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Tec Transp 101 108

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3.5Aplicações da teoriadas filas na análisedos fluxos ininterruptos
ligados à Teoria das Filas. pois tantoa solução analítica como a solução gráficado
problema podcm ser facilmcntc comprecndidas.
Soluçãoparaummodelo/)//)/1
Ainda que a solução analítica parauma fiIa D/D/I seja fácil de ser obtido por um
aluno de Engenharia Civil. o leitor deveseesforçarem resolverestesmodelos gra-
ficamente.pois só assim obteráuma maior familiaridade com os modelos de filas,
o que lhe seráde grandevalia na análisede sistemascomo terminais (rodoviários,
portuários, aéreos,etc.), vias, etc. O Exemplo 3.9 serve para ilustrar a obtenção
da solução gráfica paraullla fiIa D/D/ I.
Exemplo 3.9 Sejtlll/II celllm cOlllcl-ci(iIclljo ('sltlciolltllllelllo ohre ris9:00.Nesse illSlolllc,
I'dculos COllleçallla chegar ao florli/o do eSlo('iollolllClllo tlllllltlloxa de480I'eic/h. Depois
de 20 lIIillUlos, o .fluxo dc l'eícIIlos qlle chegalll sc rcduz.INlra 120 \'eic/h, e se lIIolllélll
COIIslallle olé o(illal do dia. No porli/o de clIll'(/lla cxisle 1111I(,olllmle de eslaciollwllclIlo
que requer que o placa de ctlda I'cículo scia wlOlado e 1111ICOllll)/YlI'(lIIleseja dado ao
1Il0lorislo. O lelllflo lIecesslÍrio flora esla oflcroçi/o é (,ollslollle (' igr(((l a 15 seg1ll/llos.
COl/slrua UIII gl"IÍfico qlle reflrescl/le a oflcraç'i/o dtl cl/lrado do cslociol/olllelllo,
Solução: Pressupondo-se que tanto o processo de chegadas como o processo de
partidas são determinÍstieos _. isto 0, os headways entre as chegadas e entre as
partidas são constantes ~. pode-se usar um modelo de [i Ias D/D/I para estudar o
congestionamento que aparecena entradado estacionamento.
Para tanto. é preciso determinar a taxamédia de chegadase a taxamédia de partidas,
que tamhém pode ser chamada de loxo 1II(;diode olelldilllelllo. Conhecidas esses
dois parâmetros, pode-se então determinar a (,IIITO dc ('hegtldasoClIlIluladas c a
ClIlTa de l70rlidtls aCIII//lIlodos.
1i/xa I1It;diade chegadas e eurva elechegadas acumuladas: Chamando- se de À. a
taxa de chegadas, o número acumulado de chegadas ap(Ís um intervalo de tempo I
pode ser calculado por:
101
C(t)=À.I. (3.1 R)
Se a taxa de chegadas À for constante.a função C(r) será uma reta.
No exemplo. duranteos primeiros 20minutos de funcionamento do estacionamento,
a taxa média de chegadas À é 4XO vcic/h. ou X veic/min. A curva acumulada de
chegadas, nesse intervalo de O a 20 minutos, pode ser representadapor:
C(I)=ÀI=Xt
Após 20 min. terão chegado C(20) = I fiO veículos, No gráfico da Figura 3.R. esse
trecho da curva de chegadas acullluladas é o segmento de retaOA. A inclinação da
102 Capítulo 3. Fluxos de veículos e seu controle
UI
..Q
250::J \,)'ãj> 200
C(t)
-!
(Chegadas)
O
_______~---A
"ti
150
.!!! ::JE::J
100
\,) "'o.. 50Ql E.::Jz Desaparecimentoda fila '-_//------- -- -- _. _ .. - - - - --
7060502010o 30 40
Tempo (min)
Fig. 3.8: Representação grMica de uma fi Ia D/D/I
retaOA corresponde ao fluxo de ehegadasR veic/min e o ponto A tem eoordcnadas
(20min.160veic).
