Exercicios RM 13

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Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
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   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Aula	
  13	
  -­‐	
  Estudo	
  de	
  Torção.	
  
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris,	
  M.Eng.	
  
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Prof.	
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  Paris	
  	
  	
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   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Definição	
  de	
  Torque	
  
Torque	
  é	
  o	
  momento	
  que	
  
tende	
  a	
  torcer	
  a	
  peça	
  em	
  
torno	
  de	
  seu	
  eixo	
  
longitudinal.	
  Seu	
  efeito	
  é	
  
de	
  interesse	
  principal	
  no	
  
projeto	
  de	
  eixos	
  ou	
  eixos	
  
de	
  acionamento	
  usados	
  
em	
  veículos	
  e	
  maquinaria.	
  
Prof.	
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  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Deformação	
  por	
  Torção	
  
Prof.	
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  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Equação	
  da	
  Torção	
  
Quando	
  um	
  torque	
  externo	
  é	
  aplicado	
  a	
  
um	
  eixo,	
  cria	
  um	
  torque	
  interno	
  
correspondente	
  no	
  interior	
  do	
  eixo.	
  
A	
  equação	
  da	
  torção	
  relaciona	
  o	
  torque	
  
interno	
  com	
  a	
  distribuição	
  das	
  tensões	
  
de	
  cisalhamento	
  na	
  seção	
  transversal	
  
de	
  um	
  eixo	
  ou	
  tubo	
  circular.	
  
Para	
  material	
  linear-­‐elásFco	
  aplica-­‐se	
  a	
  
lei	
  de	
  Hooke.	
  
	
  
	
  
	
  
onde:	
  G	
  =	
  Módulo	
  de	
  rigidez	
  
	
  γ	
  =	
  Deformação	
  por	
  cisalhamento	
  
Prof.	
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  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Equação	
  da	
  Torção	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
onde:	
  	
  
τ	
  =	
  Tensão	
  de	
  cisalhamento	
  no	
  eixo	
  
T	
  =	
  Torque	
  interno	
  resultante	
  que	
  
atua	
  na	
  seção	
  transversal	
  
J	
  =	
  Momento	
  de	
  inércia	
  polar	
  da	
  área	
  
da	
  seção	
  transversal	
  
c	
  =	
  Raio	
  externo	
  do	
  eixo	
  	
  
ρ	
  =	
  Raio	
  medido	
  a	
  parFr	
  do	
  centro	
  do	
  
eixo	
  
Prof.	
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   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Dimensionamento	
  de	
  Eixo	
  Sólido	
  
Momento	
  de	
  inércia	
  polar:	
  
Dimensionamento de Eixo Sólido
Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
! ⋅= A dAJ
2ρ ( )! ⋅⋅⋅⋅= c dJ 0 2 2 ρρpiρ
! ⋅⋅=
c
dJ
0
32 ρρpi
c
J
0
4
4
2 ρpi ⋅⋅
=
2
4cJ ⋅= pi
Momento de inércia polar:
Dimensionamento de Eixo Sólido
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Resistência dos Materiais
! ⋅= A dAJ
2ρ ( )! ⋅⋅⋅⋅= c dJ 0 2 2 ρρpiρ
! ⋅⋅=
c
dJ
0
32 ρρpi
c
J
0
4
4
2 ρpi ⋅⋅
=
2
4cJ ⋅= pi
Momento de inércia polar:
Dimensionamento de Eixo Sólido
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! ⋅= A dAJ
2ρ ( )! ⋅⋅⋅⋅= c dJ 0 2 2 ρρpiρ
! ⋅⋅=
c
dJ
0
32 ρρpi
c
J
0
4
4
2 ρpi ⋅⋅
=
2
4cJ ⋅= pi
Momento de inércia polar:
Dimensionamento de Eixo Sólido
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Resistência dos Materiais
! ⋅= A dAJ
2ρ ( )! ⋅⋅⋅⋅= c dJ 0 2 2 ρρpiρ
! ⋅⋅=
c
dJ
0
32 ρρpi
c
J
0
4
4
2 ρpi ⋅⋅
=
2
4cJ ⋅= pi
Momento de inércia polar:
Dimensionamento de Eixo Sólido
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Resistência dos Materiais
! ⋅= A dAJ
2ρ ( )! ⋅⋅⋅⋅= c dJ 0 2 2 ρρpiρ
! ⋅⋅=
c
dJ
0
32 ρρpi
c
J
0
4
4
2 ρpi ⋅⋅
=
2
4cJ ⋅= pi
Momento de inércia polar:Dimensionamento de Eixo Sólido
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Resistência dos Materiais
! ⋅= A dAJ
2ρ ( )! ⋅⋅⋅⋅= c dJ 0 2 2 ρρpiρ
! ⋅⋅=
c
dJ
0
32 ρρpi
c
J
0
4
4
2 ρpi ⋅⋅
=
2
4cJ ⋅= pi
Momento de inércia polar:
Dimensionamento de Eixo Sólido
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! ⋅= A dAJ
2ρ ( )! ⋅⋅⋅⋅= c dJ 0 2 2 ρρpiρ
! ⋅⋅=
c
dJ
0
32 ρρpi
c
J
0
4
4
2 ρpi ⋅⋅
=
2
4cJ ⋅= pi
Momento de inércia polar:
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
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Falha	
  na	
  Torção	
  Falha na Torção
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Dimensionamento	
  de	
  Eixo	
  Tubular	
  
