5 \ \ \ \ \ Q2 = 3,5 salários mínimos
Cálculo do terceiro quartil (Q3)
75
4
1003
4
KN 3K =×=∴=
logo, a classe que contém o terceiro quartil será a classe
4 6. daí, li* = 4 h* = 2 f* = 20 20F ANT.AC =
[ ]
20
304Q
20
260–75
4Q
f
hF–
4
N3
Q
3
3
ANT.AC
3
+=
⋅+=
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
*
*
*
il
Q3 = 4 + 1,5
Q3 = 5,5 salários mínimos
Obs.: A Mediana será sempre igual ao 2º quartil.
6.2. DECIS (D)
Chamamos de decis os valores que dividem a distribuição
em dez partes iguais.
Logo, teremos nove decis:
O primeiro decil ( D1 ) será o valor que terá 10% dos dados
à sua esquerda e 90% dos dados à sua direita.
O segundo decil ( D2 ) será o valor que terá 20% dos da-
dos à sua esquerda e 80% dos dados à sua direita.
O terceiro decil ( D3 ) será o valor que terá 30% dos dados
à sua esquerda e 70% dos dados à sua direita e assim por
diante até ...
Nono decil ( D9 ) será o valor que terá 90% dos dados à
sua esquerda e 10% dos dados à sua direita.
obs: Note que o quinto decil ( D5 ), pela definição, coincide
com a mediana.
logo:
*f
*hF–
10
KN
D
AC.ANT
K
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= *il
Para calcular os decis basta substituir na fórmula da medi-
ana o 2
N
 por 10
KN
.
 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
23
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Exemplo 33
 Salários minímos (SM) Funcionários Freq. Acum.
0 2 20 20
2 4 40 60
4 6 20 80
6 8 15 95
8 10 5 100
 TOTAL 100 X
Calcular o nono decil ( D9 )
 90=
10
1009=
10
KN 9K ×∴=
Logo, a classe que contém o nono decil será a classe
6 8, daí: li* = 6 h* = 2 f* = 15 80F ANT.AC =
[ ]
15
206D 
15
2 80–90
6D
f
hF–
10
N9
D
99
ANT.AC
9
+=∴⋅+=
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
*
*
*
il
D9 = 6 + 1,33 \\\\\ D9 = 7,33 salários mínimos
Obs.: A Mediana será sempre igual ao 5º decil.
6.3. PERCENTIS (P)
Chamamos de percentis os valores que dividem a distri-
buição em cem partes iguais.
Logo, teremos noventa e nove percentis:
O primeiro percentil (P1) será o valor que terá 1% dos da-
dos à sua esquerda e 99% dos dados à sua direita.
O segundo percentil (P2) será o valor que terá 2% dos da-
dos à sua esquerda e 98% dos dados à sua direita.
E assim por diante até o Nonagésimo nono percentil (P99)
que será o valor que terá 99% dos dados à sua esquerda e
1% dos dados à sua direita.
Obs: Note que o quinquagésimo percentil (P50), pela defi-
nição, coincide com a mediana.
Logo:
Para calcular o percentil basta substituir na fórmula da
mediana o 2
N
 por 100
KN
*f
hF–
100
KN
P
*
AC.ANT
K
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= *il
Exemplo 34
 Salários minímos (SM) Funcionários Freq. Acum.
0 2 20 20
2 4 40 60
4 6 20 80
6 8 15 95
8 10 5 100
 TOTAL 100 X
Vamos calcular, por exemplo, o qüinquagésimo quinto
percentil ( P55 )
55
100
10055
100
KN 55K =×=∴=
Logo, a classe que contém o qüinquagésimo quinto
percentil será a classe 2 4, daí: li* = 2 h* = 2 f* = 40
20F ANT.AC =
[ ]
75,12P 
40
702P
40
220–55
2P
 
f
hF–
100
N55
P
5555
55
.ANT.AC
55
+=∴+=
⋅+=
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
*
*
*
il
P55= 3,75 salários mínimos
 1% 1% 1% 1% 1% 1%
P1 P2 P3 P4 P8 P99
Obs.: A Mediana será sempre igual 50º percentil.