Após 20 min. o fluxo de chegadas passa ,1 ser 120 veic/h ou 2 veic/min e a curva
de chegadas a partir daí passaa ser C(I) =2 I.para I :::o:: 20 minutos. No grMico.
essatrecho da curva acumulada de chcgadasé indicado pelo segmentoAB. Pode-se
nolar que a inclinação da n:la AB l; menor que a da retaOA..iâ que a taxade chegadas
diminui a partir de I = 20 min. ''vlalemalicamente.a curva de chl',!.'.adasC(t) para
o Illodelo D/IJII pode ser expressapor:
C( {RI.1) = 160+2(1 - 20),
para I <20 min c
para I :::20 mino
1:1X<l de fJnrlidas c ellTTa de fJ<lrlidas nCl1111IIladas: Chamando-se de 1I a taxa de
partidas. o número acumulado de partidas após um intervalo I. D(I), pode ser
calculado por:
J)(t)=lil. (:'.19)
Se. no caso do excmplo. cada veículo que chega ao portão do estacionamento leva
15 segundos para partir. os headways entre partidas são 15 s. Portanto. o maior
fluxo quc pode entrar no estacionamentoé li =4 veic/min ou 240 veic/h.
O tempo gasto para atender cada veículo é constante ao longo do dia e a taxa de
atendimento máxima reflete a capacidade de atendimento (número de cabines) e o
tempo médio de atendimento de cada freguês:
60
II,,!:IX = ----
10/ ('
(:'.20)
cm que 11m,,,é a laxa IIIIÍxillla dc alcndimcnlo I\'eic/minl: 1(// é o tempo gasto para
atender um veículo Is/veicl: e (' é o númcro de guichês em opcração.
~3._5__A_p_l~ic~a_ç_õ_e__s__d_a~t~_o_r~ia~~..s_~!~s...rl.a~~á~:e~()s_f~~x_o_s_in_in_t_er~uptos 1~()_3
A taxa de atendimento não se mant6m igual fi máxima (/1 =41) ao longo de todo o
tempo; na verdade,a taxade atendimentosó pode ser maior que a taxa de chegadas
seexistir uma fila. Se não houver veículos esperandoparaentrarno estacionamento,
a taxa de atendimento é menor que a máxima, pois não há como atender fregueses
que ainda não chegaram :1 entradado estacionamento.
Supondo-se que o primeiro veículo que chega ao edifício o faz exatamente no
instante em que o estacionamento se ,lhre, pode-se desenhar a CII/WI dr parlidas
do portão, areIa 013, euja inclina~'ãocOlTl'spondeao fluxo de 4 veic/min. Pode-se
nlltar que o ponto B tcm coonfl'nad,ls «lO min, 240 veic). Dc mancira similar :\
curva C(I), a curva de partidas j)(/), PllLfl' ser expressa por:
IJ(I) = /1 1= 41.
Ohservando-se o gráfico da Figura __u~pode-se pereeherque a inclinação da curva
D(t) (quc cOITespondeà taxa de atcndimento) reduz-se após o ponto B, quando a
fila desaparece. A partir de 8, a taxa de atendimento p;lssa a ser igual :\ taxa de
chegadas (/1 =).).Portanto, a função:
A curvadepartidasacumu/a-
dasdeveestarscm/lrc;)direi-
tadacurvadechegadasacu-
muladas- ouseja,scJsepode
sair da fila dcpoisde chegar
i!di!.
D( _ { 41,- I) - 240f 2(1
para I < (,Omin l'
2'10). para I :::-20 min
deserevemelhor a curva de partidas aClnlluladas ao longo dolempo.
As curvas de chegada e partida representamgraficamenteo sistema de fiIas
estudado;ohservando-seo gráfico da figura 3.8 pode-sever como a fila cresceaté
um máximo e depois diminui atédesaparecercompletamente.
Gr:w d('CO /l R(~Sti(}11:1l1l (' /lI o
Um parâmetroimportanteparacaracterizaç{iode lima fila é o grau de (,o17gesrio-
17(//1IC'1I10OUIll.w de("ollgesriollllll/elllo do sistema,fl, que édefinido como a razão
entrea taxa de chegadas(À) e o produtoda taxade partidasrelativaa um canal de
atendimento(/1) e do I1lÍmerode canais de serviço (1"):
fl=
II ("
(3.21)
Se /) = I, o sistema opera na sua capacidade- isto é, a taxa máxima de partidas
é igual ;1 taxa de chegadas. Numa 'lJlalogia com um caixa d';Ígua, o fluxo que sai
da caixa é igual ao fluxo que entra na caixa. O fluxo de saídaé a taxa máxima de
partidase o fluxo de entradaéa taxade chegadas.Nessecaso,é fácil perceberque
104 Capítulo3. Fluxos de veículos e seu controle
o tamanhoda fila fica inalterado.pois as chegadasà fila silo iguais às partidasda
fila por intervalo de tempo.
