Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
3.5Aplicações da teoriadas filas na análisedos fluxos ininterruptos ligados à Teoria das Filas. pois tantoa solução analítica como a solução gráficado problema podcm ser facilmcntc comprecndidas. Soluçãoparaummodelo/)//)/1 Ainda que a solução analítica parauma fiIa D/D/I seja fácil de ser obtido por um aluno de Engenharia Civil. o leitor deveseesforçarem resolverestesmodelos gra- ficamente.pois só assim obteráuma maior familiaridade com os modelos de filas, o que lhe seráde grandevalia na análisede sistemascomo terminais (rodoviários, portuários, aéreos,etc.), vias, etc. O Exemplo 3.9 serve para ilustrar a obtenção da solução gráfica paraullla fiIa D/D/ I. Exemplo 3.9 Sejtlll/II celllm cOlllcl-ci(iIclljo ('sltlciolltllllelllo ohre ris9:00.Nesse illSlolllc, I'dculos COllleçallla chegar ao florli/o do eSlo('iollolllClllo tlllllltlloxa de480I'eic/h. Depois de 20 lIIillUlos, o .fluxo dc l'eícIIlos qlle chegalll sc rcduz.INlra 120 \'eic/h, e se lIIolllélll COIIslallle olé o(illal do dia. No porli/o de clIll'(/lla cxisle 1111I(,olllmle de eslaciollwllclIlo que requer que o placa de ctlda I'cículo scia wlOlado e 1111ICOllll)/YlI'(lIIleseja dado ao 1Il0lorislo. O lelllflo lIecesslÍrio flora esla oflcroçi/o é (,ollslollle (' igr(((l a 15 seg1ll/llos. COl/slrua UIII gl"IÍfico qlle reflrescl/le a oflcraç'i/o dtl cl/lrado do cslociol/olllelllo, Solução: Pressupondo-se que tanto o processo de chegadas como o processo de partidas são determinÍstieos _. isto 0, os headways entre as chegadas e entre as partidas são constantes ~. pode-se usar um modelo de [i Ias D/D/I para estudar o congestionamento que aparecena entradado estacionamento. Para tanto. é preciso determinar a taxamédia de chegadase a taxamédia de partidas, que tamhém pode ser chamada de loxo 1II(;diode olelldilllelllo. Conhecidas esses dois parâmetros, pode-se então determinar a (,IIITO dc ('hegtldasoClIlIluladas c a ClIlTa de l70rlidtls aCIII//lIlodos. 1i/xa I1It;diade chegadas e eurva elechegadas acumuladas: Chamando- se de À. a taxa de chegadas, o número acumulado de chegadas ap(Ís um intervalo de tempo I pode ser calculado por: 101 C(t)=À.I. (3.1 R) Se a taxa de chegadas À for constante.a função C(r) será uma reta. No exemplo. duranteos primeiros 20minutos de funcionamento do estacionamento, a taxa média de chegadas À é 4XO vcic/h. ou X veic/min. A curva acumulada de chegadas, nesse intervalo de O a 20 minutos, pode ser representadapor: C(I)=ÀI=Xt Após 20 min. terão chegado C(20) = I fiO veículos, No gráfico da Figura 3.R. esse trecho da curva de chegadas acullluladas é o segmento de retaOA. A inclinação da 102 Capítulo 3. Fluxos de veículos e seu controle UI ..Q 250::J \,)'ãj> 200 C(t) -! (Chegadas) O _______~---A "ti 150 .!!! ::JE::J 100 \,) "'o.. 50Ql E.::Jz Desaparecimentoda fila '-_//------- -- -- _. _ .. - - - - -- 7060502010o 30 40 Tempo (min) Fig. 3.8: Representação grMica de uma fi Ia D/D/I retaOA corresponde ao fluxo de ehegadasR veic/min e o ponto A tem eoordcnadas (20min.160veic). Após 20 min. o fluxo de chegadas passa ,1 ser 120 veic/h ou 2 veic/min e a curva de chegadas a partir daí passaa ser C(I) =2 I.para I :::o:: 20 minutos. No grMico. essatrecho da curva acumulada de chcgadasé indicado pelo segmentoAB. Pode-se nolar que a inclinação da n:la AB l; menor que a da retaOA..iâ que a taxade chegadas diminui a partir de I = 20 min. ''vlalemalicamente.a curva de chl',!.'