Portanto:
MdPDQ 5052 ===
24
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 Capítulo 7
OUTRAS MÉDIAS
7.1. MÉDIA GEOMÉTRICA (G)
 7.1.1. MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS NÃO
AGRUPADOS
Sejam X1, X2, X3, ..., Xn dados não agrupados, então a
média geométrica será
 n
n321 XXXX G LL⋅⋅⋅=
Exemplo 1
Calcular a média geométrica dos dados: 2, 8, 4, 16, 1.
4=G 2G
2 =G
 22222 =G
 116482 G
2
5 10
5 04231
5
∴=
∴⋅⋅⋅⋅
∴⋅⋅⋅⋅=
Exemplo 2
Calcular a média geométrica de 2,6,8.
33 96 =G 862 G →⋅⋅= \ G = 4,5
Observe que é necessário o uso de máquina de calcular.
 7.1.2. MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS
AGRUPADOS
N
K21
K21 fff XXX G LL⋅⋅=
Exemplo 3
Calcular a média geométrica
Xi fi i
f
iX
1 2 1
2 4 16
3 5 243
4 6 4.096
TOTAL 17
2,65G =∴=
⋅⋅⋅=15925248 G
4096243161 G
17
17
7.2. MÉDIA HARMÔNICA (H)
É o inverso da média aritmética dos inversos dos dados.
 7.2.1. MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS NÃO
AGRUPADOS
Sejam X1, X2, X3, ........., Xn, dados não agrupados. Então
a média hamônica será:
∑
=
=
n
1i i
X
1
nH
Exemplo 4
Calcule a média harmônica dos dados: 2, 3, 4, 1.
1,92=H 
25
124H
12
12+3+4+6
4=H 
1
4
1
3
1
2
1
4H
∴×=
∴
+++
=
 7.2.2. MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS
AGRUPADOS
∑
=
=
K
1i i
i
X
f
NH
Exemplo 5
 Xi fi iX
1
i
i
X
f
 1 2 1 2
 2 4 0,5 2
 3 6 0,33 2
 4 5 0,25 1,25
TOTAL 17 7,25
2,34H =∴=→=
∑
 
25,7
17H 
X
f
NH
i
i
Observação importante: XGH ≤≤
25
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 Capítulo 8
MEDIDAS DE DISPERSÃO
OU DE VARIABILIDADE
8.1. DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
Já aprendemos que um conjunto de dados pode ser resu-
mido a alguns parâmetros de posição, como: a média arit-
mética, a mediana e a moda, que através de suas caracte-
rísticas resumem informações importantes sobre todo o
conjunto.
Porém não é o bastante para as medidas de posições,
representarem os dados, pois faltaria a idéia de concen-
tração (grau de homogeneidade ou heterogeneidade) que
existem entre os dados do conjunto.
Por exemplo:
X: 10, 10, 10, 10, 10
Y: 8, 9, 10, 11, 12
Z: 2, 3, 10, 15, 20
observamos que as médias X, Y e Z são
X = 10 , Y = 10 , Z = 10
Notamos então, que apesar das três variáveis X, Y, Z terem
a mesma média aritmética, o conjunto X é o mais homogê-
neo, pois todos os valores são iguais a 10. Prosseguindo
então, o conjunto Y é mais heterogêneo que o X, isto é, os
dados do conjunto Y são mais dispersos (tem maior disper-
são ou variabilidade) que os dados da variável X.
Daí, temos que, a dispersão de Z é maior que a dispersão
de Y, que é mais disperso que X.
Outro exemplo característico é aquele em que dois indiví-
duos saem para jantar e, um deles come um leitão inteiro
e o outro não come nada. Em média os dois comeram a
metade do leitão, cada um. Observe que nesse caso a
média aritmética não caracteriza, sozinha a situação, pois
a dispersão nesta situação é alta. Sendo assim os dois
indivíduos morreriam, um de fome e outro de indigestão.