Se p < I, têm-sequeataxamáximade partidasémenorquea taxadechegadas
e, caso existauma fila. ela diminui atédesaparecercompletamentepois o número
de veículos que saemda li Ia é maior que o número de veículos que chegama ela,
por intervalode tempo. Isso correspondeao casoem que o fluxo de saídada caixa
d'élguaé maior que o fluxo de entradae o reservatório,depois de um cer~otempo,
esvazia-secompletamcnte.
Se p 2': I. diz-se que o sistema cstá supersaturado,ou seja, chegam mais
veículos cio que é possível atender, o que faz com que a fila cresça enquanto
a situaçilo mantiver-se inalterada. Na analogia com a caixa d'água, esse caso
corresponde à situação em que o fluxo de entrada é maior que o de saída e o
volume de áglJa no reservatórioaumenta.
Como o leitor já deve ter ohservado,o grau de congestionamentode uma via
varia ao longo do dia. Nos períodos de pico. p pode ser igualou até mesmo
maior que aunidade. Um congestionamentosurge quando p > I durante um
certo período de tempo;o congestionamentocomeça a reduzir-se quando p torna-
se menor que um. Essa é uma situação comum em Engenharia de Transportes,
não só com relaçãoaos fluxos de veículos, mastamhémem terminais, interseções
semaforizadas,ete. e seráestudadomais adiante(item 3.6).
]\tedidasde desempenho
As mcdidas de desempenhodc uma lila servcm para avaliar a perfonnance do
sistemae podemserobticlasa partirciomodelo D/DJI. As medidasdedesempenho
maisCOlllllllS incluem: alilamédia, o tempomédiodeesperana fila, a fila máxima,
o tempo máximo de esperana li Ia, etc.
O número de veículos na fila, ou o cOl/1primento da fila, num determinado
instante t é dado pela distância vertical entre a curva de chegadas acumuladas
e(t) e a curva de partidas acumuladas D(t). O gráfico da Figura 3.9 mostra o
comprimento da fila no instante t = I() min, que pode ser medido no gráfico
e é igual a 40 veículos. Para este modelo. pode-se determinar analiticamenteo
comprimento da fiIa num instantet qualquer atravésde:
L(I) = e(f) - /)(f)
sendoque L(t) é o tamanhoda fIla [veic].
(3.22)
1053.5 Aplicações da teoria das filas na análise dos fluxos ininterruptos-------------------- --_._..._---------~._--------------------------
Observando-se o gráfico, percebe-seque quando t = O, o número de veí-
culos na fila é nulo, mas a partir daí a fila cresce até atingir um máximo quando
t =20 minoA partirdesseinstante,a fila passaa diminuir atédesaparecercomple-
tamentequando t =60 min. Pode-se tambémobservar no gráfico que o instante
em que a fila atinge o máximo correspondeao (empoem que ullJa paralela à reta
D(r) interceptaa curva e(1) em apenasum línico ponto.
Fig. 3,9: MedidasdedesempenhodelimarilaD/D/I
~ 250
B
:;
••• Duração da fila
CJ
'ai 200
> :z:Gl .Q 1:,"O I: 3O CD ã"O
150
E§~ ::JE
~!'.::J 100 'i~CJ l'lI TempodeesperadoQj !.e 100·veIculoquechega~~Gl 50E lil'::J Z
O
10203040506070
Tempo (min)
L(t)ll1nx =8.20 - 4.20 =80 veic.
Pode-se determinar a fila máxima tanto
graficamente corno analiticamente. No pri-
meiro caso, a fila máxima é a maior distância
vertical entre e(r) e D(t), que pode ser me-
dida no gráfico e é igual a 80 veic. Analitica-
mente,a fiIa máxima é
É fácil perceberintituitivamenteumaproprie-
dade importantedas filas que passampor um
período de supersaturação:a fila atingeo seu
máximo no instanteem que a taxa de chega-
das passaa ser igualou menor que a taxa de
partidas.