.adasC(t) para o Illodelo D/IJII pode ser expressapor: C( {RI.1) = 160+2(1 - 20), para I <20 min c para I :::20 mino 1:1X<l de fJnrlidas c ellTTa de fJ<lrlidas nCl1111IIladas: Chamando-se de 1I a taxa de partidas. o número acumulado de partidas após um intervalo I. D(I), pode ser calculado por: J)(t)=lil. (:'.19) Se. no caso do excmplo. cada veículo que chega ao portão do estacionamento leva 15 segundos para partir. os headways entre partidas são 15 s. Portanto. o maior fluxo quc pode entrar no estacionamentoé li =4 veic/min ou 240 veic/h. O tempo gasto para atender cada veículo é constante ao longo do dia e a taxa de atendimento máxima reflete a capacidade de atendimento (número de cabines) e o tempo médio de atendimento de cada freguês: 60 II,,!:IX = ---- 10/ (' (:'.20) cm que 11m,,,é a laxa IIIIÍxillla dc alcndimcnlo I\'eic/minl: 1(// é o tempo gasto para atender um veículo Is/veicl: e (' é o númcro de guichês em opcração. ~3._5__A_p_l~ic~a_ç_õ_e__s__d_a~t~_o_r~ia~~..s_~!~s...rl.a~~á~:e~()s_f~~x_o_s_in_in_t_er~uptos 1~()_3 A taxa de atendimento não se mant6m igual fi máxima (/1 =41) ao longo de todo o tempo; na verdade,a taxade atendimentosó pode ser maior que a taxa de chegadas seexistir uma fila. Se não houver veículos esperandoparaentrarno estacionamento, a taxa de atendimento é menor que a máxima, pois não há como atender fregueses que ainda não chegaram :1 entradado estacionamento. Supondo-se que o primeiro veículo que chega ao edifício o faz exatamente no instante em que o estacionamento se ,lhre, pode-se desenhar a CII/WI dr parlidas do portão, areIa 013, euja inclina~'ãocOlTl'spondeao fluxo de 4 veic/min. Pode-se nlltar que o ponto B tcm coonfl'nad,ls «lO min, 240 veic). Dc mancira similar :\ curva C(I), a curva de partidas j)(/), PllLfl' ser expressa por: IJ(I) = /1 1= 41. Ohservando-se o gráfico da Figura __u~pode-se pereeherque a inclinação da curva D(t) (quc cOITespondeà taxa de atcndimento) reduz-se após o ponto B, quando a fila desaparece. A partir de 8, a taxa de atendimento p;lssa a ser igual :\ taxa de chegadas (/1 =).).Portanto, a função: A curvadepartidasacumu/a- dasdeveestarscm/lrc;)direi- tadacurvadechegadasacu- muladas- ouseja,scJsepode sair da fila dcpoisde chegar i!di!. D( _ { 41,- I) - 240f 2(1 para I < (,Omin l' 2'10). para I :::-20 min deserevemelhor a curva de partidas aClnlluladas ao longo dolempo. As curvas de chegada e partida representamgraficamenteo sistema de fiIas estudado;ohservando-seo gráfico da figura 3.8 pode-sever como a fila cresceaté um máximo e depois diminui atédesaparecercompletamente. Gr:w d('CO /l R(~Sti(}11:1l1l (' /lI o Um parâmetroimportanteparacaracterizaç{iode lima fila é o grau de (,o17gesrio- 17(//1IC'1I10OUIll.w de("ollgesriollllll/elllo do sistema,fl, que édefinido como a razão entrea taxa de chegadas(À) e o produtoda taxade partidasrelativaa um canal de atendimento(/1) e do I1lÍmerode canais de serviço (1"): fl= II (" (3.21) Se /) = I, o sistema opera na sua capacidade- isto é, a taxa máxima de partidas é igual ;1 taxa de chegadas. Numa 'lJlalogia com um caixa d';Ígua, o fluxo que sai da caixa é igual ao fluxo que entra na caixa. O fluxo de saídaé a taxa máxima de partidase o fluxo de entradaéa taxade chegadas.Nessecaso,é fácil perceberque 104 Capítulo3. Fluxos de veículos e seu controle o tamanhoda fila fica inalterado.pois as chegadasà fila silo iguais às partidasda fila por intervalo de tempo. Se p < I, têm-sequeataxamáximade partidasémenorquea taxadechegadas e, caso existauma fila. ela