Concluímos então que para caracterizar os dados precisa-
mos simultaneamente das medidas de posição e das me-
didas de dispersão que estudaremos a seguir.
8.2. AMPLITUDE TOTAL
 8.2.1. DADOS NÃO AGRUPADOS
Chamamos de amplitude total (AT) a diferença entre o
maior e menor valor dos dados
AT = XMAX – XMIN
Exemplos:
a) X: 10, 10, 10, 10, 10
AT = 10 - 10
AT = 0 (Dispersão nula)
b) Y: 8, 9, 10, 11, 12
AT = 12 - 8
AT = 4
c) Z: 2, 3, 10, 15, 20
AT = 20 - 2
AT = 18
Observamos, então, que a maior dispersão é da variável
Z (AT = 18), e a menor dispersão é da variável X (AT = 0).
 8.2.2. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.
AT = XMax – XMin
Exemplo:
Xi fi
0 5
1 8
2 10
3 15
4 20
AT = 4 – 0
AT = 4
 8.2.3. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR
CLASSE
A amplitude total é a diferença entre o maior limite superior
e o menor limite inferior.
AT = LMAX– lMIN
Exemplo:
Classes Freq.
0 2 10
2 4 20
4 6 30
6 8 40
AT = 8 – 0
AT = 8
OBS: A amplitude total não é uma medida conveniente
de dispersão, pois considera somente os valores
extremos da distribuição. Portanto sua aplicação é
limitada.
26
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8.3. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
No tópico anterior vimos que a amplitude total sofre influ-
ência apenas dos valores extremos, por isso procuramos
uma medida de dispersão que considere todos os dados.
A variância é uma medida de dispersão que considera o
quadrado dos desvios em torno da média aritmética.
Assim teremos:
( )
n
X–X
n
1i
2
i
2σ
∑
==
Isto é,
A variância é a média aritmética dos quadrados dos
desvios em torno da média aritmética.
Obs:
a) É fácil mostrar que:
( ) ∑∑
==
=
n
1i
22
i
n
1i
2
i Xn–XX–X
Portanto podemos escrever a variância como:
2
n
1i
2
2 X–
n
iX
σ
∑
==
Fórmula prática
b) Quando queremos estimar a variância através de uma
amostra, consideramos como estimador não tendenci-
oso da variância a estatística
( )
1–n
X–X
S
n
1i
2
1
2
∑
==
É fácil observar que se a variância considera o quadrado
dos desvios em torno da média, a sua unidade é o quadra-
do da unidade original.
Por isso, se criou a medida chamada de desvio padrão
(σ), como sendo a raiz quadrada do desvio padrão.
( )
2
n
1i
2
n
1=i
2
i
X–
n
X
n
X–X
 σσ
∑∑
=== ou 
PROPRIEDADES
a) Quando somamos (ou subtraímos) a todos os nossos
dados uma constante (k), a variância não se altera,
continua a mesma.
b) Quando somamos (ou subtraímos) a todos os nossos
dados uma constante (K), o desvio padrão não se alte-
ra, continua o mesmo.
c) Quando multiplicamos (ou dividimos) todos os nossos
dados por uma constante (k), a nova variância se alte-
ra, fica multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da cons-
tante.
d) Quando multiplicamos (ou dividimos) todos os nossos
dados por uma constante (K), o novo desvio padrão se
altera, fica multiplicado (ou dividido) pelo valor absolu-
to da constante.
 8.3.1. PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
 
( )
( )
( )
 
)(4 X–
n
X 
= 
ou 
(3) n
X–X
 
 
(2) X–
n
X
 
ou 
 (1) 
n
X–X
 
 
 
2
n
1i
2
i
n
1=i
2
i
2
n
1i
2
i
2
n
1i
2
i
2
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
σ
=σ
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=σ
=σ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∑
∑
∑
∑
=
=
=
σ
σ
 PADRÃO DESVIO
VARIÂNCIA 2
27
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Exemplo:
Vamos aplicar as duas fórmulas para exemplificar.
