Tec Transp 93 100

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3.3Modelos macroscópicos parafluxos de tráfego 93
Solução: Searelaçãoentreadensidadeea velocidadeé linear,adensidadecrítica,
queé a densidadedacorrentedetráfegoquandoo fluxoé máximo,correspondeà
metadeda densidadede congestionamento.cornomostradonaEquação3.11,ou
seja,k/ll =210/2 = 105veiclkm.
Igualmente.a velocidadecrítica.queé a velocidademédiano espaçodacorrente
de tráfegoquandoo volumel( máximo, é a Illetadeda velocidadelivre, corno
demonstradonaEquação3.12.Então.11/11 =110/2=55km/h.
Da relaçãofundamentaldo tráfego.sabe-sequeo volumenacapacidadeé dado
peloprodutoda veiocidadecríticapeladensidadecrílica. Portanio,o volumeque
eorrespondeà capacidadedo trechoemquestãoé q/ll = 105.55 =5.775veiclh.
Ou seja,nacapacidade,passam5.775veiclh,numavelocidademédiade55 km/h
ecadaquilômetrodeviacontém105veículos.
k1 km k'1 k/
Densidade
Fig. 3.4:Volume,densidadee velocidadede
umacorrentedetráfego
Uma característica importante desta relação é que para cada
volume correspondemduas concentraçõesdiferentes, como pode
ser visto no gráfico da Figura 3.4. Pode-se notarque paraqualquer
outro volume, que nãoo volume máximo, correspondemdois vaia-
res de concentração: um mcnor quc k/ll e outro maior que kl/l' Isso
significa que urnacertavia pode operara um volume de tráfegoq,.
menor que a capacidadeem duas situações: uma onde o volumc
passandopela se~'ãode controle é pequenodevido ao haixo Illímc-
ro de veículos, e outra onde o volume passandopela via é baixo
devido ao congestionamentoexistente.
No primeiro caso, a densidade é haixa e a velocidadc média
da corrcntc de tráfego é alta (/I', ..,.. /11/1). pois os motorist:1Stêm
Iibcrdadeparaescolhercma velocidadedeoperaçãodos scuscarros
scm que a prcsença dos demais veículos intcrlira com isso. Por
conseguinte, denomina-se essa região do gráfico na qual k < kl/l
de região defl/lxo hl're, pois a via estáoperandocom um volume
abaixo da suacapacidade.
Fluxo livre"
,
..:... Fluxo :.. )10-,
ongesf/onado :
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
I
,
No segundo C;lSO,na regIao da par:íbola cm quc k > k,,,, a densidade da
corrente é alta e, em conseqliência disso, a velocidade é haixa (/1'( < li",) pois a
alta concentraçãoda corrcnte força os motoristasa reduzirem a velocidade. Essa
região é chamadade regiiio deflll\() (,ollgesfioll(/(/o, pois a via cstáoperandoalém
da sua capacidadee encontra-secongestionada.
Quando (I = O, existem também dois estados possíveis para a corrcnte de
tráfego. Se k for igual a zero, a velocidade da corrente l( a velocidade livre, que
94 Capítulo 3. Fluxos de veículos e seu controle
é a tangenteà parábola na origem: se k =k;, a velocidade é nula porque a via
encontra-secompletamentecongestionada.
Com isso, fica claro que a suposição de que uma função linear expressecor-
retamentea relação velocidade-densidadepermite construir um modelo capaz de
explicar adequadamentco fenômeno do fluxo de veículos numa via de tráfego
ininterrupto, como uma auto-estradaou uma via expressa.
Exemplo 3.6 No caso do lrecho do Exemplo 3.5,dele,-mil1e(/c0l1cel11mçüoea \'e1ocidade
da co,-,-eI11ede ,,-á(egoqll(/ndo o \'!Jlllme(o,- iglf(ll (/4.200 l'eic/h.
Solução:A relaçãofundamentalestahelecequeq =li" . k; porconseguinte,têm-se
que:
_ fi 4.200
fi = 11".k=> H, = k = -k-'-'
Essaexpressãoparaa velocidadepodesersuhstituídanarelaçãoentreadensidade
e a velocidadeque,parao trechoemquestão,é
( k ) (' k)
li" =1/( I -- - =1I () 1-, -- =}
k; 210
4.200 110 110 2---- =I 10 - - k =}- k- I 10k +4200 =O
k 210 210
A soluçãodessaequaçiiodo segundograu fornecedois valoresparaa densida-
de, kl = 50,17 vcic/km e k2 = 159,R3 veic/km. Suhstituindo-seessesdois
valoresna relaçiioful1tbll1entalparao volumeigual a 4.200 veie/h,lêm-seque
111 =R3,72 km/he 112 =26,2R km/h.