diminui atédesaparecercompletamentepois o número de veículos que saemda li Ia é maior que o número de veículos que chegama ela, por intervalode tempo. Isso correspondeao casoem que o fluxo de saídada caixa d'élguaé maior que o fluxo de entradae o reservatório,depois de um cer~otempo, esvazia-secompletamcnte. Se p 2': I. diz-se que o sistema cstá supersaturado,ou seja, chegam mais veículos cio que é possível atender, o que faz com que a fila cresça enquanto a situaçilo mantiver-se inalterada. Na analogia com a caixa d'água, esse caso corresponde à situação em que o fluxo de entrada é maior que o de saída e o volume de áglJa no reservatórioaumenta. Como o leitor já deve ter ohservado,o grau de congestionamentode uma via varia ao longo do dia. Nos períodos de pico. p pode ser igualou até mesmo maior que aunidade. Um congestionamentosurge quando p > I durante um certo período de tempo;o congestionamentocomeça a reduzir-se quando p torna- se menor que um. Essa é uma situação comum em Engenharia de Transportes, não só com relaçãoaos fluxos de veículos, mastamhémem terminais, interseções semaforizadas,ete. e seráestudadomais adiante(item 3.6). ]\tedidasde desempenho As mcdidas de desempenhodc uma lila servcm para avaliar a perfonnance do sistemae podemserobticlasa partirciomodelo D/DJI. As medidasdedesempenho maisCOlllllllS incluem: alilamédia, o tempomédiodeesperana fila, a fila máxima, o tempo máximo de esperana li Ia, etc. O número de veículos na fila, ou o cOl/1primento da fila, num determinado instante t é dado pela distância vertical entre a curva de chegadas acumuladas e(t) e a curva de partidas acumuladas D(t). O gráfico da Figura 3.9 mostra o comprimento da fila no instante t = I() min, que pode ser medido no gráfico e é igual a 40 veículos. Para este modelo. pode-se determinar analiticamenteo comprimento da fiIa num instantet qualquer atravésde: L(I) = e(f) - /)(f) sendoque L(t) é o tamanhoda fIla [veic]. (3.22) 1053.5 Aplicações da teoria das filas na análise dos fluxos ininterruptos-------------------- --_._..._---------~._-------------------------- Observando-se o gráfico, percebe-seque quando t = O, o número de veí- culos na fila é nulo, mas a partir daí a fila cresce até atingir um máximo quando t =20 minoA partirdesseinstante,a fila passaa diminuir atédesaparecercomple- tamentequando t =60 min. Pode-se tambémobservar no gráfico que o instante em que a fila atinge o máximo correspondeao (empoem que ullJa paralela à reta D(r) interceptaa curva e(1) em apenasum línico ponto. Fig. 3,9: MedidasdedesempenhodelimarilaD/D/I ~ 250 B :; ••• Duração da fila CJ 'ai 200 > :z:Gl .Q 1:,"O I: 3O CD ã"O 150 E§~ ::JE ~!'.::J 100 'i~CJ l'lI TempodeesperadoQj !.e 100·veIculoquechega~~Gl 50E lil'::J Z O 10203040506070 Tempo (min) L(t)ll1nx =8.20 - 4.20 =80 veic. Pode-se determinar a fila máxima tanto graficamente corno analiticamente. No pri- meiro caso, a fila máxima é a maior distância vertical entre e(r) e D(t), que pode ser me- dida no gráfico e é igual a 80 veic. Analitica- mente,a fiIa máxima é É fácil perceberintituitivamenteumaproprie- dade importantedas filas que passampor um período de supersaturação:a fila atingeo seu máximo no instanteem que a taxa de chega- das passaa ser igualou menor que a taxa de partidas. O instanteem que a fiIa terminapode ser obtido tantograficamentecomo ana- liticamente. A Figura 3.9 mostraque a fila termina no ponto 13,de coordenadas (60 min, 240 vcic); ou seja,a fila desapareceno instantet =60 min, após240 veí- culos terem sido atendidos. Pode-se calcular o instante tI em que a nla tenni,la igualando-se DUI) 4tI tI e(t/) =? 