Seja a variável X: 0, 2, 4, 6, 8
Pela fórmula 1
X: 0, 2, 4, 6, 8
desvios: -4, -2, 0, 2, 4
desvio quadrado: 16, 4, 0, 4, 16
( )
82σ =∴=
++++==
σ
σ
∑
=
 
5
40
5
1640416
n
 X –X
2
n
1 i
2
i
2
Pela fórmula 2
Xi Xi
2
0 0
2 4
4 16
6 36
8 64
 20 120
8σ2 =∴=σ
=σ
=σ
===
∑
∑
=
 16–24
 4–
5
120
X–
n
X
4
5
20
n
X
X
2
22
2
n
1i
2
i
2
1
Logo, vimos que a variância (σ2 ) é 8.
Para calcular o desvio padrão basta saber que o desvio
padrão é a raiz quadrada da variância, daí
2,83=σ 8 ∴=σ
8.3.2. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
VARIÂNCIA (σ2 )
( )
2
n
1i
i
2
i
2
n
1i
i
2
i
2
X–
N
fX
N
fX–X
σ
σ
∑
∑
=
=
=
⋅
=
ou
Onde ∑= ifN (Freqüência Total)
Exemplo:
 Xi fi
 0 10
 2 20
 4 40
 6 20
 8 10
Total 100
Vamos calcular a variância usando as duas fórmulas, para
exemplificar
1ª solução: – Primeiramente calculamos a média aritmética.
 Xi fi fiXi
 0 10 0
 2 20 40
 4 40 160
 6 20 120
 8 10 80
 Total 100 400
4X =∴== ∑ 
100
400
N
fX
X
ii
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
++++=
→
4X
5
20X
5
86420X
28
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8.3.3. PARA DADOS AGRUPADOSEM UMA DIS-
TRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE
VARIÂNCIA ( )σ2
( )
2
n
1i
i
2
i
2
n
1i
i
2
i
2
X–
N
fX
N
fX–X
σ
σ
∑
∑
=
=
=
⋅
=
ou
onde: ∑= ifN — (Freqüência Total)
Xi — ponto médio da i-ésima classe
Exemplo:
Considere as alturas de 50 alunos de uma turma, confor-
me a distribuição abaixo:
Alturas (cm) Alunos
150 160 5
160 170 10
170 180 20
180 190 10
190 200 5
 Total 50
Para exemplificar vamos resolver pelas duas fórmulas.
Primeiramente vamos calcular a média aritmética.
 Alturas Alunos Xi Xi fi
150 160 5 155 775
160 170 10 165 1650
170 180 20 175 3500
180 190 10 185 1850
190 200 5 195 975
 Total 50 8750
cm 175X =∴== ∑ 
50
8750
N
fX
X ii
Prosseguimos, no cálculo dos desvios e seus quadrados
Xi fi X–Xi ( )2i X–X ( ) i2i fX–X
0 10 –4 16 160
2 20 –2 4 80
4 40 0 0 0
6 20 2 4 80
8 10 4 16 160
 Total 100 480
( )
4,8σ 2 =∴=σ→
⋅
=σ
∑
=
 
100
480 
N
fX–X
2
n
1i
i
2
i
2
2ª solução: Como já calculamos a média aritmética, temos:
Xi if
2
iX i
2
i fX
0 10 0 0
2 20 4 80
4 40 16 640
6 20 36 720
8 10 64 640
 Total 100 2080
( )
4,8σ 2 =∴=σ
=σ→=σ
∑
=
 16–8,20
4–
100
2080X–
N
fX
2
222
n
1i
i
2
i
2
Para o cálculo do desvio padrão temos:
( )
2
n
1i
i
2
i
n
1i
i
2
i
X–
N
fX
σ
N
fX–X
 σ
∑
∑
=
=
=
⋅
=
ou
Para calcular o desvio padrão basta achar a raiz quadrada
da variância
2,19σ =∴= 4,8σ
29
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1ª solução:
Prosseguimos no cálculo dos desvios e seus quadrados.