Momento	
  de	
  inércia	
  polar:	
  
Dimensionamento de Eixo Tubular
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Resistência dos Materiais
( )
2
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ie ccJ −⋅= piMomento de inércia polar:
Dimensionamento de Eixo Tubular
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Resistência dos Materiais
( )
2
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ie ccJ −⋅= piMomento de inércia polar:
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  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Exercício	
  1	
  
1)	
  O	
  tubo	
  mostrado	
  na	
  figura	
  tem	
  um	
  diâmetro	
  interno	
  de	
  80	
  
mm	
  e	
  diâmetro	
  externo	
  de	
  100	
  mm.	
  Supondo	
  que	
  sua	
  
extremidade	
  seja	
  apertada	
  contra	
  o	
  apoio	
  em	
  A	
  por	
  meio	
  de	
  
um	
  torquímetro	
  em	
  B,	
  determinar	
  a	
  tensão	
  de	
  cisalhamento	
  
desenvolvida	
  no	
  material	
  nas	
  paredes	
  interna	
  e	
  externa	
  ao	
  
longo	
  da	
  parte	
  central	
  do	
  tubo	
  quando	
  são	
  aplicadas	
  forças	
  
de	
  80	
  N	
  ao	
  torquímetro.	
  
Exercício 1
Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
1) O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e diâmetro 
externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o 
apoio em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de 
cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao 
longo da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao 
torquímetro. 
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Solução	
  do	
  Exercício	
  1	
  
Torque	
  interno:	
  É	
  feito	
  um	
  corte	
  na	
  localização	
  
intermediária	
  C	
  ao	
  longo	
  do	
  eixo	
  do	
  tubo,	
  desse	
  
modo:	
  	
  	
  	
  ∑My	
  =	
  80⋅0,3+80⋅0,2−T	
  =	
  0	
  
	
   	
   	
  T	
  =	
  40	
  Nm	
  
Momento	
  de	
  inércia	
  polar:	
  
	
  
J	
  =	
  π	
  ⋅	
  (c4	
  −	
  c4	
  )/2	
  
J	
  =	
  π	
  ⋅	
  (0,054	
  −	
  0,044	
  )/2	
  
J	
  =	
  5,8⋅10−6	
  m4	
  
Solução do Exercício 1
Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Torque interno: É feito um corte na localização 
intermediária C ao longo do eixo do tubo, desse 
modo:
! = 0yM
02,0803,080 =−⋅+⋅ T
40=T Nm
Momento de inércia polar:
( )
2
44
ie ccJ −⋅= pi
Prof.	
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  S.	
  Paris	
  	
  	
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  SÓLIDOS	
  
Solução	
  do	
  Exercício	
  1	
  
Tensão	
  de	
  cisalhamento:	
  
τmáx	
  =	
  T⋅c	
  /	
  J	
  =	
  40⋅0,05/	
  5,8⋅10−6	
  
τmáx	
  =	
  0,344	
  Mpa	
  
Na	
  superhcie	
  interna:	
  
τi	
  =	
  T⋅ci	
  /	
  J	
  	
  
τi	
  =	
  40⋅0,04	
  /	
  5,8⋅10−6	
  
τi=	
  0,276	
  Mpa	
  
	
  
Solução do Exercício 1
Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
( )
2
04,005,0 44 −⋅
=
piJ
6108,5 −⋅=J m4
J
cT
máx
⋅
=τ
Tensão de cisalhamento:
6108,5
05,040
−
⋅
⋅
=máxτ
610344,0 ⋅=máxτ
344,0=máxτ
Na superfície interna:
6108,5
04,040
−
⋅
⋅
=iτ
J
cT i
i
⋅
=τ
610276,0 ⋅=iτ
276,0=iτ
Pa Pa
MPa
MPa
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  S.	
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  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Exercícios	
  Propostos	
  