160+2UI - 20) =? 60 min. Conhecido tI' pode-se determinar outra medida de desempenho importante, a duração da/ila ou duração do co//gC'stio//l1Il1C'//to. O l1límC'1ntotal dC' veículos q//C'pass{{////Ie/o co//gestio//ame//to é uma outra medidado desempenhoda fila que tambémest:í indicmla no gráfico da Figura 3.9. Analiticamente, o número total de veículos na nla é N =C(tl)' Uma outra medidade desempenhoimportantedas filas éo !('m/H) dC'C'spaa //(/ fila. O tempoqueo l7-ésÍmoveículo gastana nIa podeserdetermÍnadodirctamcnte 106 ',. Capítulo3. Fluxos de veículos e seu controle do gráfico, medindo-se a distância horizontal entre as curvas e(o e D(t) corres- pondenteà ordenaday = 11 veic. Na Figura 3.9, mostra-seo tempo de esperado centésimo veículo, que é WII10 = 12,5 minutos. A determinaçãográfica do lempomáximode esperal1a.filaé simples e cor- responde á espera do veículo que chega no instante em que a fila atinge o seu máximo. No caso, a espera máxima é W",nx = 20 minutos. O desenvolvimento de expressõesanalíticas para o cálculo do tempo de espcra na fila é shnples e é deixado como exercício parao leitor. Outras duas medidas de desempcnho importantessão afila médiae o lempo médiode esperalia .fila,que podcm ser determinadosa partir da esperalolal, a áreahachuradano gráfico da Figura 3.9. A esperatotalcorrespondeao tempototal gastona fila por todos os veículos quc passarampelo congestionamentoe pode ser calculado determinando-sea árca compreendida entrc a curva de chegadasacu- muladase a curva de partidasacumuladas.A esperatotal no caso do Exemplo 3.9 é (80.20) (80.40) .. W,,,':tl = ----2 -- +- 2 =2.400velc.mlJl olempomédiodeesperano(il(/éa razãoentreduasoutrasmedidasde desem- pcnho, a espcra total e o mímero total de veículos na fila. A esperamédia durante os 60 minutos cm que a fila existiu é ~\!=2.400/240= 10min/veic, já que 240 vcículos passarampclo guichê duranteos 60 minutos dc duração da fila. A fila médiaé também derivada dc duas outras medidas de desempenho, a cspera total e o tcmpo total de duração da fila. f~calculada dc modo similar, dividindo-se a esperatotal pelo tempode duraçãoda fila. No caso, a fila média é L =2.400/60=40 veículos. 3.5.2 Modelos estocásticos de filas Um modclo cstocástico de filas fornece expressõesanalíticas para determinação das medidasde descmpenho,cm função das distribuições estatísticasque rcpre- sentamas distribuições de headways para os veículos quc chcgam e para os que partem. Os parâmetrosusados ncssas cxpressõessão, normalmente, a média, a variância (ou o desvio padrão)da distribuição, o númerode canais de atendimento ou combinações dessasvari,íveis (COIllO o grau de congestionamento). Ncste tcx- to, apenasos modelos M/DII e M/Mil serão apresentados. Outros modclos mais complcxos podcm ser encontrandosem referênciascomo Novaes ou Newell (vide notasde rodapé à página 1(0). 