 Altura (cm) Alunos Xi ( ) ( ) i2i2ii fX–XX–X X–X
150 160 5 155 –20 400 2000
160 170 10 165 –10 100 1000
170 180 20 175 0 0 0
180 190 10 185 10 100 1000
190 200 5 195 20 400 2000
 Total 50 6000
( )
cm 120σ 2 =∴==σ
∑
=
 
50
6000
N
fX–X
n
1i
i
2
i
2
2ª solução:
Altura (cm) Alunos Xi
2
iX i
2
i fX
150 160 5 155 24.025 120.125
160 170 10 165 27.225 272.250
170 180 20 175 30.625 612.500
180 190 10 185 34.225 342.250
190 200 5 195 38.025 190.125
Total 50 1.537.250
( )
cm 120σ 2 =∴=σ
=σ→=σ ∑
 625.30–745.30
175–
50
250.537.1X–
N
fX
2
222i
2
i2
Para o cálculo do desvio padrão temos:
( )
2
n
1i
i
2
i
n
11
i
2
i
X–
N
fX
σ
N
fX–X
σ
∑
∑
=
=
=
⋅
=
ou
Mas para calcular o desvio padrão basta achar a raiz qua-
drada da variância.
cm 10,95σ =∴=σ 120
8.3.4. PROCESSO BREVE PARA CÁLCULOS
DO DESVIO PADRÃO
Analogamente ao cálculo do processo breve para a média
aritmética, mudamos a variáveis x por y tal que
h
X–X
y
oi=
onde: Xo – é um valor arbitrário
h – intervalo de classe
No exemplo anterior teríamos:
h = 10 Xo = 175cm
Alturas (cm) Alunos Xi Yi 
2
ii
2
iii YfYYf 
150 160 5 155 –2 –10 4 20
160 170 10 165 –1 –10 1 10
170 180 20 175 0 0 0 0
180 190 10 185 1 10 1 10
190 200 5 195 2 10 4 20
 Total 50 0 60
cm 10,95σ =∴=σ
=σ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=σ
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=σ
∑∑
==
 20,110
50
6010
50
0–
50
6010
N
Yf
–
N
Yf
h
2
2n
1i
ii
n
1i
2
ii
30
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Anotações:
31
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br
 TESTE 1
Calcule a Média Aritmética dos números: 5, 9, 7, 1, 3.
a) 5
b) 4
c) 6
d) 7
e) 8
 TESTE 2
Calcule a Média Aritmética dos números: 8, 2, 4, 6, 0.
a) 4
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
 TESTE 3
Calcule a Média Aritmética dos números: 17, 15, 1, 3,
7, 6, 8, 11, 13.
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5
 TESTE 4
Calcule a Média Geométrica dos números: 1, 3, 6, 72.
a) 6
b) 5
c) 3
d) 7
e) 4
 TESTE 5
Calcule a Média Geométrica dos números: 25, 1, 5,
125, 1, 1.
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 25
 TESTE 6
Calcule a Média Geométrica dos números: 1, 9, 1, 3,
27, 9,3, 3, 1, 1.
a) 9
b) 1
c) 3
d) 6
e) 8
 TESTE 7
Calcule a Média Harmônica dos números: 2, 4, 6, 8.
a) 3,84
b) 3,48
c) 4,83
d) 4,38
e) 8,43
 TESTE 8
Calcule a Média Geométrica dos números: 2, 4, 6, 8.
a) 4,42
b) 4,78
c) 5,00
d) 6,0
e) 5,52
 TESTE 9
Calcule a Média Aritmética dos números: 2, 4, 6, 8.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
 TESTE 10
Os intervalos de classe podem ser apresentados de
várias maneiras. Dentre situações abaixo, a correta é:
a) 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
inclusive os extremos.
b) 2 I—I 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
exclusive os extremos.
c) 2 I— 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
exclusive o 2 e inclusive o 6.
d) 2 —I 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
inclusive o 2 e exclusive o 6.
e) 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
exclusive os extremos.