3.3.4 A relação entre volume evelocidade
A expressãoIIwtem,ítica darclaçãoelllrea velocidademédiaeo volumedacorrcnte
de tráfegopodeseroblida de formasimilar à usadaparadeduzir o modelo volume-
concentração. A Equação J.R pode ser rearranjadade tal forma que
( 11.\,)k = kj I --;;;- .
(3.14)
Suhstituindo-seo va1mcit'k elaFqu,l<;ãot 1/1 lia relaçãoflllldamcnIaIdo t ráfcgo,
oht6m-seo modelo cl'1('expressaa variac;ãodo volume com a velocidade 111l<diada
cOlTcllle:
(3.15)
3.4Modelos microscópicos de tráfego 9S
- ----_.- -----------------------------
q1
Volume
Fig. 3.5:A relaçãoentrevelocidadeevolullle
,
. ,
I
,
I
I
,
I
I
,
I
I
,
,
,
,
I
__ l_
I
,
I
,
,
I
qm
CIl
E::l~
:km
u, CIl
"'Ol1l Um
"'O
'ü Um..2 ~
km
kj
Densidade
Volume
Fig. 3.6: Relaçõesentrevelocidade.volumee densidadenu-
macorrentedetráfegoselll interrupções
/:/ :/ :/ '//
k:f/ Fluxo
: congestionado
,
,
,
,
,
U,
U'.j
Esta também é uma função parabólica. que é ilustrada na Figura 3.5. Note-se
que, tradicionalmente, a rcpresentaçãográfica desse modelo é feita com os eixos
trocados: a velocidade é rcprcscntadano cixo vcrtical e () volume, no horizontal.
Como no modelo volume-concentração,existeumaregiãodefluxo livre eoutra
de fluxo congestionado. Na regiãode fluxo livre, o volume é alcançadocom uma
velocidade maior que a velocidade crítica (ii, > 1/",) C a densidadeé baixa. Na
região de fluxo congestionado, a densidade l~alta c a velocidade é menor que a
crítica (ü.•.<1/",).
A velocidade média da corrente pode variar de zero i't velocidade livre 1/1 e o
volumeénulo paraessasduascondições. () volumeémáximo quandoa velocidade
é igual i't metadeda velocidade livre I'{e, nessasitua<Jío.a densidadeé a mctade
da dcnsidadede congestionamentok i.
A Figura 3.6 exibe graficamenteas relaçõesentre velocidade, volume e con-
centraçãoe suas interações.
3.4 Modelos microscópicos de tráfego
Como vislo nas seçõesanteriores,os modelos macrosc<ípic()stratamda corrente
de tráfego como Ulll lodo. A <lbord<lgemmicrosc()pic<l.por oulro lado, procura
96 Capítulo3. Fluxos de veículos e seu controle
estabelecermodelos matemáticoscapazesde explicar ascaracterísticasdos fluxos
de tráfegoa partirdos veÍCulosquecompõemacorrente. Nestetipo de abordagem,
os fluxos são estudadosatra\'6sde modelos capazesde determinaros intervalos
entrechegadassucessivasde veÍCulos-- as distribuições de headways.
omodelo maissimples paraa modelagemdechegadasde veículos a um ponto
na via baseia-se na suposição de que os intervalos entre passagensde veículos
sucessivos pela seção de controle são constantes. Este padrãode c!legadasé
chamadodf.'ferminí.l'fim ou lIniforme. De acordocom essasuposição, seo volume
de tráfego for. por exemplo. 360 veic/h. o númerode veículos que passapor uma
seçãode controle num intervalode 5 minutosé30 e o headwayentredois veículos
sucessivosquaisqueré 10 segundos,pois como visto na Equação 3.2 (pág. 82), o
headway médio é o inverso do volume.
Os Illodelos deterrllinÍsticos.apesarde simplistas. têm aplicaçõespráticas im-
portantese servempara representarbem algumassituaçõesde grandeimportância
paraa Engenharia de Tráfego. A suposiçãode headwaysuniformes aplica-se bem
aos headways entre os veículos que partemde uma fila formada num semáforo,
por exemplo.