1073.5Aplicações da teoriadas filas na análisedos fluxos ininterruptos---------_._-- ---- ---_._-~~~_._--------------------- omodeloM/D/I Como discutido no item 3.5, a suposição de que os intervalos de tempo entre chegadasde veículos sucessivossejam distribuídos exponencialmenteresulta,em diversas situações, numa representaçãomais realística do fluxo de tráfego que a obtida supondo-se que os headways sejam constantes. Por conseguinte, a fila MID/I tem aplicações importantesno estudodos fluxos de veículos. A representaçãográficade ullla fila M/D/I é bem complicada, masas soluções matemáticasparaasmedidasdedesempenhosãobemsimples,desdequeo sistema estejaem equilíbrio. Numa fila M/DIl, isso significa que a taxamédiade chegadas deve ser constante,pelo menos duranteo tempoem que desejaestudara fila. Ao contrário do que ocorre nos modelos DID/I (reveja o Exemplo 3.9), a formação e a destmição da fiIa deve-seà variaçãoaleatória dos headwayse não à variaçãoda taxa de chegadas. Como indica a Equação 3.21, o graudecongestionamentoou intensidadedo tráfegoé: em que À é a taxa média de chegadas [veic/min] e II é a taxa média de par- tidas [veic/min]. Pode-se provarl2 que a fi/a m(Çdia Q pode ser calculada pela expressão: - 2 p - p2Q=-- 2(1 - p) (3.23) A partir da Equação 3.23 pode-se perceberuma característicaimportantedas filas estocásticas:a capacidadeda via deveser maior que a taxade chegadaspara que o sistema não entre em colapso - ou seja, p deve ser sempre menor que a unidade. Analisando-se a Equação 3.23, pode-se notar que, à medida em que o valor de p aproxima-se de um, a fila média tende para infinito. Igualmente, se p > 1, a fila média assumeum valor negativo,o que é uma impossibilidade. otempomédiodeesperanocongestionamento(ou fila), uma outra medidade desempenhodo sistema,pode ser calculado atravésde: lJI= P 2f1(I-p) (3.24) 12Pogedo escopodestetexlo inlrodlllúrio apn'seotara dedll<;;todessasexpressões. O leitor inlercssadopodeconsultar,porexemplo.NO\"<lCS (197)). 108 Capítulo3. Fluxosde veículos e seu controle------------------------ ----_._-----_._--------_._. __ ._~----~-------------------- e o tempomédiogastono sistell/a,qucé o tcmpomédiona fi Ia maiso tempode atendimento(queéconstantenomodeloMID/I) é I t =11] +- II 2-(>-'---- 2,dl - p) (3.25) () Exemplo3.10ilustraautilizaçãodomodeloM/D/I eo cálculodasmedidas dedesempenhodafila. Exemplo 3.10 Seja umapraça depedágionumarodol'iapela qualpassam180 I'eic/h durante1/I11alongapartedanoite.Nessepel"Íodo{tll1cionaapenasumacabinedepedágio eotempogastonoatendimentodecadaveículoéconstanteeigualai 5segundos.Planeja- se introduzirinovaçiiestecnolágicasno sistemadc colJrançaquedel'emreduziro tempo deatendimentopara fi .H'glll1dosIJor \'cíCIII(}.Determineo impactodessasmudançasem termosdasmedidasdedesempenhodafila. Solução:A taxa média de chegadasé À =~veic/min e a taxade atendimentoatual é li! =4 veic/min: portanto, o grau de congestionamento do sistema é: .~ fi = - =0,75.4 Para detenninaç:lo da rila ml:di:\ na praç:\de ped:ígio, usa-se a Equação ~.21: _ 2.0,75--0.7S" (} - -~--------~-- c"c I R7'l vdc. 2(I-O.7S) .' Através das Equações .'.24 e .'.2Spode-se determinar o tempo médio de espera na lIla e o tempo médio no sistema: 1/l 0.7.')_._._-_._ ....•- .._._----- .. 2.4 (I -- 0.75) 2- O.7S -_ ..,--------_.~---- 2.4(1 -0.75) 0,.'75 min e 0,625 min. A nova laxa de congestionamento fl2 pode ser determinadaa partir da nova taxa de atcndimento /12 (10 ~ /12 'c, --O =7,S veic/min "'? fl2 =-- =0,4" 7,5 () leitor pode aplicar as Eqll;\\,'ões~.2.' a '.25 para calelllar as novas medidas de desempenho. () novo valor pma a fila ml:dia (:osnveic o lempoll1l<diodc espera nn fila l: O,lH'1lllinl' o nlrasollll:diotolnlnn pra<,'ade ped:"gioé O,I7R ll1in. Portanlo, o novo sistellln propoIl'ionar;í IlIl1aredll<,':lodl' 1,."12veic nn fila média. O,~ll min no tl'mpo 1111:diode espera na filn e dl' 0.'1,17 min no lempo médio total gaslo no ped:"gio.
Compartilhar