CAPÍTULO 9 - TESTES DE ESTATÍSTICA
32
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Considere a distribuição de freqüência transcrita a
seguir para responder às questões 11 e 12.
Peso Freqüência simples
 (kg) Absoluta
 2 I— 4 9
 4 I— 6 12
 6 I— 8 6
 8 I— 10 2
 10 I— 12 1
 TESTE 11
a) 65% das observações têm peso não inferior a 4 kg
e inferior a 10 kg.
b) Mais de 65% das observações têm peso maior ou
igual a 4 kg.
c) Menos de 20 observações têm peso igual ou
superior a 4 kg.
d) A soma dos pontos médios dos intervalos de
classe é inferior ao tamanho da população.
e) 8% das observações tem peso no intervalo de
classe 8 I—— 10.
 TESTE 12
A Média Aritmética da distribuição é igual a:
a) 5,27 kg
b) 5,24kg
c) 5,21 kg
d) 5,19 kg
e) 5,30 kg
Considere a distribuição de freqüência transcrita a
seguir para responder às questões 13 e 14.
 Diâmetro Freqüência simples
 (cm) Absoluta
 4 I— 6 6
 6 I— 8 8
 8 I— 10 12
 10 I— 12 10
 12 I— 14 4
 TESTE 13
a) A soma dos pontos médios dos intervalos de
classe é inferior à soma das freqüências absolutas
simples.
b) 28% das observações estão no quarto intervalo de
classe.
c) Manos de 25 observações têm diâmetro abaixo de
10 cm.
d) Mais de 85% das observações têm diâmetro não
inferior a 6 cm.
e) 75% das observações estão no intervalo 6 I—— 12.
 TESTE 14
A Média Aritmética da distribuição é igual a:
a) 9,00 cm
b) 8,80 cm
c) 8,70 cm
d) 8,90 cm
e) 9,15 cm
 TESTE 15
Calcule a mediana : 4, 12, 10, 3, 15, 5, 14, 8, 7
 TESTE 16
Calcule a mediana : 6, 4, 10, 5, 12, 3, 20, 7
 TESTE 17
Calcule a mediana
Nº DE APROVADOS EM UM
CONCURSO, POR NOTAS
NOTA APROVADOS6 10
7 15
8 2
9 14
10 10
TOTAL 51
33
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 TESTE 18
Calcule a mediana
Nº de aprovados em um concurso, por nota
Nota Aprovados
 6 10
 7 15
 8 1
 9 14
 10 10
TOTAL 50
 TESTE 19
Calcule a mediana
Altura (Cm) Indivíduo (fi)
150 |—– 160 5
160 |—– 170 10
170 |—– 180 20
180 |—– 190 10
190 |—– 200 5
TOTAL 50
 TESTE 20
Calcule a mediana
Salários minímos (SM) Funcionários
0 |—––– 2 20
2 |—––– 4 40
4 |—––– 6 20
6 |—––– 8 15
8 |—––– 10 5
 TOTAL 100
 TESTE 21
Calcule a média aritmética da distribuição abaixo:
 Xi freq.