Em outras situações. tais como fluxos em trechos longos entre interseções
sernaforizadas.uma rápida observaçãomostraque a hipótesede chegadasunifor-
mementeespaçadasé apenasunw aproximaçãodo fenômenoreal pois percebe-se
que os headways não são constantese variam de forma aleatória. Um 11I0delo
e.l'focâsfico de chegadas,que trataos headwayscomo uma variável aleatória, re-
presentamais fielmente o processo de passagemde veículos por esse ponto de
observação. Se estavari;ível aleat6riapuder ser ajustadaa uma função densidade
de probabilidade. o problemapassaa serdeterminarqual distribuição estatísticaé
a mais adequadapararepresentaros headwaysohservados.
Já que é mais simples contaro l1límerode veículos que passa por um pon-
to durante Ulll certo intervalo de tempo do que medir headways, e como a taxa
média de chegadascorrespondeao inverso do headway médio, diversos modelos
microscópicos são baseadosna foxo média de ('!legados. Um dessesmodelos,usa
a dis,rilmiç([o de Poissoll pararepresentarchegadasde veículos numacorrentede
tráfegoc é expressopor:
(ÀI)" (')r
1'(11) =_.._-~-_.~
11'
(3.16)
em que P (11): prohahiIidadede li veículos chegaremdlll'anteum intervalo ele
duração' :
973.4Modelos microscópicos de tráfego---------------------_._-~-----"-_ ...._-_._-_._---------------------
f: intervalo de observação[s]; e
À: taxade fluxo média no intervalo de tempoobservado,também
chamadode taxamédiadechegadas[veic/s].
Exemplo 3.7 COllsidere U/l1trecho de UII/ll (//(fo-c.I'fr({{/aollde o!J,I'('(wl-.I'eu/I1fluxo /I1édio
de 360veic/h. Supondo-se que as chegadas de veículos seja/l1distrihuídas de acordo com
U/1/adistribuiçc70de POiSSOll,esti/1/ara prohahilidade de se fer O, I, 2, 3, 4 e 5 ou mais
veículos passando por U/1/posto de polícia mdm'iária nll/1/inter\'(/lo de 20 segundos.
Solução: Nestecaso,ataxadechegadas6 À = .1(í0j3(íOO=O, I \'eic/s.Usando-sc
a Equação3.16, tClll-sequeasprohabilidadesdeocorrerelllO. 1.2, 3 c 4 chegadas
numintervalode20segundossão:
(0.1 .20)'\' . (0,1.20)
P(n =O)
0,135
O!
(0,1 .20) Ie-(O.I
.20)
P(n=l) I!
0.27 I
(0.1 ,20)2e-(0.1
.20)
P(n =2) 2!
0.271
(O,I,20)le-(lJ,1
2lJ)
P(n =3) 3'
0.180
(O, I ,20)4 ('
-((l.120)
P(II =4)
---_._----:-=O,Ot)O
4'
A prohabilidadedeocorrem5oumaischegadasem20segundospodesercalculada
saben~io-sequea probabilidadedaocorrênciadeUllleventocomplementarà deA
é P(A) =I --P(A), ou seja.
P(1l ::: 5)
1'(n ::: 5)
P(n ?: 5)
1- [1'(0) + 1'(1) I- 1'(2)+ 1'(.1)I- 1'(4)1 =}
1-- [0,1.15+0,271 +0.271 +0,180+0,091 =}
0,053
(3.17)
A suposição de que as chegadasdc veículos sejamdistribuídas de acordo com
uma distribuição de Poisson implica cm que os headwaysentre veículos sucessi-
vos sejamdistrihuídos de acordo cOl1lumadistrihuição exponcncial. Isso pode ser
facilmente demonstrado,considerando-scque um headwayde duração t éequiva-
lentea um intervalo eletempo t duranteo qual não ocorrc chegadaalguma.
Seja a taxa 111l<diade chegadas À [veic/s1. A prolwhiIidade de não serem
observadaschegadasduranteum intervalo de tempode dm<t<,;ãot é
(Àt)lIe)/ (Àt)'\')./
1'(11 =O) =--~-~- - ~-------=e }./
li! O!