[P59]	
  Um	
  eixo	
  é	
  feito	
  de	
  uma	
  liga	
  de	
  aço	
  com	
  tensão	
  de	
  cisalhamento	
  
admissível	
  Se	
  o	
  diâmetro	
  do	
  eixo	
  for	
  37,5	
  mm,	
  determine	
  o	
  troque	
  
máximo	
  T	
  que	
  pode	
  ser	
  transmiFdo.	
  Qual	
  seria	
  o	
  torque	
  máximo	
  T`se	
  
fosse	
  feito	
  um	
  furo	
  de	
  25	
  mm	
  de	
  diâmetro	
  no	
  eixo?	
  Faça	
  um	
  rascunho	
  
de	
  distribuição	
  de	
  tensão	
  de	
  cisalhamento	
  ao	
  longo	
  de	
  uma	
  linha	
  
radial	
  em	
  cada	
  caso.	
  	
  
5.3 POWER TRANSMISSION 193
5
•5–1. A shaft is made of a steel alloy having an allowable
shear stress of If the diameter of the shaft is
1.5 in., determine the maximum torque T that can be
transmitted. What would be the maximum torque if a
1-in.-diameter hole is bored through the shaft? Sketch the
shear-stress distribution along a radial line in each case.
T¿
tallow = 12 ksi.
*5–4. The tube is subjected to a torque of 
Determine the amount of this torque that is resisted by the
gray shaded section. Solve the problem two ways: (a) by
using the torsion formula, (b) by finding the resultant of the
shear-stress distribution.
750 N # m.
PROBLEMS
Prob. 5–1
Prob. 5–2
T
T ¿
r¿
r
T
Prob. 5–3
C 75 mm
10 kN!m
75 mm50 mm
A B 4 kN!m
5–2. The solid shaft of radius r is subjected to a torque T.
Determine the radius of the inner core of the shaft that
resists one-half of the applied torque . Solve the
problem two ways: (a) by using the torsion formula, (b) by
finding the resultant of the shear-stress distribution.
1T>22r¿
5–6. The solid shaft has a diameter of 0.75 in. If it is
subjected to the torques shown, determine the maximum
shear stress developed in regions BC and DE of the shaft.
The bearings at A and F allow free rotation of the shaft.
5–7. The solid shaft has a diameter of 0.75 in. If it is
subjected to the torques shown, determine the maximum
shear stress developed in regions CD and EF of the shaft.
The bearings at A and F allow free rotation of the shaft.
5–5. The copper pipe has an outer diameter of 40 mm and
an inner diameter of 37 mm. If it is tightly secured to the wall
at A and three torques are applied to it as shown, determine
the absolute maximum shear stress developed in the pipe.
5–3. The solid shaft is fixed to the support at C and
subjected to the torsional loadings shown. Determine the
shear stress at points A and B and sketch the shear stress on
volume elements located at these points.
Prob. 5–4
75 mm
100 mm
25 mm
750 N!m
A
80 N!m
20 N!m
30 N!m
Prob. 5–5
A
B
C
D
E
F
40 lb!ft
25 lb!ft
20 lb!ft
35 lb!ft
Probs. 5–6/7
Prof.	
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  S.	
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  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Exercícios	
  Propostos	
  
[P60]	
  O	
  tubo	
  é	
  submeFdo	
  a	
  um	
  torque	
  de	
  750	
  Nm.	
  Determine	
  a	
  
parcela	
  deste	
  torque	
  à	
  qual	
  a	
  seção	
  sombreada	
  resiste.	
  	
  
© 2008 by R.C. Hibbeler. Published by Pearson Prentice Hall, Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all
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  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Exercícios	
  Propostos	
  
[P61]	
  O	
  conjunto	
  é	
  composto	
  por	
  duas	
  secções	
  de	
  tubo	
  de	
  aço	
  
galvanizado	
  interligadas	
  por	
  uma	
  redução	
  em	
  B.	
  O	
  tubo	
  menor	
  tem	
  
diâmetro	
  externo	
  de	
  18,75	
  mm	
  e	
  diâmetro	
  interno	
  de	
  17	
  mm,	
  
enquanto	
  o	
  tubo	
  maior	
  tem	
  diâmetro	
  externo	
  de	
  25	
  mm	
  e	
  diâmetro	
  
interno	
  de	
  21,5	
  mm.	
  Se	
  o	
  tubo	
  esFver	
  firmemente	
  preso	
  à	
  parede	
  em	
  
C,	
  determine	
  a	
  tensão	
  de	
  cisalhamento	
  máxima	
  desenvolvida	
  em	
  cada	
  
seção	
  do	
  tubo	
  quando	
  o	
  conjugado	
  mostrado	
  na	
  figura	
  for	
  aplicado	
  ao	
  
cabo	
  da	
  chave.	
  	