 10 5
 11 8
 12 10
 13 6
Total 29
a) 11,58 b) 11,00 c) 12,58
d) 12,00 e) 12,99
 TESTE 22
Seja a tabela abaixo:
IDADE FREQ. ACUMULADA
1 10
2 15
3 25
4 40
5 50
Calcule a média aritmética:
a) 3,75
b) 3,25
c) 3,00
d) 3,20
e) 2,80
 TESTE 23
Calcule a média aritmética
 CLASSES FREQÜÊNCIA
0|—– 2 10
2|—– 4 20
4|—– 6 40
6|—– 8 20
 8|—– 10 10
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) NRA
 TESTE 24
O depósito em caderneta da poupança no mês de
março de 2002 de 600 clientes de um banco encontra-
se na tabela abaixo:
DEPÓSITO EM R$ 1.000,00 Nº DE CLIENTES
0 |—– 10 100
10 |—– 20 120
20 |—– 30 80
30 |—– 40 70
40 |—– 50 60
50 |—– 60 50
60 |—– 70 40
70 ou mais 80
A porcentagem dos que depositaram R$ 30.000,00 ou
mais é:
a) 50% b) 70% c) 60%
d)30% e)80%
34
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 TESTE 25
 Calcule a mediana da distribuição abaixo:
 Xi fi
 2 15
 4 10
 6 40
 8 10
10 20
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
 TESTE 26
Calcule a mediana da distribuição abaixo:
Xi fi
2 20
4 10
6 40
8 10
 10 20
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
 TESTE 27
Calcule a mediana da distribuição abaixo:
CLASSE FREQÜÊNCIA
0|—– 2 10
2|—– 4 20
4|—– 6 30
6|—– 8 20
8|—– 10 10
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
 TESTE 28
Calcule a mediana da distribuição abaixo:
CLASSE FREQÜÊNCIA
0|—– 1 7
1|—– 2 9
2|—– 3 12
3|—– 4 16
4|—– 5 14
5|—– 6 15
6|—– 7 11
7|—– 8 8
8|—– 9 5
9|—– 10 3
 Total 100
a) 4, 42 b) 3, 44 c) 4, 69
d) 3, 21 e) NRA
 TESTE 29
A fim de implementar um projeto de instalação de
parques infantis em uma certa região de uma cidade,
foi selecionada uma amostra de 50 quadras das 300
existentes na região. A distribuição da amostra é
apresentada a seguir:
 Nº DE CASAS Nº DE QUADRAS
 0|—– 20 7
20|—–40 20
40|—–60 11
60|—–80 7
80|—– 100 5
 Total 50
A instalação dos parques deve ser iniciada pelas
quadras mais populosas. Por limitação de verbas,
decidiu-se beneficiar somente as 50% mais populosas.
O número mínimo de casas que a quadra deverá ter
para ser beneficiada com a instalação de um parque
infantil é:
a) 25 b) 30 c) 32
d) 35 e) 38
35
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 TESTE 30
A tabela abaixo representa os salários pagos a 200
funcionários de uma empresa.
Nº de Salários Mínimos Nº de Funcionários
0 |¾ 2 80
2 |¾ 4 60
4 |¾ 6 20
6 |¾ 8 30
8 |¾ 10 10
 Total 200
Calcule:
a) O salário médio dos funcionários.
b) O salário mediano dos funcionários
c) A moda bruta
d) A moda de czuber
e) A moda de King
 TESTE 31
Seja a distribuição de estatura de 300 alunos de uma
turma.
Estaturas(cm) Alunos
130 |¾ 140 40
140 |¾ 150 60
150 |¾ 160 100
160 |¾ 170 60
170 |¾ 180 40
Total 300
Calcule:
a) A moda bruta
b) A moda de Czuber
c) A moda de king
 TESTE 32
Seja a distribuição de estatura de 400 alunos de
uma turma.
Estaturas(cm) Alunos
140 |¾ 150 80
150 |¾ 160 60
160 |¾ 170 120
170 |¾ 180 80
180 |¾ 190 60
Total 400
Calcule:
a) A moda bruta
b) A moda de Czuber
c) O primeiro quartil
d) O segundo quartil
e) O terceiro quartil
 TESTE 33
A tabela abaixo representa os salários pagos a 20
funcionários de uma empresa.
Nº de Salários Mínimos Nº de Funcionários
0 |¾ 10 8
10 |¾ 20 6
20 |¾ 30 2
30 |¾ 40 3
40 |¾ 50 1
Total 20
Calcule:
a) O primeiro quartil.
b) O segundo quartil.
c) O terceiro quartil.
d) O quarto decil.
e) O quinto decil.
f) O nono decil.