98 Capítulo 3. Fluxos de veículos e seu controle
que é a expressãoda dislrilmiçiío cxponcl1cial.Ou seja, numa correntede tráfego
com taxa média de chegadasÀ, a probabilidade 1'(11 =O) de não haver chegadas
duranteum intervalo de tempo t é igual a probabilidade P(h ::::1) de ocorrer um
headway de duraçã.oI. Portanto, podc-se tanto modelar a corrente do ponto de
vista da distribuiçã.odo número observadode chegadasem intervalos de tempo t
como do ponto de vista da distribuição observadade headways.
Exemplo 3.8 No (rccho do Exelllplo 3.7.de(erminar (/ /Jro!mbilidade de (J 17eadway en(re
dois l'cíClllos .\·lIccssil'oS scr I//cnor qll(' ,'\ ,\'cf!,lIndos.
Solução: Como visto no Exemplo3.7, a taxamédiade chegadasé 0,1 veie/s.
Sahe-seque P (17 < f) = 1 - P (li ;:o. t). Portanto,usando-sea Equação3.17,
tem-se:
P(1I <Rs) = 1__c)r =1__e,O.IR =0,551.
Observaçõesempíricas mostramque a hipótesede chegadasregidas por uma
distribuição de Poisson é realística para uma ampla gama de condições de tráfe-
go não congestionadas. À medida em que os volumes aumentamou semáforos
causem distúrbios cíclicos na corrente de tráfego, outras distribuições passam a
ser mais apropriadas para descrevero processo de chegadas. Não faz parte dos
objetivos destetexto discutir outrasdistribuições ou modelos de fluxo de tráfego,
O leitor interessadopodeconsultaro TmlfieEngineering f/andbookR ou o Special
Report 1659.
3.5 Aplicações da teoria das filas na análise dos fluxos ininterrup-
tos
A formaçãode filaseminterseçõeseoutrospontosdo sistemaviário éumfenômeno
facilmcnte observ:lvel que, com certcza, o leitor já deve ter experimentadopes-
soalmente. Essas filas ou congestionamcntossão um dos problemasmais comuns
encontradospelos engenheiros de transportes.O tempo gastoem filas representa
uma parcelaconsideráveldo tempo total de viagem, além de tambémser um dos
fatores preponderantesna reduçãodo nível de serviço das vias.
A formaçãode filas nãoéumaexclusividadedos sistemasde transporte,como
qualquer pessoaquc vive nUl11asociedade l110dernasabe: pode-sc encontrar filas
XI'lil1e. .I. L .. cd, (1l)lJ2) hrlll;" FlIgitlr'f'I'illg f/(//ull>""k I'rcl1lice-llal!. Englewood Cli rrs. N.I,
EUA
()C;eliough, D. L c lltlhl'l. M, .I. (i <J7'i)Tmnic l1o\\' Ihemy: a l11ol1ograph,Spccial Reporl 1ó:'i,
Transporlaliotl Research Hoanl, Washinglol1. De. FIlA,
993.5Aplicações da teoriadas filas na análise dos fluxos ininterruptos
~~~------,._-~~~~_._._ ...- - - - - - - ------ - ---------~- -------~~~-~. __ .~----
embancos, linhas de fabricaçãoe montagem,sistemasdecomputadores,hospitais,
centrais telefônicas, etc. Os sistemasde filas têm sido exaustivamenteestudados
com o objetivo de mitigar os problemas inerentesa eles, o que levou à criação
de um corpo de conhecimento considerável, conhecido como Teoria das Fi{as.
Os modelos de fluxo de veículos apresentadosno item anterior podem ser usados
em associação com a Teoria das Filas para analisar o comportamentodos fluxos
de veículos nos pontos de estrangulamento,permitindo avaliar a eficiência dos
dispositivos e alteraçõesprojetados.
Um modelodefilasserveparacalcular medidasdedesempenhodo sistema(tais
como tempomédio de esperana fila, tempomédio total no sistema,comprimento
médio da fila, etc.) e é determinadopelos seguintesparâmetros:
• O padriio de chefiadas,que representacomo os veículos chegamà fila;
• O padre/ode partidas, que representaa forma como os veículos deixam a
fila. ao chegarsua vez de sair da fila:
• O lIlímero de canais de sCITiço, que correspondeao númerode veículos que
podemdeixar a /lIa simultaneamente:e
• A discipli na daf/{a,ou seja,aordcmemqueos veículos da fiIa sãoatendidos.