O instanteem que a fiIa terminapode ser obtido tantograficamentecomo ana-
liticamente. A Figura 3.9 mostraque a fila termina no ponto 13,de coordenadas
(60 min, 240 vcic); ou seja,a fila desapareceno instantet =60 min, após240 veí-
culos terem sido atendidos. Pode-se calcular o instante tI em que a nla tenni,la
igualando-se
DUI)
4tI
tI
e(t/) =?
160+2UI - 20) =?
60 min.
Conhecido tI' pode-se determinar outra medida de desempenho importante, a
duração da/ila ou duração do co//gC'stio//l1Il1C'//to.
O l1límC'1ntotal dC' veículos q//C'pass{{////Ie/o co//gestio//ame//to é uma outra
medidado desempenhoda fila que tambémest:í indicmla no gráfico da Figura 3.9.
Analiticamente, o número total de veículos na nla é N =C(tl)'
Uma outra medidade desempenhoimportantedas filas éo !('m/H) dC'C'spaa //(/
fila. O tempoqueo l7-ésÍmoveículo gastana nIa podeserdetermÍnadodirctamcnte
106
',.
Capítulo3. Fluxos de veículos e seu controle
do gráfico, medindo-se a distância horizontal entre as curvas e(o e D(t) corres-
pondenteà ordenaday = 11 veic. Na Figura 3.9, mostra-seo tempo de esperado
centésimo veículo, que é WII10 = 12,5 minutos.
A determinaçãográfica do lempomáximode esperal1a.filaé simples e cor-
responde á espera do veículo que chega no instante em que a fila atinge o seu
máximo. No caso, a espera máxima é W",nx = 20 minutos. O desenvolvimento
de expressõesanalíticas para o cálculo do tempo de espcra na fila é shnples e é
deixado como exercício parao leitor.
Outras duas medidas de desempcnho importantessão afila médiae o lempo
médiode esperalia .fila,que podcm ser determinadosa partir da esperalolal, a
áreahachuradano gráfico da Figura 3.9. A esperatotalcorrespondeao tempototal
gastona fila por todos os veículos quc passarampelo congestionamentoe pode ser
calculado determinando-sea árca compreendida entrc a curva de chegadasacu-
muladase a curva de partidasacumuladas.A esperatotal no caso do Exemplo 3.9
é
(80.20) (80.40) ..
W,,,':tl = ----2 -- +- 2 =2.400velc.mlJl
olempomédiodeesperano(il(/éa razãoentreduasoutrasmedidasde desem-
pcnho, a espcra total e o mímero total de veículos na fila. A esperamédia durante
os 60 minutos cm que a fila existiu é ~\!=2.400/240= 10min/veic, já que 240
vcículos passarampclo guichê duranteos 60 minutos dc duração da fila.
A fila médiaé também derivada dc duas outras medidas de desempenho, a
cspera total e o tcmpo total de duração da fila. f~calculada dc modo similar,
dividindo-se a esperatotal pelo tempode duraçãoda fila. No caso, a fila média é
L =2.400/60=40 veículos.
3.5.2 Modelos estocásticos de filas
Um modclo cstocástico de filas fornece expressõesanalíticas para determinação
das medidasde descmpenho,cm função das distribuições estatísticasque rcpre-
sentamas distribuições de headways para os veículos quc chcgam e para os que
partem. Os parâmetrosusados ncssas cxpressõessão, normalmente, a média, a
variância (ou o desvio padrão)da distribuição, o númerode canais de atendimento
ou combinações dessasvari,íveis (COIllO o grau de congestionamento). Ncste tcx-
to, apenasos modelos M/DII e M/Mil serão apresentados. Outros modclos mais
complcxos podcm ser encontrandosem referênciascomo Novaes ou Newell (vide
notasde rodapé à página 1(0).
1073.5Aplicações da teoriadas filas na análisedos fluxos ininterruptos---------_._-- ---- ---_._-~~~_._---------------------
omodeloM/D/I
Como discutido no item 3.5, a suposição de que os intervalos de tempo entre
chegadasde veículos sucessivossejam distribuídos exponencialmenteresulta,em
diversas situações, numa representaçãomais realística do fluxo de tráfego que
a obtida supondo-se que os headways sejam constantes. Por conseguinte, a fila
MID/I tem aplicações importantesno estudodos fluxos de veículos.