 TESTE 34
Seja a distribuição de estatura de 300 alunos de uma
turma.
Estaturas(cm) Alunos
130 |¾ 140 40
140 |¾ 150 60
150 |¾ 160 100
160 |¾ 170 60
170 |¾ 180 40
Total 300
Calcule:
a) O oitavo percentil.
b) O 45º percentil.
c) O 50º percentil.
 TESTE 35
Seja a distribuição de estatura de 400 alunos de uma
turma.
Estaturas(cm) Alunos
140 |¾ 150 80
150 |¾ 160 60
160 |¾ 170 120
170 |¾ 180 80
180 |¾ 190 60
Total 400
Calcule:
a) A média aritmética.
b) O desvio médio.
c) A variância.
d) O desvio padrão
36
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 TESTE 36
A tabela abaixo representa os salários pagos a 20
funcionários de uma empresa.
Nº de Salários Mínimos Nº de Funcionários
0 |¾ 10 8
10 |¾ 20 6
20 |¾ 30 2
30 |¾ 40 3
40 |¾ 50 1
Total 20
Calcule:
a) A média aritmética.
b) O desvio médio.
c) A variância.
d) O desvio padrão.
 TESTE 37
Seja a distribuição de estatura de 40 alunos de uma
turma.
Estaturas(cm) Alunos
140 |¾ 150 8
150 |¾ 160 6
160 |¾ 170 12
170 |¾ 180 6
180 |¾ 190 8
Total 40
Calcule:
a) A média aritmética
b) A mediana
c) A moda bruta
d) A moda de Czuber
e) O 2º quartil
f) O 5º decil
g) O 50º percentil
h) A variância
i) O desvio padrão
 TESTE 38
(AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários
anuais de uma firma com N empregados produziram as
estatísticas
00,300.14$RX
N
1X
N
1i
i =∑= =
( ) 00,200.1$RXX
N
1S
5,0N
1i
2
i =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∑ −=
=
Seja P a proporção de empregados com salários
fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$ 16.100,00].
Assinale a opção correta.
a) P é no máximo 1/2
b) P é no máximo 1/1,5
c) P é no mínimo 1/2
d) P é no máximo 1/2,25
e) P é no máximo 1/20
 TESTE 39
(INSS- ESAF) Sejam X1,X2,X3,........Xn observações de um
atributo X. Sejam:
∑
=
=
n
1i
iXX e 
2
n
1i
i
2 )XX(
n
1S ∑
=
−=
Assinale a opção correta:
a) Pelo menos 95% das observações de X diferem
de X em valor absoluto por menos que 2S.
b) Pelo menos 99% das observações de X diferem
de em valor absoluto por menos que 2S.
c) Pelo menos 75% das observações de X diferem
de em valor absoluto por menos que 2S.
d) Pelo menos 80% das observações de X diferem
de em valor absoluto por menos que 2S.
e) Pelo menos 90% das observações de X diferem
de em valor absoluto por menos que 2S.
 TESTE 40
(SUSEP-ESAF) Seja X uma variável aleatória com valor
esperado µ e desvio padrão . Pode-se afirmar
que:
a) Pelo menos 75% das observações de X pertencerão
ao intervalo .
b) Pelo menos 80% das observações de X pertencerão
ao intervalo [ ]σ+µσ−µ 2;2 .
c) Pelo menos 90% das observações de X pertencerão
ao intervalo [ ]σ+µσ−µ 2;2 .
d) Pelo menos 95% das observações de X pertencerão
ao intervalo [ ]σ+µσ−µ 2;2 .
e) a) Apenas com o conhecimento de µ e não é
possível fazer afirmação sobre o percentual de
realizações de X que cairão no intervalo
.
X
X
X
X
37
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br
 TESTE 41
(AFRF-2000-ESAF) Numa amostra de tamanho 20 de
uma população de contas a receber, representadas
generica-mente por X, foram determinadas a média
amostral M =100 e o desvio-padrão S =13 da variável
transformada (X-200)/5.