Dois modelos que representamn podu/o de c!legodosj;) foram discutidos an-
teriormente: o modelo de chegadasuniformes (ou detenninísticas) e o modelo
de chegadasaleatórias - no caso, chegadasde acordo com uma distribuição de
Poisson. Se as chegadas ocorrem de forma detenninística, os hcadways entre
veículos são sempre iguais. Se as chegadasforem poissonianas,os headwayssão
distribuídos de acordo comuma distribuição exponencialnegativa(Equação 3.17).
O padrr/o de {)(Irtidasmostracomo os veículos saemda seção de controle -
por ex., os headw<l)'sentre veículos que passampor um semMoro. Os padrõesde
partidasmais comllllS sãoo c1eterminístico(heaclwaysconstantes)e o exponencial
negativo(headways aleatórios,distribuídos de acordo com uma exponencial).
Um terceiro aspectoimportanteparaos modelos de filas é o nlÍmero de canais
dc serviço ou canais de atendimcnto - por exemplo, numa praça de pedágio,
o número de cabines em funcionamento. Nos sistemasde /lias em interseções
rodoviárias ou em trechos de vias, o número de canais é quase sempre unitário,
representandouma faixa de trárcgoou um conjunto de faixas de tráfego. Contudo,
pode-seencontrarváriassituaçõesoncleo númerode canaisé maior que UI1l,como
é ()caso de uma praçade pedágio.
Fig. 3,7:Urna fila, ou con-
gestionamento, numa via
100 Capítulo 3. Fluxos de veículos e seu controle
oúltimo fatorque defineum sistcmade filas é a disciplinadafila. Quando os
clientes são atendidosnaordememque chegamao sistema.diz-se que a disciplina
é PEPS (Primeiro que Fntra. Primeiro que Sai) ou FIro (do inglês 'First In. First
Our). Se os os fregucsessilo atendidos na ordem inversadas chegadas,isto é, o
últimoque chegaé o primeiro a ser atendido,a disciplina échamadaUEPS ou, em
inglês, UFO CLast In, First Out'). Para os sistemasde filas encontradosno tráfego
rodoviário, a disciplina PEPS é a mais comum.
Tradicionalmente, o sistemade notaçilo dos modelos de fila é composto por
duas letras e um mímero, separadospor barras, que indicam respectivamenteo
processode chegadas(X). o processode atendimento(Y) e o númerode canais (z):
X/}'/z.
A letra D é usada para representarprocessosdeterrninísticosde chegadae de
partida- ou seja,headwaysuniformesentreos veículos quechegamou quepartem.
Portanto, uma fila em que os veículos chegamao final da fila a intervalos iguais e
constantese partemda fila um de cada vez (um único canal) em intervalos iguais
e constantes,é representadapela notação DID/I. Note que a notação D/D/I não
implica quc o headwaymédio de chegadaseja igual ao headwaymédio de partida.
Para os casos onde os headways são distrihuídos exponcncialmente,usa-se a
letra M. A notaçiiode uma fila na qual tantoos headwaysde chegadacomo os de
partida seguem uma distrihuição exponencial negativae existe apenasum canal
de atendimentoé M/Mil. Usa-se a notação ]\'1/D/1para indicar uma fila em que
os headwaysde chegadasedistribuem exponenciaImente,os headwaysde pattida
são uniformes e há um único canal de atendimento.
Apenas os modelos DIDII, MIDII e M/Mil serãodiscutidos no texto. O leitor
interessadodeveconsultar,por cxemplo, No"acs I () ou Newe1l11, quecontêmvários
exemplosaplicativosdo usode modelosestocásticosmaiscomplexos paraaanálise
de problemasde filas em Engenharia de Transportes.
3.5.1 Modelos determinísticos de filas para análise de fluxos de tráfego
Uma fila onde tanto os headwaysentreos veículos que chegamao sistcma como
os headwaysentreos veículos que partemdo sistemasãoconstantese ondc existc
UI1llínico canal de atclldimcnlo servc hem p"ra demollstrar os cOl1ccitoshásicos
IONov;les, 1\. G. (I CJ7:;1. I'('\({I';,\"(/(){'I'I"[/(';OIlO{I' llwl.lporlf's: !I1otlelo,t I'mlwhilí.l'l;COS,
EDIISP/l\kGraIV-lIiJl do Brasil. S. Palllo.
1i Ncwell. n.F. ( I<JX2) ;\""liml;olls or<!1I('III';lIg'1"11"0,,'(2" ed.), Chapl1lan & Ilnll. I-cllldrcs.