A representaçãográficade ullla fila M/D/I é bem complicada, masas soluções
matemáticasparaasmedidasdedesempenhosãobemsimples,desdequeo sistema
estejaem equilíbrio. Numa fila M/DIl, isso significa que a taxamédiade chegadas
deve ser constante,pelo menos duranteo tempoem que desejaestudara fila. Ao
contrário do que ocorre nos modelos DID/I (reveja o Exemplo 3.9), a formação e
a destmição da fiIa deve-seà variaçãoaleatória dos headwayse não à variaçãoda
taxa de chegadas.
Como indica a Equação 3.21, o graudecongestionamentoou intensidadedo
tráfegoé:
em que À é a taxa média de chegadas [veic/min] e II é a taxa média de par-
tidas [veic/min]. Pode-se provarl2 que a fi/a m(Çdia Q pode ser calculada pela
expressão:
- 2 p - p2Q=--
2(1 - p)
(3.23)
A partir da Equação 3.23 pode-se perceberuma característicaimportantedas
filas estocásticas:a capacidadeda via deveser maior que a taxade chegadaspara
que o sistema não entre em colapso - ou seja, p deve ser sempre menor que a
unidade. Analisando-se a Equação 3.23, pode-se notar que, à medida em que o
valor de p aproxima-se de um, a fila média tende para infinito. Igualmente, se
p > 1, a fila média assumeum valor negativo,o que é uma impossibilidade.
otempomédiodeesperanocongestionamento(ou fila), uma outra medidade
desempenhodo sistema,pode ser calculado atravésde:
lJI= P
2f1(I-p)
(3.24)
12Pogedo escopodestetexlo inlrodlllúrio apn'seotara dedll<;;todessasexpressões. O leitor
inlercssadopodeconsultar,porexemplo.NO\"<lCS (197)).
108 Capítulo3. Fluxosde veículos e seu controle------------------------ ----_._-----_._--------_._. __ ._~----~--------------------
e o tempomédiogastono sistell/a,qucé o tcmpomédiona fi Ia maiso tempode
atendimento(queéconstantenomodeloMID/I) é
I
t =11] +-
II
2-(>-'----
2,dl - p)
(3.25)
() Exemplo3.10ilustraautilizaçãodomodeloM/D/I eo cálculodasmedidas
dedesempenhodafila.
Exemplo 3.10 Seja umapraça depedágionumarodol'iapela qualpassam180 I'eic/h
durante1/I11alongapartedanoite.Nessepel"Íodo{tll1cionaapenasumacabinedepedágio
eotempogastonoatendimentodecadaveículoéconstanteeigualai 5segundos.Planeja-
se introduzirinovaçiiestecnolágicasno sistemadc colJrançaquedel'emreduziro tempo
deatendimentopara fi .H'glll1dosIJor \'cíCIII(}.Determineo impactodessasmudançasem
termosdasmedidasdedesempenhodafila.
Solução:A taxa média de chegadasé À =~veic/min e a taxade atendimentoatual
é li! =4 veic/min: portanto, o grau de congestionamento do sistema é:
.~
fi = - =0,75.4
Para detenninaç:lo da rila ml:di:\ na praç:\de ped:ígio, usa-se a Equação ~.21:
_ 2.0,75--0.7S"
(} - -~--------~-- c"c I R7'l vdc.
2(I-O.7S) .'
Através das Equações .'.24 e .'.2Spode-se determinar o tempo médio de espera na
lIla e o tempo médio no sistema:
1/l
0.7.')_._._-_._ ....•- .._._----- ..
2.4 (I -- 0.75)
2- O.7S
-_ ..,--------_.~----
2.4(1 -0.75)
0,.'75 min e
0,625 min.
A nova laxa de congestionamento fl2 pode ser determinadaa partir da nova taxa de
atcndimento /12
(10 ~
/12 'c, --O =7,S veic/min "'? fl2 =-- =0,4" 7,5
() leitor pode aplicar as Eqll;\\,'ões~.2.' a '.25 para calelllar as novas medidas de
desempenho. () novo valor pma a fila ml:dia (:osnveic o lempoll1l<diodc espera
nn fila l: O,lH'1lllinl' o nlrasollll:diotolnlnn pra<,'ade ped:"gioé O,I7R ll1in. Portanlo,
o novo sistellln propoIl'ionar;í IlIl1aredll<,':lodl' 1,."12veic nn fila média. O,~ll min
no tl'mpo 1111:diode espera na filn e dl' 0.'1,17 min no lempo médio total gaslo no
ped:"gio.

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