  
Prof.	
  Wanderson	
  S.	
  Paris	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
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   MECÂNICA	
  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Exercícios	
  Propostos	
  
[P62]	
  O	
  eixo	
  é	
  composto	
  de	
  três	
  tubos	
  concêntricos,	
  todos	
  do	
  mesmo	
  
material,	
  e	
  cada	
  um	
  com	
  raios	
  internos	
  e	
  externos	
  mostrados	
  abaixo.	
  
Se	
  for	
  aplicado	
  um	
  torque	
  T	
  =	
  800	
  Nm	
  ao	
  disco	
  rígido	
  preso	
  à	
  sua	
  
extremidade,	
  determine	
  a	
  tensão	
  de	
  cisalhamento	
  máxima	
  do	
  eixo.	
  
194 CHAPTER 5 TORS ION
*5–8. The solid 30-mm-diameter shaft is used to transmit
the torques applied to the gears. Determine the absolute
maximum shear stress on the shaft.
•5–9. The shaft consists of three concentric tubes, each
made from the same material and having the inner and
outer radii shown. If a torque of is applied to
the rigid disk fixed to its end, determine the maximum shear
stress in the shaft.
T = 800 N # m
Prob. 5–8
Prob. 5–9
5
300 N m!
A
200 N m!
500 N m!
300 mm
400 mm
500 mm
400 N m!
B
D
C
T " 800 N!m
2 m ri " 20 mm
ro " 25 mm
ri " 26 mm
ro " 30 mm
ri " 32 mm
ro " 38 mm
5–10. The coupling is used to connect the two shafts
together. Assuming that the shear stress in the bolts is
uniform, determine the number of bolts necessary to make
the maximum shear stress in the shaft equal to the shear
stress in the bolts. Each bolt has a diameter d.
T
r
T
R
Prob. 5–10
5–11. The assembly consists of two sections of galvanized
steel pipe connected together using a reducing coupling at B.
The smaller pipe has an outer diameter of 0.75 in. and an
inner diameter of 0.68 in., whereas the larger pipe has an
outer diameter of 1 in. and an inner diameter of 0.86 in. If
the pipe is tightly secured to the wall at C, determine the
maximum shear stress developed in each section of the pipe
when the couple shown is applied to the handles of the
wrench.
*5–12. The motor delivers a torque of to the shaft
AB. This torque is transmitted to shaft CD using the gears
at E and F. Determine the equilibrium torque T! on shaft
CD and the maximum shear stress in each shaft. The
bearings B, C, and D allow free rotation of the shafts.
•5–13. If the applied torque on shaft CD is 
determine the absolute maximum shear stress in each shaft.
The bearings B, C, and D allow free rotation of the shafts,
and the motor holds the shafts fixed from rotating.75 N # m,T¿ =
50 N # m
C
B
A
15 lb 6 in.
15 lb
8 in.
Prob. 5–11
50 mm
B
30 mm
35 mm 125 mm
D
C
E
F
T ¿
A
Probs. 5–12/13
Prof.	
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  DOS	
  SÓLIDOS	
  
Referências	
  Bibliográficas	
  
•  hRp://www.cronosquality.com/aulas/ms/index.html	
  
•  Hibbeler,	
  R.	
  C.	
  -­‐	
  Resistência	
  dos	
  Materiais,	
  7.ed.	
  São	
  
Paulo	
  :Pearson	
  PrenFce	
  Hall,	
  2010.	
  
•  BEER,	
  F.P.	
  e	
  JOHNSTON,	
  JR.,	
  E.R.	
  Resistência	
  dos	
  Materiais,	
  3.o	
  
Ed.,	
  Makron	
  Books,	
  1995.	
  
•  Rodrigues,	
  L.	
  E.	
  M.	
  J.	
  Resistência	
  dos	
  Materiais,	
  InsFtuto	
  Federal	
  
de	
  Educação,	
  Ciência	
  e	
  Tecnologia	
  –	
  São	
  Paulo:	
  2009.	
  
•  BUFFONI,	
  S.S.O.	
  Resistência	
  dos	
  Materiais,	
  Universidade	
  Federal	
  
Fluminense	
  –	
  Rio	
  de	
  Janeiro:	
  2008.	
  
•  MILFONT,	
  G.	
  Resistência	
  dos	
  Materiais,	
  Universidade	
  de	
  
Pernanbuco:	
  2010.